2025年中考数学总复习提分小专题十五综合与实践类型四

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典例精讲
掌握通性通法
再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧，问并联
后的电阻值是多少.
1 1
1
我们可以利用公式 = + 求得R的值， 也可以设计一种图算法
R R1 R 2
直接得出结果：我们先来画出一个120°的角，再画一条角平分线，在
角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一
将其倒立在盛有足量水的烧杯中，这里会发生化学反应.
化学方程式为4NO2+O2+2H2O=4HNO3. ①
当NO2和O2的体积比为4∶1时，NO2和O2恰好完全反应. 如果反应后NO2仍有剩余，
则NO2会和水继续发生化学反应.
化学方程式为3NO2+H2O=2HNO3+NO. ②
化学反应②中参与反应的NO2与生成的NO的体积比为3∶1.
列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量. 比如想知道10摄氏
度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系 F =
9
C + 32得出，当C = 10时，F = 50. 但是如果你的温度计上有华氏温标刻
5
度，就可以从温度计上直接读出答案. 这种利用特制的线条进行计算的方
法就是图算法.
厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣
与零刻线的水平距离为y厘米．
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掌握通性通法
方案设计
目标：设计简易杆秤.
设定m0 = 10，M = 50，最大可称重物质量为1 000克，零刻线与末刻线
的距离定为50厘米．
问题解决
任务一：确定l和a的值．
（1）当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出l关于a的等
上化学问题的过程中，主要运用的数学
AC . （从下面选项中选出两个即可）
思想是
A. 建模思想
B. 统计思想
C. 分类讨论思想
D. 公理化思想
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方法触类旁通
（2）根据材料中的内容，求出当8<x<10时，y与x的函数关系式，并在图2中
将该函数图象补充完整.
的距离．
1
解：（5）由（4）可知y =
，
20
当m = 100时，则有y = 5.
∴相邻刻线间的距离为5厘米．
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方法触类旁通
请阅读下列科普日记，并完成相应的任务.
×年×月×日星期日
利用一次函数知识解决化学问题
今天我看到一则化学实验材料：
如图1，在一支10 mL的试管中充满了NO2和O2的混合气体，
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掌握通性通法
任务二：确定刻线的位置．
（4）根据任务一，求出y关于m的函数表达式.
解：（4）由（3）可知l = 2.5，a = 0.5，
1
∴2.5（10 + m）=50（0.5 + y），∴y =
.
20
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掌握通性通法
（5）从零刻线开始，每100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间
解：（1）答案不唯一，如：图算法方便，直观；或不用公式计算即可
得出结果等.
（2）请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：
1 1 1
①用公式 = + 计算：当R1=7.5，R2 = 5时，R的值为多少.
R R1 R2
1 1 1
1
1 7. 5 + 5 1
解：（2）①当R1 = 7.5，R2 = 5时， = + =
第四部分 综合与实践
提分小专题十五 综合与实践
类型四 综合与实践——跨学科实践
请同学们打开《滚动迁移》第222页，开始今天的学习吧！
目
录
1
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2
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掌握通性通法
1. （2021山西第20题）阅读与思考
图算法
图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的
各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排
方法触类旁通
（3）当完全反应后试管内剩余气体的体积为2 mL时，求原混合气体中NO2
的体积.
5
32
解：（3）当− x + 10 = 2时，x =
.
4
5
5
40
46
当 x−
= 2时，x = .
3
3
5
答：当完全反应后试管内剩余气体的体积为2 mL时，
32
46
原混合气体中NO2的体积为 mL或 mL.
5
5
解：（2）当8 < x < 10时，剩余NO2的体积为x − 4 10 − x = 5x − 40 mL.
5x − 40
根据反应②，产生的NO的体积为
mL.
3
5
40
故完全反应后试管内剩余气体的体积y= x − .
3
3
5
40
在平面直角坐标系中将y = x − 的图象补充完整
3
3
如答图所示.
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方法触类旁通
根据以上材料，我有如下思考：化学反应结束后试管中剩余气体的体积与化学反
应前试管中混合气体中NO2的体积存在怎样的关系？经过分析，我可以建立一次函数模
型解决这个问题.
设原混合气体中NO2的体积为x mL，O2的体积为（10- x）mL，完全反应后试管内
剩余气体的体积为y mL.
1
1
∴∠1=∠2 = ∠ = × 120°= 60°.
2
2
∵AM∥CO，
∴∠3 =∠2 = 60°，∠M =∠1= 60°.
∴∠3=∠M = 60°. ∴OA = OM.
∴△OAM为等边三角形.
思路分析
线段长度不能直接求得，可根据特殊角构造
辅助线，将复杂的数学问题转化为熟悉的基
本图形.
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量关系式.
解：（1）由题意得m = 0，y = 0，∵m0 = 10，M = 50，
∴10l = 50a，∴l = 5a.
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掌握通性通法
（2）当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，
杆秤平衡，请列出关于l，a的等量关系式.
解：（2）由题意得m = 1 000，y = 50，
4
4
5
5
剩余气体的体积 = 10 − ，即 = − + 10.
4
4
在平面直角坐标系中画出当0<x≤8时的函数图象如图2
所示.
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方法触类旁通
情况三：当8 < < 10时，由反应①可知O2全部参与反应，NO2过量，参与反应①的
NO2的体积为(10 − )，剩余的NO2和水发生反应②，产生不溶于水的NO气体.
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掌握通性通法
∴OM = AM = OA = 7.5.
∵∠B =∠B，∠1 =∠M，∴△BCO ∽ △BAM.
OC
BO
∴
=
.
MA BM
OC
5
∴
=
. ∴OC = 3.
7. 5 5+7. 5
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2. 跨学科实践
有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”，某兴趣小组
将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤，小组先设计方案，然后动手制
作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务：
知识背景
如图（杆秤示意图），称重物时，移动秤砣可使
杆秤平衡，根据杠杆原理推导得（m0+m）·l
=M·（a + y），其中秤盘质量m0克，重物质量
m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l
+ =
= ，
R R1 R2 7. 5 5 7. 5×5 3
所以，R = 3.
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掌握通性通法
②如图，在△AOB中，∠AOB=120°，OC是∠AOB的平分线，
OA=7.5，OB=5，用你所学的几何知识求线段OC的长.
解：②如答图，过点A作AM∥CO，交BO的
延长线于点M. ∵OC平分∠AOB，
∴（10 + 1 000）l = 50（a + 50），
∴101l - 5a = 250.
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掌握通性通法
（3）根据（1）和（2）所列的等量关系式，求出l和a的值.
l = 5a,
解：（3）由（1）（2）可得ቊ
101l − 5a = 250.
a = 0. 5,
解得ቊ
l = 2. 5.
∴l =2.5，a = 0.5.
张算图；我们只要把角的两边刻着7.5和5的两点连成一条直线，这条
直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值.
图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情
况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计算的测
量制图人员，往往更能体会到它的优越性.
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掌握通性通法
任务：
（1）请根据以上材料简要说明图算法的优越性.
情况一：由反应①可知，当NO2和O2的体积比为4∶1时，NO2和O2恰好完全反应，
此时 = 8， = 0.
情况二：当 < 时，由反应①可知NO2全部参加反应，
x
O2过量，参加反应①的O2的体积为 ，剩余O2的体积为10 −
4
x
5
− = 10 − ，因为O2 不溶于水，故完全反应后试管内