九年级数学上册 第二章 一元二次方程 1 一元二次方程课件上册数学课件
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大正方形的面积比 F 小正方形的面积的 2 倍还多 4 cm2. (1)若求大正方形的边长，怎样列方程？并将其化为一般形式． (2)若设大正方形的边长为 x cm，x 会小于 0 吗？x 会小于 4 吗？x 会大于 10
吗？
第九页，共二十八页。
(3)完成下表：
1 x 56789
0
第十页，共二十八页。
第三页，共二十八页。
知识管理
1．一元二次方程的定义 定 义：只含有一个未知数 x 的整式方程，并且都可以化成 ax2＋bx＋c＝ 0(a，b，c 为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程． 注 意：(1)一个未知数；(2)未知数最高次数是 2；(3)整式方程．三个条件 缺一不可．
第四页，共二十八页。
第二章 一元二次方程
1 一元二次方程
学习指南 知识管理 归类探究 当堂测评 分层作业
第一页，共二十八页。
学习指南
★教学目标★ 1．理解一元二次方程的概念及它的有关概念； 2．经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是 刻画现实世界的一个有效数学模型．
第二页，共二十八页。
★情景问题引入★ 在一个直角三角形中，如果一条直角边比另一条直角边长 2 cm，斜边又比 较长的直角边长 2 cm.如果设其中一条边的长为 x cm.应当怎样列方程呢？
第五页，共二十八页。
归类探究
类型之一 一元二次方程的有关概念
下列方程中，是关于 x 的一元二次方程的是( C )
A．x2＋x12＝0
B．ax2＋bx＋c＝0
C．(x－1)(x＋2)＝1
D．3x2－2xy－5y2＝0
第六页，共二十八页。
【点悟】 正确理解一元二次方程的概念是解题的关键．“只含有一个未知 数”“整式方程”“能化为 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c 为常数，a≠0)的形式”， 三者缺一不可．
第十二页，共二十八页。
当堂测评
1．下列方程：①5x2＝x；②(x2－3)2－6＝0；③x2＝1；④
5 5
x2＋
1 5
x－
3 5
＝
0；⑤7x(x－2)＝7x2.其中是一元二次方程的有( B )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
第十三页，共二十八页。
2．把一元二次方程(x－ 5)(x＋ 5)＋(2x－1)2＝0 化成一般形式，得( D )
第二十页，共二十八页。
解：挂图长为(80＋2x) cm，宽为(50＋2x) cm. ∴(80＋2x)(50＋2x)＝5 400， 化简得 x2＋65x－350＝0.
第二十一页，共二十八页。
7．已知方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有根． (1)当 a＋b＋c＝0 时，x 为多少？ (2)当 a－b＋c＝0 时，x 为多少？ (3)当 4a＋c＝2B 时，x 为多少？
(1)列出关于 x 的方程； (2)写出方程化为 ax2＋bx＋c＝0 的形式，并指出 a，b，c 的值．
第二十四页，共二十八页。
解：(1)由题意，得 x(x－1)＝756. (2)由 x(x－1)＝756， 整理，得 x2－x－756＝0， 则 a＝1，b＝－1，c＝－756.
第二十五页，共二十八页。
A．5x2－4x＋6＝0 B．5x2－2x＋1＝0
C．x2－5＝0
D．5x2－4x－4＝0
第十四页，共二十八页。
3．要做一个容积为 750 cm3，高为 6 cm，底面长比宽多 5 cm 的无盖长方体 铁盒．
(1)若设长方体的底面宽为 x cm，则长方体的底面长为___(_x_＋__5_) __ cm，根据 题意，可列方程为____6_x(_x_＋__5_)＝__7_50___；
第二十七页，共二十八页。
内容(nèiróng)总结
No 第二章 一元二次方程。x(5－x)。4 Image
12/8/2021
第二十八页，共二十八页。
解：(1)2x2－x－11＝0，A＝2，B＝－1，C＝－11. (2)2x2－11x＋3＝0，A＝2，B＝－11，C＝3. (3)2x2＋3x－5＝0，A＝2，B＝3，C＝－5.
第十九页，共二十八页。
6．如图所示，在一幅长 80 cm，宽 50 cm 的矩形风景画的四周镶一条等宽 金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是 5 400 cm2，设金色 纸边的宽为 x cm，求满足 x 的方程．
9．已知关于 x 的方程(2k＋1)x2－4kx＋k－1＝0. (1)k 为何值时，此方程是一元一次方程？求出这个一元一次方程的根． (2)k 为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次 项系数、一次项系数、常数项．
第二十六页，共二十八页。
解：(1)当 2k＋1＝0，且－4k≠0， 即 i＝－21时，此方程是一元一次方程． 原方程为 2x＝32， ∴x＝34，即方程的根为 x＝34. (2)当 2k＋1≠0，即 k≠－12时，此方程是一元二次方程．二次项系数为 2k ＋1，一次项系数为－4k，常数项为 k－1.
(4)你能由上表求出大正方形的边长吗？ 解：(1)设大正方形的边长为 x cm. 由题意，得 x2＝22x＋12＋4. 化为一般形式为 x2－4x－12＝0.
第十一页，共二十八页。
(2)∵x 是大正方形的边长，∴x 不能小于 0. ∵若 x＜4，则 x2－4x＝x(x－4)＜0，方程不成立， ∴x 不能小于 4. ∵若 x＞10，则 x2－4x＝x(x－4)＞60，方程不成立， ∴x 不能大于 10. (3)x2－4x－12 －7 0 9 20 33 48 (4)由上表知，大正方形的边长为 6 cm.
第十六页，共二十八页。
2．若方程(k－1)x2＋ kx＝1 是关于 x 的一元二次方程，则 k 的取值范围是 (C )
A．k≠1 B．k≥0 C．k≥0 且 k≠1 D．k 为任意实数
第十七页，共二十八页。
3．用一条长 40 cm 的绳子围成一个面积为 64 cm2 的长方形，设长方形的长
为 x cm，则可列方程为__x_2_－_2_0_x_＋_6_4_＝__0_____．(化为一般式)
2．一元二次方程的一般形式 一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a，b，c 为常数，且 a≠0)．其中 ax2 是二次项，a 是二次项的系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项． 3．探索一元二次方程的近似解 步 骤：(1)根据实际问题确定其解的大致范围； (2)通过列表，具体计算进行两边“夹逼”，逐步获得其近似解．
(2)将(1)中方程化为一般形式是__x_2_＋_5_x_－__1_25_＝__0_____．
第十五页，共二十八页。
分层作业
1．将一元二次方程－3x2－2＝－4x 化成一般形式 Ax2＋Bx＋C＝0(A＞0)后， 一次项和常数项分别是( B )
A．－4，2 B．－4x，2 C．4x，－2 D．3x2，2
4．根据下表探索一元二次方程 x2－6x＋9＝0 的解的取值范围.
－ x 8 6420
2
x2－6x 2
＋9
9 1 1 9 25 5
从表中可以看出方程的解应介于__2__和_4___之间．
第十八页，共二十八页。
5．将方程化为一般形式，并写出它的二次项系数 a、一次项系数 b 和常数 项 c 的值．
(1)(2x－5)(x＋2)＝1； (2)－2x(x－5)＝3－x； (3)(2x－1)(x＋5)＝6x.
第七页，共二十八页。
类型之二 建立一元二次方程模型 [2017·临洮期末]用 10 米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为 6
平方米．若设它的一条边长为 x 米，则根据题意可列出关于 x 的方程为_x_(_5_－_x_)__ ___＝_6____．
第八页，共二十八页。
类型之三 一元二次方程的近似解求法 有两个正方形，小正方形的边长比大正方形的边长的一半多 1 cm，
第二十二页，共二十八页。
解： (1)只有当 x＝1 时，才有 a＋b＋c＝0. (2)只有当 x＝－1 时，才有 a－b＋c＝0. (3)4a＋c＝2B，即 4a－2b＋c＝0，是当 x＝－2 时，代入原方程得到的．
第二十三页，共二十八页。
8．一个 QQ 群里共有 x 个好友，每个好友都分别给其他好友发了一条消息， 这样一共产生 756 条消息．
吗？
第九页，共二十八页。
(3)完成下表：
1 x 56789
0
第十页，共二十八页。
第三页，共二十八页。
知识管理
1．一元二次方程的定义 定 义：只含有一个未知数 x 的整式方程，并且都可以化成 ax2＋bx＋c＝ 0(a，b，c 为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程． 注 意：(1)一个未知数；(2)未知数最高次数是 2；(3)整式方程．三个条件 缺一不可．
第四页，共二十八页。
第二章 一元二次方程
1 一元二次方程
学习指南 知识管理 归类探究 当堂测评 分层作业
第一页，共二十八页。
学习指南
★教学目标★ 1．理解一元二次方程的概念及它的有关概念； 2．经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是 刻画现实世界的一个有效数学模型．
第二页，共二十八页。
★情景问题引入★ 在一个直角三角形中，如果一条直角边比另一条直角边长 2 cm，斜边又比 较长的直角边长 2 cm.如果设其中一条边的长为 x cm.应当怎样列方程呢？
第五页，共二十八页。
归类探究
类型之一 一元二次方程的有关概念
下列方程中，是关于 x 的一元二次方程的是( C )
A．x2＋x12＝0
B．ax2＋bx＋c＝0
C．(x－1)(x＋2)＝1
D．3x2－2xy－5y2＝0
第六页，共二十八页。
【点悟】 正确理解一元二次方程的概念是解题的关键．“只含有一个未知 数”“整式方程”“能化为 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c 为常数，a≠0)的形式”， 三者缺一不可．
第十二页，共二十八页。
当堂测评
1．下列方程：①5x2＝x；②(x2－3)2－6＝0；③x2＝1；④
5 5
x2＋
1 5
x－
3 5
＝
0；⑤7x(x－2)＝7x2.其中是一元二次方程的有( B )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
第十三页，共二十八页。
2．把一元二次方程(x－ 5)(x＋ 5)＋(2x－1)2＝0 化成一般形式，得( D )
第二十页，共二十八页。
解：挂图长为(80＋2x) cm，宽为(50＋2x) cm. ∴(80＋2x)(50＋2x)＝5 400， 化简得 x2＋65x－350＝0.
第二十一页，共二十八页。
7．已知方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有根． (1)当 a＋b＋c＝0 时，x 为多少？ (2)当 a－b＋c＝0 时，x 为多少？ (3)当 4a＋c＝2B 时，x 为多少？
(1)列出关于 x 的方程； (2)写出方程化为 ax2＋bx＋c＝0 的形式，并指出 a，b，c 的值．
第二十四页，共二十八页。
解：(1)由题意，得 x(x－1)＝756. (2)由 x(x－1)＝756， 整理，得 x2－x－756＝0， 则 a＝1，b＝－1，c＝－756.
第二十五页，共二十八页。
A．5x2－4x＋6＝0 B．5x2－2x＋1＝0
C．x2－5＝0
D．5x2－4x－4＝0
第十四页，共二十八页。
3．要做一个容积为 750 cm3，高为 6 cm，底面长比宽多 5 cm 的无盖长方体 铁盒．
(1)若设长方体的底面宽为 x cm，则长方体的底面长为___(_x_＋__5_) __ cm，根据 题意，可列方程为____6_x(_x_＋__5_)＝__7_50___；
第二十七页，共二十八页。
内容(nèiróng)总结
No 第二章 一元二次方程。x(5－x)。4 Image
12/8/2021
第二十八页，共二十八页。
解：(1)2x2－x－11＝0，A＝2，B＝－1，C＝－11. (2)2x2－11x＋3＝0，A＝2，B＝－11，C＝3. (3)2x2＋3x－5＝0，A＝2，B＝3，C＝－5.
第十九页，共二十八页。
6．如图所示，在一幅长 80 cm，宽 50 cm 的矩形风景画的四周镶一条等宽 金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是 5 400 cm2，设金色 纸边的宽为 x cm，求满足 x 的方程．
9．已知关于 x 的方程(2k＋1)x2－4kx＋k－1＝0. (1)k 为何值时，此方程是一元一次方程？求出这个一元一次方程的根． (2)k 为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次 项系数、一次项系数、常数项．
第二十六页，共二十八页。
解：(1)当 2k＋1＝0，且－4k≠0， 即 i＝－21时，此方程是一元一次方程． 原方程为 2x＝32， ∴x＝34，即方程的根为 x＝34. (2)当 2k＋1≠0，即 k≠－12时，此方程是一元二次方程．二次项系数为 2k ＋1，一次项系数为－4k，常数项为 k－1.
(4)你能由上表求出大正方形的边长吗？ 解：(1)设大正方形的边长为 x cm. 由题意，得 x2＝22x＋12＋4. 化为一般形式为 x2－4x－12＝0.
第十一页，共二十八页。
(2)∵x 是大正方形的边长，∴x 不能小于 0. ∵若 x＜4，则 x2－4x＝x(x－4)＜0，方程不成立， ∴x 不能小于 4. ∵若 x＞10，则 x2－4x＝x(x－4)＞60，方程不成立， ∴x 不能大于 10. (3)x2－4x－12 －7 0 9 20 33 48 (4)由上表知，大正方形的边长为 6 cm.
第十六页，共二十八页。
2．若方程(k－1)x2＋ kx＝1 是关于 x 的一元二次方程，则 k 的取值范围是 (C )
A．k≠1 B．k≥0 C．k≥0 且 k≠1 D．k 为任意实数
第十七页，共二十八页。
3．用一条长 40 cm 的绳子围成一个面积为 64 cm2 的长方形，设长方形的长
为 x cm，则可列方程为__x_2_－_2_0_x_＋_6_4_＝__0_____．(化为一般式)
2．一元二次方程的一般形式 一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a，b，c 为常数，且 a≠0)．其中 ax2 是二次项，a 是二次项的系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项． 3．探索一元二次方程的近似解 步 骤：(1)根据实际问题确定其解的大致范围； (2)通过列表，具体计算进行两边“夹逼”，逐步获得其近似解．
(2)将(1)中方程化为一般形式是__x_2_＋_5_x_－__1_25_＝__0_____．
第十五页，共二十八页。
分层作业
1．将一元二次方程－3x2－2＝－4x 化成一般形式 Ax2＋Bx＋C＝0(A＞0)后， 一次项和常数项分别是( B )
A．－4，2 B．－4x，2 C．4x，－2 D．3x2，2
4．根据下表探索一元二次方程 x2－6x＋9＝0 的解的取值范围.
－ x 8 6420
2
x2－6x 2
＋9
9 1 1 9 25 5
从表中可以看出方程的解应介于__2__和_4___之间．
第十八页，共二十八页。
5．将方程化为一般形式，并写出它的二次项系数 a、一次项系数 b 和常数 项 c 的值．
(1)(2x－5)(x＋2)＝1； (2)－2x(x－5)＝3－x； (3)(2x－1)(x＋5)＝6x.
第七页，共二十八页。
类型之二 建立一元二次方程模型 [2017·临洮期末]用 10 米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为 6
平方米．若设它的一条边长为 x 米，则根据题意可列出关于 x 的方程为_x_(_5_－_x_)__ ___＝_6____．
第八页，共二十八页。
类型之三 一元二次方程的近似解求法 有两个正方形，小正方形的边长比大正方形的边长的一半多 1 cm，
第二十二页，共二十八页。
解： (1)只有当 x＝1 时，才有 a＋b＋c＝0. (2)只有当 x＝－1 时，才有 a－b＋c＝0. (3)4a＋c＝2B，即 4a－2b＋c＝0，是当 x＝－2 时，代入原方程得到的．
第二十三页，共二十八页。
8．一个 QQ 群里共有 x 个好友，每个好友都分别给其他好友发了一条消息， 这样一共产生 756 条消息．