高考数学一轮复习第十一章计数原理11.1排列、组合获奖课件名师公开课

例3 (2017浙江吴越联盟测试,13)2 016是这样一个四位数,其各个数位 上的数字之和为9,则各个数位上的数字不同且其和为9的四位数共有
个. 解题导引 对各数位上的数字是否含0进行讨论→把四个不同数字之和为9 的组合列出来→用排列和分步计数原理得结论
解析 对构成满足条件的四位数各数位上的数字是否含0进行分类讨 论.若不含0,则有1+2+3+4=10>9,不成立;若含0,则9可以改写为9=0+1+2 +6=0+1+3+5=0+2+3+4,此时满足条件的四位数共有3×3× A 33=54个. 答2 880种站法.
5
(5)(方程思想)设甲、乙、丙三人顺序一定的站法有x种,则x A =33 A ,99∴x=
A
9 9
=60 480(种).
A
3 3
评析 在解决排列、组合综合性问题时,必须深刻理解排列与组合的概 念,能够熟练确定一个问题是排列问题还是组合问题,牢记排列数、组 合数计算公式与组合数性质.容易产生的错误是重复和遗漏计数.
解析
分两种情况讨论,若甲组2人,则有 C
2 5
种方法,此时将剩余的3人分
给乙、丙两组,有 C
2 3
·A
22种方法,共有
C
2 5
C ·32 A种22 方法;若甲组3人,则有
C
3 5
种方法,此时将剩余的2人分给乙、丙两组,有 A
22种方法,共有
C
3 5
A
种2 方 2
法.因此不同的分配方案的种数为 C
2 5
类、分步标准,确保不重不漏.
例1 用三种不同的颜色,将如图所示的四个区域涂色,每种颜色至少用
1次,则相邻的区域不涂同一种颜色的概率为
(用数字作答).
解析 依题意知有两个区域涂同一种颜色,另两个区域涂另两种颜色.
当涂同一种颜色的两个区域相邻时,有3× A 33=18种涂法;
当涂同一种颜色的两个区域不相邻时,有 C
评析 本题考查分步计数原理,多元问题分类法,考查推理运算能力和 分类讨论思想.
例4 (2017浙江金华十校联考(4月卷),7)将5名同学分到甲、乙、丙3个 小组,若甲组至少两人,乙、丙组每组至少一人,则不同的分配方案的种 数为 ( B ) A.50 B.80 C.120 D.140
解题导引 对“至少”问题进行分类讨论→用分步计数原理计算每 种情况的分配方案→用分类计数原理得结论
7
∴共有 A
2 2
A
=7 10 080(种).
7
(3)(捆绑法)男、女分别捆绑成两组有 A
2种排法,男、女在本组内分别各
2
有A
4及
4
A
种5 排法,故不同的站法数为
5
A
2 2
A
4 4
=A 555
760(种).
(4)(插空法)先排4名男生有 A
4种方法,再将5名女生插空,有
4
A
种5 方法,所
5
以共有 A
法6 A
8 8
=241
920(种).
解法二(考虑位置):先排中间和两端的位置有 A
83种,再排其余位置有
A
6 6
种,共有站法 A
3 8
A
=66 241 920(种).
解法三(排除法): A 99-3 A =88 241 920(种).
(2)(特殊优先)先排甲、乙有 A
2种,再排其余的人有
2
A
种7 ,
高考数学
第十一章 计数原理
§11.1 排列、组合
知识清单
考点 排列、组合
1.分类计数原理、分步计数原理 (1)完成一件事有n类办法,各类办法相互独立,每类办法中又有多种不同 的方法,则完成这件事的不同方法数是各类不同方法种数的和,这就是 分类计数原理. (2)完成一件事,需要分成n个步骤,每一步的完成有多种不同的方法,则 完成这件事的不同方法种数是各步骤的不同方法数的乘积,这就是分步 计数原理. 2.分类计数原理与分步计数原理都涉及完成一件事的不同方法的种数. 它们的区别在于:分类计数原理与分类有关,各种方法相互独立,用其中 任一种方法都可以完成这件事;分步计数原理与分步有关,各个步骤相
A
m n
表示.
(3)排列数公式: A
m=②
n
n(n-1)…(n-m+1)
.
(4)全排列:n个不同元素全部取出的一个排列,叫做n个不同元素的一个
全排列, A
n=n·(n-1)·(n-2)·…·3·2·1=n!.于是排列数公式写成阶乘形式为
n
A
=m ③
n
n!
( n m ) !.规定0!=1.
4.组合 (1)定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同 元素中取出m个元素的一个组合. (2)组合数定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合
1 3
×3×
A
=22 18种涂法.
故相邻的区域不涂同一种颜色的概率为 1 .
2
答案 1
2
解题导引 (1)特殊元素优先法或考虑位置或排除法 结果 (2)特殊元素优先法 结果 (3)捆绑法 结果 (4)插空法 结果 (5)方程思想 结果
解析 (1)解法一(特殊优先):先排甲有6种,再排其余的人有 A 88种,共有站
方法技巧
方法 1 个基本原理的应用的解题策略
如果任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事,则选用分类加法
计数原理,即类与类之间是相互独立的,即“分类完成”.如果只有各个
步骤都做完,这件事才能完成,则选用分步乘法计数原理,即步与步之间
是相互依存的、连续的,即“分步完成”.
无论分类加法计数原理,还是分步乘法计数原理,都要选择合理的分
互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成了. 3.排列 (1)定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一 列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. (2)排列数定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个
数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用①
的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用④
C
m n
表示.
(3)计算公式: C
=m
n
A
m
=n ⑤
A
m m
以C
0 =1.
n
5.组合数的性质
n(n1)(nm1)
m(=m1).由1于0!=1,所 n !
m !(n m )!
(1)C
m=⑥
n
C
nm n
;(2)
=C
m+
n 1
C
.
m n
C m 1 n
C
3·2 A +22
C
3 5
A=2280,故选B.
例5 (2017浙江镇海中学模拟卷(五),7)4本不同的书全部分给甲、乙两 人,每人至少一本,则不同的分法有 ( B ) A.10种 B.14种 C.16种 D.20种