第十届北京市大学生数学甲乙组试题
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4/10
二 设u = f (xyz)， (0) = 0 f ′(1) =1 且 、 ， f ， u 2 2 2 = x y z f ′′′(xyz)， u. 求 xyz
3
三 设 f (x) 在[a, b] 上连 ， (a, b)内 、 续 在 可 导 0 ≤ a < b ≤ . 证明 (a, b)内 少 ， 在 至 存在 2 两 ξ1、ξ2，使 点 a +b sin ξ2 f ′(ξ2 ) tan = f ′(ξ1) . 2 cosξ1
n
.
2/10
设 曲 其 6. 有 面z = x + f ( y z)， 中 f 可 导 则 曲 在 一 处 切 面 与 ， 该 面 任 点 的 平 必 向 ｛，｝ . 量 111 ， sin x x ≥ 0 7. f (x) = x 设 ， ∫ f (x 1)dx 则 e 1 x < 0 = . 1 1 1 8. n =1+ x + +L+ ， 1+1 1+ 2 1+ 2 +L+ n 则lim xn = .
7/10
七 设 f (x) 具 二 导 ， f ′′(x) 、 有 阶 数 且 ≥ 0， ∈(∞,+∞)， (x) 在[0, a] 上 续 x g 连 (a > 0)， 明 证 ： 1 a 1 a ∫0 f [g(t)]dt ≥ f [a ∫0 g(t)dt]. a
8/10
以下两题乙组同学不做
Q 八 设P(x, y)、 (x, y) ∈C , 且 任 实 、 对 意 数
π
5/10
四、证明：若q(x) < 0，则方程 y′′ + q(x) y = 0的任一非零解至多有一个零点 .
五 已 锐 ABC， 取 P(x, y)， 、 知 角 若 点 令 f (x, y) =| AP | + | BP | + | CP（ ｜ 示 段 | ｜ 表 线 的 度 . 证 ： f (x, y) 取 长 ） 明 在 极值 点P 的 0 处 向 P A P B PC 所 的 相 . ， 量 0 ，0 ，0 夹 角 等
1/10
π
3. 具有n个不 等 相 实根 n次 项式 的 多 ，其 一阶 导数 不 的 相等 实根至少 有 个 .
4. f (x) 有一阶 设 连续导数 ，且 f (0) = 0， f ′(0) =1 则lim (1+ f (x)) ，
x→0 1 ln(1+x)
=
.
5. x) dx = ∫ (ln
6/10
六 设 利 为i， 复 计 （ 谓 、 年 率 依 利 算 所 复 ， 指 一 时 ， 存 所 利 是 过 定 间 将 款 生 利 自 转 本 再 利 ， 逐 息 动 为 金 生 息 并 期 滚 ） 欲 第n 年 提 n 元 n 动 ， 在 末 取 （
2
=1, 2, L， 永 能 此 取 问 ) 并 远 如 提 ， 开 始 少 要 入 金 多 元 最 至 需 存 本 为 少 （ 后 需 算 与n 无 的 果 ？ 要 出 关 结 ）
n→∞
3/10
设 满 9. f (x) ∈C[π ,π ] 且 足 f (x +π ) = f (x)， 则 f (x)的 氏 数a2n = (n =1,2,L 傅 系 ).
1 ≤ y≤x 10. I = ∫∫ f (x, y)dxdy 设 ，其中D: x , D 1≤ x ≤ 2 则I 在极坐标下的二次积分为 .
第十届北京市大学生（非数学专业） 第十届北京市大学生（非数学专业） 数学竞赛本科甲、 数学竞赛本科甲、乙组试题
一、填空题（每空2分，满分20分）
1. 设 y = x sin x， y 则
3
(10)
(0) = .
2. 设 y = f (x) 具 有二 导 ， f ′(x) 阶 数 且 = f ( x)， 该 数满 的 则 函 足 微分 程 方 2 为 .
n=1
∞
Sn = u1 + u2 +L+ un， 明 证 ： un (1) ∑ 发 ； 散 n=1 Sn un （ ）∑ 2 收 . 2 敛 n=1 Sn
10/10
∞
∞
1
x0、 0和 意 实 R， 有 y 任 正 数 皆
∫ P(x, y)dx +Q(x, y)dy = 0，
L
y
L
其 L是 圆 中 半 ： y = y百度文库 + R (x x0 ) ,
2 2
C
A
O
9/10
(x0 , y0 ) B
则P(x, y) ≡ 0 Q(x, y) ≡ 0. ，
x
九 设 数∑un un > 0 发 ， 、 级 （ ） 散 又
二 设u = f (xyz)， (0) = 0 f ′(1) =1 且 、 ， f ， u 2 2 2 = x y z f ′′′(xyz)， u. 求 xyz
3
三 设 f (x) 在[a, b] 上连 ， (a, b)内 、 续 在 可 导 0 ≤ a < b ≤ . 证明 (a, b)内 少 ， 在 至 存在 2 两 ξ1、ξ2，使 点 a +b sin ξ2 f ′(ξ2 ) tan = f ′(ξ1) . 2 cosξ1
n
.
2/10
设 曲 其 6. 有 面z = x + f ( y z)， 中 f 可 导 则 曲 在 一 处 切 面 与 ， 该 面 任 点 的 平 必 向 ｛，｝ . 量 111 ， sin x x ≥ 0 7. f (x) = x 设 ， ∫ f (x 1)dx 则 e 1 x < 0 = . 1 1 1 8. n =1+ x + +L+ ， 1+1 1+ 2 1+ 2 +L+ n 则lim xn = .
7/10
七 设 f (x) 具 二 导 ， f ′′(x) 、 有 阶 数 且 ≥ 0， ∈(∞,+∞)， (x) 在[0, a] 上 续 x g 连 (a > 0)， 明 证 ： 1 a 1 a ∫0 f [g(t)]dt ≥ f [a ∫0 g(t)dt]. a
8/10
以下两题乙组同学不做
Q 八 设P(x, y)、 (x, y) ∈C , 且 任 实 、 对 意 数
π
5/10
四、证明：若q(x) < 0，则方程 y′′ + q(x) y = 0的任一非零解至多有一个零点 .
五 已 锐 ABC， 取 P(x, y)， 、 知 角 若 点 令 f (x, y) =| AP | + | BP | + | CP（ ｜ 示 段 | ｜ 表 线 的 度 . 证 ： f (x, y) 取 长 ） 明 在 极值 点P 的 0 处 向 P A P B PC 所 的 相 . ， 量 0 ，0 ，0 夹 角 等
1/10
π
3. 具有n个不 等 相 实根 n次 项式 的 多 ，其 一阶 导数 不 的 相等 实根至少 有 个 .
4. f (x) 有一阶 设 连续导数 ，且 f (0) = 0， f ′(0) =1 则lim (1+ f (x)) ，
x→0 1 ln(1+x)
=
.
5. x) dx = ∫ (ln
6/10
六 设 利 为i， 复 计 （ 谓 、 年 率 依 利 算 所 复 ， 指 一 时 ， 存 所 利 是 过 定 间 将 款 生 利 自 转 本 再 利 ， 逐 息 动 为 金 生 息 并 期 滚 ） 欲 第n 年 提 n 元 n 动 ， 在 末 取 （
2
=1, 2, L， 永 能 此 取 问 ) 并 远 如 提 ， 开 始 少 要 入 金 多 元 最 至 需 存 本 为 少 （ 后 需 算 与n 无 的 果 ？ 要 出 关 结 ）
n→∞
3/10
设 满 9. f (x) ∈C[π ,π ] 且 足 f (x +π ) = f (x)， 则 f (x)的 氏 数a2n = (n =1,2,L 傅 系 ).
1 ≤ y≤x 10. I = ∫∫ f (x, y)dxdy 设 ，其中D: x , D 1≤ x ≤ 2 则I 在极坐标下的二次积分为 .
第十届北京市大学生（非数学专业） 第十届北京市大学生（非数学专业） 数学竞赛本科甲、 数学竞赛本科甲、乙组试题
一、填空题（每空2分，满分20分）
1. 设 y = x sin x， y 则
3
(10)
(0) = .
2. 设 y = f (x) 具 有二 导 ， f ′(x) 阶 数 且 = f ( x)， 该 数满 的 则 函 足 微分 程 方 2 为 .
n=1
∞
Sn = u1 + u2 +L+ un， 明 证 ： un (1) ∑ 发 ； 散 n=1 Sn un （ ）∑ 2 收 . 2 敛 n=1 Sn
10/10
∞
∞
1
x0、 0和 意 实 R， 有 y 任 正 数 皆
∫ P(x, y)dx +Q(x, y)dy = 0，
L
y
L
其 L是 圆 中 半 ： y = y百度文库 + R (x x0 ) ,
2 2
C
A
O
9/10
(x0 , y0 ) B
则P(x, y) ≡ 0 Q(x, y) ≡ 0. ，
x
九 设 数∑un un > 0 发 ， 、 级 （ ） 散 又