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函数奇偶性的正判与错判
一、函数的奇偶性的判定
函数奇偶性的判定方法较多，下面举例介绍常见的判定方法．
1．定义域判定法
例1．判定()(1)2f x x x =--的奇偶性．
解：要使函数有意义，须20x -≥，解得2x ≥，
定义域不关于原点对称，∴原函数是非奇非偶函数．
评注：用定义域虽不能判定一个函数是奇函数还是偶函数，但可以通过定义域不关于原点对称，来否定一个函数具有奇偶性． 2．定义判定法
例2．判断()f x x a x a =++-的奇偶性．
解：函数()f x x a x a =++-的定义域为R ， 且 ()()()()f x x a x a x a x a x a x a f x -=-++--=--+-+=-++=， ∴函数()f x 是偶函数．
评注：在定义域关于原点对称的前提下，可根据定义判定函数奇偶性．
3．等价形式判定法
例3．判定
()f x =
的奇偶性． 解：()f x 的定义域为R ，关于原点对称，当0x =时，()0f x =，∴图象过原点．
又
0x ≠时，22
22()(1)(1)1()(1)(1)f x x x f x x x -+-+==-+--，()()f x f x ∴-=-． 又(0)0f =，()f x ∴为奇函数．
评注：常用等价变形形式有：若()()0f x f x +-=或()1()
f x f x -=-，则()f x 为奇函数；若()()0f x f x --=或
()1()
f x f x -=，则()f x 为偶函数（其中()0f x ≠）． 4．性质判定法 例4．若0a >，[]()()f x x a a ∈-，是奇函数，()()
g x x ∈R 是偶函数，试判定()()()x f x g x ϕ=的奇偶性．
解：在()()f x g x ，的公共定义域[]a a -，内，任取一个x ，则()()()x f x g x ϕ-=--，
()()f x g x ，分别是奇函数和偶函数，()()f x f x ∴-=-，()()g x g x -=．
()()()()()()x f x g x f x g x x ϕϕ∴-=--=-=-．()x ϕ∴在[]a a -，上为奇函数． 评注：在两个函数（常函数除外）的公共定义域关于原点对称的前提下：①两个偶函数的和、差、积都是偶函数；②两个奇函数的和、差是奇函数，积是偶函数；③一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数．
二、判断函数奇偶性易错点
初学函数奇偶性的同学，在利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性时，常会由于基础知识掌握不牢，产生以下几种错误．
1.错用定义
例5．判断函数230()0
x x f x x x ⎧<⎪=⎨⎪⎩，，≥的奇偶性． 错解：当0x <时，2()()()f x x f x -=-=；当0x ≥时，3
()()()f x x f x -=-=-， ∴当0x <时，函数()f x 是偶函数．当0x ≥时，函数()f x 是奇函数．
剖析：函数的奇偶性在关于原点对称的定义域内是一致的，不能把定义域分割开来，“当0x <时，函数是偶函数；当0x ≥时，函数是奇函数”这种说法本身就是错误的．
正解：当0x <时，0x ->，32()()()f x x x f x -=-≠=；
当0x ≥时，0x -≤，23()()()f x x x f x -=-≠-=-．
故函数()f x 既不是奇函数也不是偶函数．
2.对函数本质认识不透
例6
．判断函数()0)f x a =
>的奇偶性．
错解：()f x -==
()()f x f x ∴-=，且()()f x f x -≠-．
故此函数是偶函数，但不是奇函数．
剖析：表面上看，以上结论似乎无懈可击，便考虑到函数的定义域是{}a a -，，值域是{}0，故函数的解析式可简化为()0f x =，{}x a a ∈-，．
正解：()0f x =，{}x a a ∈-，，()()f x f x ∴-=，且()()f x f x -=-．
故此函数既是奇函数又是偶函数．
3．忽视定义域导致错误
例7．判断()()
22++=x x x f 的奇偶性.
错解:∵()()()()()x f x x x x x f =++=+-+-=-
2222,∴()x f 是偶函数. 例8. 判断()()
x x x x f +-+=111的奇偶性. 错解
:∵()()()()()()()()()()()x f x x x x x x x x x
x x x f =+--+=-++-=-+-=-1111111111122 ∴()x f 是偶函数.
剖析：奇偶函数定义中隐含着一个重要条件：有奇偶性的函数()x f 的定义域D 必是一个关于原点对称的区间，也即如果一个函数的定义域关于原点不对称，则这个函数无奇偶性。

例7的定义域为()()∞+-⋃-∞-,22,，例8的定义域为(]1,1-，均关于原点不对称。

因此，例7、例8的正确答案应为：非奇非偶函数.
4．忽视对参数的讨论导致错误 例9.设m 为实数,函数(),,12
R x m x x x f ∈+-+=试讨论()x f 的奇偶性. 错解: ∵()()12,122++=-+=m m m f m m f ∴()()()()m f m f m f m f -≠-≠-,,函数既不是奇函数,也不是偶函数.
剖析：例9的错误在于忽视了对参数m 的讨论,事实上,当m=0时,函数
()()()x f x x x x x f =++=+-+-=-1122.此时()x f 是偶函数.这种情况也应该考
虑.
5.顾此失彼
例10．判断函数22230()20230x x x f x x x x x ⎧++<⎪==⎨⎪-+->⎩
， ， ，的奇偶性．
错解：当0x <时，2()(23)()f x x x f x -=-++=-；
当0x >时，2()(23)()f x x x f x -=--+-=-．
∴函数()f x 是奇函数．
剖析：尽管对于定义域内的每一个0x ≠，都有()()f x f x -=-成立，
但当0x =时，(0)2(0)f f =≠-，∴函数()f x 既不是奇函数也不是偶函数．
此外，应特别注意，若函数()f x 是奇函数，则对定义域内的每一个x ，都有
()()f x f x -=-，特别当0x =属于定义域时，有(0)(0)f f =-，所以(0)0f =．因此，一般地，有以下结论：奇函数要么在0x =处没有定义，要么在0x =处的函数值为0，即
(0)0f =．在例3中如果能去掉函数在0x =处的定义（或在0x =处定义(0)0f =）
，那么这个函数就是奇函数了．。