Q847-高等数学-8(6)v2

| 1 2 (1) (1) 2 2 | 7 .
6 9
36
arcsin 7 为所求夹角.
36
22
空间直线及其方程
平面束的方程
设有两块不平行的平面
1 : A1 x B1 y C1z D1 0 (1) 其中系数不互相 2 : A2 x B2 y C2z D2 0 (2) 成比例
2 : A2 x B2 y C2z D2 0
1 2
L
A1 A2
x x
B1 B2
y y
C1z C2z
D1 D2
0 0
L
O
y
空间直线的一般方程
x
注 (1) A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例; (2) 直线L的一般方程形式不是唯一的.
2
空间直线及其方程
二、空间直线的对称式方程与参数方程
有两种方法
(1) 用代数的消元法化为比例式; (2) 在直线上找一定点,再求出方向向量,
即写出对称式方程.
9
空间直线及其方程
例 将32xx2yyzz2100 化为对称式方程.
解
法一
3x 2 y z 1 0
2x
y
z
2
0
(1) (2)
(1) (2)可消去z. 5x y 1 0
(1) 2(2)可消去y. 7 x z 3 0
交成一条直线L
A1 x A2 x
B1 B2
y y
C1z C2z
D1 D2
0 0
作 A1x B1 y C1z D1
( A2 x B2 y C2z D2 ) 0 (3)
(3)表示过直线L的平面 (除2 )
过直线L的所求全体平面
平面束
23
空间直线及其方程
例
求过直线
x
x
y
16
空间直线及其方程
三、两直线的夹角
定义 两直线的方向向量的夹角称之（. 锐角）
直线 L1 : 直线 L2 :
x x1 y y1 z z1
m1
n1
p1
x x2 y y2 z z2
m2
n2
p2
^ cos( L1, L2 )
m1m2 n1n2 p1 p2 m12 n12 p12 m22 n22 p22
1
1
2
2x y z 6 的交点.
解令x2 y3 z4 t
•
1
1
2
x 2 t
y
3
t
代入平面方程, 得
z 4 2t
2(2 t) (3 t) (4 2t) 6 0 t 1 再代入
得 x 1, y 2, z 2.
14
空间直线及其方程
例 求过点M (2,1,3)且与直线 x 1 y 1 z
s
取
n1, s
s
n2
, n1 n2源自(4,3,1),•
所求直线的方程
x3 y2 z5.
4
3
1
19
空间直线及其方程
四、直线与平面的夹角
定义 直线和它在平面上的投影直线的
夹角 称之. 0
2
L : x x0 y y0 z z0 ,
s
(m,
n,
p),
m
n
p
: Ax By Cz D 0, n ( A, B,C ),
由(a),(b)联立解得s ,则由对称式求出所给直线.
27
空间直线及其方程
五、小结
空间直线的一般方程
空间直线的对称式方程 (关键确定直线的方向向量)
各类直线方程的 作用及它们之间 的互换
空间直线的参数方程
两直线的夹角 (两直线垂直、平行的充要条件)
直线与平面的夹角 (直线与平面垂直、平行的充要条件)
28
空间直线及其方程
作业
习题8-6 (49页) 3. 5. 7. 9. 11. 15. 其它题目根据自己对知识的掌握程 度去做相应的练习。
29
3
2 1
垂直相交的直线方程.
解 先作一过点M且与已知直线垂直的平面
3 ( x 2) 2( y 1) 1(z 3) 0
.M
再求已知直线与该平面的交点N,
•
N
x 3t 1
令x1 3
y1 z t
2 1
y
2t
1
z t
15
空间直线及其方程
x 3t 1
直线过点M (2,1,3)
将
4
x 5 y z ( x z 4) 0
(1 ) 1 5 (4) (1 ) (8)
12 (4)2 (8)2 (1 )2 52 (1 )2
即 2 3 , 由此得 3 .
2 22 27
4
代回平面束方程为 x 20 y 7z 12 0.
26
y
2t
1
代入 3( x 2) 2( y 1) (z 3) 0
z t
t3 7
得交点 N (2 ,13 , 3) 77 7
.M
•
取所求直线的方向向量为 MN
N
MN
(2 7
2, 13 7
1,
3 7
3)
(
12 , 7
6 , 7
24) 7
直线方程为 x 2 y 1 z 5 2 1 4
注意 两个对称式方程
x y1 z3
57
x
3 7
y
8 7
z
怎么不一样
1 57
答: 实际上直线的对称式方程不唯一.
(当定点取得不同时对称式方程不同).
另外可验证,
两个点
(0,1,3),
3 7
,
8 7
,0 ,
都满足这两个对称式方程, 过两点确定唯一的
一条直线, 因此这两个对称式方程表示同一条
直线.
12
2
想一想 还有别的方法吗? 试比较哪种方法 简单?
24
空间直线及其方程
例
求过直线
:
x x
5 z
y
4
z
0 0,
且与平面
x 4 y 8z 12 0 组成 角的平面方程.
4
解 过已知直线的平面束方程为
x 5 y z ( x z 4) 0
即 (1 )x 5 y (1 )z 4 0
直线的参数方程
直线方程的几种形式可以互相转换.
4
空间直线及其方程
过两点作直线
x x0 y y0 z z0
m
n
p
例 求过两点M1(1,2,3),M2(2,6,5)的直线方程.
解 向量M1M2与直线平行
取
s
M1M2
(1,4,2)
所求直线方程为
s
·M2 ·M1
x1 y2 z3
1
42
5
空间直线及其方程
1.对称式方程 一条直线可以有许多方向向量.
方向向量的定义
s
如果一非零向量平行于
一条已知直线, 这个向量称 为这条直线的 方向向量.
z
L
s M
求 此
M0
直
已s 知 M((直mx,,线ny,,上zp)点 ), LMs, 的M0( 三 x0M0,个y/0/坐,sz0标) m、x n、 O p称为
线 y的
m
n
p
可将直线的对称式方程化为一般方程吗
注 可将对称式方程拆为一般方程
如对称式方程为 x 1 y 1 z 1
0 11
可写成一般方程
x
y
1
1
0
z
1
(即y
z
0)
又如 x 1 y 1 z 1
z
0
0
1
可写成一般方程
x y
1 1
1O
1y
8
x
空间直线及其方程
2. 直线的一般方程化为对称式方程 (重要) 怎样将直线的一般方程化为对称式方程
两个方程中, 每一个只有两个变量, 解出
共同的变量 x. 写成比例式,即得对称式方程.
x y1 z3
5
7
此直线上一定点为 (0, 1, 3),方向向量为 s (1,5,7)
10
空间直线及其方程
将
3x 2 y z 1 0
2x
y
z
2
0
化为对称式方程.
法二 先求直线上一定点:以z 0代入,
空间直线及其方程
3. 直线的参数方程
设 x x0 y y0 z z0 t
m
n
p
x x0 m t
故
y
y0
nt
z z0 p t
上式何时有用
t为参数 直线的参数方程 s (m,n, p)
答:如求 直线与平面的交点.
•
13
空间直线及其方程
例 求直线 x 2 y 3 z 4 与平面
其法向量
n1 (1 , 5, 1 )
又已知平面的法向量
n2 (1,4,8).
25
空间直线及其方程
n1
(1
,
5,
1
n2 cos
(1,4,8)
4
n1 n2 n1 n2
)
x
4
求过直线
:
y 8z 12
x x 0
5 y z 0 且与平面 z 4 0,
组成 角的平面方程.
x x0 y y0 z z0
m
n
p
一般, 如直线过两点 M1( x1, y1, z1 ), M2( x2 , y2 , z2 )
则直线的一个方向向量为:
M1M2 ( x2 x1 , y2 y1, z2 z1 )
于是对称式方程可写成:
x x1 y y1 z z1 x2 x1 y2 y1 z2 z1
第六节 空间直线及其方程
(space right line)
空间直线的一般方程 空间直线的对称式方程 与参数方程 两直线的夹角 直线与平面的夹角 小结 思考题 作业
1
第七章 空间解析几何与向量代数
空间直线及其方程
一、空间直线的一般方程
定义 空间直线可看成两平面的交线.
1 : A1 x B1 y C1z D1 0 z
(s^,n)
2
(s^,n)
2
sin
cos
2
cos
2
.
20
空间直线及其方程
sin
| Am Bn Cp | A2 B2 C 2 m2 n2 p2
直线与平面的夹角公式
直线与平面的位置关系：
(直线与平面垂直、平行的充要条件)
(1) L A B C ;
mn p
y
z
z
1
0
和点(1,1,1)的 0
平 面 方 程.
解 过已知直线的平面束方程为
n
x y z ( x y z 1) 0 (1)
将点 (1,1,代1入) (1)中,得
·
1 1 1 (1 1 1 1) 0 3
将
3
2 代入(1)中,得 5x y z 3 0
s1 (1,4, 0),
p1 , p2
直线
s1
L2 s2
:
s2
(0,0,1),
0, s1 s2 ,
即
L1
L2 .
18
空间直线及其方程
过已知直线外一点作直线与已知直线平行
例 求过点(3,2,5)且与两平面x 4z 3和
2x y 5z 1 的交线平行的直线方程.
解 设所求直线的方向向量为 s (m, n, p),
方 程
直线L的方向数.
3
空间直线及其方程
因为 M0M ( x x0 , y y0 , z z0 )
故
M0 M //
s
x x0 y y0 z z0 直线的对称式方程
m
n
p (点向式、标准式）
令 x x0 y y0 z z0 t
m
n
p
x x0 mt
故
y
y0
nt
z z0 pt
两直线的夹角公式
17
空间直线及其方程
两直线的位置关系: (两直线垂直、平行的条件)
L1 : s1 (m1, n1, p1 ), L2 : s2 (m2 , n2 , p2 )
(1) L1 L2 m1m2 n1n2 p1 p2 0,
(2) L1 // L2
例 直线 L1 :
m1 n1 m2 n2
6
空间直线及其方程
例 一直线过点A(2,3,4),且和 y轴垂直相交 ,
求其方程.
z
解 交点为 B(0,3, 0),
取 s BA
.A s
.B
O
y
(2, 0, 4),
x
所求直线方程 x 2 y 3 z 4 .
2
0
4
7
空间直线及其方程
各类直线方程的互换
x x0 y y0 z z0
(2) L // Am Bn Cp 0.
21
空间直线及其方程
例 设直线L : x 1 y z 1, 2 1 2
平面 : x y 2z 3,求直线与平面的夹角.
解
n (1,1,2),
s (2,1,2),
sin
| Am Bn Cp |
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
空间直线及其方程
(3)过一点且与一已知平面平行,与一已知直线
相交的直线方程.
垂直为于了已确给定平所面求的直法线线的向方量向n ,向即量有s
,
应注意
A• n
s n 0
(a)
B•
L
s
l
•
s
由于已知直线L与欲求直线相交, 因此在L上
取必一 与L已, 知s 共点面B(,,s即它有与l)欲 A求B直 0线上任(一b)点A的连线AB
3x 2 y 0z 1 0
2x
y
0z
2
0
x
3,y 7
8 7
于是得直线上的一定点 3 , 8 ,0,
7 7
因所求直线与两平面的法向量都垂直.
取
s
n1
n2
(3,2,1)
(2,1,1)
(1,5,7)
对称式方程
x 3 7
y 8 7
z
1
57
s
2
L
s
n2
n1
1
11
空间直线及其方程