2005年高考数学全国试题分类解析(数列部分)

数列部分 选择题
1. （广东卷）已知数列{}n x 满足122x x =，()121
2
n n n x x x --=+，3,4,n =…．若lim 2n n x →∞=，
则(B) （Ａ）
3
2
（Ｂ）３（Ｃ）４（Ｄ）５ 2. （福建卷）3．已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是
（ A ）
A ．15
B ．30
C ．31
D ．64
3. （湖南卷）已知数列}{n a 满足)(1
33,0*11N n a a a a n n n ∈+-=
=+，则20a =
（B ）
A ．0
B ．3-
C ．3
D ．
2
3 4. （湖南卷）已知数列{log 2(a n －1)}（n∈N *）为等差数列，且a 1＝3，a 2＝5，则
n
n n a a a a a a -+
+-+-+∞
→12312lim 1
11(
= （C ）
A ．2
B ．
2
3
C ．1
D ．
2
1 5. （湖南卷）设f 0(x )＝sinx ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2005(x )＝（C ） A ．sinx
B ．－sinx
C ．cos x
D ．－cosx
6. （江苏卷）在各项都为正数的等比数列｛a n ｝中，首项a 1=3 ，前三项和为21，则a 3+ a 4+ a 5=(C )
( A ) 33 ( B ) 72 ( C ) 84 ( D )189 7. (全国卷II ) 如果数列{}n a 是等差数列，则(B )
(A)1845a a a a +<+
(B) 1845a a a a +=+ (C) 1845a a a a +>+ (D) 1845a a a a =
8. (全国卷II ) 11如果128,,,a a a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则(B)
(A)1845a a a a > (B) 1845a a a a < (C) 1845a a a a +>+ (D) 1845a a a a = 9. （山东卷）{}n a 是首项1a =1，公差为d =3的等差数列，如果n a =2005，则序号n 等于(C ) （A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）670 10. （上海）16．用n 个不同的实数a 1,a 2,┄a n 可得n!个不同的排列,每个排列为一行写成 1 2 3
一个n!行的数阵.对第i 行a i1,a i2,┄a in ,记b i =- a i1+2a i2-3 a i3+┄+(-1)n na in , 1 3 2 i=1,2,3, ┄,n!.用1,2,3可你数阵如右,由于此数阵中每一列各数之和都 2 1 3 是12,所以,b 1+b 2+┄+b 6=-12+2⨯12-3⨯12=-24.那么,在用1,2,3,4,5形成 2 3 1 的数阵中, b 1+b 2+┄+b 120等于 3 1 2
3 2
1
[答]( C ) (A)-3600 (B) 1800 (C)-1080 (D)-720
11. （浙江卷）lim n →∞2123n
n ++++ ＝( C ) (A) 2 (B) 4 (C) 2
1
(D)0
12. (重庆卷) 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。

已知最底层正方体的棱长为2，且改塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是( C)
(A) 4； (B) 5； (C) 6； (D) 7。

13. （江西卷）
填空题
1. （广东卷）
设平面内有ｎ条直线(3)n ≥，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三角形不过同一点．若用()f n 表示这ｎ条直线交点的个数，则(4)f _____5________；当ｎ＞４时，()f n ＝__
)1)(2(2
1
+-n n ___________． 2. （北京卷）已知n 次多项式1011()n n n n n P x a x a x a x a --=++++ ,
如果在一种算法中，计算0k
x （k ＝2，3，4，…，n ）的值需要k －1次乘法，计算30()P x 的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算0()n P x 的值共需要 2
1
n (n ＋3) 次运算．
下面给出一种减少运算次数的算法：0011(),()()k k k P x a P x xP x a ++==+（k ＝0， 1，2，…，n －1）．利用该算法，计算30()P x 的值共需要6次运算，计算0()n P x 的 值共需要 2n 次运算．
3. （湖北卷）设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n+1,S n ，S n+2成等差数列，则q 的值为 -2 .
4. (全国卷II ) 在83
和27
2之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积
为_______216 __．
5. （山东卷）22223
lim
__________(1)2
n n n n C C n -→∞+=+ 6. （上海）12、用n 个不同的实数n a a a ,,,21 可得到!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的数阵。

对第i 行in i i a a a ,,,21 ，记in n
i i i i na a a a b )1(32321-++-+-=，
!,,3,2,1n i =。

例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，
所以，2412312212621-=⨯-⨯+-=+++b b b ，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，12021b b b +++ =_-1080_________。

7、计算：1
12323lim -+∞→+-n n n
n n =_3 _________。

8. （天津卷）设*∈N n ,则=
++++-1
2321666n n n n n n C C C C 1(71)6
n
- 9. （天津卷）在数列{a n }中, a 1=1, a 2=2,且)( )1(12*+∈-+=-N n a a n n n ，
则100S =_2600_ ___.
10. (重庆卷)321
3223lim 23n n n n
n +→∞-+= -3 .
解答题 1.（北京卷）
设数列{a n }的首项a 1=a ≠41，且11
为偶数
21
为奇数
4
n
n n a n a a n +⎧⎪⎪=⎨
⎪+⎪⎩,
记211
4
n n b a -=-
，n ＝＝l ，2，3，…·． （I ）求a 2，a 3；
（II ）判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论； （III ）求123lim()n n b b b b →∞
++++ ．
解：（I ）a 2＝a 1+
41=a +41，a 3=21a 2=21a +8
1
； （II ）∵ a 4=a 3+41=21a +83, 所以a 5=21
a 4=41a +316,
所以b 1=a 1－41=a －41, b 2=a 3－41=21(a －41), b 3=a 5－41=41(a －4
1
),
猜想：{b n }是公比为2
1
的等比数列·
证明如下：
因为b n +1＝a 2n +1－
41=21a 2n －41=21(a 2n －1－41)=2
1
b n , (n ∈N *) 所以{b n }是首项为a －41, 公比为2
1
的等比数列·
（III ）11121(1)
12lim()lim
2()1141122
n n n n b b b b b a →∞→∞-+++===---
. 2.（北京卷）数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，11
3
n n a S +=，n =1，2，3，……，求
（I ）a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式； （II ）2462n a a a a ++++ 的值.
解：（I ）由a 1=1，11
3
n n a S +=
，n=1，2，3，……，得 211111333a S a ===，3212114()339
a S a a ==+=，431231116
()3327a S a a a ==++=
， 由1111()33n n n n n a a S S a +--=-=（n ≥2），得14
3
n n a a +=（n ≥2），
又a 2=31
，所以a n =214()33
n -(n ≥2),
∴ 数列{a n }的通项公式为2
1
114()2
33
n n n a n -=⎧⎪
=⎨⎪⎩≥；
（II ）由（I ）可知242,,,n a a a 是首项为
31
，公比为24()3
项数为n 的等比数列，∴ 2462n a a a a ++++ =2224
1()1343[()1]373
1()3
n n -⋅
=-- 3．（福建卷）
已知{n a }是公比为q 的等比数列，且231,,a a a 成等差数列.
（Ⅰ）求q 的值；
（Ⅱ）设{n b }是以2为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为S n ，当n ≥2时，比
较S n 与b n 的大小，并说明理由.
解：（Ⅰ）由题设,2,21121213q a a q a a a a +=+=即 .012,02
1=--∴≠q q a
.2
11-=∴或q
（Ⅱ）若.2
312)1(2,12n
n n n n S q n +=⋅-+==则
当.02
)
2)(1(,21>+-=
=-≥-n n S b S n n n n 时 故.n n b S >
若.4
9)21(2)1(2,212n
n n n n S q n +-=--+=-=则
当,4
)
10)(1(,21---
==-≥-n n S b S n n n n 时
故对于.,11;,10;,92,n n n n n n b S n b S n b S n N n <≥==>≤≤∈+时当时当时当 4. （福建卷）已知数列{a n }满足a 1=a , a n+1=1+
n
a 1
我们知道当a 取不同的值时，得到不同的数列，如当a =1时，得到无穷数列：.0,1,21
:,21;,35,23,
2,1---=得到有穷数列时当a （Ⅰ）求当a 为何值时a 4=0； （Ⅱ）设数列{b n }满足b 1=－1, b n+1=
)(1
1
+∈-N n b n ，
求证a 取数列{b n }中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{a n }； （Ⅲ）若
)4(22
3
≥<<n a n ，求a 的取值范围. （I ）解法一：,11,11n
n a a a a +
==+
.
0.11
111.1111.1111,.}{.11
,1,1:)(.03
2
.32,11.21,11.1,01
1,0:.03
2.1223111
1211,11111112
1
21231121
114222333
44342312=∴-==+
=+=∴=+=+=∴=+=+=∴==+=∴-=
-==-=-=∴+==∴+
=-=∴=+∴==-=++=+
=++=+=+=+=+=∴+----++n n n n n n n
n n n n n n n a b b a a b b a a b b a a b a b a b a b b b b b b II a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
中的任一个数不妨设取数列解法一时故当解法二时故当
故a 取数列{b n }中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{a n }
5. （湖北卷）设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，}{n b 为等比数列，且
.)(,112211b a a b b a =-=
（Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （Ⅱ）设n
n
n b a c =
，求数列}{n c 的前n 项和T n . 解：（1）：当;2,111===S a n 时
,24)1(22,2221-=--=-=≥-n n n S S a n n n n 时当
故{a n }的通项公式为4,2}{,241==-=d a a n a n n 公差是即的等差数列. 设{b n }的通项公式为.4
1
,4,,11=∴==q d b qd b q 则 故.4
2}{,4
121
1
11---=⨯
-=n n n n n n b b q b b 的通项公式为即
（II ）,4)12(422411
---=-==n n n
n n
n n b a c
]
4)12(4
)32(454341[4],4)12(45431[1
3
2
12121n
n n n n n n n T n c c c T -+-++⨯+⨯+⨯=-++⨯+⨯+=+++=∴--
两式相减得
].
54)56[(9
1
]
54)56[(31
4)12()4444(2131321+-=∴+-=-+++++--=-n n n n n n n T n n T
6. （湖北卷）已知不等式
n n n 其中],[log 2
1
131212>+++ 为大于2的整数，][log 2n 表示不超过n 2log 的最大整数. 设数列}{n a 的各项为正，且满足
,4,3,2,),0(1
1
1=+≤
>=--n a n na a b b a n n n
（Ⅰ）证明 ,5,4,3,]
[log 222=+<
n n b b
a n
（Ⅱ）猜测数列}{n a 是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）； （Ⅲ）试确定一个正整数N ，使得当N n >时，对任意b >0，都有.5
1
<n a 解：（Ⅰ）证法1：∵当,1
11,0,211111n
a na a n a a n na a n n n n n n n n +=+≥∴+≤
<≥-----时
即
,1
111n
a a n n ≥-- 于是有
.111,,3111,211112312n
a a a a a a n n ≥-≥-≥-- 所有不等式两边相加可得
.1
3121111n
a a n +++≥- 由已知不等式知，当n ≥3时有，
].[log 2
1
1121n a a n >- ∵.]
[log 22.2][log 2][log 21
11,2221n b b
a b
n b n b a b a n n +<
+=+>∴
=
证法2：设n
n f 1
3121)(+++=
，首先利用数学归纳法证不等式 .,5,4,3,)(1 =+≤
n b
n f b
a n
（i ）当n=3时， 由 .)3(112233133331
1
2223b f b
a a a a a a +=++⋅≤+=+≤
知不等式成立.
（ii ）假设当n=k （k ≥3）时，不等式成立，即,)(1b
k f b
a k +≤
则1)(1)1(1
1)1(1)1()1(1++⋅++≤+++=+++≤
+b
b k f k k a k k a k a k a k k
k k ,)1(1)1
1)((1)()1()1()1(b
k f b
b k k f b
b
b k f k k b
k ++=
++
+=
+++++=
即当n=k+1时，不等式也成立. 由（i ）、（ii ）知，.,5,4,3,)(1 =+≤
n b
n f b
a n
又由已知不等式得 .,5,4,3,]
[l o g 22][l o g 2
1
122 =+=
+<
n n b b
b n b a n
（Ⅱ）有极限，且.0lim =∞
→n n a
（Ⅲ）∵
,5
1
][log 2,][log 2][log 22222<<+n n n b b 令
则有,10242
,10][log log 10
22=>⇒>≥n n n 故取N=1024，可使当n>N 时，都有.5
1
<
n a 7. （湖南卷）已知数列))}1({log *2N n a n ∈-为等差数列，且.9,331==a a （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）证明
.11
1112312<-++-+-+n
n a a a a a a
（I ）解：设等差数列)}1({log 2-n a 的公差为d .
由,8log 2log )2(log 29,322231+=+==d a a 得即d =1.
所以,)1(1)1(log 2n n a n =⨯-+=-即.12+=n
n a
（II ）证明因为
n
n n n n a a a 21
21111=
-=-++， 所以
n n n a a a a a a 2
1
21212111132112312++++=-++-+-+
.12112
1121212
1<-=-⨯
-=n n 8. （湖南卷）自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考
察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用x n 表示某鱼群在第n 年年初的总量，n ∈N *，且x 1＞0.不考虑其它因素，设在第n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与x n 成正比，死亡量与x n 2成正比，这些比例系数依次为正常数a ，b ，c. （Ⅰ）求x n+1与x n 的关系式；
（Ⅱ）猜测：当且仅当x 1，a ，b ，c 满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不
要求证明）
（Ⅱ）设a ＝2，b ＝1，为保证对任意x 1∈（0,2），都有x n ＞0，n ∈N *，则捕捞强度b 的 最大允许值是多少？证明你的结论.
解（I ）从第n 年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为ax n ，被捕捞量为b x n ，死亡量为
.(**)
*),1(.(*)
*,,1212N n cx b a x x N n cx bx ax x x cx n n n n n n n n n ∈-+-=∈--=-++即因此
（II ）若每年年初鱼群总量保持不变，则x n 恒等于x 1， n ∈N*，从而由（*）式得 ..0*,,0)(11c
b
a x cx
b a N n cx b a x n n -==--∈--即所以恒等于 因为x 1>0，所以a >b. 猜测：当且仅当a >b ，且c
b
a x -=
1时，每年年初鱼群的总量保持不变. （Ⅲ）若b 的值使得x n >0，n ∈N* 由x n +1=x n (3－b －x n ), n ∈N*, 知
0<x n <3－b, n ∈N*, 特别地，有0<x 1<3－b. 即0<b<3－x 1. 而x 1∈(0, 2)，所以]1,0(∈b
由此猜测b 的最大允许值是1.
下证 当x 1∈(0, 2) ，b=1时，都有x n ∈(0, 2), n ∈N* ①当n=1时，结论显然成立.
②假设当n=k 时结论成立，即x k ∈(0, 2), 则当n=k+1时，x k+1=x k (2－x k )>0.
又因为x k+1=x k (2－x k )=－(x k －1)2+1≤1<2, 所以x k+1∈(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立.
由①、②可知，对于任意的n ∈N*，都有x n ∈(0,2).
综上所述，为保证对任意x 1∈(0, 2), 都有x n >0， n ∈N*，则捕捞强度b 的最大允
许值是1.
9. （江苏卷）设数列｛a n ｝的前项和为n S ,已知a 1=1, a 2=6, a 3=11,且
1(58)(52)n n n S n S An B +--+=+, ,,3,2,1 =n 其中A,B 为常数.
(Ⅰ)求A 与B 的值;
(Ⅱ)证明数列｛a n ｝为等差数列;
(Ⅲ)1m n >对任何正整数、都成立. 解：(Ⅰ)由11a =，26a =，311a =，得11S =，22S =，318S =． 把1,2n =分别代入1(58)(52)n n n S n S +--+An B =+，得28,
248A B A B +=-⎧⎨+=-⎩
解得，20A =-，8B =-．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，115()82208n n n n n S S S S n ++---=--，即
11582208n n n na S S n ++--=--，
① 又2215(1)8220(1)8n n n n a S S n ++++--=-+-． ② ②-①得，21215(1)58220n n n n n a na a a +++++---=-， 即21(53)(52)20n n n a n a ++--+=-． ③ 又32(52)(57)20n n n a n a +++-+=-． ④ ④-③得，321(52)(2)0n n n n a a a ++++-+=， ∴32120n n n a a a +++-+=，
∴3221325n n n n a a a a a a ++++-=-==-= ，又215a a -=，
因此，数列{}n a 是首项为1，公差为5的等差数列． (Ⅲ)由(Ⅱ)知，54,()n a n n *=-∈N ．考虑
55(54)2520mn a mn mn =-=-．
21)11m n m n m n a a a a a a =++++…2515()9mn m n =-++．
∴251)15()291522910mn a m n -+-⨯-=>厖．
即251)mn a >1>．
1->． 10. （辽宁卷）已知函数).1(1
3
)(-≠++=
x x x x f 设数列n a {}满足)(,111n n a f a a ==+，数列n b {}满足).(|,3|*
21N n b b b S a b n n n n ∈+++=-=
（Ⅰ）用数学归纳法证明1
2)13(--≤n n
n b ；
（Ⅱ）证明.3
3
2<
n S 解：（Ⅰ）证明：当.11
2
1)(,0≥++
=≥x x f x 时 因为a 1=1， 所以*).(1N n a n ∈≥ ………………2分
下面用数学归纳法证明不等式.2
)13(1
--≤n n
n b （1）当n=1时，b 1=13-，不等式成立，
（2）假设当n=k 时，不等式成立，即.2
)13(1
--≤k k
k b 那么 k
k k k a a a b +--=
-=+-1|
3|)13(|3|11 ………………6分
.2
)13(2131
k
k k b +-≤-≤ 所以，当n=k+1时，不等也成立。

根据（1）和（2），可知不等式对任意n ∈N*都成立。

…………8分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知， .2)13(1
--≤n n n b
所以 1
2212
)13(2)13()13(--++-+-≤+++=n n
n n b b b S 2131)
213(
1)13(----⋅-=n
…………10分 .3322
1311)13(=--
⋅-<
故对任意.33
2
,<
∈*n S N n ………………（12分） 11. (全国卷Ⅰ) 设正项等比数列{}n a 的首项2
1
1=a ，前n 项和为n S ，且
0)12(21020103010=++-S S S 。

（Ⅰ）求{}n a 的通项； （Ⅱ）求{}n nS 的前n 项和n T 。

解：（Ⅰ）由 0)12(21020103010=++-S S S 得 ,)(21020203010
S S S S -=-
即,)(220121*********
a a a a a a +++=+++ 可得.)(220121*********
10a a a a a a q +++=+++⋅
因为0>n a ，所以 ,1210
10
=q
解得21=
q ，因而 .,2,1,2
1
11 ===-n q a a n n n （Ⅱ）因为}{n a 是首项211=a 、公比2
1
=q 的等比数列，故
.2,2112
11)
211(21n n n n n n n nS S -=-=--= 则数列}{n nS 的前n 项和 ),2
2221()21(2n
n n
n T +++-+++= ).2
212221()21(212132++-+++-+++=n n n n n n T 前两式相减，得 122)212121()21(212+++++-+++=n n n n
n T
122
11)
211(214)1(++---+=n n n n n 即 .22212)1(1-+++=-n n n
n n n T 12. (全国卷Ⅰ)
设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和),2,1( 0 =>n S n 。

（Ⅰ）求q 的取值范围；
（Ⅱ）设122
3
++-
=n n n a a b ，记{}n b 的前n 项和为n T ，试比较n S 与n T 的大小。

解：（Ⅰ）因为}{n a 是等比数列，.0,0,011≠>=>q S a S n 可得
当;0,11>==na S q n 时
1(1)11,0,0,(1,2,)11n n
n a q q q S n q q
--≠=>>=-- 当时即
上式等价于不等式组：),2,1(,01,
01 =⎩
⎨⎧<-<-n q q n
① 或),2,1(,01,
01 =⎩
⎨⎧>->-n q q n
② 解①式得q>1；解②，由于n 可为奇数、可为偶数，得－1<q<1. 综上，q 的取值范围是).,0()0,1(+∞⋃-
（Ⅱ）由2132n a n b a a ++=-
得.)23
(),23(22n n n n S q q T q q a b -=-= 于是)123(2--=-q q S S T n n n ).2)(2
1
(-+=q q S n
又∵n S >0且－1<q <0或q >0
当1
12
q -<<-或2q >时0n n T S ->即n n T S >
当1
22
q -<<且q ≠0时，0n n T S -<即n n T S <
当1
2
q =-或q =2时，0n n T S -=即n n T S =
13. (全国卷II ) 已知{}n a 是各项为不同的正数的等差数列，1lg a 、2lg a 、4lg a 成等差数列．又
21
n
n b a =
，1,2,3,n = ． (Ⅰ) 证明{}n b 为等比数列； (Ⅱ) 如果数列{}n b 前3项的和等于
7
24
，求数列{}n a 的首项1a 和公差d ．
(I)证明：∵1lg a 、2lg a 、4lg a 成等差数列
∴22lg a =1lg a +4lg a ，即2214a a a =
又设等差数列{}n a 的公差为d ，则(1a －d )2
=1a (1a －3d )
这样21d a d =，从而d (d －1a )=0
∵d ≠0 ∴d =1a ≠0
∴122111(21)22
n n n
n
n n a a d db a d =+-===∙ ∴{}n b 是首项为1b =
12d ，公比为1
2的等比数列。

(II)解。

∵1231117
(1)22424
b b b d ++=++=
∴d =3 ∴1a =d =3
14.(全国卷II )
已知{}n a 是各项为不同的正数的等差数列，1lg a 、2lg a 、4lg a 成等差数列．又21
n
n b a =
，1,2,3,n = ．
(Ⅰ) 证明{}n b 为等比数列；
(Ⅱ) 如果无穷等比数列{}n b 各项的和1
3
S =
，求数列{}n a 的首项1a 和公差d ． (注：无穷数列各项的和即当n →∞时数列前n 项和的极限)
解：（Ⅰ）设数列{a n }的公差为d ，依题意，由 2142lg lg lg a a a =+ 得2214a a a = 即)3()(112
1d a a d a +=+，得 10a d d ==或 因
1
221
+=+n n a a b b n n ∴ 当d =0时，{a n }为正的常数列 就有
11
221
==++n n a a b b n n 当d =1a 时，11
12112)12(,)12(1a a a a a a n n
n n -+=-+=++,就有1221+=+n n a a b b n n 2
1
=
于是数列{n b }是公比为1或
2
1
的等比数列 （Ⅱ）如果无穷等比数列{}n b 的公比q =1，则当n →∞时其前n 项和的极限不存在。

A
B
C
D
E
F
P
因而d =1a ≠0，这时公比q =21，112b d = 这样{}n b 的前n 项和为11[1()]
22112
n n d
S -=- 则S=11[1()]
122lim lim 112
n n n n d
S d →+∞→+∞-==-
由1
3
S =，得公差d =3，首项1a =d =3
15. (全国卷III)
在等差数列}{n a 中，公差412,0a a a d 与是≠的等差中项.
已知数列 ,,,,,,2131n k k k a a a a a 成等比数列，求数列}{n k 的通项.n k 解：由题意得：412
2a a a =……………1分
即)3()(112
1d a a d a +=+…………3分 又0,d ≠d a =∴1…………4分 又 ,,,,,,2131n k k k a a a a a 成等比数列, ∴该数列的公比为3313===
d
d a a q ，………6分 所以1
13
+⋅=n k a a n ………8分
又11)1(a k d k a a n n k n =-+=……………………………………10分
13+=∴n n k 所以数列}{n k 的通项为13+=n n k ……………………………12分
16. （山东卷）
已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且*
15()n n S S n n N +=++∈
（I ）证明数列{}1n a +是等比数列；
（II ）令212()n
n f x a x a x a x =+++ ，求函数()f x 在点1x =处的导数(1)f '并比较
2(1)f '与22313n n -的大小.
解：由已知*
15()n n S S n n N +=++∈可得12,24n n n S S n -≥=++两式相减得
()1121n n n n S S S S +--=-+即121n n a a +=+从而()1121n n a a ++=+当
1n =时
21215S S =++所以21126a a a +=+又15a =所以211a =从而()21121a a +=+
故总有112(1)n n a a ++=+，*n N ∈又115,10a a =+≠从而11
21
n n a a ++=+即数列{}1n a +是等
比数列；
（II ）由（I ）知321n n a =⨯-
因为212()n n f x a x a x a x =+++ 所以112()2n n f x a a x na x -'=+++ 从而12(1)2n f a a na '=+++ =()()
23212321(321)n n ⨯-+⨯-++⨯- =()
232222n n +⨯++⨯ -()12n +++ =()1(1)
31262
n n n n ++-⋅-
+ 由上()
()22(1)23131212n f n n n '--=-⋅-()
21221n n --=
()()1212121(21)n n n n -⋅--+=12(1)2(21)n
n n ⎡⎤--+⎣⎦①
当1n =时，①式=0所以2
2(1)2313f n n '=-； 当2n =时，①式=-120<所以2
2(1)2313f n n '<-
当3n ≥时，10n ->又()011211n
n n n
n n n n C C C C -=+=++++ ≥2221n n +>+ 所以()()12210n n n ⎡⎤--+>⎣⎦即①0>从而2(1)f '>2
2313n n -
17．(上海)本题共有2个小题,第1小题满分6分, 第2小题满分8分.
假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?
(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%? [解](1)设中低价房面积形成数列{a n },由题意可知{a n }是等差数列, 其中a 1=250,d=50,则S n =250n+
502
)
1(⨯-n n =25n 2+225n, 令25n 2+225n ≥4750,即n 2+9n-190≥0,而n 是正整数, ∴n ≥10.
到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米. (2)设新建住房面积形成数列{b n },由题意可知{b n }是等比数列, 其中b 1=400,q=1.08,则b n =400·(1.08)n-1·0.85. 由题意可知a n >0.85 b n ,有250+(n-1)·50>400·(1.08)n-1·0.85. 由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6.
到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%. 18. （天津卷）
已知)0,0,( 1221>>∈+++++=*---b a N n b ab b a b a a u n n n n n n . （Ⅰ）当b a =时，求数列{}n u 的前n 项和n S ； （Ⅱ）求1
lim
-∞→n n
n u u .
（18）解：（Ⅰ）当b a =时，n n a n u )1(+=．这时数列}{n u 的前n 项和
n n n a n na a a a S )1(432132++++++=- ． ①
①式两边同乘以a ，得 1432)1(432+++++++=n n n a n na a a a aS ② ①式减去②式，得 132)1(2)1(++-++++=-n n n a n a a a a S a 若1≠a ，
a a n a
a a S a n n n ++---=-+1)1(1)
1()1(，
221212
)1(2)2()1(1)1()1()1(a a a a n a n a a n a a a a S n n n n n -+-+-+=-+-+--=+++ 若1=a ，2
)
3()1(32+=
+++++=n n n n S n （Ⅱ）由（Ⅰ），当b a =时，n
n a n u )1(+=，则a n n a na a n u u n n n
n n n n =+=+=∞→-∞→-∞→)1(lim )1(lim lim 11
． 当b a ≠时，112[1()()n n n n n n n b b b
u a a b ab b a a a a
--=++++=+
+++ 1
111()1()1n n n n b
a a a
b b a b a
+++-==---
此时，n
n n n n n b a b a u u --=++-1
11． 若0>>b a ，a a
b
a b b a b a b
a u u n
n
n n
n
n n n n n n =--=--=∞→++∞→-∞→)(1)(lim
lim lim
1
11
． 若0>>a b ，b b
a
b b a
a u u n n n n n
n =--==∞→-∞→1)()(lim lim
1
．
19. （天津卷）若公比为c 的等比数列｛n a ｝的首项1a ＝1且满足：12
2
n n n a a a --+=（n ＝3，4，…）。

（I ）求c 的值。

（II ）求数列｛n na ｝的前n 项和n S 。

解：(1)由题设,当n≥3时,a n =c 2
a n-2,
a n-1=ca n-2,a n ==a n -2,
∴c 2
=
.
解得c=1或c=-.
(2)当c=1时{a n }是一个常数数列,a n =1.
此时S n =1+2+3+…+n=.
当c=-时,a n =(-)n-1(n∈N *
).
此时S n =1+2(-)+3(-)2
+…+n(-
)n-1
. ①
-S n =-+2(-)2
+3(-
)3
+…+(n -1)(-
)n-1
+n(-
)n
. ②
①-②得(1+)S n =1+(-)+(-)2
+…+(-
)n-1
-n(-
)n
=-n(-)n
.
∴S n =
［4-(-1)
n
］.
20. （浙江卷）已知实数a ，b ，c 成等差数列，a ＋1，b ＋1，c ＋4成等比数列，求
a ，
b ，
c ．
解：由题意，得215 (1)2(2)(1)(4)(1)(3)a b c a c b a c b ⎧++=⎪
+=⎨⎪++=+⎩
………………
由(1)(2)两式，解得5b =
将10c a =-代入(3),整理得213220a a -+= 解得 2a =或11a =
故2a =,5,8b c ==或11,5,1a b c ===- 经验算，上述两组数符合题意。

21（浙江卷）设点n A (n x ，0)，1(,2)n n n P x -和抛物线n C ：y ＝x 2
＋a n x ＋b n (n ∈N *)，其中a n ＝－2－4n －
1
12
n -，n x 由以下方法得到：
x 1＝1，点P 2(x 2，2)在抛物线C 1：y ＝x 2
＋a 1x ＋b 1上，点A 1(x 1，0)到P 2的距离是A 1到C 1上点的最短距离，…，点11(,2)n n n P x ++在抛物线n C ：y ＝x 2
＋a n x ＋b n 上，点n A (n x ，0)到1n P +的距离是n A 到n C 上点的最短距离． (Ⅰ)求x 2及C 1的方程． (Ⅱ)证明{n x }是等差数列．
解：（I ）由题意，得2111(1,0),:7A C y x x b =-+。

设点(,)P x y 是1C
上任意一点，则1||A P =
=令 2221()(1)(7),f x x x x b =-+-+则'21()2(1)2(7)(27).f x x x x b x =-+-+- 由题意，得'2()0,f x =即2222122(1)2(7)(27)0.x x x b x -+-+-= 又22(,2)P x 在1C 上，
222127,x x b ∴=-+
解得213,14.x b ==
故1C 方程为2
714.y x x =-+
(II)设点(,)P x y 是n C
上任意一点，则||n A P =
令
222
()()()n n n g x x x x a x b =-+++，
则
'2()2()2()(2)n n n n g x x x x a x b x a =-++++.
由题意得g 1'()0n x +=，即2
11112()2()(2)0n n n n n n n n x x x a x b x a ++++-++++=
又2112,n n n n n x a x b ++=++
11()2(2)0(1).n n n n n x x x a n ++∴-++=≥即11(12)20n n n n n x x a +++-+= （*）
下面用数学归纳法证明21n x n =- ①当n=1时，11,x = 等式成立。

②假设当n=k 时，等式成立，即21,k x k =-
则当1n k =+时，由（*）知 110(12)2k k k k k x x a ++=+-+ 又11
242
,k k a k -=---
11
22 1.12k k k
k k x a x k ++-∴==++
即当1n k =+时，等式成立。

由①②知，等式对n N ∈成立。

{}n x ∴是等差数列。

22. (重庆卷)数列{a n }满足a 1=1且8a n +1-16a n +1+2a n +5=0 (n ≥1)。

记2
1
1-
=
n n a b (n ≥1)。

(1) 求b 1、b 2、b 3、b 4的值；
(2) 求数列{b n }的通项公式及数列{a n b n }的前n 项和S n 。

解法一：
（I ）111
1,2;112a b ==
=-故22718
,718382
a b ===-故 3344311320,4;,.31420342a b a b =====-故故
（II ）因21344284
()()()33333
b b --=⨯=，
222213244444()(),()()()33333
b b b b -=--=-
故猜想42
{},2.33
n b q -=是首项为公比的等比数列
因2≠n a ，（否则将2=n a 代入递推公式会导致矛盾）。

152(1).168n n
a
a n a ++=
≥-故
∵11
1682016414413363363
2
n n
n n n n a a b a a a ++---
=-=-=
--- 112016428442(),03363332
n n n n n a b b b a a +--=-==--≠--
故2|3
4
|=-q b n 确是公比为的等比数列.
n n b b 23
1
34,32341⋅=-=-
故因, )1(34231≥+⋅=n b n n ,12
1
2
1
1+=
-
=
n n n n n b b a a b 得由 n
n n b a b a b a S +++= 2211故121
()2
n b b b n =++++ 1
(12)
51
3(251)1233
n n n n -=+=+--
解法二： （Ⅰ）由11111
,816250,1
2
2
n
n n n n n n n b a a a a a b a ++==
+-++=-
得代入递推关系 整理得
1114634
0,2,3
n n n n n n b b b b b b +++-+==-即 .3
20,4,38,2,143211=====b b b b a 所以有由
（Ⅱ）由11144442
2,2(),0,33333
n n n n b b b b b ++=--=--=≠
所以42
{},233n b q -=是首项为公比的等比数列
故4114
2,2(1).3333
n n n n b b n -=⋅=⋅+≥即
由1
2
n n b a =-得112n n n a b b =+
故1122n n n S a b a b a b =+++ 121
(12)
15
3()2123
n n b b b n n -=++++=+-
1
(251)3
n n =+- 解法三：
（Ⅰ）同解法一 （Ⅱ）2213243248284,,,()333333
b b b b b b -=
-=-=⨯= 11121
{},2,233
522,(1).168n
n n n n n
n n n
b b q b b a a a n a +++-=-=⋅+≠=≥-猜想是首项为公比的等比数列又因故因此
111112
1152121221682
n n n n n n n b b a a a a a ++-=-=-
+----
- 1681086
;636363
n n n n n a a a a a --=
-=---
12112116816811116363
2
2
n n
n n n n n n a a b b a a a a ++++++---=
-
=
----
-
1362416820162().636363
n n n
n n n n n a a a b b a a a +---=
-==----
211121
0,{}2,2,33
n n n n n b b b b q b b ++-=
≠-=-=⋅因是公比的等比数列 从而112211)()()(b b b b b b b b n n n n n +-++-+-=---
1211
(222)23114
(22)22(1).333
11
1,
122
n n n n n n n n n n b a b b a --=++++=-+=⋅+≥==+- 由得 故1122n n n S a b a b a b =+++ n b b b n ++++=
)(2
1
21 1
(12)
51
3(251).1233
n n n n -=+=+--
23. (重庆卷)数列{a n }满足)1(2
1
)11(1211≥+++
==+n a n n a a n
n n 且. （Ⅰ）用数学归纳法证明：)2(2≥≥n a n ；
（Ⅱ）已知不等式)1(:,0)1ln(2≥<><+n e a x x x n 证明成立对，其中无理数
e=2.71828….
（Ⅰ）证明：（1）当n=2时，222≥=a ，不等式成立. （2）假设当)2(≥=k k n 时不等式成立，即),2(2≥≥k a k
那么22
1
))1(11(1≥+++
=+k k k a k k a . 这就是说，当1+=k n 时不等式成立.
根据（1）、（2）可知：22≥≥n a k 对所有成立. （Ⅱ）证法一：
由递推公式及（Ⅰ）的结论有 )1.()2
1
11(21)11(221≥+++≤+++=+n a n n a n n a n n
n n n 两边取对数并利用已知不等式得 n n n a n n a ln )2
1
11ln(ln 21
++++≤+
.2
1
1ln 2n
n n n a +++
≤ 故n n n n n a a 21)1(1ln ln 1++≤-+ ).1(≥n 上式从1到1-n 求和可得
1212
1
2121)1(1321211ln ln -++++-++⨯+⨯≤
-n n n n a a .2211112
1121
121111)3121(211<-+-=--
⋅+--++-+-=n n n n n 即).1(,2ln 2≥<<n e a a n n 故
（Ⅱ）证法二：
由数学归纳法易证2)1(2≥->n n n n
对成立，故
).2()1(1
)1(11(21)11(21≥-+-+<+++
=+n n n a n n a n n a n
n
n n
令).2())
1(1
1(),2(1
1≥-+
≤≥+=+n b n n b n a b n
n n n 则
取对数并利用已知不等式得 n n b n n b ln ))
1(1
1ln(ln 1+-+
≤+
).2()
1(1ln ≥-+
≤n n n b n
上式从2到n 求和得 )
1(1
321211ln ln 21-+
+⨯+⨯≤
-+n n b b n .11
113121211<--++-+-
=n
n 因).2(3,3ln 1ln .313ln 11122≥=<+<=+=+++n e
e b b a b n n 故
故1,,,2,132
222121≥<<<≥<-<+n e a e a e a n e e a n n 对一切故又显然成立
24. （江西卷）已知数列{a n }的前
n 项和S n 满足S n －S n
－
2=3,2
3
,1),3()
2
1
(211
-==≥--S S n n 且求数列{a n }的通项公式. 解：方法一：先考虑偶数项有：212122211
3()3()22
n n n n S S ----=⋅-=-⋅
2323222411
3()3()22
n n n n S S -----=⋅-=-⋅
………
3342112()3().22
S S -=⋅-=-⋅
212332123322211111111
3[()()()]3[()()()]
2222222111()
1111
22434[()]2()(1).
1224214
n n n n n n n n S S n -----∴=-+++=-++++-=-⋅=--⋅=-+≥-
同理考虑奇数项有：222121113()3().22n n n n S S ---=-=⋅
22222123
11
3()3()22
n n n n S S -----=⋅-=⋅
………
.)2
1
(3)21(32213⋅=-⋅=-S S
22222211221221212221212221111111
3[()()()]2()(1).
2222
111
2()(2())43()(1).222111
2()(2())43()(1).
222
1.
n n n n n n n n n n n n n n n n S S n a S S n a S S n a S -+-++---∴=++++=-≥∴=-=---+=-⋅≥=-=-+--=-+⋅≥==
综合可得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⋅+-⋅-=--.
,)21(34,,)2
1(3411为偶数为奇数n n a n n n
方法二：因为),3()2
1
(31112≥-⋅=++=-----n a a a a S S n n n n n n n 所以
两边同乘以n
)1(-，可得：
.)2
1
(3)21()1(3)1()1(1111----⋅-=-⋅-⋅=---n n n n n n n a a
令).3()2
1(3,)1(11≥-⋅-=-∴-=--n b b a b n n n n n n 所以,)2
1(311---⋅-=-n n n b b
,)2
1
(3221----⋅-=-n n n b b
………
2321
3(),2
b b -=-⋅-
2122
22111()
1114423[()()()]3122212
n n n n b b b ----⋅∴=-+++=-⨯- ).3()2
1
(32312≥⋅+-=-n b n
又1122135
1,1,22
a S a S S ===-=--=-
1211225
(1)1,(1)2
b a b a ∴=-=-=-=-
∴115311
3()43()(1)2222
n n n b n --=--+⋅=-+⋅≥
∴11
(1)4(1)3(1)()2
n n n n n n a b -=-=--+⋅-⋅
31143(),,2143(),.2
n n n n --⎧-⋅⎪⎪=⎨⎪-+⋅⎪⎩为奇数为偶数 25. （江西卷）
已知数列:,}{且满足的各项都是正数n a 011
1,,(4),.2
n n n a a a a n N +==-∈ （1）证明12,;n n a a n N +<<∈ （2）求数列}{n a 的通项公式a n . 解：（1）方法一 用数学归纳法证明：
1°当n=1时，,2
3)4(21,10010=-=
=a a a a ∴210<<a a ，命题正确. 2°假设n =k 时有.21<<-k k a a 则11111
1,(4)(4)22
k k k k k k n k a a a a a a +--=+-=
---时 111111
2()()()
21
()(4).2
k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a -----=---+=---
而1110.
40,0.k k k k k k a a a a a a ----<-->∴-< 又2111
(4)[4(2)] 2.22
k k k k a a a a +=-=--<
∴1+=k n 时命题正确.
由1°、2°知，对一切n ∈N 时有.21<<+n n a a
方法二：用数学归纳法证明：
1°当n=1时，,23
)4(21,10010=-=
=a a a a ∴2010<<<a a ； 2°假设n =k 时有21
<<-k k a a 成立，
令)4(2
1
)(x x x f -=
，)(x f 在[0，2]上单调递增，所以由假设 有：),2()()(1f a f a f k k <<-即),24(22
1
)4(21)4(2111-⨯⨯<-<---k k k k a a a a
也即当n=k+1时 21<<+k k a a 成立，所以对一切2,1<<∈+k k a a N n 有
（2）下面来求数列的通项：],4)2([2
1
)4(2121+--=-=+n n n n a a a a 所以
21)2()2(2--=-+n n a a
n
n n n n n n n n b b b b b a b 2
22121
2222211
2
)2
1()21(21)21(2121,2-+++----==⋅-=--=-=-= 则令,
又b n =－1，所以121
2
)2
1(22,)2
1(---=+=-=n
n
n n n b a b 即。