2025届苏教版高三下学期质量调研考试(一模)数学试题

2025届苏教版高三下学期质量调研考试（一模）数学试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放.事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚.根据这次统计数据，若客人随意向这张白纸上投放一根这样的针，则针落地后与直线相交的概率约为（ ） A ．
12π
B ．
3π
C ．
2π
D ．
1π
2．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ）
A ．-1
B ．1
C ．0
D ．2
3．已知直线1:240l ax y ++=，2:(1)20l x a y +-+=，则“1a =-”是“12l l ”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．设抛物线2
4y x =上一点P 到y 轴的距离为1d ，到直线:34120l x y ++=的距离为2d ，则12d d +的最小值为（ ） A ．2
B ．
153
C ．
163
D ．3
5．已知向量a 与b 的夹角为θ，定义a b ⨯为a 与b 的“向量积”，且a b ⨯是一个向量，它的长度sin a b a b θ⨯=，若()2,0u =
，(1,3u v -=-，则()u u v ⨯+=（ ）
A ．3
B 3
C ．6
D ．36．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212
152–lg E m m E =
，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A ．1010.1
B ．10.1
C ．lg10.1
D ．10–10.1
7．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若(,)DE AB AD R λμλμ=+∈，则λμ+等于
（ ）．
A ．1
2
-
B ．
12
C ．1
D ．1-
8．已知函数()()1x
e a ax
f x e ⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭，若()()0f x x R ≥∈恒成立，则满足条件的a 的个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
9．在空间直角坐标系O xyz -中，四面体OABC 各顶点坐标分别为：
22(0,0,0),(0,0,2),3,0,0,0,3,033O A B C ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．假设蚂蚁窝在O 点，一只蚂蚁从O 点出发，需要在AB ，AC 上
分别任意选择一点留下信息，然后再返回O 点．那么完成这个工作所需要走的最短路径长度是（ ） A ．22
B ．1121-
C ．521+
D ．23
10．复数()()2a i i --的实部与虚部相等，其中i 为虚部单位，则实数a =( ) A ．3
B ．1
3
-
C ．12
-
D ．1-
11．函数()sin 3f x x πω⎛
⎫=- ⎪⎝⎭（0>ω），当[]0,x π∈时，()f x 的值域为3,12⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦，则ω的范围为（ ） A ．53,62⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
B ．55,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦
12．已知复数z 满足()1z i i =-，(i 为虚数单位)，则z =( ) A ．2
B ．3
C ．2
D ．3
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．如图，在平面四边形
中，
，则
_________
14．已知数列{}n a 的前n 项和公式为2
21n S n n =-+，则数列{}n a 的通项公式为___．
15．已知函数2
()ln f x x x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为___________.
16．在ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，若412
cos ,cos 513
B C ==，1b =，则a =__________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>
()0,1A .
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）点P 是椭圆上异于短轴端点A ，B 的任意一点，过点P 作PQ y ⊥轴于Q ，线段PQ 的中点为M .直线AM 与直线1y =-交于点N ，D 为线段BN 的中点，设O 为坐标原点，试判断以OD 为直径的圆与点M 的位置关系. 18．（12分）已知O
为坐标原点，点1(F
，2F
，S ，动点N
满足1NF NS +=P 为线段1NF 的中点，抛物线C ：2
2(0)x my m =>上点A
，66OA OS ⋅=（1）求动点P 的轨迹曲线W 的标准方程及抛物线C 的标准方程； （2）若抛物线C 的准线上一点Q 满足OP OQ ⊥，试判断22
11
||||OP OQ +是否为定值，若是，求这个定值；若不是，
请说明理由.
19．（12分）设数列{}n a ，其前n 项和2
3n S n =-，又{}n b 单调递增的等比数列， 123512b b b =，11a b + 33a b =+.
(Ⅰ)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (Ⅱ)若()()21n n n n b c b b =
-- ，求数列{}n c 的前n 项和n T ，并求证：2
13
n T ≤<.
20．（12分）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知12
5
()a c b ac +=． （1）若a ，b ，c 成等差数列，求cos B 的值；
（2）是否存在ABC 满足B 为直角？若存在，求sin A 的值；若不存在，请说明理由． 21．（12分）已知函数()|2||2|f x x x m =-++，()m ∈R . （1）若4m =时，解不等式()6f x ≤；
（2）若关于x 的不等式()|25|f x x ≤-在[0,2]x ∈上有解，求实数m 的取值范围. 22．（10分）设函数(
)2
()11x
f x e
e
kx -=++-（其中(0,)x ∈+∞），且函数()f x 在2x =处的切线与直线
2(2)0e x y +-=平行.
（1）求k 的值；
（2）若函数()ln g x x x =-，求证：()()f x g x >恒成立.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D 【解题分析】
根据统计数据，求出频率，用以估计概率. 【题目详解】
7041
2212π
≈. 故选:D. 【题目点拨】
本题以数学文化为背景，考查利用频率估计概率，属于基础题. 2、B 【解题分析】 化简得到，根据纯虚数概念计算得到答案.
【题目详解】
为纯虚数，故
且
，即
.
故选：. 【题目点拨】
本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力. 3、C 【解题分析】
先得出两直线平行的充要条件，根据小范围可推导出大范围，可得到答案. 【题目详解】
直线1:240l ax y ++=，()2:120l x a y +-+=，12l l 的充要条件是()1221a a a a -=⇒==-或，当a=2时，化
简后发现两直线是重合的，故舍去，最终a=-1.因此得到“1a =-”是“12l l ”的充分必要条件. 故答案为C. 【题目点拨】
判断充要条件的方法是：①若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件；②若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件；③若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；④若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系． 4、A 【解题分析】
分析：题设的直线与抛物线是相离的，12d d +可以化成1211d d ++-，其中11d +是点P 到准线的距离，也就是P 到焦点的距离，这样我们从几何意义得到121d d ++的最小值，从而得到12d d +的最小值.
详解：由2434120
y x
x y ⎧=⎨
++=⎩①得到2316480y y ++=，25612480∆=-⨯<，故①无解， 所以直线34120x y ++=与抛物线是相离的. 由121211d d d d +=++-，
而11d +为P 到准线1x =-的距离，故11d +为P 到焦点()1,0F 的距离， 从而121d d ++的最小值为F 到直线34120x y ++=
3=，
故12d d +的最小值为2，故选A.
点睛：抛物线中与线段的长度相关的最值问题，可利用抛物线的几何性质把动线段的长度转化为到准线或焦点的距离来求解. 5、D 【解题分析】
先根据向量坐标运算求出()
3,3u v +=和cos ,u u v +，进而求出sin ,u u v +，代入题中给的定义即可求解. 【题目详解】
由题意()(1,3v u u v =--=，则()
3,3u v +=，3
cos
,2
u u v +=
，得1sin ,2u u v +=，由定义知
(
)
1
sin ,222
u u v u u v u u v ⨯+=⋅++=⨯=
故选:D. 【题目点拨】
此题考查向量的坐标运算，引入新定义，属于简单题目. 6、A 【解题分析】
由题意得到关于12,E E 的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值. 【题目详解】
两颗星的星等与亮度满足1212
5lg 2E m m E -=
,令211.45,26.7m m =-=-, ()10.1112122
22
lg
( 1.4526.7)10.1,1055E E m m E E =⋅-=-+==. 故选A. 【题目点拨】
本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算. 7、A 【解题分析】
由平面向量基本定理，化简得13DE AB AD 44=-，所以13
λ,μ44
==-，即可求解，得到答案． 【题目详解】
由平面向量基本定理，化简()
11
DE DA AE DA AC AD AB AD 44
=+=+
=-++ 13AB AD 44=-，所以13λ,μ44==-，即1λμ2
+=-， 故选A ．
【题目点拨】
本题主要考查了平面向量基本定理的应用，其中解答熟记平面向量的基本定理，化简得到13
DE AB AD 44
=-是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，数基础题． 8、C
【解题分析】
由不等式恒成立问题分类讨论：①当0a =，②当0a <，③当0a >，考查方程1
lna ae
=-的解的个数，综合①②③得解． 【题目详解】
①当0a =时，1()00x f x e -=>，满足题意， ②当0a <时，0x e a ->，01(x ae ∃∈-
，)+∞，1
0ax e
+<，故()0()f x x R ∈不恒成立， ③当0a >时，设()x g x e a =-，1
()h x ax e
=+，
令()0x
g x e a =-=，得x lna =，1()0h x ax e =+=，得1x ae
=-， 下面考查方程1
lna ae
=-
的解的个数， 设ϕ（a ）alna =，则ϕ'（a ）1lna =+ 由导数的应用可得：
ϕ（a ）alna =在1(0,)e
为减函数，在1(e
，)+∞为增函数，
则ϕ（a ）1
min e
=-，
即1
lna ae
=-
有一解， 又()x
g x e a =-，1()h x ax e
=+均为增函数，
所以存在1个a 使得()0()f x x R ∈成立， 综合①②③得：满足条件的a 的个数是2个， 故选：C ． 【题目点拨】
本题考查了不等式恒成立问题及利用导数研究函数的解得个数，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属难度较大的题型. 9、C 【解题分析】
将四面体OABC 沿着OA 劈开，展开后最短路径就是AOO '△的边OO '，在AOO '△中，利用余弦定理即可求解. 【题目详解】
将四面体OABC 沿着OA 劈开，展开后如下图所示：
最短路径就是AOO '△的边OO '． 易求得30OAB O AC '∠=∠=︒， 由2AO =，2
33OB =
433
AB =
433AC =
，222
63
BC OB OC =+= 222
cos 2AB AC BC BAC AB AC
+-⇒∠=
⋅ 161683
333444233
+-
==
由余弦定理知2222cos OO AO AO AO AO OAO ''''=+-⋅⋅∠ 其中2AO AO '==，()321
cos cos 60OAO BAC -'∠=︒+∠=∴2521,521OO OO ''=⇒=+ 故选：C 【题目点拨】
本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理的内容，考查了学生的空间想象能力，属于中档题. 10、B 【解题分析】
利用乘法运算化简复数()()2a i i --即可得到答案. 【题目详解】
由已知，()()221(2)a i i a a i --=--+，所以212a a -=--，解得13
a =-. 故选：B 【题目点拨】
本题考查复数的概念及复数的乘法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题. 11、B 【解题分析】
首先由[]0,x π∈，可得3
x π
ω-的范围，结合函数()f x 的值域和正弦函数的图像，可求的关于实数ω的不等式，解
不等式即可求得范围. 【题目详解】
因为[]0,x π∈，所以,333x π
π
πωωπ⎡⎤-
∈--⎢⎥⎣⎦，若值域为3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
， 所以只需42
3
3π
π
πωπ≤-
≤
，∴5563
ω≤≤. 故选：B
【题目点拨】
本题主要考查三角函数的值域，熟悉正弦函数的单调性和特殊角的三角函数值是解题的关键，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养. 12、A 【解题分析】
()11z i i i =-=+，故2z =，故选A.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、
【解题分析】 由题意得，然后根据数量积的运算律求解即可．
【题目详解】 由题意得
，
∴
．
【题目点拨】
突破本题的关键是抓住题中所给图形的特点，利用平面向量基本定理和向量的加减运算，将所给向量统一用表
示，然后再根据数量积的运算律求解，这样解题方便快捷．
14、2,143,2
n n a n n =⎧=⎨
-≥⎩
【解题分析】
由题意，根据数列的通项n a 与前n 项和n S 之间的关系，即可求得数列的通项公式． 【题目详解】
由题意，可知当1n =时，112a S ==；
当2n ≥时，()2
21221143n n n a S S n n n n n -=-=---+-=-.
又因为11a =不满足43n a n =-，所以2,1
43,2n n a n n =⎧=⎨
-≥⎩
. 【题目点拨】
本题主要考查了利用数列的通项n a 与前n 项和n S 之间的关系求解数列的通项公式，其中解答中熟记数列的通项n a 与前n 项和n S 之间的关系，合理准确推导是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 15、320x y --= 【解题分析】
根据导数的几何意义求出切线的斜率，利用点斜式求切线方程. 【题目详解】 因为1
()2f x x x
'
=
+， 所以(1)3k f '==， 又(1)1,f =
故切线方程为13(1)y x -=-， 整理为320x y --=， 故答案为：320x y --= 【题目点拨】
本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于容易题. 16、
5639
【解题分析】
先求得sin ,sin B C 的值，由此求得sin A 的值，再利用正弦定理求得a 的值. 【题目详解】
由于412cos ,cos 513B C ==
，所以35sin ,sin 513
B C ====，所以()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+312455651351365
=⨯+⨯=.由正弦定理得56
sin 56653sin sin sin 395
a b b A a A B B
⋅=⇒===. 故答案为：5639
【题目点拨】
本小题主要考查正弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查两角和的正弦公式，考查三角形的内角和定理，属于中档题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）2
214
x y +=（2）点M 在以OD 为直径的圆上 【解题分析】
（1）根据题意列出关于a ，b ，c 的方程组，解出a ，b ，c 的值，即可得到椭圆C 的标准方程；
（2）设点0(P x ，0)y ，则0(2
x M ，0)y ，求出直线AM 的方程，进而求出点N 的坐标，再利用中点坐标公式得到点D 的坐标，下面结合点P 在椭圆C 上证出0OM DM →→⋅=，所以点M 在以OD 为直径的圆上．
【题目详解】
（1
）由题意可知，2221b c a
a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩
，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，
∴椭圆C 的标准方程为：2214
x y +=. （2）设点0(P x ，0)y ，则0(2
x M ，0)y ， ∴直线AM 的斜率为000012(1)02
y y x x --=-， ∴直线AM 的方程为：00
2(1)1y y x x -=+，
令1y =-得，00
1x x y =-， ∴点N 的坐标为00(
1x y -，1)-， ∴点D 的坐标为00(
2(1)x y -，1)-， ∴0(2
x OM DM →→⋅=，2220000000000)(,1)22(1)444x x x x y y y y y y ⋅-+=+-+--， 又点0(P x ，0)y 在椭圆C 上， ∴220014
x y +=，220044x y =-， ∴2000004(1)11(1)04(1)y OM DM y y y y →→
-⋅=-+=-++=-， ∴点M 在以OD 为直径的圆上．
【题目点拨】
本题主要考查了椭圆方程，考查了中点坐标公式，以及平面向量的基本知识，属于中档题．
18、（1）曲线W 的标准方程为2
213
x y +=.抛物线C
的标准方程为2x =.（2）见解析 【解题分析】
（1）由题知|PF 1|+|PF 2|1
2NS NF +==
|F 1F 2|，判断动点P 的轨迹W 是椭圆，写出椭圆的标准方程，根据平面
向量数量积运算和点A 在抛物线上求出抛物线C 的标准方程；（2）设出点P 的坐标，再表示出点N 和Q 的坐标，根据题意求出22
11||||OP OQ +的值，即可判断结果是否成立． 【题目详解】
（1）由题知22NS
PF =，1
12NF PF =， 所以12
122NF NF PF PF ++=
12F F =>，
因此动点P 的轨迹W 是以1F ，2F 为焦点的椭圆，
又知2a =
，2c =，
所以曲线W 的标准方程为2
213
x y +=.
又由题知(A A x ，
所以(
()A OA OS x ⋅=⋅
A ==，
所以A x =
又因为点(A 在抛物线C
上，所以m =
所以抛物线C
的标准方程为2x =. （2）设(),P P P x y
，,2Q Q x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
，
由题知OP OQ ⊥
，所以02
P p Q x x -=
，即)0Q P P x x =≠， 所以222222111133||||22
P P P P y OP OQ x y x +=+++ ()222323P P P x x y +=+， 又因为2213P P x y +=，2213
P P x y =-， 所以()
222222323213313P P P P P P x x x x y x ++==⎛⎫++- ⎪⎝⎭， 所以22
11||||OP OQ +为定值，且定值为1. 【题目点拨】
本题考查了圆锥曲线的定义与性质的应用问题，考查抛物线的几何性质及点在曲线上的代换，也考查了推理与运算能力，是中档题．
19、（1）63n a n =-+，12n n b +=；（2）详见解析.
【解题分析】
（1）当1n =时，13n a S ==-，当2n ≥时，2213[3(1)]63n n n a S S n n n -=-=----=-+，
当1n =时，也满足63n a n =-+，∴63n a n =-+，∵等比数列{}n b ，∴2132b b b =，
∴3123225128b b b b b ==⇒=，又∵1133a b a b +=+，
∴831582q q q -+=-+⇒=或12
q =-（舍去）， ∴2122n n n b b q -+==；
（2）由（1）可得：111112211(22)(21)(21)(21)2121
n n n n n n n n n c +++++===-------， ∴123n n T c c c c =++++2231111111()()()212121212121
n n +=-+-++------- 111121
n +=-<-，显然数列{}n T 是递增数列，
∴123n T T ≥=，即213
n T ≤<.） 20、见解析
【解题分析】 （1）因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b a c =+，
由余弦定理可得2222
()2323cos 1222a c ac b b ac b B ac ac ac
+---===-， 因为125()a c b ac +=，所以21225b ac =，即265
b a
c =， 所以23364cos 112255
b B a
c =-=⨯-=． （2）若B 为直角，则sin 1B =，sin cos C A =，
由125()a c b ac +=及正弦定理可得12sin sin sin sin 5
A C A C +=， 所以12sin cos sin cos 5A A A A +=，即6sin cos sin 25
A A A +=， 上式两边同时平方，可得2361sin 2sin 225A A +=
，所以(9sin 25)(4sin 25)0A A +-=（*）． 又0sin 21A <≤，所以9sin250A +>，4sin250A -<，
所以(9sin 25)(4sin 25)0A A +-<，与（*）矛盾，
所以不存在ABC 满足B 为直角．
21、（1）8|03x x ⎧⎫-
≤≤⎨⎬⎩⎭（2）[5,3]- 【解题分析】
（1）零点分段法，分2x -≤，22x -<<，2x ≥讨论即可；
（2）当[0,2]x ∈时，原问题可转化为：存在[0,2]x ∈，使不等式333x m x --≤≤-成立，即min max (3)(33)x m x --≤≤-.
【题目详解】
解：（1）若4m =时，|2||24|6x x -++≤，
当2x -≤时，原不等式可化为2246x x -+--≤，解得83
x ≥-，所以823x -≤≤-， 当22x -<<时，原不等式可化为2246x x -++≤，解得0x ≤，所以20x -<≤，
当2x ≥时，原不等式可化为2246x x -++≤，解得43x ≤
，所以x ∈∅， 综上述：不等式的解集为8|03x x ⎧
⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭
； （2）当[0,2]x ∈时，由()|25|f x x ≤-得2|2|52x x m x -++≤-，
即|2|3x m x +≤-，
故323x x m x -≤+≤-得333x m x --≤≤-，
又由题意知：min max (3)(33)x m x --≤≤-，
即53m -≤≤，
故m 的范围为[5,3]-.
【题目点拨】
本题考查解绝对值不等式以及不等式能成立求参数，考查学生的运算能力，是一道容易题.
22、（1）1k =（2）证明见解析
【解题分析】
（1）求导得到222(2)(1)2f e e k e -'=++=+，解得答案.
（2）变形得到-2(1)1ln x
e e x x x +>--，令函数()1ln h x x x x =--，求导得到函数单调区间得到22()()1h x h e e --≤=+，2()(0)(1)F x F e ->=+，得到证明.
【题目详解】
（1）2()(1)x f x e e k -'=++，222
(2)(1)2f e e k e -'=++=+，解得1k =.
（2）()()f x g x >得-2(1)1ln x e e x x x ++->-，变形得-2(1)1ln x e e x x x +>--， 令函数()1ln h x x x x =--，()2ln h x x '=--，令2ln 0x --=解得2x e -=，
当2(0,)x e -∈时()0h x '>，2
(,)x e -∈+∞时()0h x '<.
∴函数()h x 在2(0,)e -上单调递增，在2(,)e -+∞上单调递减，∴22()()1h x h e e --≤=+， 而函数-2()(1)x F x e e =+在区间(0,)+∞上单调递增，∴2
()(0)(1)F x F e ->=+， ∴2()(0)(1)()1ln F x F e h x x x x ->=+≥=--，即2(1)1ln x e e x x x -+>--，
即2(1)1ln x e e x x x -+-+>-，∴()()f x g x >恒成立.
【题目点拨】
本题考查了根据切线求参数，证明不等式，意在考查学生的计算能力和转化能力，综合应用能力.。