黑龙江七台河市数学高二下期中经典测试卷(培优专题)

一、选择题
1．(0分)[ID ：13609]已知向量a ，b 满足2a =，||1b =，且2b a +=，则向量a 与
b 的夹角的余弦值为（ ）
A ．
22
B ．
23
C ．
28
D ．
24
2．(0分)[ID ：13605]O 是平面上的一定点，,,A B C 是平面上不共线的三点，动点P 满足
+OP OA λ= ()·cos ?cos AB AC AB B AC C
+，(0,)λ∈∞，则动点P 的轨迹一定经过ABC ∆的（ ） A ．重心
B ．垂心
C ．外心
D ．内心
3．(0分)[ID ：13581]若在直线l 上存在不同的三点 A B C 、、，使得关于x 的方程
20x OA xOB BC ++=有解（O l ∉），则方程解集为（ ）
A ．∅
B ．{}1-
C ．{}1,0-
D ．1515,22⎧⎫-+--⎪⎪
⎨⎬⎪⎪⎩⎭
4．(0分)[ID ：13559]已知平面向量()2,a x =-，()
1,3b =，且()a b b -⊥，则实数x 的值为（ ） A ．23-
B ．23
C ．43
D ．63
5．(0分)[ID ：13556]已知2sin()34
π
α+=，则sin 2α=（ ）
A ．
1
2
B ．
32
C ．12
-
D ．32
-
6．(0分)[ID ：13555]如图，由四个边上为1的等边三角形平成一个边长为2的等边三角形，各顶点依次为1236,,,,A A A A ，则12j i A A A A ⋅，{}(),1,2,3,,6i j ∈的值组成的集
合为（ ）.
A ．{}2,1,0,1,2--
B ．12,1,,0,1,22⎧⎫---
⎨⎬⎩⎭
C ．3
113,1,,0,,1,2
222⎧⎫-
--⎨⎬⎩⎭
D ．31132,,1,,0,,1,,22222⎧
⎫--
--⎨⎬⎩⎭
7．(0分)[ID ：13550]函数()()sin f x A x ωϕ=+，（其中0A >， 0>ω， 2
π
ϕ<
）
的一部分图象如图所示，将函数上的每一个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象表示的函数可以为（ ）
A ．()sin 3f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
B ．()sin 43f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
C ．()sin 6f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
D ．()sin 46f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭ 8．(0分)[ID ：13623]已知函数sin cos 66y x x ππ⎛
⎫
⎛
⎫=++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭，则其最小正周期和图象的一条对称轴方程分别为( ) A ．2π，6
x π
=
B ．2π，12
x π
=
C ．π，6
x π
=
D ．π，12
x π
=
9．(0分)[ID ：13621]已知4
sin cos 3
αα-=，则sin 2α=（ ）． A ．79
-
B ．29
-
C ．
29
D ．
79
10．(0分)[ID ：13612]函数()log a x x f x x
=
（01a <<）的图象大致形状是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．(0分)[ID ：13572]将函数()()sin 22
2f x x π
πθθ⎛⎫=+-
<< ⎪⎝⎭的图象向右平移
()1ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()(),f x g x 的图象都经过点
30P ⎛ ⎝⎭
，，则ϕ的值可以是（ ）
A ．
53
π B ．
56
π C ．
2
π D ．
6
π 12．(0分)[ID ：13570]已知1
cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝
⎭，则sin 26πα⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭（ ） A ．8
9
-
B ．
89 C ．
79
D ．79
-
13．(0分)[ID ：13565]已知函数()()
sin 0,0,f A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，且
()f x 的最小正周期为π，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐
标不变），所得图象对应的函数为()g x .若24g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则38
f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（ ） A ．2
B ．2-
C ．-2
D ．2
14．(0分)[ID ：13549]将函数3cos sin ()y x x x R =
+∈的图象向左平移()0m m >个长
度单位后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A ．
12
π B ．
6
π C ．
3
π D ．
56
π 15．(0分)[ID ：13547]若函数sin()(0,||)y x ωϕωϕπ=-><在区间,2ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的图象
如图所示，则,ωϕ的值（ ）
A ．2,3
π
ωϕ==
B ．22,3
πωϕ== C ．1,23πωϕ=
= D ．12,23
π
ωϕ=
=- 二、填空题
16．(0分)[ID ：13717]已知O 为ABC ∆的外心，且6AB =，2AC =，则AO BC ⋅的值为______．
17．(0分)[ID ：13713]若向量a 、b 满足a ＝1，b ＝2，且a 与b 的夹角为
3
π
，则a b +＝_________.
18．(0分)[ID ：13709]已知AB 为单位圆O 的一条弦,P 为单位圆O 上的点,若
()()f AP AB R λλλ=-∈的最小值为m ,当点P 在单位圆上运动时,m 的最大值为4
3
,则
线段AB 的长度为________.
19．(0分)[ID ：13698]若1e ，2e 是两个不共线的向量，已知12AB 2e ke =+，
12CB e 3e =+，12CD 2e e =-，若A ，B ，D 三点共线，则k =________.
20．(0分)[ID ：13687]已知,a b 是两个非零向量，且||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角大小为_________
21．(0分)[ID ：13686]已知(0,0)O ，(12,5)A ，(4,7)B ，若3OA OB AB λμ+=，则
λμ+=_______.
22．(0分)[ID ：13681]在ABC ∆中，M 是BC 的中点，120A ∠=︒，12
AB AC ⋅=-，则线段AM 长的最小值为___________
23．(0分)[ID ：13679]已知平面向量,a b 满足()
3b a b ⋅+=，且1a =，||2b =，则
a b +=________．
24．(0分)[ID ：13675]如图，在ABC 中，AB AC ⊥，且1AB AC ==，D 是线段BC 上一点，过C 点作直线AD 的垂线，交线段AD 的延长线于点E ，则AD DE ⋅的最大值为______．
25．(0分)[ID ：13665]已知5cos 45
πα⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan α=______. 三、解答题
26．(0分)[ID ：13823]在ABC 中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且
cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列．
（1）求B 的值；
（2）求2
2sin cos()A A C +-的取值范围．
27．(0分)[ID ：13819]已知函数()()2
2
f x sin x cos x 23sin x cos x x R =--∈
（I ）求2f 3π⎛⎫ ⎪⎝⎭
的值 （II ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.
28．(0分)[ID ：13814]已知02ω<<，函数()sin 4f x x πω⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，且()2f x f x π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
.
（1）求()f x 的最小正周期；
（2）若()f x 在[]
,t t -上单调递增，求t 的最大值.
29．(0分)[ID ：13763]已知4,8a b ==，a 与b 的夹角是120︒ （1）计算,42a b a b +-；
（2）当2a b +与ka b -的夹角为钝角时，求k 的取值范围. 30．(0分)[ID ：13779]已知函数()cos cos 33f x x x ππ⎛⎫⎛⎫
=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，()11sin 224g x x =-.
（1）求函数()f x 的最小正周期；
（2）求函数()()()h x f x g x =-的最大值．
【参考答案】
2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案
**科目模拟测试
一、选择题 1．D 2．B 3．B 4．B 5．A 6．D 7．A 8．D
9．A
10．C
11．B
12．C
13．A
14．B
15．A
二、填空题
16．【解析】【分析】取中点中点连接根据题意可得由向量的减法运算可知代入数量积进行运算即可求解【详解】如图取中点中点连接如下图所示：因为为的外心所以由外心定义可知而∴即故答案为：【点睛】本题考查了平面向量
17．【解析】【分析】由夹角为利用平面向量数量积公式求得平方的值从而可得结果【详解】夹角为所以所以故答案为
18．【解析】【分析】设把化简为考虑的几何意义即的最小值就是点到直线的距离由此可得结论【详解】设则因为所以点在直线上所以的最小值就是点到直线的距离因为的最大值为所以圆心到直线的距离为所以故答案为：【点睛】
19．-8【解析】【分析】计算得到根据共线得到代入计算得到答案【详解】则；ABD三点共线故即解得故答案为：【点睛】本题考查了根据向量共线计算参数意在考查学生的计算能力
20．【解析】【分析】根据向量加法减法的几何意义模的几何意义判断出的位置关系由此求得与的夹角大小【详解】由于根据向量模和减法的几何意义可知以为邻边的平行四边形为菱形如图所示且为等边三角形故根据加法的平行四
21．【解析】【分析】根据得到；计算得到答案【详解】则即即；解得故故答案为：【点睛】本题考查了向量的坐标表示意在考查学生的计算能力
22．【解析】【分析】由平方得：再由可得进而利用基本不等式可得最小值【详解】由平方得：又所以所以当且仅当时取最小值故答案为：【点睛】本题主要考查了中线的向量表示及数量积的运算考查了利用基本不等式求最小值属
23．【解析】【分析】利用化简求得然后利用计算出【详解】∵∴又∵∴故填：【点睛】本小题主要考查平面向量数量积运算考查平面向量模的求解策略属于基础题
24．【解析】【分析】设用以及题目中特殊向量来表示再求最值【详解】又过点C作
直线AD的垂线交线段AD的延长线于点E不妨设则又当时故答案为:【点睛】本题主要考查向量在几何图形中的应用应用向量的线性运算
25．【解析】【分析】本题首先可根据计算出的值然后通过以及计算出的值最后通过两角差的正切公式即可得出结果【详解】因为所以所以【点睛】本题考查三角恒等变换主要考查同角三角函数关系以及两角差的正切公式考查的公
三、解答题
26．
27．
28．
29．
30．
2016-2017年度第*次考试试卷参考解析
【参考解析】
**科目模拟测试
一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据平方运算可求得
1
2
a b⋅=，利用cos,
a b
a b
a b
⋅
<>=求得结果.
【详解】
由题意可知：2
22
2324b a b a b a a b +=+⋅+=+⋅=，解得：12
a b ⋅=
1cos ,4
22
a b a b a b
⋅∴<>=
=
=
本题正确选项：D 【点睛】
本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.
2．B
解析：B 【解析】 【分析】
解出AP ，计算AP BC ⋅并化简可得出结论． 【详解】
AP OP OA =-=λ（
AB AC AB cosB
AC cosC
+
⋅⋅），
∴()
...0AB BC AC BC AP BC BC BC AB cosB AC cosC λλ⎛⎫
⎪=+=-+= ⎪⋅⋅⎝⎭
， ∴AP BC ⊥，即点P 在BC 边的高上，即点P 的轨迹经过△ABC 的垂心． 故选B ． 【点睛】
本题考查了平面向量的数量积运算在几何中的应用，根据条件中的角计算AP BC ⋅是关键．
3．B
解析：B 【解析】 【分析】
利用向量的运算法则将等式中的向量都用以O 为起点的向量表示，利用三点共线的条件列出方程求出x . 【详解】
20x OA xOB BC ++=，即20x OA xOB OC OB ++-=，
所以2x OA xOB OB OC --+=， 因为,,A B C 三点共线，
所以2
(1)1x x -+-=，解得120,1x x ==-，
当0x =时，20x OA xOB BC ++=等价于0BC =，不合题意， 所以1x =-，即解集为{}1-，
【点睛】
该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的减法运算，三点共线的条件对应的等量关系式，属于简单题目.
4．B
解析：B 【解析】
∵向量()2,a x =-，()
1,3b =， ∴(3,3)a b x -=-- ∵()
a b b -
⊥
∴()
0a b b -⋅=
，即310x -⨯+-= ∴x =故选B
5．A
解析：A 【解析】 【分析】
将问题中的角2α看作未知角，条件中的角
4
απ
+看作已知角，由未知角与已知角的关系2()242
ππ
αα+-=，可以用已知角表示未知角，然后通过利用诱导公式以及二倍角公式即可求解未知角的正弦值. 【详解】
因为sin 4πα⎛⎫
+=
⎪⎝⎭， 又因为2(
)24
2
π
π
αα+-=
，所以22(
)4
2
π
π
αα=+-
，则有
2sin 2sin 2()4
2 sin 2()24 cos 2()4
12sin ()41
2
π
πααππαπ
απα⎡⎤=+-⎢⎥
⎣⎦⎡⎤
=--+⎢⎥
⎣⎦
=-+⎡⎤
=--+⎢⎥
⎣⎦
=
【点睛】
本题考查了三角函数值的求解问题，属于给值求值类型，常常利用角的关系对问题进行等价转化，再运用相关的诱导公式、两角和与差的三角函数公式以及二倍角公式进行求解，属于基础题.
6．D
解析：D 【解析】 【分析】
通过观察图形知道向量j i A A 分成以下三个类型：①小三角形边上的向量，②大三角形边上的向量，③大三角形中线向量，这样求出每种情况下12A A ，j i A A 的值，从而求得答案． 【详解】
对向量j i A A 分成以下几种类型：
边长为1的小三角形边上的向量，只需找一个小三角形，与其它小三角形124A A A 边上的向量相等；大三角形136A A A 边上的向量，和它的中线上的向量，所以有：
12121A A A A ⋅=,12211A A A A ⋅=-,114212A A A A ⋅=
,41121
2
A A A A ⋅=-, 214212A A A A ⋅=-,41221
2
A A A A ⋅=,11322A A A A ⋅=,31122A A A A ⋅=-
11621A A A A ⋅=,314223A A A A ⋅=-,41322
3
A A A A ⋅=,212126620A A A A A A A A ⋅=⋅=,
∴12j i A A A A ⋅，{
}(),1,2,3,,6i j ∈的值组成的集合为31132,,1,,0,,1,,22222
⎧
⎫----⎨⎬⎩
⎭
.
故选：D ． 【点睛】
本题考查等边三角形中线的特点、相等向量、相反向量等概念、向量数量积的运算，考查分类讨论思想和运算求解能力．
7．A
解析：A 【解析】
由图象可知A=1，周期T π=，所以2ω=，又过点(,0)6
π
-
，所以3
π
ϕ=
，即
()sin(2)3
f x x π
=+，每一个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到
()sin()3
f x x π
=+，故选A.
8．D
解析：D 【解析】 【分析】
利用三角恒等变换化简函数解析式，利用周期公式，正弦函数的对称轴，即可得出答案. 【详解】
1sin cos 62x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，1cos sin 62x x x π⎛
⎫+=- ⎪⎝
⎭
11
cos sin 22y x x x x ⎫∴=+-⎪⎪⎝⎭⎝⎭
()221sin cos cos sin 24x x x x =⋅+-
1sin 224x x =
+ 1sin 223x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭ 22
T π
π∴=
= 由2,3
2
π
π
π+
=
+∈x k k Z ，得,12
2
k x k Z π
π
=
+
∈ 当0k =时，12
x π
=，即该函数图象的一条对称轴方程为12
x π
=
故选：D 【点睛】
本题主要考查了求正弦型函数的周期以及对称轴，涉及了三角恒等变换，属于中档题.
9．A
解析：A 【解析】 【详解】
()2
sin cos 1
7
sin 22sin cos 1
9
ααααα--==
=--.
所以选A. 【点睛】
本题考查了二倍角及同角正余弦的差与积的关系，属于基础题.
10．C
解析：C 【解析】 【分析】
确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，即可得出结论． 【详解】
由题意，f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D ； x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，排除A ． 故选C ． 【点睛】
本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．
11．B
解析：B 【解析】 试题分析：依题意
，因为()f x 、()g x 的
图象都经过点3P ⎛ ⎝⎭
，所以()3
sin {3sin 22
θθϕ=-=
，因为22ππθ-<<，所以3πθ=，223k πθϕπ-=+或()2223k k Z π
θϕπ-=+∈，即k ϕπ=-或
()6k k Z πϕπ=--∈．在()6k k Z πϕπ=--∈中取1k =-，即得56
π
ϕ=，选B ．
考点：1.图象的平移；2.由三角函数值求角．
【方法点晴】本题主要考查的是三角函数图象的变换，属于中档题题，本题首先根据平移
变换得到()()sin 22g x x θϕ=+-，再由函数均经过3P ⎛ ⎝⎭
，将0x =代入两个函数可得()3
sin {
3sin 22
θθϕ=
-=
，由2
2
π
π
θ-
<<
，得3
π
θ=
和223
k π
θϕπ-=
+或
()2223k k Z πθϕπ-=
+∈，解出k ϕπ=-或()6
k k Z π
ϕπ=--∈，再取k 值即可．本题一定注意角的范围，否则容易出错．
12．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据二倍角公式求得cos 23πα⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭
，再利用诱导公式求得结果. 【详解】
1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 227cos 22cos 113699ππαα⎛⎫⎛
⎫⇒+=+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
7cos 2cos 2sin 236269ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫∴+=-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦
7sin 269πα⎛
⎫∴-= ⎪⎝
⎭
本题正确选项：C 【点睛】
本题考查二倍角公式、诱导公式的应用，关键是能够利用诱导公式将所求角与已知角联系起来.
13．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据所给的条件求出参数,,A ωϕ 的值，然后令3
,8
x π=代入到()f x 即可． 【详解】
由()f x 为奇函数，可知(0)sin 0,f A ϕ== 由ϕπ< 可得0.ϕ= 由()f x 的最小正周期为π可得2,T π
πω
=
= 所以 2.ω= 则()sin 2.f x A x =将()y f x =的图象上所有点的横
坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得()sin .g x A x =的图象，结合已知条件可得
sin 44g A ππ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
可得A=2,则()2sin 2.f x x =
所以332sin 84f ππ⎛⎫== ⎪
⎝⎭
【点睛】
本题主要考查三角函数的图象与性质以及图象的变换．
14．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：由题意得，3cos sin 2sin()3
y
x x x
，令,3
2
x k k Z π
π
π+
=
+∈，
可得函数的图象对称轴方程为,6
x k k Z π
π=
+∈，取0k =是y 轴右侧且距离y 轴最近的
对称轴，因为将函数的图象向左平移()0m m >个长度单位后得到的图象关于y 轴对称，
m 的最小值为6
π，故选B ．
考点：两角和与差的正弦函数及三角函数的图象与性质． 【方法点晴】
本题主要考查了两角和与差的正弦函数及三角函数的图象与性质，将三角函数图象向左平移m 个单位，所得图象关于y 轴对称，求m 的最小值，着重考查了三角函数的化简、三角函数图象的对称性等知识的灵活应用，本题的解答中利用辅助角公式，化简得到函数
2sin()3
y x π
=+,可取出函数的对称轴，确定距离y 最近的点，即可得到结论．
15．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据周期求ω，根据最值点坐标求ϕ 【详解】 因为
2=(),2263T T T
ππππω--∴===, 因为
6
3212x π
π
π-
==-时1y =-，
所以22()2()1223
k k Z k k Z πππ
ϕπϕπ-⨯-=-+∈∴=-∈
因为||ϕπ<，所以3
π
ϕ=，选A.
【点睛】
本题考查由图像求三角函数解析式，考查基本分析求解能力，属基础题.
二、填空题
16．【解析】【分析】取中点中点连接根据题意可得由向量的减法运算可知代入数量积进行运算即可求解【详解】如图取中点中点连接如下图所示：因为为的外心所以由外心定义可知而∴即故答案为：【点睛】本题考查了平面向量
解析：16-
【解析】 【分析】
取AB 中点D ,AC 中点E ,连接OD 、OE ，根据题意可得⊥OD AB ，OE AC ⊥.由向量的减法运算可知BC AC AB =-，代入数量积进行运算即可求解. 【详解】
如图，取AB 中点D ，AC 中点E ，连接OD 、OE ，如下图所示：
因为O 为ABC ∆的外心
所以由外心定义可知⊥OD AB ，OE AC ⊥. 而6AB =，2AC =， ∴()
AO BC AO AC AB ⋅=⋅-
AO AC AO AB =⋅-⋅
cos cos AO OAE AC AO OAD AB =∠⋅-∠⋅
2211
22
AC AB =
- 218=-
16=-，
即16AO BC ⋅=-， 故答案为：16-. 【点睛】
本题考查了平面向量数量积的定义及应用，向量的线性运算及三角形外心的定义，属于中档题.
17．【解析】【分析】由夹角为利用平面向量数量积公式求得平方的值从而可得结果【详解】夹角为所以所以故答案为 7
【解析】 【分析】
由1,2,,a b a b ==夹角为3
π
，利用平面向量数量积公式，求得a b +平方的值，从而可得结果. 【详解】
1,2,,a b a b ==夹角为3
π，
所以2
2
2
2a b
a b a b +=++⋅
142cos 3
a b π
=++
1
52125272
=+⨯⨯⨯
=+=
所以7a b +=，故答案为. .
18．【解析】【分析】设把化简为考虑的几何意义即的最小值就是点到直线的距离由此可得结论【详解】设则因为所以点在直线上所以的最小值就是点到直线的距离因为的最大值为所以圆心到直线的距离为所以故答案为：【点睛】
解析：
3
【解析】 【分析】 设AC AB λ=,把()f λ化简为CP ,考虑CP 的几何意义，即()f λ的最小值就是点P 到
直线AB 的距离，由此可得结论.
【详解】
设AC AB λ=,则()=f AP AB AP AC CP λλ=--=, 因为AC AB λ=，所以点C 在直线AB 上，所以()f λ的最小值就是点P 到直线AB 的距
离.
因为m 的最大值为43，所以圆心到直线AB 的距离为13，所以3AB =，
故答案为：3
. 【点睛】
本题主要考查平面向量的应用，明确()f
λ的几何意义及取到最值时的临界状态是求解的
关键，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.
19．-8【解析】【分析】计算得到根据共线得到代入计算得到答案【详解】则；ABD 三点共线故即解得故答案为：【点睛】本题考查了根据向量共线计算参数意在考查学生的计算能力
解析：-8 【解析】 【分析】
计算得到12e 4e BD CD CB =-=-，根据共线得到AB BD λ=，代入计算得到答案. 【详解】
123CB e e =+，122CD e e =-，则12e 4e BD CD CB =-=-；
A ，
B ，D 三点共线，故AB BD λ=，即()
121224e ke e e λ+=-解得2,8k λ==- 故答案为：8-
【点睛】
本题考查了根据向量共线计算参数，意在考查学生的计算能力.
20．【解析】【分析】根据向量加法减法的几何意义模的几何意义判断出的位置关系由此求得与的夹角大小【详解】由于根据向量模和减法的几何意义可知以为邻边的平行四边形为菱形如图所示且为等边三角形故根据加法的平行四 解析：6
π
【解析】 【分析】
根据向量加法、减法的几何意义，模的几何意义，判断出,a b 的位置关系，由此求得a 与
a b +的夹角大小.
【详解】
由于||||||a b a b ==-，根据向量模和减法的几何意义可知，以,a b 为邻边的平行四边形为菱形，如图所示，且ABC ∆为等边三角形，故π
3
ABC ∠=，根据a b +加法的平行四边形法则可知a 与a b +的夹角大小为
π6
.
【点睛】
本小题主要考查向量加法、减法的几何意义，模的几何意义，属于基础题.
21．【解析】【分析】根据得到；计算得到答案【详解】则即即；解得故故答案为：【点睛】本题考查了向量的坐标表示意在考查学生的计算能力 解析：0
【解析】 【分析】
根据3OA OB AB λμ+=得到12424λμ+=-；576λμ+=，计算得到答案. 【详解】
(0,0)O ，(12,5)A ，(4,7)B 则3OA OB AB λμ+=即()()()12,54,738,2λμ+=-
即12424λμ+=-；576λμ+=解得3,3λμ=-=故0λμ+= 故答案为：0 【点睛】
本题考查了向量的坐标表示，意在考查学生的计算能力.
22．【解析】【分析】由平方得：再由可得进而利用基本不等式可得最小值【详解】由平方得：又所以所以当且仅当时取最小值故答案为：【点睛】本题主要考查了中线的向量表示及数量积的运算考查了利用基本不等式求最小值属
解析：1
2
【解析】 【分析】
由1()2AM AB AC =
+平方得：2221
(1)4
AM AB AC =+-，再由AB AC ⋅可得||||1AB AC ⋅=，进而利用基本不等式可得最小值.
【详解】 由1
()2
AM AB AC =
+平方得：2
222211
(2)(1)44
AB A AM AB AC AB AC C =
++=+-⋅. 又11
||||cos120||||22
AB AC AB AC AB AC ⋅=⋅=-⋅=-，所以||||1AB AC ⋅=.
所以
2
22221111
(2)(1)(2||||1)4444
AB AC AM AB AC AB AC AB AC ⋅=
++=+-≥⋅-=. 当且仅当||||1AB AC ==时，AM 取最小值1
2
.
故答案为：12
. 【点睛】
本题主要考查了中线的向量表示及数量积的运算，考查了利用基本不等式求最小值，属于中档题.
23．【解析】【分析】利用化简求得然后利用计算出【详解】∵∴又∵∴故填：【点睛】本小题主要考查平面向量数量积运算考查平面向量模的求解策略属于基础题
【解析】 【分析】
利用()
3b a b ⋅+=化简求得1a b ⋅=-，然后利用22
||2a b a a b b +=
+⋅+计算出||a b +.
【详解】
∵()3b a b ⋅+=，∴2
3b a b ⋅+=，又∵||1a =，||2b =， ∴1a b ⋅=-，22
||212a b a a b b +=+⋅+=-=
【点睛】
本小题主要考查平面向量数量积运算，考查平面向量模的求解策略，属于基础题.
24．【解析】【分析】设 用以及题目中特殊向量 来表示再求最值【详解】又过点C 作直线AD 的垂线交线段AD 的延长线于点E 不妨设 则又当时故答案为:【点睛】本题主要考查向量在几何图形中的应用应用向量的线性运算
解析：1
8
【解析】 【分析】
设BD BC λ= ()01λ≤≤，用λ以及题目中特殊向量0AB AC ⋅=，0AD CE ⋅= 来表示
AD DE ⋅，再求最值.
【详解】
AB AC ⊥， 0AB AC ∴⋅=，
又
过点C 作直线AD 的垂线，交线段AD 的延长线于点E ，
AE CE ∴⊥， AD CE ∴⊥， 0AD CE ∴⋅=，
不妨设BD BC λ= ()01λ≤≤，则()()()
11DC BC AC AB λλ=-=--，
()
0AD DE AD DC CE AD DC AD CE AD DC AD DC ∴⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅+=⋅，
又
()
()1AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC λλλλ=+=+=+-=-+，
()][()()()()()
2
2
222
111(1)(1)1123101AD DE AB AC AC AB AB AC AB AC AC AB λλλλλλλλλλλλλ⎡⎤∴⋅=-+⋅---=-⋅--+---⋅=-+-≤≤⎣⎦，
∴当34λ=
时，max 1
8
AD DE ⋅=． 故答案为:18
． 【点睛】
本题主要考查向量在几何图形中的应用，应用向量的线性运算表示目标式，结合二次函数求解最值，属于中档题．
25．【解析】【分析】本题首先可根据计算出的值然后通过以及计算出的值最
后通过两角差的正切公式即可得出结果【详解】因为所以所以【点睛】本题考查三角恒等变换主要考查同角三角函数关系以及两角差的正切公式考查的公
解析：1
3
【解析】 【分析】
本题首先可根据5cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭计算出sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，然后通过cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭以及
sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭计算出tan 4πα⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的值，最后通过两角差的正切公式即可得出结果．
【详解】 因为5cos 45
πα⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以225sin 1cos 445ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()44sin tan 24cos π
π
απαα+⎛⎫+== ⎪+⎝⎭， 所以()()44
44tan tan 1tan tan 441tan tan 3ππ
ππ
αππααα+-⎛⎫=+-== ⎪++⎝⎭
． 【点睛】
本题考查三角恒等变换，主要考查同角三角函数关系以及两角差的正切公式，考查的公式有22sin cos 1αα+=、sin tan cos α
αα
=以及()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+，考查计算能
力，是中档题．
三、解答题 26． （1）.3
B π
=（2）
【解析】
试题分析：（I ）根据等差数列的性质可知cos cos 2cos a C c A b B +=，利用正弦定理把边转化成角的正弦，化简整理得sin 2sin cos B B B =，求得cos B ，进而求得B ；（II ）先利用二倍角公式及辅助角对原式进行化简整理，进而根据A 的范围和正弦函数的单调性求得()2
2sin cos A A C +-的范围.
试题解析：（Ⅰ）∵acosC ，bcosB ，ccosA 成等差数列， ∴acosC +ccosA=2bcosB ，
由正弦定理得，a=2RsinA ，b=2RsinB ，c=2RsinC ， 代入得：2RsinAcosC +2RcosAsinC=4RsinBcosB ， 即：sin （A +C ）=sinB ，
∴sinB=2sinBcosB ， 又在△ABC 中，sinB ≠0， ∴
，
∵0＜B ＜π， ∴
；
（Ⅱ）∵，
∴
∴
=
=， ∵，
∴
∴2sin 2A +cos （A ﹣C ）的范围是
．
27．
（I ）2；（II ）()f x 的最小正周期是π，2+k +k k 63Z ππππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
，. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值．
（Ⅱ）直接利用函数的关系式，求出函数的周期和单调区间． 【详解】
（Ⅰ）f （x ）＝sin 2x ﹣cos 2x 23-x cos x ， ＝﹣cos2x 3-x ， ＝﹣226sin x π⎛
⎫
+ ⎪⎝
⎭
， 则f （
23π）＝﹣2sin （
436
ππ
+）＝2， （Ⅱ）因为()2sin(2)6
f x x π
=-+
． 所以()f x 的最小正周期是π．
由正弦函数的性质得
3222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ+≤+
≤
+∈， 解得
2,6
3
k x k k Z π
π
ππ+≤≤
+∈， 所以，()f x 的单调递增区间是2[,
]63
k k k ππ
+π+π∈Z ，． 【点睛】
本题主要考查了三角函数的化简，以及函数
的性质，是高考中的常考知
识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即
，然后利用三角函数
的性质求解．
28．
（1）2π；（2）4
π
. 【解析】 【分析】
（1）由题意可得()f x 的图象关于直线4
x π
=
对称，由此求得ω的值，可得它的最小正周
期．（2）根据()f x 在[-t ，t ]上单调递增，可得4
2
t π
π
-+≥-
，且4
2
t π
π
+
≤
，由此解得t
的最大值． 【详解】
（1）因为()2f x f x π⎛⎫=-
⎪⎝⎭
， 所以()f x 的图象关于直线4
x π
=对称，
所以()4
4
2
k k Z π
π
π
ωπ⨯
+
=
+∈，解得()14k k Z ω=+∈，
又因为02ω<<，所以1ω=， 则()f x 的最小正周期22T π
πω==.
（2）因为()sin 4f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，所以()f x 的单调递增区间为()32,244k k k Z ππππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
.
因为()f x 在[],t t -上单调递增，所以434t t t t ππ⎧⎪⎪
⎪
--⎨⎪
>-⎪⎪⎩
，解得04t π<≤.
故t
的最大值为4
π. 【点睛】
本题主要考查正弦函数的图象的对称性，正弦函数的单调性和周期性，属于中档题．
29．
（1）2）7k >-
且12
k ≠- 【解析】 【分析】
（1）把模转化为向量的平方；
（2）两向量的数量积为负，但要去除两向量反向的情形。

【详解】
由题意1cos12048()162
a b a b ⋅=︒=⨯⨯-=-，
（1）2
2
2
222
()242(16)848a b a b a a b b +=+=+⋅+=+⨯-+=，
∴43a b +=，
2
22
2
2242(42)1616416416(16)48768a b a b a a b b -=-=-⋅+=⨯-⨯-+⨯=，
∴42163a b -=。

（2）
22
(2)()(21)2a b ka b ka k a b b +⋅-=+-⋅-1616(21)128161120k k k =---=--<，
7k >-，
又1
2
k =-时，2a b +与ka b -方向相反，
∴7k >-且1
2
k ≠-。

【点睛】
本题考查求向量的模，向量的夹角问题。

求向量的模通常平方后转化为向量积运算，两向量,a b 夹角为锐角，则0a b ⋅>，但0a b ⋅>时，,a b 的夹角为锐角或零角，两向量,a b 夹角为钝角，则0a b ⋅<，但0a b ⋅<时，,a b 的夹角为钝角或平角。

解题时要注意。

30．
（1）π ；(2) 2
【解析】 【分析】
（1）利用三角恒等变换的公式，化简函数()11
cos 224
f x x =-，再利用最小正周期的公式，即可求解；
（2）由（1），可得()()()h x f x g x =-224x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】
（1）由题意，可得函数()cos cos 33f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
11cos cos 22x x x x ⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22131cos 233cos 2cos sin 4488x x x x +-=-=-11cos 224
x =-， 所以()f x 的最小正周期为22
T π
π=
=.
（2）由（1），可得()()()11cos 2sin 222h x f x g x x x =-=-cos 224x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭，
当()224
x k k Z π
π+
=∈，即()8
x k k Z π
π=-
∈时，()h x 取得最大值
2
. 【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及三角恒等变换的应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，以及熟练应用三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.。