2022-2021年《金版学案》数学人教A版必修4习题：第一章1.3第1课时诱导公式二、三、四

第一章 三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 第1课时 诱导公式二、三、四
A 级 基础巩固 一、选择题
1．sin 7π
6
的值是( )
A ．－12
B ．－2
C ．2 D.12
解析：sin 7π6＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫π＋π6＝－sin π6＝－1
2.
答案：A
2．若sin(π＋α)＝－1
2，则sin(4π－α)的值是( )
A.12 B ．－12 C ．－32 D.32 解析：由于sin(π＋α)＝－1
2＝－sin α，
所以sin α＝12，sin(4π－α)＝－sin α＝－1
2.
答案：B
3．下列各式不正确的是( ) A ．sin(α＋180°)＝－sin α B ．cos(－α＋β )＝－cos(α－β )
C ．sin(－α－360°)＝－sin α
D ．cos(－α－β )＝cos(α＋β )
解析：cos(－α＋β)＝cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故B 项错误． 答案：B
4．若cos 165°＝a ，则tan 195°＝( ) A.1－a 2 B ．－1－a 2
a
C.1－a 2
a
D.1＋a 2a
解析：cos 165°＝cos(180°－15°)＝－cos 15°＝a ， 故cos 15°＝－a (a <0)，得sin 15°＝
1－a 2，
tan 195°＝tan(180°＋15°)＝tan 15°＝1－a 2
－a .
答案：B
5．设tan(5π＋α)＝m ，则sin （α＋3π）＋cos （π＋α）
sin （－α）－cos （π＋α）的值等于( )
A.m ＋1m －1
B.m －1m ＋1 C ．－1
D ．1
解析：由于tan(5π＋α)＝tan[4π＋(π＋α)]＝ tan(π＋α)＝tan α，所以tan α＝m ；
所以原式＝sin （π＋α）－cos α－sin α＋cos α＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝tan α＋1
tan α－1
＝
m ＋1
m －1. 答案：A 二、填空题
6．已知tan α＝4
3，且α为第一象限角，则sin(π＋α)＋cos(π－α)＝________．
解析：由于tan α＝4
3，α为第一象限角，
所以sin α＝45，cos α＝3
5
，
所以sin(π＋α)＋cos(π－α)＝－sin α－cos α＝－7
5.
答案：－7
5
7．已知sin(π＋α)＝4
5，且α是第四象限角，则cos(α－2π)＝________．
解析：由sin(π＋α)＝－sin α，得sin α＝－4
5.
故cos(α－2π)＝cos α＝
1－sin 2
α＝
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－452＝35.
答案：3
5
8．化简sin 2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值是________． 解析：原式＝(－sin α)2－(－cos α)·cos α＋1＝ sin 2α＋cos 2α＋1＝2. 答案：2
三、解答题
9．计算下列各式的值：
(1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π
5；
(2)sin 420°cos 330°＋sin(－690°)cos(－660°)．
解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π5＋cos 4π5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π5＋cos
3π5＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos π5＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π5＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤
cos 2π5＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－2π5＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π5－cos π5＋⎝
⎛⎭⎪⎫cos 2π5－cos 2π5＝0.
(2)原式＝sin(360°＋60°)cos(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)·cos(－2×360°＋60°)＝
sin 60°cos 30°＋sin 30°cos 60°＝ 32×32＋12×12
＝1. 10．已知sin(α＋π)＝4
5，且sin αcos α<0，求
2sin （α－π）＋3tan （3π－α）
4cos （α－3π）的值．
解：由于sin(α＋π)＝45，所以sin α＝－4
5，
又由于sin αcos α<0， 所以cos α>0，cos α＝ 1－sin 2α＝3
5
，
所以tan α＝－4
3
.
所以原式＝－2sin α－3tan α
－4cos α
＝
2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋3×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－434×
3
5
＝－73
.
B 级 力量提升
1．下列三角函数：①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋4π3；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π6；③sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2n π＋π3；④cos ⎣
⎢⎡⎦⎥⎤
（2n ＋1）π－π6；
⑤sin ⎣
⎢⎡⎦⎥⎤
（2n ＋1）π－π3，上述中的n ∈Z.
其中与sin π
3的值相同的是( )
A ．①②
B ．①③④
C ．②③⑤
D ．①③⑤
解析：①sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫n π＋43π＝⎩⎨⎧
sin π
3
（n 为奇数），
－sin π
3（n 为偶数）；
②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2n π＋π6＝cos π6＝sin π3；
③sin ⎝
⎛⎭⎪⎫
2n π＋π3＝sin π3；
④cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
（2n ＋1）π－π6＝cos 5π6＝－sin π3；
⑤sin ⎣
⎢⎡⎦⎥⎤
（2n ＋1）π－π3＝sin π3.
答案：C
2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx （x <0），f （x －1）－1（x >0），则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
116＝________．
解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π＝sin π6＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56－1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－16－2＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫－π6－2＝－5
2
，
所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝12－52
＝－2. 答案：－2
3．已知α是其次象限角，且tan α＝－2. (1)求cos 4α－sin 4α的值；
(2)设角k π＋α(k ∈Z)的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于点P ，求点P 的坐标． 解：(1)原式＝(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α－sin 2α＝ cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－（－2）21＋（－2）2＝－3
5. (2)由tan α＝－2得sin α＝－2cos α， 代入sin 2α＋cos 2α＝1得cos 2α＝1
5，
由于α是其次象限，所以cos α<0，
所以cos α＝－55，sin α＝tan αcos α＝25
5.
当k 为偶数时，P 的坐标
⎩⎨⎧x ＝cos （k π＋α）＝cos α＝－5
5
，y ＝sin （k π＋α）＝sin α＝255
，即P ⎝
⎛⎭⎪⎫－55，
255. 当k 为奇数时，P 的坐标
⎩⎨⎧
x ＝cos （k π＋α）＝cos （π＋α）＝－cos α＝
5
5
，y ＝sin （k π＋α）＝sin （π＋α）＝－sin α＝－25
5
， 即P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫55，－255. 综上，点P 的坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫－55，
255或⎝ ⎛⎭⎪⎫
55，－255.。