江苏金湖二中2014高三上9月周末测试卷(一)-数学.

金湖二中2014届高三第一次周末测试
数学试卷（理科） 2013.9.14
本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答．卷纸．．相应位置．．．．上．
1.设全集{0,1,2,3,4}U =，集合{0,1,2}A =，集合{2,3}B =，则B A C U ⋃)(=__▲
___
2.复数
13i z =+，21i z =-，则复数12
z z =____▲____
3.某高中共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取容量为45的样本，那么高三年级抽取的人数为 ▲ . 4．已知0.2log 3a =，12-=b ，sin
5
c π=，则,,a b c 从小到大排列是_ _▲_ _．（用“<”连接）
5.设
()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()25x f x =-，则(2)f -=
__▲
_____
6.若存在．．
实数[1,2]x ∈满足22x a x >-，则实数a 的取值范围是 ▲ . 7.已知等差数列
{}n a 的公差0d ≠，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公
比是____▲_____
8. 设函数
2
|1|2,||1,
()1
,||1,x x f x x x --⎧⎪=⎨>⎪⎩≤则
1(())
2
f f =___▲___．
9．已知集合
{}
2340
A x x x =--=，
{}
10B x mx =+=，若B A ⊆，则m 所能取的一
切值构成的集合为 ▲
10．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那
么函数解析式为y=x 2
，值域为{1，4}的“同族函数”共有 ____▲_____个
11.设命题014,::22>++∈∀<cx x R x q c c p 对和命题，若p 和q 有且仅有一个成立，则实数c 的取值范围是 ▲ 。

12．已知函数
()f x 满足()12f =，
()()
()
111f x f x f x ++=
-，则
()()()()
1232007f f f f ⋅⋅⋅⋅的值为 ▲ 。

13. 已知函数(2)1a y log x =-+的图象恒过定点A , 若点A 在直线01ny mx =-+上,
其中0n ,0m >>, 则n
1m 3+的最小值为 ▲ . 14. 某同学在研究函数
|
x |1x )x (f +=
)R x (∈时, 分别给出下面几个结论:
① 等式0)x (f )x (f =-+在R x ∈时恒成立;
② 函数)x (f 的值域为)1,1( -;
③ 若21x x ≠, 则一定有)x (f )x (f 2
1≠; ④ 函数x )x (f )x (g -=在R 上有三个
零点.其中正确结论的序号有 ▲ . (请将你认为正确的结论的序号都填上)
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （本题满分14分） 已知函数
]4,161[,log )(4∈=x x x f 的值域为集合A ，关于x 的不等式)
(2)2
1(3R a x
a x ∈>+的解集为B ，集合
}
01
5|{≥+-=x x
x C ,集合}121|{-<≤+=m x m x D )0(>m （1）若B B A = ,求实数a 的取值范围； （2）若C D ⊆,求实数m 的取值范围.
16. （本题满分14分）
已知函数()lg(2)lg(2).f x x x =++-
（1）求函数()f x 的定义域；
（2）记函数()()103,f x g x x =+求函数()g x 的值域； （3）若不等式()f x m >有解，求实数m 的取值范围.
17. （本题满分14分）
在平面直角坐标系
xoy 中，已知圆心在直线4y x =+上，半径为的圆C 经过坐标原点O ，
椭圆()2
2
2109
x y a a +=>与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10。

（1）求圆C 的方程；
（2）若F 为椭圆的右焦点，点P 在圆C 上，且满足4PF =，求点P 的坐标。

18. （本题满分16分） B .已知矩阵
1134,1248A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦
,求矩阵B A 1-
C. 在极坐标系中，圆C
的方程为
)
4
ρθπ=+，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正
半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为
,12x t y t
=⎧⎨
=+⎩（为参数），判断直线和圆C 的位
置关系．
19. （本题满分16分）
如图，灌溉渠的横截面是等腰梯形，底宽2米，边坡的长为x 米、倾角为锐角α. (1)当
3
πα=
且灌溉渠的横截面面积大于8平方米时，求x 的最小正整数值；
(2)当x=2时，试求灌溉渠的横截面面积的最大值.
x
α
20．（本题满分16分）
已知函数32(1)()ln (1)x x bx c x f x a x
x ⎧-+++<=⎨≥⎩的图象过点(1,2)-，且在23x =处取得极值．
(1) 求实数,b c 的值；
(2) 求()f x 在[1,]e - （e 为自然对数的底数）上的最大值.
金湖二中2014届高三第一次周末测试
数学试卷（理科）参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. {2,3,4}
2. 12i +
3. 20
4. c b a <<
5. 1
6. 8a <
7. 3
8. 49
9.
1{0,1,}
4
- 10. 9
11.
11(,0][ ,1)22
- 12. 3 13. 16 14.①② ③ 二、解答题（本大题共6小题，共90分） 15.（本小题满分14分）
解：（1）因为14>，所以)(x f 在]
4,16
1
[
上，单调递增，
所以=
A )]4(),16
1
([f f ]1,2[-=，--------------------------2分 又由)(2)21(3R a x
a x ∈>+可得：x a x 22)3(>+-即：x a x >--3，所以4a x -<， 所以)
4
,(a B --∞=，--------------------------4分
又B B A = 所以可得：B A ⊆，--------------------------5分 所以14
>-a ，所以4-<a 即实数a 的取值范围为)4,(--∞.--------------------------6分
（2）因为015≥+-x x ,所以有01
5≤+-x x ,所以21≤<-x ,所以]5,1(-=C ,--------8分 对于集合C m x m x D ⊆-<≤+=}121|{有:
①当121-≥+m m 时,即20≤<m 时∅=D ,满足C D ⊆.--------------------10分
②当121-<+m m 时,即2>m 时∅≠D ,所以有:
⎩⎨
⎧≤-->+5
1211m m 32≤<-⇒m ,又因为2>m ,所以32≤<⇒m --------------------13分
综上：由①②可得：实数m 的取值范围为]3,0(.--------------------14分
16.（本小题满分14分） （1）x 须满足2020
x x +>⎧⎨
->⎩，22
x ∴-<< ……………3分
∴所求函数的定义域为()
2,2- ……………5分
说明：如果直接由22()lg(4),40f x x x =-->得到定义域
()2,2-，不得分，但不再影响后两小问的得分。

（2）由于22x -<<，2()lg(4),f x x ∴=-而()()103,f x g x x =+
2()34g x x x ∴=-++(22)x -<<， ……………7分
其图像的对称轴为
32x =，而125
(),(2)6
24
g g =-=- ∴所求函数的值域为25(6,]
4
- ……………9分
（3）∵不等式()f x m >有解，∴max ()m f x < ………………………11分
令24t x =-，由于22x -<<，∴04t <≤ ∴()f x 的最大值为lg 4.
∴实数m 的取值范围为lg 4m < ………………………14分 说明：也可以结合()f x 的是偶函数和单调性，求得()f x 的最大值，参照给分。

17. （本小题满分14分）
解：（1）由已知可设圆心坐标为(),4t t +，()2248t t ++=得2t =-，……5分
所以圆心坐标为
()2,2-，
所以圆的方程为()()
2
2
228
x x ++-= ……………7分
（2）设
()
,P m n ，由已知得()
4,0F ，则
()()
2
2
4016m n -+-=，
()()
2
2
228
m n ++-= ……………11分
解之得：
405
012
5m m n n ⎧
=
⎪=⎧⎪⎨
⎨=⎩⎪=⎪⎩
或 ……………13分
所以 点P 的坐标为412(0,0),(,)
55
……………14分
18．（本小题满分16分） B .解:设矩阵A 的逆矩阵为
a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,则1112⎡⎤⎢⎥--⎣⎦a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦
,
即
22a c
b d a
c b
d ++⎡⎤⎢⎥----⎣⎦=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡1001 , 故a=2,b=1,c=1-,d=1-∴矩阵A 的逆矩阵为
1
2111A -⎡⎤=⎢⎥
--⎣⎦
,
∴B A 1-=
2111⎡⎤⎢⎥--⎣⎦3448⎡⎤⎢⎥--⎣⎦=
2014⎡⎤⎢⎥⎣⎦
……………8分 C ．解:消去参数，得直线的直角坐标方程为21y x =+；
)
4
πρθ=+即2(sin cos )ρθθ=+，
两边同乘以ρ得22(sin cos )ρρθρθ=+，
得⊙C 的直角坐标方程为：22(1)(1)2x x -+-=, 圆心C
到直线的距离
d =
=<
所以直线和⊙C 相交． …………………………………………… 16分
19. （本小题满分16分）
解：由已知得等腰梯形的高为xsin α，上底长为2+2xcos α，从而横截面面积
S=12
(2+2+2xcos α)·xsin α=x 2
sin αcos α+2xsin α. …………… 4分
(1)当
3πα=
时，面积
2
S =是(0,+∞)上的增函数，
当x=2时，
<8；当x=3时，
8
>.
所以，灌溉渠的横截面面积大于8平方米时，x 的最小正整数值是3. …………… 8分
(2)当x=2时，S=4sin αcos α+4sin α，S=4cos 2α-4sin 2
α+4cos α
=4(2cos 2
α+cos α-1)=4(2cos α-1)·(cos α+1)， 由S=0及α是锐角，得
3
πα=
. …………… 10分
当0<α<3
π时，S>0，S 是增函数；
当3π<α<2
π时，S<0，S 是减函数。

所以，当α=3
π时，S
有最大值…………… 15分
综上所述，灌溉渠的横截面面积的最大值是…………… 16分
20. （本小题满分16分）
解：（1）当1x <时，2'()32f x x x b =-++， ……………………………………2分
由题意得：()122'03f f -=⎧⎪⎨⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎩
，即22
44
3093b c b -+=⎧⎪
⎨-⨯++=⎪⎩， …………………………………4分 解得：0b c ==。

…………………………………6分
（2）由（1）知：32(1)
()ln (1)x x x f x a x
x ⎧-+<=⎨≥⎩
①当11x -≤<时，'()(32)f x x x =--，
解'()0f x >得203x <<；解'()0f x <得10x -<<或2
13x <<
∴()f x 在(10)-，
和2(,1)3上单减，在2
(0)3
，上单增， 由'()(32)0f x x x =--=得：0x =或2
3
x =，………………………………………8分
∵ 24
(1)2()(0)0(1)0327
f f f f -==
==，，，， ∴()f x 在[1,1)-上的最大值为2. ……………………………………………………10分 ②当1x e ≤≤时，()ln f x a x =，
当0a ≤时，()0f x ≤；当0a >时，()f x 在[1,]e 单调递增；
∴()f x 在[1,]e 上的最大值为a 。

……………………………………………………12分 ∴当2a ≥时，()f x 在[1,]e -上的最大值为a ； ……………………………………14分 当2a <时，()f x 在[1,]e -上的最大值为2. ……………………………………16分
B. 已知矩阵
1 2
2 x ⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦
M 的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量.
21. B ．解：矩阵M 的特征多项式为
x
f ----=
λλλ2
21)(=4))(1(---x λλ………………………1分 因为31=λ方程0)(=λf 的一根，所以1=x ………………………3分
由04)1)(1(=---λλ得12-=λ，…………………………………5分
设12
-=λ对应的一个特征向量为
⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡=y x α,
则
⎩⎨
⎧=--=--0
22022y x y x 得y x -=…………………………………………8分
令1,1-==y x 则,
所以矩阵M 的另一个特征值为-1，对应的一个特征向量为
⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡-=11α………10分。