汕头市达濠华侨中学2020-2021学年高二上学期期末考试 数学试题(含答案)

汕头市达濠华侨中学2020-2021学年高二上学期期末考试
数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分
1．已知集合(){}
10A x x x =-≤，集合{}
11B x x =-<<，则A B =（ ）
A ．{}
11x x -≤≤
B ．{}
10x x -<≤
C ．{}11x x -<≤
D ．{}
01x x <<
2.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A ．三棱锥
B ．三棱柱
C ．四棱锥
D ．四棱柱
3．双曲线C ：14
22
=-y x 的顶点到其渐近线的距离等于( )。

A 、
52 B 、5
4 C 、552 D 、554
4．已知1、1a 、2a 、3成等差数列，1、1b 、2b 、3b 、4成等比数列，则
12
2
a a
b +=（ ） A ．2±
B ．2-
C ．
32
D ．2
5.已知过点()2,4M -的直线l 与圆C ：()()2
2
125x y -++=相切，且与直线230ax y -+=垂直，则实数a 的值为（ ） A ．4 B ．2
C ．2-
D ．4-
6．已知椭圆2
219
x y +=的两个焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上且120PF PF ⋅=，则12PF F △的面积是
（ ） A ．
12
B
C
．
3
D ．1
7．如图所示是一个正方体的表面展开图，A ，B ，D 均为棱的中点，C 是顶点，则在正方体中异面直线AB 和CD 所成角的余弦值为（ ）
A B C D 8．已知点F 是双曲线C ：122
22=-b
y a x (0>a ，0>b )的左焦点，点E 是右顶点，过F 且垂直于x 轴的直
线与双曲线交于A 、B 两点，若ABE ∆是锐角三角形，则双曲线C 的离心率e 的的取值范围是( )。

A 、)21(，
B 、)1(∞+，
C 、)211(+，
D 、)212(+， 二、多选题（本题共4小题，每小题全选对5分，选错不得分，选漏可得3分）
9．点P 在圆1C ：12
2
=+y x 上，点Q 在圆2C ：024862
2
=++-+y x y x 上，则（ ） A ．|PQ |的最小值为0 B ．|PQ |的最大值为7 C ．两个圆心所在的直线斜率为3
4
-
D ．两个圆相交弦所在直线的方程为02586=--y x
10. 已知βα，是两个不同的平面，n m ,是两条不同的直线，则下列说法中正确的是（ ） A ．如果βα⊥⊥⊥n m n m ,,，那么βα⊥ B ．如果βαα//,⊂m ，那么β//m C ．如果αβα//,m l =⋂，那么l m // D ．如果βα//,,n m n m ⊥⊥，那么βα⊥
11．若方程22
131
x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个说法中错误的是（ ）
A ．若13t <<，则C 为椭圆
B ．若
C 为椭圆，且焦点在y 轴上，则23t << C ．曲线C 可能是圆
D ．若C 为双曲线，则1t <
12.如图，线段AB 为圆O 的直径，点F E ,在圆O 上，AB EF //，矩形ABCD ，AD 和圆O 所在平面垂直，且1,2===AD EF AB ，则下述正确的是（ ） A ．BCE OF 平面// B ．ADF BF 平面⊥
C ．点A 到平面CDFE 的距离为
7
21 D ．三棱锥BEF C -外接球的体积为π5
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，其中13题答对一空得3分，全对得5分）
13．设直线0123:1=++y ax l ，直线04)2(:2=+-+y a x l ．当=a 时，21//l l ；当=a 时，21l l ⊥．
14. 已知椭圆22:11612x y C +=的离心率与双曲线()22
2:104x y C b b
'-=>的离心率互为倒数关系，则b =
______.
15．矩形ABCD 中，3,4==BC AB ,沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角D AC B --，则四面体ABCD 的外接球的体积为_____________.
16．已知椭圆22
195
y x +=的上焦点为F ，M 是椭圆上一点，点()
23,0A ，当点M 在椭圆上运动时，
MA MF +的最大值为__________． 三、解答题（本题共6小题） 17．（本题满分10分）
在ABC ∆中，A b B a sin cos 3=． （1）求B ∠；
（2）若a c b 2,2==，求ABC ∆的面积。

18．（本题满分12分）
已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 4＝24，S 7＝63. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若b n ＝＋a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .
19．（本题满分12分）
如图，在三棱柱111C B A ABC -中，，
平面ABC AA ⊥1,41===BC AC AA ︒=∠90ACB ，E 是1CC 的中点．
（1）求直线AB 与平面BE A 1所成角的正弦值；
（2）在棱1CC 上是否存在一点P ，使得平面PAB 与平面BE A 1所成二面角为45°？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（本题满分12分）
已知圆C 经过点()2,1A -，且圆心在直线2y x =-上，直线1x y +=与圆C 相切． （1）求圆C 的方程；
（2）已知斜率为1-的直线l 经过原点，求直线l 被圆C 截得的弦长．
21．（本题满分12分)
如图，四棱锥中，，，，是中点，平面.
（1）求证：平面平面； （2）求二面角的正弦值.
22．（本题满分12分）
椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，右焦点F 的坐标为（2，0），且点F 到短轴的一个端点的距
．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点F 作斜率为k 的直线l ，与椭圆C 交于B A ,两点，若4
3
OA OB ⋅>-，求k 的取值范围．
-P BCDE //BC DE 2222BC CD DE PE ===
=CE O BE PO ⊥
BCDE PBE ⊥PCE B PC D -
-
参考答案
本试卷满分150分，考试用时120分钟
六、填空题 13． ﹣1 ； 14.23
15.
6
125π
16.10 四、解答题
17
．（12分）在△ABC cos
B ＝b sin A ． （1）求∠B
；
（2）若b ＝2，c ＝2a ，求△ABC 的面积． 解：（1）在△ABC 中，由正弦定理，
，…………2分
因为sin A ≠0，…………3分
所以tan B 0＜B ＜π，所以， (5)
分
（2）因为
b ＝2，
c ＝
2a ，由余弦定理b 2＝a
2+c 2﹣2ac cos B ， 可得，所以a ，c ，…………8分 所以．…………10分 18、已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 4＝24，S 7＝63. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若b n ＝＋a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解析：(1)∵{a n }为等差数列，
cos sin B b A =cos sin sin A B B A =sin B B ==3
B π
=
2
2
144222a a a a =+-⨯⨯
==11223323
ABC
S
acsinB =
=⨯⨯=
∴⎩⎨⎧
S 4＝4a 1＋4×32
d ＝24，
S 7
＝7a 1
＋7×6
2
d ＝63，…………3分
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＝3，d ＝2，…………5分∴a n ＝2n ＋1…………6分.
(2)∵b n ＝＋a n ＝22n ＋1＋(2n ＋1)＝2×4n ＋(2n ＋1)，…………7分 ∴T n ＝2×(4＋42＋…＋4n )＋(3＋5＋…＋2n ＋1)…………8分 ＝2×4(1－4n )1－4＋n (3＋2n ＋1)2…………11分
＝8
3
(4n －1)＋n 2＋2n .…………12分
19．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AA 1＝AC ＝BC ＝4，∠ACB ＝90°，E 是CC 1的中点．
（1）求直线AB 与平面A 1BE 所成角的正弦值；
（2）在棱CC 1上是否存在一点P ，使得平面PAB 与平面A 1BE 所成二面角为45°？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空
间直角坐标系，
则A （4，0，0），B （0，4，0），E （0，0，2），A 1（4，0，4），……1分 ∴
＝（﹣4，4，0），
＝（4，0，2），
＝（0，4，﹣2），……2分
设平面A 1BE 的法向量＝（x ，y ，z ）， 则
，即
，令x ＝1，得＝（1，﹣1，﹣2），…………4分
∴cos ＜，＞＝＝＝﹣，
∴直线AB 与平面A 1BE 所成角的正弦值为．…………6分
（2）假设在棱CC 1上存在一点P ，使得平面PAB 与平面A 1BE 所成二面角为45°， 设P （0，0，c ），0≤c ≤4，…………7分 则＝（4，0，﹣c ），设平面PAB 的法向量为＝（x ，y ，z ），
则
，即
，取x ＝c ，则＝（c ，c ，4），…………8分
由（1）知平面A 1BE 的法向量为＝（1，﹣1，﹣2）， ∴|cos ＜，＞|＝
＝
＝
，
解得c ＝＜4，…………11分
∴在棱CC 1上存在一点P ，使得平面PAB 与平面A 1BE 所成二面角为45°， P 点坐标为（0，0，
）．…………12分
20.已知圆C 经过点()2,1A -，且圆心在直线2y x =-上，直线1x y +=与圆C 相切． （1）求圆C 的方程；
（2）已知斜率为1-的直线l 经过原点，求直线l 被圆C 截得的弦长． 解：（1）设圆心C 的坐标为(),2a a -，…………1分
=
…………2分 化简，得2210a a -+=，解得1a =，所以()1,2C -，…………4分
半径||r AC ==
= …………6分
所以圆C 的方程为()()2
2
122x y -+=+…………7分
（2）直线l 的方程为y x =-，设圆心到直线的距离为d ，…………8分
则d =
=
，…………10分
设弦长为l ，得l =11分
所以直线l 被圆C ．…………12分
21．如图，四棱锥中，，，，是中点，
平面.
（1）求证：平面平面； （2）求二面角的正弦值. 【详解】
（1）证明：∵，，
∴，即，， ∵，∴，
∵，∴， ∴，…………3分
∵平面，∴，…………4分 ∵，，平面，…………5分 ∴平面，
∵平面，…………6分 ∴平面平面.…………7分
（2）以为坐标原点，以过点且平行于的直线为轴，过点且平行于的直线为轴，直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
-P BCDE //BC DE 2222BC CD DE PE ===
=CE =O BE PO ⊥
BCDE PBE ⊥PCE B PC D --1CD DE =
=CE =222CE DE CD =+90CDE ∠=︒45CED ∠=︒//BC DE 45BCE CED ∠=∠=︒2BC =222222cos452BE BC CE BC CE BC CE =+-⋅⋅︒==-CE BE ⊥PO ⊥BCDE PO CE ⊥PO BE O ⋂=PO BE ⊂PBE CE ⊥PBE CE ⊂PCE PBE ⊥PCE O O CD x O BC y PO
z
由，，知，…………8分 则，，，， 设平面的法向量为，
则，即，
令，可得，…………9分 设平面的法向量为，
则，即， 令，可得，…………10分 ∴
，…………11分
则二面角
.…………12分 22．椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，右焦点F 的坐标为（2，0），且点F 到短轴的一个端点的距．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点F 作斜率为k 的直线l ，与椭圆C 交于A 、B 两点，若4
3
OA OB ⋅>-，求k 的取值范围． 21．解：（I ）由已知，
（
,
故椭圆C 的方程为…………3分
（II ）设…………4分
则A（B 坐标是方程组的解．
1PE =122OE BE =
=
PO BE ⊥2
PO =11,,022B ⎛⎫- ⎪⎝⎭13,,022C ⎛⎫ ⎪⎝⎭13,,022D ⎛⎫
- ⎪⎝⎭P ⎛ ⎝⎭
PCD ()1111,,n x y z =1100n CD n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩11
1030x y =⎧⎪
⎨=⎪⎩12z 120,
,3n ⎛
= ⎝PBC ()2222,,n x y z 2200n PB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩22220
x y y ⎧-=⎪⎨=⎪⎩22z =(22,0,n =12121233
,11
n n cos n n n n ⋅<>=
=⋅B PC D --
消去，…………6分
则（ …………7分
…………9分
…………11分所以k的取值范围是…………12分
11。