2020-2021学年上海市金山区华东师大附属枫泾中学高一(下)期中数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年上海市金山区华东师大附属枫泾中学高一
（下）期中数学试卷
一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）
1.设θ∈R，则“θ=π
6”是“sinθ=1
2
”的()
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分也非必要条件
2.已知点P(tanα,cosα)在第三象限，则角α的终边在()
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3.△ABC中，若a
cosB =b
cosA
，则该三角形一定是()
A. 等腰三角形但不是直角三角形
B. 直角三角形但不是等腰三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等腰三角形或直角三角形
4.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x=2π
3时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是()
A. f(2)<f(−2)<f(0)
B. f(0)<f(2)<f(−2)
C. f(−2)<f(0)<f(2)
D. f(2)<f(0)<f(−2)
二、单空题（本大题共12小题，共36.0分）
5.cos2π
3
=______．
6.在[0°,360°]内与−60°终边相同的角为______ ．
7.函数y=tan2x的最小正周期______．
8.扇形的圆心角为30°，扇形的半径长为2，此扇形的面积为______ ．
9.已知sinα+cosα=1
2
，则sin2α=______ ．
10.化简：cos(π
2
+α)+sin(π−α)−sin(π+α)−sin(−α)=______ ．
11.函数y=√−cosx的定义域为______ ．
12.已知3sinθ−2cosθ
sinθ+3cosθ=4
5
，则tanθ=______ ．
13.已知点A(−3
5,4
5
)，将OA绕坐标原点顺时针旋转π
2
至OB，则B的坐标为______ ．
14.在△ABC中，角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，若a2+b2=2c2，则cosC的
15. 将函数y =sin(2x +π3)的图象上的所有点向右平移π
6个单位，再将图象上所有点的
横坐标变为原来的1
2倍(纵坐标不变)，则所得的图象的函数解析式为______． 16. 定义函数f(x)={sinx,sinx ≥cosx
cosx,sinx <cosx
，给出下列四个命题：
(1)该函数的值域为[−1,1]；
(2)当且仅当x =2kπ+π2(k ∈Z)时，该函数取得最大值； (3)该函数是以π为最小正周期的周期函数； (4)当且仅当2kπ+π<x <2kπ+
3π2
(k ∈Z)时，f(x)<0．
上述命题中正确的序号是______ ． 三、解答题（本大题共5小题，共52.0分）
17. 已知点P(3,4)是角α终边上的点，cosβ=5
13，β∈[0,π
2].求：
(1)sinα； (2)cos(α−β)．
18. 求下列各式中角x ．
(1)2sin(x +π
3)−1=0； (2)2sin 2x +3cosx =0．
19.如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点
的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA= 60°.已知山高BC=100m，求山高MN．
20.已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．
(Ⅰ)若a=b，求cosB；
(Ⅱ)设B=90°，且a=√2，求△ABC的面积．
21.已知函数f(x)=2sin2(π
4
+x)−√3cos2x．
(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若关于x的方程f(x)−m=2在x∈[π
4,π
2
]上有解，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】 【分析】
本题考查了充分条件、必要条件的判断，考查特殊角的三角函数，属于简单题． 根据定义结合三角函数直接判断即可． 【解答】
由θ=π
6，则有sinθ=1
2，即“θ=π
6”是“sinθ=1
2”的充分条件， 由sinθ=1
2，得：θ=2kπ+π
6，或θ=2kπ+5π
6
，即“θ=π6”不是“sinθ=1
2”的必要条件，
即“θ=π
6”是“sinθ=1
2”的充分不必要条件． 故选：A ．
2.【答案】B
【解析】解：∵点P(tanα,cosα)在第三象限， ∴{
tanα<0
cosα<0
，
则角α的终边在第二象限， 故选：B ．
根据点的位置结合三角函数的符号进行判断，
本题主要考查角的象限的确定，根据三角函数值的符号和角的关系是解决本题的关键．
3.【答案】D
【解析】 【分析】
此题考查了正弦定理，以及二倍角的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．已知等式变形后，利用正弦定理化简，再利用二倍角的正弦函数公式化简，即可确定出三角形形状．
解：由已知等式变形得：acosA=bcosB，
利用正弦定理化简得：sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B．∴2A=2B或2A+2B=180°，
∴A=B或A+B=90°，
则△ABC为等腰三角形或直角三角形．
故选D．
4.【答案】A
【解析】解：依题意得，函数f(x)的周期为π，
∵ω>0，
∴ω=2π
π
=2．
又∵当x=2π
3
时，函数f(x)取得最小值，
∴2×2π
3+φ=2kπ+3π
2
，k∈Z，可解得：φ=2kπ+π
6
，k∈Z，∴f(x)=Asin(2x+2kπ+
π
6
)=Asin(2x+
π
6
).
∴f(−2)=Asin(−4+π
6)=Asin(π
6
−4+2π)>0．
f(2)=Asin(4+π
6
)<0，
f(0)=Asinπ
6=Asin5π
6
>0，
又∵3π
2>π
6
−4+2π>5π
6
>π
2
，而f(x)=Asinx在区间(π
2
,3π
2
)是单调递减的，
∴f(2)<f(−2)<f(0)．
故选：A．
依题意可求ω=2，又当x=2π
3
时，函数f(x)取得最小值，可解得φ，从而可求解析式
f(x)=Asin(2x+π
6
)，利用正弦函数的图象和性质及诱导公式即可比较大小．
本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数的图象与性质，用诱导公式将函数值转化到一个单调区间是比较大小的关键，属于中档题．
5.【答案】−1
2
【解析】解：cos2π
3=cos(π−π
3
)=−cosπ
3
=−1
2
，
故答案为：−1
2
应用诱导公式化简三角函数式，可得结果．
本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题．
6.【答案】300°
【解析】解：与−60°终边相同的角α=−60°+k⋅360°，k∈Z，
当k=1时，α=300°符合题意．
故答案为：300°．
与−60°终边相同的角α=−60°+k⋅360°，k∈Z，结合已知角的范围可求．
本题主要考查了终边相同角的表示，属于基础题．
7.【答案】π
2
【解析】解：函数y=tan2x的最小正周期为π
2
，
故答案为：π
2
．
根据函数y=tanωx的周期为π
ω
，求出函数y=tan2x的最小正周期．
本题主要考查正切函数的周期性和求法，属于基础题．
8.【答案】π
3
【解析】解：由题意得S=1
2αr2=1
2
×π
6
×4=π
3
．
故答案为：π
3
．
直接根据扇形面积公式即可直接求解．
本题主要考查了扇形面积公式，属于基础题．
9.【答案】−3
4
【解析】解：由sinα+cosα=1
2两边平方得1+2sinαcosα=1
4， 则sin2α=−3
4． 故答案为：−34．
由已知两边同时平方，结合二倍角公式可求解．
本题主要考查了同角平方关系及二倍角公式，属于基础题．
10.【答案】2sinα
【解析】解：cos(π
2+α)+sin(π−α)−sin(π+α)−sin(−α)
=−sinα+sinα+sinα+sinα=2sinα
故答案为：2sinα
根据所给的函数式，要对函数进行整理求值，根据诱导公式把四项都变化成同一个角的三角函数形式，合并整理出最简结果．
本题看出三角函数的化简求值即诱导公式的应用，本题解题的关键是正确利用诱导公式，不要在符号上出错，本题是一个基础题．
11.【答案】[π2+2kπ,
3π2
+2kπ],k ∈Z
【解析】解：要使原函数有意义，则−cosx ≥0，即cosx ≤0， ∴π
2+2kπ≤x ≤
3π2
+2kπ,k ∈Z ，
∴原函数的定义域为：[π
2+2kπ,3π2
+2kπ],k ∈Z ．
故答案为：[π
2+2kπ,
3π2
+2kπ],k ∈Z ．
可看出，要使得原函数有意义，需满足cosx ≤0，然后即可得出原函数的定义域． 本题考查了函数定义域的定义及求法，熟悉余弦函数的图象，余弦函数的周期，考查了计算能力，属于基础题．
12.【答案】2
【解析】解：因为3sinθ−2cosθ
sinθ+3cosθ=3tanθ−2
tanθ+3
=4
5
，
所以tanθ=2．
故答案为：2．
利用同角三角函数基本关系式化简即可求解．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
13.【答案】(4
5,3 5 )
【解析】解：因为点A(−3
5,4
5
)，将OA绕坐标原点顺时针旋转π
2
至OB，
设∠xOA=α，∠xOB=β，所以β=α−π
2
，
可得x B=cosβ=cos(α−π
2)=sinα=4
5
，
y B=sinβ=sin(α−π
2)=−cosα=3
5
，
所以点B的坐标为(4
5,3 5 ).
故答案为：(4
5,3 5 ).
设∠xOA=α，∠xOB=β，可得β=α−π
2
，利用任意角的三角函数的定义，诱导公式即可求解．
本题考查任意角的三角函数的定义，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
14.【答案】1
2
【解析】解：因为a2+b2=2c2，
所以由余弦定理可知，c2=2abcosC，
cosC=c2
2ab =1
2
×a2+b2
2ab
≥1
2
．
通过余弦定理求出cosC 的表达式，利用基本不等式求出cosC 的最小值． 本题考查三角形中余弦定理的应用，考查基本不等式的应用，考查计算能力．
15.【答案】y =sin4x
【解析】 【分析】
本题是基础题，考查函数的图象的平移与伸缩变换，注意x 的系数与函数平移的方向，易错题．
按照左加右减的原则，求出函数y =sin(2x +π
3)所有点向右平移π
6个单位的解析式，然后求出将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍时的解析式即可． 【解答】
解：将函数y =sin(2x +π
3)的图象上的所有点向右平移π
6个单位，得到函数y =sin(2x −
π3
+π
3
)=sin2x ，
再将图象上所有点的横坐标变为原来的1
2倍(纵坐标不变)， 则所得的图象的函数解析式为y =sin4x ． 故答案为y =sin4x ．
16.【答案】(4)
【解析】解：函数f(x)=
{
sinx,sinx ≥cosx cosx,sinx <cosx ，函数的图象如图，
可知(1)该函数的值域为[−√2
2
,1]，所以(1)不正确；
(2)当且仅当x =2kπ+π
2(k ∈Z)时，该函数取得最大值，不正确， 因为x =2kx ，k ∈Z 时，函数也取得最大值，所以(2)不正确； (3)该函数是以2π为最小正周期的周期函数，所以(3)不正确；
故答案为：(4)．
画出函数的图象，结合函数的图象，判断选项的正误即可．
本题考查命题的真假的判断，三角函数的图象的应用，是中档题．
17.【答案】解：(1)由题意得，sinα=45，cosα=35；
(2)因为cosβ=513，β∈[0,π2]，
所以sinβ=1213，
cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ=35×513+45×1213=6365．
【解析】(1)结合三角函数的定义可求sinα；
(2)结合同角平方关系先求出sinβ，然后结合两角差的余弦公式可求．
本题主要考查了同角基本关系及两角差的余弦公式，属于基础题．
18.【答案】解：(1)2sin(x +π3)−1=0；
sin(x +π3)=12，
x +π3=π6+2kπ，k ∈Z ，或x +π3
=5π6+2kπ，k ∈Z ， 解得x =−π6+2kπ，k ∈Z ，或x =π2+2kπ，k ∈Z ，
{x|x =−π6+2kπ或x =π2
+2kπ，k ∈Z} (2)2sin 2x +3cosx =0．
因为sin 2x +cos 2x =1．
所以2sin 2x +3cosx =0．
即为：2(1−cos 2x)+3cosx =0．
2cos 2x −3cosx −2=0．
(cosx −2)(2cosx +1)=0，
即cosx =2(舍去)，或cosx =−12，
当cosx =−12时，
x =±2π3+2kπ，k ∈Z ，
{x|x=±2π
3
+2kπ,k∈Z}．
【解析】利用三角函数的定义和同角三角函数的基本关系分别求解(1)(2)可得答案．本题考查三角函数方程的计算，属于基础题．
19.【答案】解：在RT△ABC中，∠CAB=45°，BC=100m，所以AC=100√2m.在△AMC中，∠MAC=75°，∠MCA=60°，从而∠AMC=45°，
由正弦定理得，AC
sin45∘=AM
sin60∘
，因此AM=100√3m.
在RT△MNA中，AM=100√3m，∠MAN=60°，由MN
AM
=sin60°
得MN=100√3×√3
2
=150m.
【解析】由题意，可先求出AC的值，从而由正弦定理可求AM的值，在RT△MNA中，AM=100√3m，∠MAN=60°，从而可求得MN的值．
本题主要考察了正弦定理的应用，考察了解三角形的实际应用，属于中档题．
20.【答案】解：(I)∵sin2B=2sinAsinC，
由正弦定理可得：a
sinA =b
sinB
=c
sinC
=1
k
>0，
代入可得(bk)2=2ak⋅ck，
∴b2=2ac，
∵a=b，∴a=2c，
由余弦定理可得：．
(II)由(I)可得：b2=2ac，
∵B=90°，且a=√2，
∴a2+c2=b2=2ac，解得a=c=√2．
∴S△ABC=1
2
ac=1．
【解析】(I)sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：b2=2ac，再利用余弦定理即可得出．
(II)利用(I)及勾股定理可得c ，再利用三角形面积计算公式即可得出．
本题考查了正弦定理余弦定理、勾股定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)f(x)=2sin 2(π4+x)−√3cos2x
=1−cos(π2
+2x)−√3cos2x =1+sin2x −√3cos2x
=2sin(2x −π3)+1，
周期T =π；2kπ−π2≤2x −π3≤2kπ+π2，
解得f(x)的单调递增区间为[kπ−π12,kπ+5π12](k ∈Z)．
(2)x ∈[π4,π2]，所以2x −π3∈[π6
,2π3]，sin(2x −π3)∈[12,1]， 所以f(x)的值域为[2,3]．
而f(x)=m +2，所以m +2∈[2,3]，即m ∈[0,1]．
【解析】(1)利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解函数的周期，通过正弦函数的单调递增区间求解即可．
(2)利用三角函数的最值转化求解实数m 的取值范围．
本题考查两角和与差的三角函数以及函数的周期，求解函数的单调增区间，函数的最值的求法，考查计算能力．。