基于粗糙逻辑(RL)的微分对策理论(非重要)

基金项目：航空科学基金及西北工业大学研究生创业种子基金
（Z20030020）。

收稿日期：2005-02-28
第23卷 第4期
计 算 机 仿 真
2006年4月
文章编号：1006-9348（2006）04-0135-03
基于粗糙逻辑（RL ）的微分对策理论
徐自祥，周德云
（西北工业大学电子信息学院，陕西西安710072）
摘要：针对微分对策在实际应用上的困难，引入粗糙控制这一新颖的人工智能方法。

粗糙集理论能刻画和处理不完整、不精确信息。

在简略介绍了粗糙集、粗糙逻辑和粗糙控制大致思想的基础上，尝试将粗糙逻辑和粗糙控制引入微分对策，以追逃问题为例，初步探索了粗糙微分对策模型的建立方法。

该对策模型体现了控制算法简单、迅速和易于实现的优点，也降低了微分对策要求精确数学模型和完备信息的困难。

同时也将粗糙控制和模糊控制做了简单的比较。

关键词：粗糙逻辑；粗糙控制；粗糙集；微分对策中图分类号：TP18；O22
文献标识码：A
Differential Game Theory Based on Rough Logic
XU Zi -xiang ，ZHOU De -yun
（North -western Polytechnical University Faculty of Electron and Information ，Xi’an Shanxi 710072，China ）ABSTRACT ：Due to the difficulties in practical applications of differential games ，the paper introduces the rough control ，a new artificial intelligence method.Rough set theory can depict and treat incomplete and inexact information.Based on simple introduction of rough set ，rough logic and rough control ，the paper tries to in troduce them into differential game ，and using pursuit -and -evasion problem as an example to discuss the method of rough differential game model.The model has embodied the merits of simpleness ，rapidness ，and easy implementation of control algorithm ，and it also diminishes the requirments of differential game for exact mathematical model and integrated information.At the same time ，a simple comparison between rough control and fuzzy control is made.
KEYWORDS ：Rough logic ；Rough control ；Rough set ；Differential game
1 引言
自1965年R.Isaacs 博士提出微分对策理论以来，其理论
与应用都得到很大发展。

但微分对策在实际应用上存在较多的困难。

主要是：①微分对策的求解本质是两点边值问题，求解困难；②基于最优控制的微分对策要求双方数学模型是精确的。

由于控制所测信息被噪音破坏、各种干扰、环境的恶劣等，让此要求变得不切实际；③超视距的现代作战方式，要求定性和定量分析相结合；④对策问题中涉及人的因素。

正因以上原因，应寻求微分对策理论本身的发展。

目前神经网络，模糊控制等人工智能方法引入了微分对策，都是
十分有益的尝试［5］［6］［8］。

1982年，波兰学者Pawlak Z 提出粗糙集理论（RS 理论）［7］。

粗糙集理论［4］以其能刻画和处理不
完整、不精确信息，而成为目前人工智能领域一个新的学术
点，并得到广泛应用。

其突出优点是控制算法简单、迅速和易于实现，并保留了模糊控制中的绝大多数优点。

作为一个新颖的方向，本文尝试将粗糙逻辑和粗糙控制引入微分对策，以追逃问题为例，初步探索了粗糙微分对策模型的建立方法。

2
粗糙逻辑和粗糙控制
2.1
粗糙集理论（Rough Set Theory ，RST ）
［4］［7］
RS 理论的基础是不可分辨关系，它揭示出论域知识的颗粒结构。

近似空间K =（U ，R ）是一个二元对，U 作为论域是一个给定的有限非空集合，R 是U 上的一族等效关系。

X 是U 的一个子集，有时X 不能精确定义而只能逼近地刻画，即不能表示成基本等效类组成的并集。

a 是U 的一个对象，a 的等效类［a ］R 是所有与a 不可分辨的对象的集合。

准确地说，定义X 的边界区为
BN （X ）=R +
（X ）-R -（X ）
（1）
—
531—
即集合X的上下逼近之差。

如BN（X）=Ф，则X关于R为清晰的；如BN（X）7Ф，则X关于R为粗糙的。

其中R+（X）和R-（X）分别定义为
R+（X）=｛a∈U：［a］
R
E X7Ф｝（2）
R-（X）=｛a∈U：［a］
R
∈X｝（3）逼近精度定义成
αR（X）=card（R+（X））
card（R-（X））
（4）
card表示求集合的势。

2.2 粗糙逻辑（Rough Logic）［3］
粗糙逻辑的本质是模态逻辑，是在二值逻辑上定义R-为必然算子［］和定义R+为可能算子〈〉而扩充之后得到的。

假设X为命题集合，则命题P∈X的不确定程度可形成一个格〈（R-p，R+p），=〉。

设f：x→｛false，roughly false，unknown，roughly true，true｝表示将命题p映射至上述5种粗糙真值测度之一。

对于命题变量p和q及规则p→q，则可利用f对命题进行如下粗糙推理
大前提：p→q f（p→q）=α
小前提：p f（p）=β
结论：q min（α，β）≤f（q）≤α
2.3 粗糙控制（Rough Control）［1］［3］
粗糙控制是根据观测数据获得控制策略的方法即从范例中学习，属于智能控制范畴。

其突出优点是简单迅速容易实现，以及由于该RS的约简功能使得规则库的规模能最小化。

其主要步骤是：
1）选择针对具体问题的作为考虑对象的属性。

属性有条件属性和决策属性。

2）把控制过程中的一些有代表性的状态及专家决策数据记录下来形成决策表。

对连续属性应离散化。

决策表是一张二维表，决策表实际是逻辑规则集合。

3）条件属性约简（reduct），即除去多余属性的列和重复行；规则约简，即去除含冗余信息的规则；得到最简规则后存入知识库，规则形式为“If condition=N满足Then采取Decision=M”。

约简（reduct）定义为不含多余属性并保证分类正确的最小条件属性集。

一个决策表可能同时存在几个约简，这些约简的交集定义为决策表的核（core）。

4）粗糙控制实现。

实际上已是在规则库中查询具有相同或相似条件属性的决策规则。

3 微分对策
粗糙控制和模糊控制一样，都是仿人的基于规则的控制方式，不需系统模型。

为说明微分对策的概念，这里用模型方式且以二人零和微分对策为例来介绍微分对策思想。

如果用数学模型描述，二人零和微分对策的一般形式为
·x=f（t，x，u，v）
x（t
0）=x
{
（5）
设两对策者的指标函数分别为J
1和J
2。

微分对策的解指，若
存在控制u*（t）∈uU，v*（t）∈v，使得对一切控制u∈U，v
∈V都有J1（u*，v*）≤J1（u，v*），J2（u*，v*）≤J2（u*，v）
则（u*，v*）称为最优解。

对零和对策J
1
=-J
2
=J，
J（u，v*）≤J（u*，v*）≤J（u*，v）（6）
则称局势（u*，v*）是微分对策的鞍点。

但一般情况下，鞍点
并不存在。

如果记上、下δ-对策构成的“序列对”为G=（｛Gδ｝，｛
G
δ
｝），这里δ=
T
-t
n
，且如果v+=lim
δ→0
vδ和v-=lim
δ→0
v
δ
都存
在且相等，则记它们的值为微分对策的值v。

微分对策鞍点与
值的解析计算方法主要有Bellman-Isaacs原理、Hamilton-
Jacobi方程和极大极小值法等。

求解Hamilton-Jacobi方程涉
及到求解两点边值问题（TPBV），而两点边值问题的求解是
相当困难的，目前也出现了一些数值解法，然而每种方法都
只能对特定的问题有效。

4 粗糙微分对策模型
微分对策问题本身也是控制问题。

粗糙控制是以决策表
的方式来进行的，决策表包含决策规则（Decision Rules）和
决策选择机制（rule selection mechanism）。

决策规则的形式
为
If｛set of conditions｝Then｛set of decision｝
决策表的形式如表1所示。

表1 决策表的形式
Rule
number
Conditions Decisions
C1...C k D1...D k
1
・
・
・
N
V1c1
・
・
・
V N c1
...
・
・
・
...
V1c k
・
・
・
V N c k
V1d1
・
・
・
V N d1
...
・
・
・
...
V1d n
・
・
・
V N d k
尽管粗糙控制和模糊控制相似，都是基于规则的模仿人
类的决策过程。

而就上述粗糙控制实现过程中，粗糙集理论
主要体现在对条件和决策属性的不分明类的划分，即第一步
粗糙控制决策表建立；以及表现在对条件属性和规则属性的
约简过程中，即第三步。

但模型建立的关键是第二步。

这里以导弹和飞机的追逃微分对策问题来说明粗糙微
分对策模型的建立过程。

出于简单，假设导弹为追方（P），飞
机为逃方（E）。

在导弹与飞机的战斗过程中，导弹制导所需
的输入信息一般为双方相对距离（R）、相对速度（V
r
）及目标
视线角（θ）而输出信息一般为指令加速度（a
c
）。

下面是较为
详细的模型建立过程：
第一步，按照粗糙控制决策表的建立步骤，对上述导弹
与飞机的追逃对策，首先应用RS理论来定义问题对象的条
件属性（相对距离R、相对速度V
r
、目标视线角θ）和决策属
性（指令加速度a
c
）。

对此一方面可采纳连续属性离散化的方
—
6
3
1
—
法，也可以采用由模糊隶属函数来间接地获得。

例如下图1（a）和（b）分别对应了模糊概念“相对速度快”和不分明类的划分。

可将模糊隶属函数µ（x）=0.6～0.8记为［3］，即“偏高”。

图1 模糊集和不分明类划分间的关系
第二步，接下来就是要确定粗糙控制规则。

规则的获取可以有多种渠道，如与领域专家的会谈（interviews with problem domain experts）、机器学习（machine learning）、离散数理plant模型（discretized quantitative plant model）等。

在实际确定这些规则库时要进行大量实验。

以对导弹弹道飞行影响最大的目标视线角θ、相对速度V
r
、相对距离R为输入量，
指令加速度a
c
为输出量，且输入量尚取偏差变化率，得到如下形式的导弹制导即追逃问题的控制规则：
IF（θ=3；andΔθ=2；and R=2；and I R=2；and V
r
=3；and I V
r =1）THEN（a
c
=1）
上述规则制定过程还应考虑微分对策是对策双方在状态方程和约束下，一方欲使性能指标最大而另一方欲使其最小的要求。

在确定具体规则时，必须利用微分对策的思想，经过粗糙推理、一定的解算和大量的实验方能得出。

粗糙规则的确定是粗糙微分对策的中心环节，将所有的规则集成可得到初步的决策表。

第三步，对初步的决策表应进行条件属性约简和规则的约简（Reduct）。

约简被定义为不含多余属性并保证分类正确的最小条件属性集。

一个决策表的同时可能约简的交集就构成了决策表的核（core）。

“约简”和“核”是RS方法的精华，RS理论提供了搜索约简和核的方法。

将去除重复后所得到的最简规则存入知识库，作为粗糙控制的主要依据。

第四步，最后是对策控制系统的实现过程，这实际上已简化为在知识库中查询具有相同或相似条件属性的决策规则的过程。

由于粗糙集理论的历史很短，将粗糙控制引入微分对策同时又是一个新颖的做法，这里只是初步地探讨了粗糙微分对策模型的建立方法。

详细的模型需要更多的数据和实践，这也是进一步研究要做的工作。

5 基于粗糙逻辑的主要优点和结束语
RS根据观测数据获得控制策略的方法被称为从范例中学习（learning from examples），属于智能控制的范畴。

粗糙控
制（RC）和模糊控制（FC）都是基于规则的控制方式，粗糙控制（RC）相比于模糊控制（FC）有如下一些优点：
1）RC具有更好的适应性，简单易实现。

这是因为RC不需要FC那样有模糊化和去模糊而直接表现为查表过程。

这对于导弹制导这些实时性要求高的控制过程是很好的优点。

2）RC的规则是精简的。

RS能在保留关键信息的前提下对数据进行化简并求得知识的最小表达，当属性值获取困难或代价较大时，精简性有重要的作用。

3）RS不需要先验知识。

模糊集或概率统计方法需要隶属函数或概率分布等附加信息，而RS分析方法仅利用数据本身提供的信息。

4）RS的规则是客观的。

RS让数据本身说明问题，而模糊推理的隶属度常是主观给出的。

出于微分对策在实际应用上存在较多的困难，本文尝试将粗糙逻辑和粗糙控制引入微分对策，以追逃问题为例，初步探索了粗糙微分对策模型的建立方法。

体现了粗糙集理论能刻画和处理不完整、不精确信息，同时体现了控制算法的简单、迅速和易于实现。

参考文献：
［1］Adam Mrozek，Leszek Plonka and Jerzy Kedziera.The Methodology of Rough Controller Synthesis［C］.Proceedings of
the Fifth IEEE International Conference on Fuzzy Systems
（FUZZ-IEEE’96），September8-11，New Orleans，
Louisiana，1996.1135-1139.
［2］谢克明，杨静.粗糙集理论及其在智能控制领域的应用前景［J］.太原理工大学学报，1999，30（4）：338-342.
［3］马志锋，等.粗糙控制中的规则获取策略研究［J］.工业仪表与自动化装置，2000，（6）：58-61.
［4］韩祯祥，等.粗糙集理论及其应用综述［J］.控制理论与应用，1999，16（2）：153-157.
［5］周锐，李惠峰.神经网络理论在微分对策中的应用［J］.北京航空航天大学学报，2001，26（6）：666-668.
［6］周锐.基于神经网络的微分对策控制器设计［J］.控制与决策，2003，18（1）：123-125.
［7］Pawlak Z.Rough Set［J］.International Journal of Information and Computer Science，1982，11：341-356.
［8］许诚，等.基于模糊理论的微分对策制导律［J］.飞行力学，1997，15（1）：86-90.
［作者简介］
徐自祥（1972-）：男（汉族），安徽人，西北工业大
学电子信息学院在读博士，主要研究方向为对策
论、控制理论、软计算方法等。

周德云（1964-）：男（汉族），浙江人，西北工业大
学电子信息学院，博士生导师，教授，主要研究方向为控制理论、火力控制、运筹学等。

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