几类二阶隐式常微分方程的解法

= （ 1 , 1, 2） 或 = （ 2 , 1, 2） 或 （ 3 , , 1, 2）= 0。 ∵ = = ， 于是原方程 （b） 的通解为： = （ （ , 1, 2） ） 1 或 2014 年 2 月 （上） 科 教 导 刊 189
科技创新
或 （ 为参数；1, 2为任意常 方程化为： = 1 方程两边对 求导， 得： = 数） , 1） （ii） 若 （4） 的通解为 = （ 4 ， 则方程 （3） 的通解为：
LI Ziping
(Lincang Teachers' College, Lincang, Yunnan 677000)
Abs tra ct Ke y words The paper discusses the Solution for some class of two order implicit ordinary differential equations that ca nnot be obtained from the （ , , , ） = 0. ordinary differential equation; two order differential equation; first order implicit equa tion; the general solution ∴ = = （ ,） （ ,） +
2014 年 2 月 （上）
1
1

若方程 （c） 可写成参数形式：
则由 得： = =
= =
， = （） （） （） （） +
1
积分得： = 又 则 ，
= 1（ , 1） （ 为参数；1, 参考文献
[1 ] [2] [3 ] [ M]. 高教出版社,1983. 王高雄, 周之铭.常微分方程 （第二版） 王涛.关于两类二阶隐式常微分方程的解法[ J] .大学数学,2003.19(4) :64-65. 胡爱莲, 官春梅.几 类 阶常微分方程的解法[J ]. 喀什师范学院学报,2004.25 (6):17-18.
（ ,（ , 1） ） + （ 1 2 1 , 2为任意常数）
即为原方程 （a） 的通解。 （ii） 、 若 （2） 的通解为 = （ , 1） ， 2 代入方程 （1） 得 （1） 的参数形式通解为： ， 其中 为参数 则 = = =（（ , 1） ,） = （（ , 1） , ）（ , 1） 2 2 2 （（ , 2 ） , ）（ , 1） + 2 = （ , 1, 2） （ 1, 2为任意 则积分得：
于是方程 （b） 化为：
为以 为自变量，为未知函数的一阶微分方程， 解得 （2） = （ , 1） 或 = （ , 1） 或 （ , , 1） = 0。 1 2 = （ 1 , 1） ， 下面对这三种情况， 求出原方程的通解。 （i） 、 若 （2） 的通解为 代入 （1） 得： = 积分得： = =（, （ , 1） ） 1
2
为任意常数）
= 1（ , 1） （）
1
积分得， =
（ , 1） （） +
2
= （ , 1 , 2） 2
因此， 原方程 （c） 的通解为： （ 为参数；1, 2为任意常数）
4 形如 （ , ） =0 （d） 的隐式常微分方程 若方程 （d） 可写成参数形式 = 得： = （） + （） ， = （）（ , 1） 1 （）（ , 1） + 1
为以 为自变量， 为未知函数的一阶微分方程， 其通解为 = （ , 1） 或 = （ , 1） 或 （ , , 1） = 0。 3 4 下面分别在三种情形下， 求原方程 （b） 的通解。 （i） 、 若 （4） 的通解为 = （, （ 3 , 1） ） 即 =（ ,（ , 1） ≡ （ , 1） ） 3 （a） 若能从 （5） 中解出 ， = （ 1 , 1） 则 = （ , 1） + 2， 1 = = 即为原方程 （b） 的通解。 （5） = （ , 1） ， 3 则方程 （3） 的通解为：
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几类二阶隐式常微分方程的解法
李子萍
（临沧师范高等专科学校
摘 要 关键词 常微分方程 二阶微分方程 一阶隐式方程 文献标识码： A 通解
云南
临沧
677000）
本文讨论了 不能从 （ , , , ） = 0 中解出的几类二阶隐式常微分方程的解法。
中图分类号： O175.1
Sever al Solutions of Second-order Ordinary Differ ential Equations
2
）1+ （ 1 1
）2］
2
∴ = ［（ ）+ （ 1 1 1 1 1 ]+ 1 = 1[ （1+ ） （1 ） 1 1 1 1 = + 2 1 1+ 2 1 1 1 + 1 1 + 1 1 2 4 （1 ） 4 3 3 = ∣1+ ∣+ 1 4 4 1 由此， 原方程的通解为
）2］
[
1 ] 2 2 （1+ ） （ 1 ） 1 1 + 2 4 1 （1+ ） 1 1 1 1 1 ∣1 ∣ + 4 1 1+ 4
1 2
由此得 （*） 的参数形式通解：
积分得： =
因此， 原方程 （b） 的参数形式通解为： （ 为参数；1, 2为任意常数） ∵
=
2
=
2
= （ 1 1
2 1
2
2 ）［ （ 1 1
1
2
） 2］
1
= ［（ 1 1 （iii） 、 若 （4） 的通解为， （ , , 1）= 0 则方程 （3） 的通解为： （ 为参数；1为任意常数） 即为原方程 （b） 的参数形式通解。 3 形如 （ , ） =0 （c） 的隐式常微分方程 （ 为参数） +
（ 为参数；1, 2为任意常数）
即为原方程 （a） 的参数形式通解。 2 形如 = （ , 令 = ， 则 （1） = （, ） 两边对 求导得： 1 = （ , ）+ （ , ） 或[ （ , ） 1] + （ , ） =0 = ） （b） 的隐式常微分方程 = ， （3） （4）
= ， 则
从而， 方程 （） 可化为 =（, ） 两边 对求导， 得： = （, ） + 或[ （ , ） 的通解为 ] （, ） + （, ） =0 （2）
2 即[1 （ ） ]
（*） +
=
为以 为自变量， 为未知函数的一阶微分方程， 为便于运算， 设 = ， = 则有 （1 2） = 1 =1 2 两边积分得： = （ 1 1
2
即 = = （ 4 , 1） = （ 4 , 1）（ , 1） （ , 1）（ , 1） + 4
2
）2
1
∵ ∴
2 即： = ［ 1 1 （ ） ］
2 1
（ 为参数）
则由
= （） （） = （ , 1） 1
积分得： = 又∵ 则 = =
积分得： =
= （ , 1, 2） 2
则原方程 （d） 的通解为 （ 为参数；1 , 2为任意常数） =0
例： 求解微分方程 解： 原方程即为， = 用文中类型 （b） 的方法 令 = ， 则 190 = =
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对于高阶常微分方程，一般没有固定的实际解法。在二 阶常微分方程 （ , , , ） 中， 若能解出 ， 则可用降阶法求原 方程得的通解 （见文 [1]） ， 但有些方程却不能解出 。本文就 四类解不出 1 形如 令 的二阶隐式常微分方程进行求解。 =（, ） （a） 的隐式常微分方程 = = ，
积分得： = 因此，
1 2
（b） 若从 （5） 中不能解出 ， 则令 则 = （ , 1） 两边对 求导， 得： 1 = （ , 1） 或 （ , 1） 其通解为 = （ , 1） =0
，
常数）即为原方程 （a） 的参数形式通解。 （iii） 、 若 （2） 的通解为 （ , , 1） = 0， 则 （1） 的通解为 ，