2020版江苏高考考前三个月数学专题练习第五篇 回扣3

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5.在三棱锥S－ABC中，底面ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥SC，SB⊥SC，SA＝ 35
SB＝2，则该三棱锥的体积为____4____.
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解析 如图，∵SA⊥SC，SB⊥SC，且SA∩SB＝S，SA，SB⊂平面SAB， ∴SC⊥平面SAB，
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本课结束
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第五篇
精练常考考点
1.若将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，则所得几何体的侧面 积是___2_π____. 解析 几何体是底面圆半径为1，高为1的圆柱，则其侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.
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2.已知用平面α截球O所得截面圆的半径为3，球心O到平面α的距离为4，则此球的表 面积为___1_0_0_π____. 解析 依题意，设球的半径为R，满足R2＝32＋42＝25， ∴S球＝4πR2＝100π.
球
S＝4πr2
S＝43πr3
3.平行、垂直关系的转化示意图
牢记易错结论
1.易混淆几何体的表面积与侧面积的区别，几何体的表面积是几何体的侧面积与所
有底面面积之和，不能漏掉几何体的底面积；求锥体体积时，易漏掉体积公式中的
系数
1 3
.
2.不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质
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7.如图，三棱锥A－BCD的棱长全相等，点E为AD的中点，则直线CE与BD所成角的 3
余弦值为_____6_____.
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解析 方法一 取AB的中点G，连结EG，CG.
∵E为AD的中点，∴EG∥BD.
∴∠GEC为CE与BD所成的角.
在 Rt△BSC 中，由 SB＝2，BC＝3，得 SC＝ 5.
在△SAB中，取AB中点D，连结SD，
则 SD⊥AB，且 BD＝32，
∴SD＝ 22－322＝ 27，
∴V＝13×12×3× 27×
5＝
35 4.
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6.已知m，n为不同直线，α，β为不同平面，给出下列命题： ①若m⊥α，m⊥n，则n∥α； ②若m⊥β，n⊥β，则m∥n； ③若m⊥α，m⊥β，则α∥β； ④若m⊂α，n⊂β，α∥β，则n∥m； ⑤若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，m⊥n，则n⊥β. 其中正确的命题是__②__③__⑤__.(填写所有正确命题的序号)
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解析 设圆锥的母线长为l，底面半径为r， l＋r＋ 2r＝5＋ 2× 2，
由已知条件得2πl r＝π2， 解得 r＝ 2，l＝4 2， 则S＝πrl＋πr2＝10π.
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9.(2019·苏北三市质检)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E，F分别是B1C1， AB，AA1的中点. (1)求证：EF∥平面A1BD；
∴cos〈C→E，B→D〉＝
→→ CE·BD →→
＝
1 43＝
3 6.
|CE||BD| 2
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8.如图所示，在边长为 5＋ 2的正方形 ABCD 中，以 A 为圆心画一个扇形，以 O 为圆 心画一个圆，M，N，K 为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆 O 为圆锥底面，围成一个 圆锥，则圆锥的表面积 S＝__1_0_π____.
回扣3
立体几何
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回扣必考知识 牢记易错结论 精练常考考点
回扣必考知识
1.概念理解 四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间 的关系.
2.柱、锥、台、球体的表面积和体积
侧面展开图
表面积
直棱柱 长方形
圆柱
长方形
S＝2S底＋S侧 S＝2πr2＋2πrh
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10. 如 图 ， 在 四 棱 锥 P － ABCD 中 ， 底 面 ABCD 为 矩 形 ， PD⊥BC，G为PA上一点. (1)求证：平面ABCD⊥平面PCD；
证明 ∵底面ABCD为矩形， ∴BC⊥CD， 又∵PD⊥BC，PD∩CD＝D，CD，PD⊂平面PCD， ∴BC⊥平面PCD. 又∵BC⊂平面ABCD， ∴平面ABCD⊥平面PCD.
4.设 m，n 是不同的直线，α，β，γ 是不同的平面，有以下四个命题：
①α∥β， ⇒β∥γ；②α⊥β， ⇒m⊥β；
α∥γ
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m∥α
③m⊥α， m∥β
⇒α⊥β；④m∥n， n⊂α
⇒m∥α.
其中正确的命题是___①__③___.(填序号)
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解析 ①中平行于同一平面的两平面平行是正确的； ②中m，β可能平行，相交或直线在平面内； ③中由面面垂直的判定定理可知结论正确； ④中m，α可能平行或线在面内.
体积 V＝S底·h V＝πr2·h
棱锥 由若干三角形构成 S＝S 底＋S 侧
圆锥
扇形
S＝πr2＋πrl
V＝13S 底·h V＝13πr2·h
棱台
S＝S 上底＋S 下底 由若干个梯形构成
＋S 侧
V＝13(S＋ SS′＋S′)·h
圆台
扇环
S＝πr′2＋π(r＋ r′)l＋πr2
V＝13π(r2＋rr′＋r′2)·h
定理中的条件，导致判断出错.如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易误得出m⊥β的结论，
就是因为忽视面面垂直的性质定理中m⊂α的限制条件.
3.注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系.对照前后图形，弄清楚变
与不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素
在空间中的位置与数量关系.
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解析 命题①，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故不正确； 命题②，若m⊥β，n⊥β，则m∥n，由线面垂直的性质定理易知正确； 命题③，由线面垂直的性质易知正确； 命题④，若m⊂α，n⊂β，α∥β，则n∥m或m，n异面，所以不正确； 命题⑤是面面垂直的性质定理，所以是正确命题.故答案为②③⑤.
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证明 因为E，F分别是AB，AA1的中点，所以EF∥A1B. 因为EF⊄平面A1BD，A1B⊂平面A1BD， 所以EF∥平面A1BD.
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(2)若A1B1＝A1C1，求证：平面A1BD⊥平面BB1C1C.
证明 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面A1B1C1， 因为A1D⊂平面A1B1C1， 所以BB1⊥A1D. 因为A1B1＝A1C1，且D是B1C1的中点， 所以A1D⊥B1C1. 因为BB1∩B1C1＝B1，B1C1，BB1⊂平面BB1C1C， 所以A1D⊥平面BB1C1C. 因为A1D⊂平面A1BD， 所以平面A1BD⊥平面BB1C1C.
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(2)若PC∥平面BDG，求证：G为PA的中点.
证明 连结AC交BD于点O，连结GO， ∵PC∥平面BDG，平面PCA∩平面BDG＝GO，PC⊂平面PCA， ∴PC∥GO， ∴PGGA＝COOA. ∵底面ABCD为矩形， ∴O是AC的中点， 即CO＝OA， ∴PG＝GA， ∴G为PA的中点.
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3.若正四棱锥的底面边长为 2 2，体积为 8，则其侧面积为___4__2_2____.
解析 因为 V＝13×(2 2)2h＝8，所以 h＝3，
所以斜高 h′＝ 32＋ 22＝ 11.
所以其侧面积为 S 侧＝4×12×2
2×
11＝4
22.
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∵三棱锥A－BCD的棱长全相等，
∴设AB＝1，
则 EG＝12BD＝12，CE＝CG＝ 23，
EG2＋EC2－GC2 ∴由余弦定理得 cos∠GEC＝ 2×EG×EC
＝122＋ 232－
2×12×
3 2
232＝
3 6.
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方法二 设 AB＝1，则C→E·B→D＝(A→E－A→C)·(A→D－A→B)＝12A→D－A→C·(A→D－A→B) ＝12A→D2－12A→D·A→B－A→C·A→D＋A→C·A→B ＝12－12cos 60°－cos 60°＋cos 60°＝14.