云南省玉溪高二6月月考理科数学试题 有答案

玉溪高2017届高二下学期第二次月考
数学试题(理科)
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项
是符合题目要求的.
1. 已知集合
2{|20}A x x x =--<，}2,1{≥≤=x x x B 或，则A B =( )
A ．[1,2]-
B ．(1,1)-
C ．φ
D ．(1,1]-
2.已知复数21(1)z m m i =-++(其中,m R i ∈是虚数单位)是纯虚数，则复数m i +的共轭复数是( )
A ．1i +
B ．1i -
C ．1i --
D ．i - 3.已知,,A B O 三点不共线，若
||||AB OA OB =+，则向量OA 与OB 的夹角为( )
A ．锐角
B ．直角
C ．钝角
D ．锐角或钝角 4 .已知,,a b R a b ∈>，则下列结论正确的是( )
A ．22a b >
B ． 11
22a b >
C ．33a b --<
D ．1
1
33a b >
5.从0到9这10个数字中任取三个数组成没有重复数字的三位数，共有( )个。

A.720 B.360 C.72 D.648
6.非零向量、，“=+”是“//”的( ) A.充分不必要条件 B.必要充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M 处条件为( ) A ．16k ≥ B ．8k < C ．16k < D ．8k ≥ 8. 在等差数列}{n
a 中，
91213
2
a a =+，则数列}{n
a 的前11项和=11S ( ) A ．24 B ．48 C ．66 D ．132 9.5人站成一排，甲、乙两人相邻的不同站法有( ) A.120种 B.72种 C.48种 D.24种 10.
82)
x
二项展开式中的常数项为 ( )
A. 56
B. 112
C. -56
D. -112
11. 已知函数
bx x x f +=2)(的图象在点))1(,1(f A 处的切线l 与直线023=+-y x 平行，若数列
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧)(1n f 的前n 项和为n T ，则=
2016T ( )
A ．20152014
B ．20162015
C ．20172016
D ．2018
2017
12. 某几何体的三视图如图所示，当xy 最大时，该几何体的体积为( ) A
B
C
D
二、填空题(每题5分，满分20分)
13.
二项式
5(3x -展开式中有理项共有 项.
14. 圆4:221=+y x C 与圆0424:222=++-+y x y x C 的公切线有__ _条.
15. 命题“∃R x ∈，09322<+-ax x ”为假命题，则实数a 的取值范围是________. 16. 若椭圆2
2221(0)x y a b a b +=>>的的离心率是2
3
，则双曲线1x 22
22
=-b
y a 的离心率是 .
三、解答题 (本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*∈=+N n n a S n n ,2.
(1)证明：数列{}2-n a 为等比数列； (2)求数列{}n
S
的前n 项和n T .
18.(本小题满分12分)已知
)
1,cos 2(A =，
))
6
sin(,1(π
+=A ，且∥，在ABC ∆中，
内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，32=a ，4=c . (1)求角A 的值；
(2)求b 边的长和ABC ∆的面积.
19. (12分)如图，在三棱锥P ABC -中，2PA PB AB ===，3BC =，90=∠ABC °，平面PAB ⊥平面ABC ，D 、E 分别为AB 、AC 中点． (1)求证：AB PE ⊥；
(2)求二面角A PB E --的大小．
20.(本小题满分12分)已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>
的离心率为2
，连接椭圆四个
顶点形成的四边形面积为
. (I)求椭圆C 的标准方程；
(I I )过点A (1，0)的直线与椭圆C 交于点M ， N ，设P 为椭圆上一点，且
(0)OM ON tOP t +=≠O 为坐标原点，当45
||OM ON -<
时，求t 的取值范围.
21.(本小题满分12分)
已知f(x)＝ln ()ax x x a R +∈，曲线()y f x =在点
(1，f(1))处的切线斜率为2. (I)求f(x)的单调区间；
(11)若2 f(x)一(k ＋1)x ＋k>0(k ∈Z)对任意x ＞1都成立，求k 的最大值
22. (本小题满分10分)在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系.已知曲线)0(cos 2sin :2>=a a C θθρ，过点)4,2(--P 且倾斜角为4
π的直线l 与曲线C 分
别交于N M ,两点.
(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； (2)若
PN
MN PM ,,成等比数列，求a 的值.
玉溪高2017届高二下学期第二次月考
理科数学 参考答案
一、选择题
1.D
2.B
3.B
4.D
5.D
6.A
7.A
8.C
9.C 10.B 11.C 12.A 二、填空题
13. 3 14.2 15.
]22,22[- 16. 2
5
三、解答题
17. (1)证明：当1=n 时，211=+a S ，即11
=a ，
∵n a S n n 2=+①，∴2),1(211≥-=+--n n a S n n ②，
由①-②得，2,221≥=--n a a n n ，
∴2,221≥+=-n a a n n ，
∴2,2)2(21
≥-=--n a a n n ， ∵121-=-a ，∴数列{}2-n
a 是以1-为首项，2
1为公比的等比数列. (2)解：由(1)得
1)21(2--=-n n a ，∴1)
2
1(2--=n n a .
∵n a S n n 2=+，∴
1)
2
1(222-+-=-=n n n n a n S ， ∴
]
)2
1(22[])21(2[])21(0[110-+-+⋅⋅⋅++++=n n n T ]
)2
1(211[)]22(20[1-+⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅++=n n
12)21(22
11)
21(12)22(--=-=--+
-=n n
n n n n . 18. (1)∵n m ∥，∴
1)6
sin(cos 2=-+π
A A ，
∴
2
1)6sin cos 6cos (sin cos 21)6sin(cos =
+⇒=+πππ
A A A A A
∴
21)22cos 1(212sin 4321cos 21cos sin 232
=++⇒=+A A A A A ， 即
2
1)62sin(122cos 12sin 23=+⇒=++πA A A . ∵ππ220,0<<<<A A ，∴613626ππ
π
<+<A ，∴6562ππ=+A ，∴3
π=A
.
19. 解：(1)连结PD
PB PA =， ∴ AB PD ⊥．
//DE BC ，AB BC ⊥，∴AB DE ⊥．
又D DE PD =⋂ ， ∴⊥AB 平面PDE
而⊂PE 平面PDE ， 所以PE AB ⊥． (2)因为平面⊥PAB 平面ABC 交于AB ，AB PD ⊥，所以
ABC PD ⊥
如图，以D 为原点建立空间直角坐标系
∴
()
1,0,0B
，
(P ，
30,,02E ⎛⎫ ⎪
⎝⎭
，∴(
)
31,0,3,0,,2PB PE ⎛=-= ⎝．
设平面PBE 的法向量
1(,
,)
n x y z =，
∴
0,
3
0,2
x y ⎧=
⎪⎨=⎪⎩令z =
得1n =．
DE ⊥平面PAB ， ∴平面PAB 的法向量为2
(0,1,0)n =．
设二面角的A PB E --大小为θ， 由图知，
121212||
1
cos cos ,2
n n n n n n θ⋅
=<>==
⋅，所以60,θ=︒即二面角的A PB E --大小
为60︒．
20. (Ⅰ
)
22
2112
b e e a =-=
∵∴， 2212b a =∴，即222a b =．
又
1
222
S a b ab =⨯⨯==∴2224b a ==∴，． ∴椭圆C 的标准方程为2
2
142
x y +=．
(Ⅱ)由题意知，当直线MN 斜率存在时，
设直线方程为(1)y k x =-，1122()()()M x y N x y P x y ，，，，，，
联立方程
22
14
2(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
，，消去y 得2222(12)4240k x k x k +-+-=，
因为直线与椭圆交于两点，
所以4222164(12)(24)24160k k k k ∆=-+-=+>恒成立，
22121212122224242()2121212k k k x x x x y y k x x k k k k --+==+=+-=
+++∴，，，
又OM ON tOP +=∵，
2
12212121224(12)2(12)x x k x x x tx t t k y y ty y y k y t t k ⎧+=
=⎪+=⎧+⎪⎨⎨
+=+-⎩⎪==⎪+⎩
，，∴∴，，
因为点P 在椭圆22142x y +=上，所以42222222
1684(12)(12)k k t k t k +=++， 即
22
2
2
2
22
212(12)11212k k t k t k k =+==-
++，∴，
又
45||OM ON -<
∵，
即
1245||
NM x <-<
246k +，
化简得：4213580k k -->，解得21k >或
2
813
k <-
(舍)，
2
22121112
3t t k =-<<+∵，∴，即611t ⎛⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，，．
当直线MN
的斜率不存在时，
1,,1,M N ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭
，此时1t =±，
61,,1t ⎡⎛⎤
∈- ⎢⎥ ⎣⎭⎝⎦
∴．
21. (Ⅰ)()f x 的定义域为(0)+∞，，求导可得()1ln f x a x '=++， 由(1)2f '=得1a =，()ln ()2ln f x x x x f x x '=+=+∴，， 令()0f x '<，得
2
10e
x ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
，；
令()0f x '>，得
21e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
，，
所以()f x 的减区间为210e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，增区间为21e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，．
(Ⅱ)由题意：22ln 0x x x kx x k +--+>，即2ln (1)x x x x k +>-， 2ln 1101
x x x x x k x +>-><
-∵，∴，∴恒成立，
令
2ln ()1x x x g x x +=-，则2
22ln 3()(1)x x g x x --'=
-， 令()22ln 3h x x x =--，则
2
()20h x x
'=-
>， ()h x ∴在(1)+∞，
上单调递增， 又
5(2)12ln 202(1ln 2.5)0
2h h ⎛⎫
=-<=-> ⎪⎝⎭
，，
0522x ⎛⎫∃∈ ⎪
⎝⎭
∴，且0()0
h x =，
当0(1)x x ∈，时，()0()0()h x g x g x '<<，，在0(1)x ，上单调递减；
当0()x x ∈+∞，时，()0()0()h x g x g x '>>，，在0()x +∞，上单调递增， 所以
000min
002ln ()()1
x x x g x g x x +==
-，
000()22ln 30h x x x =--=∵，002ln 23x x =-∴，
2
00000min
00
00232(1)
()()211
x x x x x g x g x x x x +--====--∴，
02(45)k x <∈∴，，所以k 的最大值为4．
22. .解：(1)
θθρcos 2sin 2a =可变为θρθρcos 2sin 22a =， ∴曲线C 的直角坐标方程为ax y 22=. 直线l 的参数方程为
为参数）为参数）t t y x t t y t x (2
24t 22
2(,4sin 4,4cos 2⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧+
-=+-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧
+-=+-=π
π.
(2)将直线l 的参数表达式代入曲线C 得0
416)224(2
1
2
=+++-a t a t ，
∴a t t a t t 832,22282121+=+=+. 又
2
121,,t t MN t PN t PM -===，
由题意知，
2
1221212
215)(t t t t t t t t =+⇒=-，
代入解得1=a .。