江苏省连云港市赣榆县海头高级中学高三上学期期中考试数学试题

海州高级中学2014--2015学年度第一学期期中学情调查考试
高三数学试题
填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分.
1. 已知集合A=｛-2，-1，3，4｝，B=｛x| x > 0｝, 则
2. 若复数()是虚数单位）i i z (432
+=, 则的虚部为
3. 执行如图所示的程序框图,如果输入a=2, b=2,那么输出的a 值为
4. 从1,2,3,4这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数和为5的概率是
5. 已知函数与()()πϕϕ<≤+=0cos x y , 它们的图象有一个横坐标为的交点, 则的值是
6. 随机抽取100名年龄在[)[)[)60,50,,30,20,20,10 年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，则在年龄段抽取的人数为 .
7. 已知等比数列｛a n ｝中, a 3+a 5=8, a 1a 5=4, 则
8. 已知直线y=kx+3与圆相交与M,N 点,若|MN |≥2,则k 的取值范围是
9. 平面直角坐标系xoy 中，若曲线在点（0，1）处的切线为，则a+m 的值是
10. 不共线的四点O,A,B,C 满足=+=,32
31 11．已知函数的值域为, 则实数a 的取值范围是
12. 在⊿ABC 中，若AB=2，AC+BC=3，则cosC 的最小值是
13．某公园的摩天轮观览车主架示意图如图所示，其中O 为轮轴中心，距地面32m （即OM 长），
巨轮半径为30m ，AM=BP=2m ，巨轮逆时针旋转且12分钟转动一圈. 若点M 为P 的初始位置(O,A,M 共线),经过t 分钟，该吊舱P 距地面的高度为h(t)，则h(t)=
（第3题） （第6题）
B
A B P
14．已知是定义在R 上且周期为2的函数，当时，，若函数在区间[-2，3]上有8个零点（互不相同），
则实数a 的取值范围是
一、解答题: 本大题共6小题，共计90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分) 已知是第四象限角 (1) 求的值; (2) 求的值.
16. (本小题满分14分)
如图, 在等腰直角⊿ABC 中, ∠ABC=900,腰长为2, P 为⊿ABC 外一点, ∠BPC=900
. (1) 若PC=,求PA 长;
(2) 若∠APB=300
, 求tan ∠PBA.
17. (本小题满分14分)
如图，某山区的两个工厂A 、B 直线距离14km ，工厂C 距A 、B 直线距离都是
25km ，E 为线段AB 的中点,在线段CE 上选建变电站D, 并从点D 处铺设到工厂A,B,C 的输电线DA,DB,DC. (1) 变电站D 建在何处,可使铺设的总输电线长最短?
(2) 因山区复杂条件, 希望铺设的三段输电线中最远一段的长度为最小, 那么变电站D 建在何处?
18. (本小题满分16分)
如图,已知椭圆E: 2
3
)0(12222的离心率为>>=+b a b y a x , 过左焦点F 且斜率为k 的直线交椭圆于
A,B 两点,线段AB 的中点为M, 直线交椭圆E 于C,D 两点.
(1) 求椭圆E 的方程; (2) 求证:点M 在直线上;
(3) 若⊿BDM 的面积是⊿ACM 面积的3倍, 求斜率k 的值.
19. (本小题满分16分)
设函数())(ln 2
R a x ax x x f ∈-+=
(1) 若a=1, 求函数的单调区间;
(2) 设函数，若在区间上是减函数, 求实数a 的取值范围; (3) 过坐标原点O 作曲线的切线,证明:切点的横坐标为1.
20. (本小题满分16分)
设数列｛a n ｝是等差数列,首项为a 1, 公差为d, 前n 项和为S n , 若数列｛a n ｝中任意不同两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列为“F 数列”. (1)若a 1=4, d=2, 判断该数列是否为“F 数列”.
(2)若a 1,d,是否存在这样的“F 数列”, 使S 10 ≤70? 若存在,求出所有满足条件的数列的通项公式;若不存在,请说明理由.
(3)试问:数列｛a n ｝为“F 数列”的充要条件是什么?给出你的结论并加以证明.
高三数学参考答案
一、填空题：
1.、｛3，4｝ 2、 24 3、 256 4、 5.、 6、 2 7、 9 8、 ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-
33,33 9.、 3 10、 2 11、 __ 12、 13、h （t ）= 14、 （0，1） 二、解答题
15..解 （1）由题意得13121351sin 1cos 2
2=⎪⎭
⎫
⎝⎛--=-=αα
所以，26312513521131223sin 3cos cos 3sin 3sin +=
⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-⋅=-=⎪⎭
⎫
⎝⎛-απαπαπ----7分 （2）由（1）得169
119
1c o s 22c o s ,169120c o s s i n 22s i n 2=
-=-
==ααααα，所以， 3383119120)169120(21169119232sin 65sin 2cos 65cos 265cos +-
=-⋅+⋅-=+=⎪⎭
⎫
⎝⎛-απαπαπ
------------------------------------------------------------------------------------------------------------14分
16．解 （1）在直角⊿BPC 中，∠BPC=900，BC=2，PC=，所以，∠BC
P=300
又等腰直角⊿ABC 中, ∠ABC=900
，所以在⊿PCA 中，∠PCA=750，AC= 根据余弦定理，0222752COS AC PC AC PC PA ⋅⋅-+= 因(
)4
2
630sin 45sin 30cos 45
cos 30
45cos 75cos 0000
00
-=
-=+= 所以 3254
2
6223283+=-⨯
⨯⨯-+=PA --------------------------7分 （2）设∠PBA= x 则∠PBC= x-900，∠PAB=1500
-x
在直角⊿BPC 中，BP=2
在⊿PAB 中，根据正弦定理 (
)
(
)
x x --=000150sin 90cos 230sin 2，即()x x sin 2
1150sin 0
=-
化简得，于是得 tan ∠PBA=-------------14分 17.解：（1）设DE=xkm ，铺设的总输电线长为km ，根据题意 =24-x+2 （0≤x ≤24） ，令得 因时，单调递减
时，单调递增， 所以当最小
于是，变电站D 建在线段CE 上距点E,可使铺设的总输电线长最短-----7分 （2）设DE=xkm ，铺设的三段输电线中最远一段的长度为km ，则有 {}
49,24max )(2+-=x x x d （0≤≤24）
⎪⎩⎪⎨⎧+<-++≥--=49
24,4949
24,24)(222x x x x x x x d
=⎪⎩
⎪⎨
⎧≤<+≤≤-24
48569
,49485690,242x x x x 因()x x d x -=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈24,48569,0单调递减，，单调递增 所以时，取得最小值
于是变电站D 建在线段CE 上距点E 处，可使铺设的三段输电线中最远一段的长度为最小.------------------------------------------------------------------------------------------------14分 18.解：
(1)椭圆方程--------------------------4分 (2)证明:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x 0,y 0)
⎪⎩⎪⎨⎧=++=14
)3(2
2y x x k y 即041238)14(2
222=-+++k x k x k 所以14342,1438222102221+-=+=+-=+k k x x x k k x x ,143)3(2
00+=+=k k
x k y 因为
01
4341434222=+⋅++-k k k k k ,所以D 点M 在直线上.----------------8分 (3)由(2)知点A 到直线CD 的距离与点B 到直线CD 的距离相等,
因⊿BDM 的面积是⊿ACM 面积的3倍,所以DM=3CM, 又|OD|=|OC|, 于是M 是OC 的中点----10分
设点C 的坐标为(x 3,y 3) 则y 0=
因为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=14
42
2y x ky x ,解得,于是,解得 所以-----------------------------------------------------------------------16分
19．解：
(1)当a=1时, ())0(ln 2
>-+=x x x x x f
()()x
x x x x x f )
1(12112'+-=
-
+= 当 时, , 当时, ,
所以单调递减区间,单调递增区间-----------4分 (3) ()())0(ln 2
>-=-=x x ax x x f x g , ()x
ax x a x g 1
1'-=
-
= 当a ≤0时, ,在区间上是减函数
当a>0时, ()x
a x a x ax x a x g )
1
(11'-=-=-= 当时, , 当时,
此时函数的单调减区间为 因在区间上是减函数, 所以
于是有即0<. 综上, 实数a 的取值范围-----------10分
(3) 证明: 设切点为M, 切线的斜率, 又切线过原点, 所以, , 即12ln 22-+=-+at t t at t 所以
存在性: t=1满足方程
唯一性: 设, ,在(0,+)单调递增,且
所以有唯一解.
综上, 切点的横坐标为1.---------------------------------------------------------------------16分
20．(本小题满分16分)
解 (1)由题意,a n =2n+2, 对于任意m,n 有a m +a n =2(m+n+1)+2, 因m+n+1 ,于是令 P=m+n+1,则有a p =2p+2,所以数列｛a n ｝为“F 数列”.------------ 4分 (2)假设存在数列｛a n ｝满足条件,即10a 1+45d ≤70, 则a 1和d 的可能值 ①d=0, a 1=0,1,2,3,4,5,6,7, 此时a n =0是“F 数列” ②d=1, a 1=0,1,2 此时a n =n-1,a n =n, a n =n+1均为“F 数列
所以满足条件的数列通项公式为a n =0, a n =n-1, a n =n, a n =n+1-------------- ---8分
(3)结论: 数列｛a n ｝为“F 数列”的充要条件是存在整数m ≥-1使a 1=md ------10分 证明:ⅰ) 充分性 若存在整数m ≥-1使a 1=md,则任取等差数列的两项a s , a t (s ≠t) 因s+t ≥3, m ≥-1所以s+t+m-1为≥1的正整数,
于是a s +a t =a 1+（s-1）d+md+（t-1）d=a 1+(s+t+m-2)d=a m+s+t-1-------12分 ⅱ) 必要性 任取等差数列的两项a s , a t (s ≠t),若存在a k 使得a s +a t =a k 则2a 1+(s+t-2)d=a 1+(k-1)d, 于是a 1=(k-s-t+1)d,故存在m=k-s-t+1∈Z 使a 1=md,下面证明m ≥-1. 当d=0,显然成立
当d ≠0,若m<-1, 则取p=-m ≥-2,对不同的两项a 1, a p ,存在a q 使a 1+a p =a q . 即2md+(-m-1)d=md+(q-1)d, 可得qd=0,这与q>0,d ≠0矛盾
故存在整数m ≥-1使a 1=md-----------------------------------------16分。