高中数学 311空间向量的线性运算课件 新人教B选修21

[解析] 与向量A→D相等的向量是B→C，A→1D1，B→1C1，共 3 个．
• 3．空间四边形ABCD中，若E，F，G，H分别为AB，BC， CD，DA的中点，则下列各式中成立的是( )
A.E→B＋B→F＋E→H＋G→H＝0 B.E→B＋F→C＋E→H＋G→E＝0 C.E→F＋F→G＋E→H＋G→H＝0 • [答案] B D.E→F－F→B＋C→G＋G→H＝0
• ③λ②(μ若a)A＝→B(＝λμC)→aD；，则 A 与 C 重合，B 与 D 重合； • ④a，b，c为空间向量，则有|a＋b＋c|＝|a|＋|b|＋|c|. • 其中命题正确的序号为________． • [答案] ③
• [例2] 如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E 是上底面A1C1的中心，化简下列向量表达式， 并在图中标 出化简(1结)A→果B＋的B→向C＋量C．→C1； (2)A→A1＋12A→B＋12A→D.
• 1．空间向量的加法、减法、数乘向量的意义及运算律 与平面向量类似，这些运算不但适合中学里的代数运算 律，而且有很多性质与实数性质完全相同．
• 空间任意两个向量都可以(通过平移)转化为平面向量， 两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．
如果，设O→A＝a，A→B＝b，则O→B＝a＋b.此法则称为向 量的“三角形法则”．
• [说明] 化简向量表达式一定要观察立体图形，运用向 量的三角形法则或平行四边形法则，把空间向量转化为 平面向量解决．
• 已知正方体ABCD—A′B′C′D′的中心为O，则在下列各结论
中正确的结论共有
()
①O→A＋O→D与O→B′＋O→C′是一对相相反向量；
• ③错误．∵0与任何空间向量平行，
• ∴a∥0，0∥c，但a与c有可能不平行．
• 所以①②正确． • [答案] ①②
• [说明] 数学概念是数学体系的基础，准确掌握数学概 念的内涵和外延是进一步学好数学的前提，空间向量的 相关概念也是如此．熟练掌握空间向量的有关概念是解 决这类问题的关键．
• 给出以下命题： • ①零向量无方向；
B→C＝B→A＋A→C＝c－b，
C→D＝C→A＋A→D＝d－c，
D→M＝12(D→B＋D→C)
• [例4] 如图所示，ABCD －A′B′C′D中，点E是上底面 A′B′C′D′的中心，求下列各式的x、y、z的值：
(1)BD→′＝xA→D＋yA→B＋zA→ A′；(2)A→E＝xA→D＋yA→B＋ zA→ A′.
• 4．理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运 算，会判断两个向量平行或垂直；掌握两个向量的夹角 公式和向量长度的坐标计算公式，并会用这些公式解决 有关问题．
• 5．理解直线的方向向量与平面的法向量，能用向量语 言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．
• 6．能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理 (包括三垂线定理)，能够用向量方法解决线线、线面、 面面的夹角及距离问题．
• [分析] 由加法法则直接化简．
[解析] (1)A→B＋B→C＋C→C1＝A→C1(运用“封口向量”) (2)A→A1＋12A→B＋12A→D＝A→A1＋12(A→B＋A→D) ＝A→A1＋12(A→1D1＋D→1C1)＝A→A1＋12A→1C1＝A→A1＋A→1E＝ A→E. 向量A→C1、A→E如图所示．
• 1．知识与技能
• 通过本节的学习，理解向量的概念掌握空间向量的加法、 减法和数乘运算．
• 2．过程与方法
• 通过与平面向量的类比、学习空间向量的运算，探究它 们的共同与不同之处．
• 3．情感态度与价值观 • 激发学生善于发现，勇于探索的精神．
• 重点：向量的概念及其运算 • 难点：向量的运算
[例 3] 已知平行六面体 ABCD－A′B′C′D′，点 M 是棱 AA′的中点，点 G 在对角线 A′C 上且 CG GA′ ＝ ，设C→D＝a，C→B＝b，C→C＝c，试用向量 a、b、c 表示向量C→A、C→A′、C→M、C→G.
• [分析] 要想用a、b、c表示出所给向量，只需结合图形， 充分运用空间向量的加法和数乘向量的运算律即可．
• [说明] 用不共面的向量表示空间的其他向量，一般要用 向量的加法、减法、数乘的运算法则，包括加法的平行四 边形法则及加法、减法的三角形法则．
如图所示，设 O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为 OC 的中点．若A→E＝12O→D＋xO→B＋yO→A，求 x，y 的值．
• [例5] 给出下列命题： • ①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； • ②若空间向量a，b满足|a|＝|b|，是a＝b； • ③若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|； • ④空间向量的减法满足结合律； • ⑤在四边形ABCD中，一定有＋＝； • ⑥在正方体ABCD—A1B1C1D1中，必有＝； • ⑦若空间向量m、n、p满足m＝n，n＝p，则m＝p； • ⑧空间中任意两个单位向量必相等． • 其中正确的命题序号为________．
• [解析] 如图所示． C→A＝C→B＋C→D＝a＋b，
C→A′＝C→A＋C→C′＝a＋b＋c，
C→M＝C→A＋A→M＝C→B＋C→D＋12C→C′＝a＋b＋12c
C→G＝23C→A′＝23(a＋b＋c)．
• [说明] 用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以 图形为指导是解题的关键．
• 设四面体ABCD的三条棱＝b，，＝c，＝d.求四面体其他 各棱，以及面BCD上的中线和向量，其中Q是三角形BCD 的重心． [解析] 如图B→D＝B→A＋A→D＝d－b，
• 1．空间四边形ABCD中
•
• A．a＋b－c
B．c－a－b
• C．a－b－c • [答案] B
D．b－a＋c
()
[解析] C→D＝C→B＋B→D＝－b＋c－a，故选 B.
• 2．在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，与向量相等的向
量共有
()
• A．1个
B．2个
• C．3个
D．4个
• [答案] C
• 此即为空间向量和的多边形法则．
• 用折线作向量的和时，有可能折线的终点恰恰重合到起 点上，这时的和向量就为零向量．
• 3．空间向量的加法和数乘向量运算与平面向量一样， 满足如下运算律
• (1)加法交换律：a＋b＝b＋a； • (2)加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)； • (3)分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
• 6．空间向量的加法与数乘向量满足 __________________以及数乘分配律．
• [答案] 1.大小和方向 • 2．同一向量或相等的向量 • 3．长度或模 • 4．向量的基线 • 5．共线向量或平行向量 a∥b • 6．加法交换律、结合律
• [例1] 给出以下命题： • ①若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p. • ②若λa＝0，则λ＝0或a＝0. • ③若空间向量a，b，c满足a∥b，b∥c，则a∥c. • 其中正确命题的序号是________．
• [误解] ①③⑤⑦⑧
• [辨析] 根据空间向量的基本概念，加、减法和数乘运 算法则，以及性质判断．
• [正解] ①根据向量的平移知①错误；
• ②向量的模相等，只是表示空间向量的有向线段长度相 等，而体现不出方向间关系，故②错误；
• ③a，b是相反向量，则a＝－b，∴|a|＝|b|，③正确；
• ④向量只定义加法且有结合律，减法不具有结合律，④ 错误；
• 7．在运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题 中，体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步发展 空间想象能力和几何直观能力．
• 2．情感目标
• 让学生经历由平面向量向空间向量推广的过程，感悟运 算、推理在探索和发现中的作用，感受理性思维的力量， 提高学生的数学素养．
• ●重点难点
• 本章重点：空间向量及其运算，以空间向量为工具通过 空间向量的运算证明空间直线与直线、直线与平面、两 个平面的平行和垂直，求空间两条直线、直线与平面所 成的角、二面角的大小，求空间点到平面的距离．
• ●课程目标
• 1．双基目标
• 1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法 和数乘向量运算的性质，会运用上述知识熟练地进行空 间向量的运算．
• 2．理解共线向量定理、共面向量定理和空间向量分解 定理，会用所学知识解决立体几何中有关的简单问题．
• 3．掌握空间的向量夹角的概念及表示方法，掌握两个 向量的数量积的概念、性质及运算律，会用它解决立体 几何中的简单问题．
• ⑤一般的四边形不具有＋＝，只有平行四边形才能成 立．⑤错误；
⑥在正方体中，|AC|＝|A1C1|且A→C，A→1C方向相同，∴A→C
＝A→1C1，故⑥正解； • ⑦显然正确； • ⑧空间中任意两个单位向量模均为1，但方向不一定相
同，故不一定相等，故⑧错． • [答案] ③⑥⑦
• 一、选择题
• [解析] ①正确．∵m＝n， • ∴m与n的长度相等，方向相同． • 又n＝p，∴n与p的长度相等，方向相同， • ∴m与p的长度相等，方向相同，即m＝p. • ②正确．由数乘向量的定义知 • |λa|＝|λ|·|a|＝|0|， • ∴|λ|·|a|＝0，∴|λ|＝0或|a|＝0， • 即λ＝0或a＝0.
• 本章难点：用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平 行关系，能用向量方法证明有关线、面关系的一些定理，
并能解决线线、线面、面面的夹角及距离的计算问题，体 会向量方法在研究几何问题中的作用．
• ●学法探究
• 空间向量与平面向量没有本质区别，都是表示具有大小 和方向的量，它们的运算：加法、减法、数乘、数量积 也完全相同．因此，利用空间向量解决立体几何问题， 也是先利用空间向量表示空间点、直线、平面等元素， 建立立体几何与空间向量的联系，进行空间向量的运算； 作出运算结果的几何解释，进而得出几何结论。在学习 过程中，我们要注意空间向量与平面向量的类比，体会 空间向量在立体几何中的作用．
• 3．1 空间向量及其运算
•1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 •5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 •6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/302022/1/302022/1/301/30/2022 •7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/302022/1/30January 30, 2022 •8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/302022/1/302022/1/302022/1/30
③ O→A ＋ O→B ＋ O→C ＋ O→D 与 O→A′ ＋ O→B′ ＋ O→C′ ＋
O→ D′是一对相反向量；
④O→A′－O→A与O→C－O→C′是一对相反向量．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
• [答案] C • [解析] 如图所示．
①O→A＝－O→C′，O→D＝－O→B′， ∴O→A＋O→D＝－(O→B′＋O→C′)，是一对相反向量； ②O→B－O→C＝O→B＋C→O＝C→B， O→A′－O→D′＝O→A′＋D′ →O＝D′→A′， 可知C→B＝D′→A′；故②错误 ③同①可知是正确的； ④O→A′－O→A＝O→A′＋A→O＝AA→′， O→C－O→C′＝O→C＋C′→O＝C→′C＝－AA→′.
• 1. 在空间，具有________的量叫做向量．
• 2．同向且等长的有向线段表示________．
• 3．表示向量a的有向线段的长度叫做向量的________， 记作|a|.
• 4．有向线段所在的直线叫做________．
• 5．如果空间向量的基线互相平行或重合，则这些向量 叫做________，a平行于b，记作________．