青浦区第一中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

青浦区第一中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 直线在平面外是指（ ） A ．直线与平面没有公共点 B ．直线与平面相交 C ．直线与平面平行
D ．直线与平面最多只有一个公共点
2． 直径为6的球的表面积和体积分别是（ ）
A ．144,144ππ
B ．144,36ππ
C ．36,144ππ
D ．36,36ππ 3． 设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，公比q=2，S k+2﹣S k =48，则k 等于（ ）
A ．7
B ．6
C ．5
D ．4
4． 过抛物线y 2=﹣4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若x 1+x 2=﹣6，则|AB|为（ ） A ．8
B ．10
C ．6
D ．4
5． 已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示，则该几何体的体积等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6． 双曲线上一点P 到左焦点的距离为5，则点P 到右焦点的距离为（ ） A ．13 B ．15 C ．12 D ．11 7． 已知集合A={0，1，2}，则集合B={x ﹣y|x ∈A ，y ∈A}中元素的个数是（ ） A ．1
B ．3
C ．5
D ．9
8． 设f （x ）=e x +x ﹣4，则函数f （x ）的零点所在区间为（ ） A ．（﹣1，0）
B ．（0，1）
C ．（1，2）
D ．（2，3）
9． 设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4=5S 2，则
的值为（ ）
A ．﹣2或﹣1
B ．1或2
C ．±2或﹣1
D ．±1或2
10．函数y=2sin 2x+sin2x 的最小正周期（ ）
A ．
B ．
C ．π
D ．2π
11．如图是某工厂对一批新产品长度（单位：mm ）检测结果的频率分布直方图．估计这批产品的中位数为（ ）
A ．20
B ．25
C ．22.5
D ．22.75
12．在空间中，下列命题正确的是（ ） A ．如果直线m ∥平面α，直线n ⊂α内，那么m ∥n
B ．如果平面α内的两条直线都平行于平面β，那么平面α∥平面β
C ．如果平面α外的一条直线m 垂直于平面α内的两条相交直线，那么m ⊥α
D ．如果平面α⊥平面β，任取直线m ⊂α，那么必有m ⊥β
二、填空题
13．若函数()f x 的定义域为[]1,2-，则函数(32)f x -的定义域是 ．
14．一个总体分为A ，B ，C 三层，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为15的样本，若B 层中每个个体被
抽到的概率都为
，则总体的个数为 ．
15．已知i 是虚数单位，且满足i 2=﹣1，a ∈R ，复数z=（a ﹣2i ）（1+i ）在复平面内对应的点为M ，则“a=1”是“点M 在第四象限”的 条件（选填“充分而不必要”“必要而不充分”“充要”“既不充分又不必要”）
16．多面体的三视图如图所示，则该多面体体积为（单位cm ） ．
17．已知
,0
()
1,0
x
e x
f x
x
ì³
ï
=í
<
ïî
，则不等式2
(2)()
f x f x
->的解集为________．
【命题意图】本题考查分段函数、一元二次不等式等基础知识，意在考查分类讨论思想和基本运算能力．18．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若﹣1＜a3＜1，0＜a6＜3，则S9的取值范围是．
三、解答题
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥PA，BC=2AB=2AD=4BE，平面PAB⊥平面ABCD，
（Ⅰ）求证：平面PED⊥平面PAC；
（Ⅱ）若直线PE与平面PAC
所成的角的正弦值为，求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．
20．如图1，圆O的半径为2，AB，CE均为该圆的直径，弦CD垂直平分半径OA，垂足为F，沿直径AB将半圆ACB所在平面折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图2）
（Ⅰ）求四棱锥C ﹣FDEO 的体积
（Ⅱ）如图2，在劣弧BC 上是否存在一点P （异于B ，C 两点），使得PE ∥平面CDO ？若存在，请加以证明；若不存在，请说明理由．
21．已知函数f （x ）=lg （x 2﹣5x+6）和的定义域分别是集合A 、B ，
（1）求集合A ，B ； （2）求集合A ∪B ，A ∩B ．
22．（本小题满分12分）已知点()()(),0,0,4,4A a B b a b >>,直线AB 与圆
22:4430M x y x y +--+=相交于,C D 两点, 且2CD =,求.
（1）()()44a b --的值； （2）线段AB 中点P 的轨迹方程；
（3）ADP ∆的面积的最小值.
23．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sinA ﹣sinC （cosB+sinB ）=0．
（1）求角C 的大小； （2）若c=2，且△ABC 的面积为，求a ，b 的值．
24．（本小题满分12分） 在等比数列{}n a 中，3339,22
a S =
=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设221
6log n n b a +=，且{}n b 为递增数列，若1
1
n n n c b b +=
，求证：12314
n c c c c ++++<
．
青浦区第一中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：根据直线在平面外是指：直线平行于平面或直线与平面相交，
∴直线在平面外，则直线与平面最多只有一个公共点．
故选D．
2．【答案】D
【解析】
考点：球的表面积和体积．
3．【答案】D
【解析】解：由题意，S k+2﹣S k=，
即3×2k=48，2k=16，
∴k=4．
故选：D．
【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础题．
4．【答案】A
【解析】解：由题意，p=2，故抛物线的准线方程是x=1，
∵抛物线y2=﹣4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点
∴|AB|=2﹣（x1+x2），
又x1+x2=﹣6
∴∴|AB|=2﹣（x1+x2）=8
故选A
5．【答案】C
【解析】
考点：三视图．
6．【答案】A
【解析】解：设点P到双曲线的右焦点的距离是x，
∵双曲线上一点P到左焦点的距离为5，
∴|x﹣5|=2×4
∵x＞0，∴x=13
故选A．
7．【答案】C
【解析】解：∵A={0，1，2}，B={x﹣y|x∈A，y∈A}，
∴当x=0，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为0，﹣1，﹣2；当x=1，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为1，0，﹣1；
当x=2，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为2，1，0；
∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}，
∴集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是5个．
故选C．
8．【答案】C
【解析】解：f（x）=e x+x﹣4，
f（﹣1）=e﹣1﹣1﹣4＜0，
f（0）=e0+0﹣4＜0，
f（1）=e1+1﹣4＜0，
f（2）=e2+2﹣4＞0，
f（3）=e3+3﹣4＞0，
∵f（1）•f（2）＜0，
∴由零点判定定理可知，函数的零点在（1，2）．
故选：C．
9．【答案】C
【解析】解：由题设知a1≠0，当q=1时，S4=4a1≠10a1=5S2；q=1不成立．
当q≠1时，S n=，
由S4=5S2得1﹣q4=5（1﹣q2），（q2﹣4）（q2﹣1）=0，（q﹣2）（q+2）（q﹣1）（q+1）=0，
解得q=﹣1或q=﹣2，或q=2．
==q，
∴=﹣1或=±2．
故选：C．
【点评】本题主要考查等比数列和等差数列的通项公式的应用，利用条件求出等比数列的通项公式，以及对数的运算法则是解决本题的关键．
10．【答案】C
【解析】解：函数y=2sin2
x+sin2x=2×+sin2x=sin（2x﹣）+1，
则函数的最小正周期为=π，
故选：C．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，函数y=Asin（ωx+φ）的周期性，利用了函数y=Asin（ωx+φ）的周
期为，属于基础题．
11．【答案】C
【解析】解：根据频率分布直方图，得；
∵0.02×5+0.04×5=0.3＜0.5，
0.3+0.08×5=0.7＞0.5；
∴中位数应在20～25内，
设中位数为x，则
0.3+（x﹣20）×0.08=0.5，
解得x=22.5；
∴这批产品的中位数是22.5．
故选：C．
【点评】本题考查了利用频率分布直方图求数据的中位数的应用问题，是基础题目．
12．【答案】 C
【解析】解：对于A ，直线m ∥平面α，直线n ⊂α内，则m 与n 可能平行，可能异面，故不正确；
对于B ，如果平面α内的两条相交直线都平行于平面β，那么平面α∥平面β，故不正确； 对于C ，根据线面垂直的判定定理可得正确；
对于D ，如果平面α⊥平面β，任取直线m ⊂α，那么可能m ⊥β，也可能m 和β斜交，；
故选：C ．
【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，考查了空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系，同时考查了推理能力，属于中档题．
二、填空题
13．【答案】1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【解析】
试题分析：依题意得11322,,22x x ⎡⎤-≤-≤∈⎢⎥⎣⎦
.
考点：抽象函数定义域．
14．【答案】 300 ．
【解析】解：根据分层抽样的特征，每个个体被抽到的概率都相等，
所以总体中的个体的个数为15÷=300．
故答案为：300．
【点评】本题考查了样本容量与总体的关系以及抽样方法的应用问题，是基础题目．
15．【答案】 充分不必要
【解析】解：∵复数z=（a ﹣2i ）（1+i ）=a+2+（a ﹣2）i ， ∴在复平面内对应的点M 的坐标是（a+2，a ﹣2）， 若点在第四象限则a+2＞0，a ﹣2＜0， ∴﹣2＜a ＜2，
∴“a=1”是“点M 在第四象限”的充分不必要条件， 故答案为：充分不必要．
【点评】本题考查条件问题，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查各个象限的点的坐标特点，本题是一个基础题．
16．【答案】 cm 3 ．
【解析】解：如图所示，
由三视图可知：
该几何体为三棱锥P ﹣ABC ．
该几何体可以看成是两个底面均为△PCD ，高分别为AD 和BD 的棱锥形成的组合体，
由几何体的俯视图可得：△PCD 的面积S=×4×4=8cm 2
，
由几何体的正视图可得：AD+BD=AB=4cm ，
故几何体的体积V=×8×4=cm 3，
故答案为：
cm 3
【点评】本题考查由三视图求几何体的体积和表面积，根据已知的三视图分析出几何体的形状是关键．
17．【答案】(
【解析】函数()f x 在[0,)+?递增，当0x <时，220x ->，解得0x -<<；当0x ³时，22x x ->，
解得01x ?，综上所述，不等式2
(2)()f x f x ->的解集为(-．
18．【答案】（﹣3，21）．
【解析】解：∵数列{a n}是等差数列，
∴S9=9a1+36d=x（a1+2d）+y（a1+5d）=（x+y）a1+（2x+5y）d，
由待定系数法可得，解得x=3，y=6．
∵﹣3＜3a3＜3，0＜6a6＜18，
∴两式相加即得﹣3＜S9＜21．
∴S9的取值范围是（﹣3，21）．
故答案为：（﹣3，21）．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式及其“待定系数法”等基础知识与基本技能方法，属于中档题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，AB⊥PA
∴PA⊥平面ABCD
结合AB⊥AD，可得
分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系o﹣xyz，如图所示…
可得A（0，0，0）D（0，2，0），E（2，1，0），C（2，4，0），
P（0，0，λ）（λ＞0）
∴，，
得，，
∴DE⊥AC且DE⊥AP，
∵AC、AP是平面PAC内的相交直线，∴ED⊥平面PAC．
∵ED⊂平面PED∴平面PED⊥平面PAC
（Ⅱ）由（Ⅰ）得平面PAC的一个法向量是，
设直线PE与平面PAC所成的角为θ，
则，解之
得λ=±2
∵λ＞0，∴λ=2，可得P的坐标为（0，0，2）
设平面PCD的一个法向量为=（x
，y0，z0），，
由，，得到，
令x0=1，可得y0=z0=﹣1，得=（1，﹣1，﹣1）
∴cos＜，
由图形可得二面角A﹣PC﹣D的平面角是锐角，
∴二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值为．
【点评】本题在四棱锥中证明面面垂直，并且在线面所成角的正弦情况下求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．着重考查了线面垂直、面面垂直的判定定理和利用空间向量研究直线与平面所成角和二面角大小的方法，属于中档题．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）如图1，∵弦CD垂直平分半径OA，半径为2，
∴CF=DF，OF=，
∴在Rt△COF中有∠COF=60°，CF=DF=，
∵CE为直径，∴DE⊥CD，
∴OF∥DE，DE=2OF=2，
∴，
图2中，平面ACB⊥平面ADE，平面ACB∩平面ADE=AB，
又CF⊥AB，CF⊂平面ACB，
∴CF⊥平面ADE，则CF是四棱锥C﹣FDEO的高，
∴．
（Ⅱ）在劣弧BC上是存在一点P（劣弧BC的中点），使得PE∥平面CDO．
证明：分别连接PE，CP，OP，
∵点P 为劣弧BC 弧的中点，∴，
∵∠COF=60°，∴∠COP=60°，则△COP 为等边三角形，
∴CP ∥AB ，且，又∵DE ∥AB 且DE=
，
∴CP ∥DE 且CP=DE ， ∴四边形CDEP 为平行四边形， ∴PE ∥CD ，
又PE ⊄面CDO ，CD ⊂面CDO ， ∴PE ∥平面CDO ．
【点评】本题以空间几何体的翻折为背景，考查空间几何体的体积，考查空间点、线、面的位置关系、线面平行及线面垂直等基础知识，考查空间想象能力，求解运算能力和推理论证能力，考查数形结合，化归与数学转化等思想方法，是中档题．
21．【答案】
【解析】解：（1）由x 2﹣5x+6＞0，即（x ﹣2）（x ﹣3）＞0， 解得：x ＞3或x ＜2，即A={x|x ＞3或x ＜2}， 由g （x ）=
，得到﹣1≥0，
当x ＞0时，整理得：4﹣x ≥0，即x ≤4； 当x ＜0时，整理得：4﹣x ≤0，无解，
综上，不等式的解集为0＜x ≤4，即B={x|0＜x ≤4}； （2）∵A={x|x ＞3或x ＜2}，B={x|0＜x ≤4}， ∴A ∪B=R ，A ∩B={x|0＜x ＜2或3＜x ≤4}．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
22．【答案】（1）()()448a b --=；（2）()()()2222,2x y x y --=>>；（3）6．
【解析】
试题分析：（1）利用2CD =，得圆心到直线的距离2d =
2=，再进行化简，即可求
解()()44a b --的值；（2）设点P 的坐标为(),x y ，则2
2
a x
b y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入①，化简即可求得线段AB 中点P 的轨
迹方程；（3）将面积表示为()()()11
4482446224
ADP b S a a b a b a b
∆==+
-=+-=-+-+，再利用基本
不等式，即可求得ADP ∆的面积的最小值.
（3）()()()
11
448244
666224
ADP b S a a b a b a b ∆=
=+-=+-=-+-+≥=,
∴当4a b ==+, 面积最小, 最小值为6.
考点：直线与圆的综合问题.
【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的综合问题，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、轨迹方程的求解，以及基本不等式的应用求最值等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归思想和学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中将面积表示为()()446ADP S a b ∆=-+-+，再利用基本不等式是解答的一个难点，属于中档试题. 23．【答案】
【解析】（本题满分为12分）
解：（1）∵由题意得，sinA=sin （B+C ）， ∴sinBcosC+sinCcosB ﹣sinCcosB ﹣
sinBsinC=0，…（2分）
即sinB （cosC ﹣sinC ）=0，
∵sinB ≠0， ∴tanC=
，故C=
．…（6分） （2）∵ab ×=
，
∴ab=4，①
又c=2，…（8分）
∴a 2+b 2
﹣2ab ×=4，
∴a 2+b 2=8．②
∴由①②，解得a=2，b=2．…（12分）
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．
24．【答案】（1）1
31622n n n a a -⎛⎫
==- ⎪
⎝⎭
或；（2）证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）将3339,22a S ==化为1,a q ，联立方程组，求出1,a q ，可得1
31622n n n a a -⎛⎫
==- ⎪
⎝⎭
或；（2）
由于{}n b 为递增数列，所以取1
162n n a -⎛⎫
=⋅- ⎪
⎝⎭
，化简得2n b n =，()1111114141n n n c b b n n n n +⎛⎫
=
==- ⎪++⎝⎭
，
其前项和为()111
4414
n -<+.
考点：数列与裂项求和法．1。