2024届重庆市秀山高级中学校高一数学第二学期期末考试模拟试题含解析

2024届重庆市秀山高级中学校高一数学第二学期期末考试模拟
试题
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．已知()2sin 3
6f x x π
π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈N ，则()f x 的值域为（ ）
A ．{}1,1-
B ．{}1,1,2--
C ．{}1,1,2,2--
D ．{}1,2-
2．函数π
()cos 26cos()2
f x x x =+-的最大值为 A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
3．已知直线倾斜角的范围是,32ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭2,23ππ⎛⎤
⎥⎝⎦
，则此直线的斜率的取值范围是（ ）
A
．⎡⎣ B
．(
,-∞
)
+∞
C
．33⎡-⎢⎣⎦
D
．,3⎛-∞- ⎝
⎦
3⎫
+∞⎪⎪⎣⎭
4．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos cos a B b A =，且
sin a b C =，则ABC ∆的形状是（ ）
A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．不确定
5．等差数列{}n a 中，50a <，且60a >，且65a a >，n S 是其前n 项和，则下列判断正确的是（ ）
A ．1S 、2S 、3S 均小于0，4S 、5S 、6S 、均大于0
B ．1S 、2S 、、5S 均小于0，6S 、7S 、均大于0
C ．1S 、2S 、、9S 均小于0，10S 、11S
、均大于0 D ．1S 、2S 、
、11S 均小于0，12S 、13S
、
均大于0
6．若圆心坐标为(2,1)-的圆,被直线10x y --=截得的弦长为22，则这个圆的方程是（ ）
A ．22(2)(1)2x y -++=
B ．22(2)(1)4x y -++=
C ．22(2)(1)8x y -++=
D ．22(2)(1)16x y -++=
7．已知向量()()2,1,,2a b x ==-，若//a b ，则a b +=（ ） A ．()2,1--
B ．()2,1
C ．()3,1-
D ．()3,1-
8．直线310x y -+=的倾斜角为 A ．
23
π B ．56
π C ．3
π D ．
6
π 9．在等差数列中，若
，则
（ ）
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
10．已知β为锐角，角α的终边过点(()2
3,2
sin αβ+=
，则cos β=（ ） A ．
12
B ．
62
4
C ．
62
4 D 62
±二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．已知曲线21y x =-750x y -+＝交于A ，B 两点，若直线OA ，OB 的倾斜角分别为α、β，则cos()αβ-=__________
12．已知一圆台的底面圆的半径分别为2和5，母线长为5，则圆台的高为_______.
13．已知2tan 3tan 5πα=，则
2sin 59cos 10παπα⎛⎫- ⎪
⎝⎭=
⎛⎫+ ⎪⎝
⎭________. 14．在数列{}n a 中，11a =，25a =，()
*
21n n n a a a n N ++=-∈ ，则
2018a =_____________．
15．某县现有高中数学教师500人，统计这500人的学历情况，得到如下饼状图，该县今年计划招聘高中数学新教师，只招聘本科生和研究生，使得招聘后该县高中数学专科学历的教师比例下降到8%，且研究生的比例保持不变，则该县今年计划招聘的研究生人数为_______.
16．已知函数2
()cos 2sin f x x a x b =-++，x ∈R （常数a 、b R ∈），若当且仅当
sin x a =时，函数()f x 取得最大值1，则实数b 的数值为______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知圆
C :22(1)4x y ++=，过点()0,2P 的直线l 与圆相交于不同的两点A ，
B ．
（1）若1OA OB ⋅=，求直线l 的方程．
（2）判断PA PB ⋅是否为定值．若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 18．某专卖店为了对新产品进行合理定价，将该产品按不同的单价试销，调查统计如下表： 售价x （元） 4 5 6 7 8 周销量y （件）
90
85
83
79
73
（1）求周销量y （件）关于售价x （元）的线性回归方程ˆy
bx a =+； （2）按（1）中的线性关系，已知该产品的成本为2元/件，为了确保周利润大于598元，则该店应该将产品的售价()x x N ∈定为多少？
参考公式：()()
()
1
2
1
n
i
i
i n
i
i x x y y b x x ==--=
-∑∑，a y bx =-.
参考数据：()()1
82,40n
i
i
i y x x y
y ==--=-∑，()2
1
10n
i i x x =-=∑
19．已知()2
31
x
f x m =
++，m 是实常数． （1）当0m =时，判断函数()f x 的奇偶性，并给出证明； （2）若()f x 是奇函数，不等式()()()0f
f x f a +<有解，求a 的取值范围．
20．已知()x x
f x a ka -=+（0a >且1a ≠）是R 上的奇函数，且8(1)3
f =
.
（1）求()f x 的解析式； （2）若关于x 的方程(
)
()22291130mx x
mx f f ---+-=在区间[0,1]内只有一个解，求
m 的取值集合； （3）设1()12g x f x ⎛⎫
=-
+ ⎪⎝⎭
，记*
12()31()n F n g g g g n N n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
……，是否存在正整数n ，使不
得式(2)()()f x F n f x ≥对一切[1,1]x ∈-均成立？若存在，求出所有n 的值，若不存在，说明理由. 21．化简： （1）
1tan 21
1tan 21
-+；
（2）sin347cos148sin 77cos58+.
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、C 【解题分析】
根据正弦型函数的周期性可求得最小正周期，从而可知代入0,1,2,3,4,5x =即可求得所有函数值. 【题目详解】
由题意得，()f x 最小正周期：
26
3
T π
π
=
=
()02sin
16f π==；()12sin
22f π
==；()522sin
16f π
==；
()732sin 16f π==-；()342sin 22f π==-；()1152sin 16
f π
==-
x N ∈且6T =
()f x ∴值域为：{}2,2,1,1--
本题正确选项：C 【题目点拨】
本题考查正弦型函数值域问题的求解，关键是能够确定函数的最小正周期，从而计算出一个周期内的函数值. 2、B 【解题分析】
试题分析：因为2
2
3
11
()12sin 6sin 2(sin )2
2
f x x x x =-+=--+，而sin [1,1]x ∈-，所以当sin 1x =时，()f x 取得最大值5，选B. 【考点】 正弦函数的性质、二次函数的性质 【名师点睛】求解本题易出现的错误是认为当3
sin 2
x =
时，函数2311
2(sin )22
y x =--+取得最大值.
3、B 【解题分析】
根据直线的斜率等于倾斜角的正切值求解即可. 【题目详解】
因为直线倾斜角的范围是,32ππα⎡⎫
∈⎪⎢
⎣⎭2,23ππ⎛⎤
⎥⎝⎦
,又直线的斜率
tan k α=,,32ππα⎡⎫
∈⎪
⎢⎣⎭
2,23ππ⎛⎤
⎥⎝⎦
.故tan tan 3πα≥=2tan tan 3πα≤=
故(
,k ∈-∞)
+∞.
故选：B 【题目点拨】
本题主要考查了直线斜率与倾斜角的关系,属于基础题. 4、C 【解题分析】
通过正弦定理可得in 0()s A B -=可得三角形为等腰，再由sin a b C =可知三角形是直角，于是得到答案. 【题目详解】
因为cos cos a B b A =，所以sin cos cos sin 0A B A B -=，所以in 0()s A B -=，即
A B =.因为A B =，所以a b =，又因为sin a b C =，所以sin 1C =，所以2
C π
=
，
故ABC ∆的形状是等腰直角三角形. 【题目点拨】
本题主要考查利用正弦定理判断三角形形状，意在考查学生的分析能力，计算能力，难度中等. 5、C 【解题分析】
由50a <，60a >且65a a >可得650d a a =->，560a a +>，520a <，620a >，结合等差数列的求和公式即等差数列的性质即可判断. 【题目详解】
50a <，60a >且65a a >，650d a a ∴=->，∴数列{}n a 的前5项都是负数， 560a a +>，520a <，620a >，由等差数列的求和公式可得
()19959902
a a S a +=
=<， ()
()110105610502
a a S a a +=
=+>，
由公差0d >可知，1S 、2S 、、9S 均小于0，10S 、11S 、
均大于0.
故选：C. 【题目点拨】
本题考查等差数列前n 项和符号的判断，解题时要充分结合等差数列下标和的性质以及等差数列求和公式进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 6、B 【解题分析】
设出圆的方程，求出圆心到直线的距离，利用圆心到直线的距离、半径和半弦长满足勾股定理，求得圆的半径，即可求得圆的方程，得到答案． 【题目详解】
由题意，设圆的方程为2
2
2
(2)(1)x y r -++=，
则圆心到直线10x y --=的距离为d =
=
又由被直线10x y --=截得的弦长为2224r =+=，
所以所求圆的方程为22(2)(1)4x y -++=， 故选B ． 【题目点拨】
本题主要考查了圆的方程的求解，以及直线与圆的弦长的应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系，合理利用圆心到直线的距离、半径和半弦长满足勾股定理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 7、A 【解题分析】
先根据向量的平行求出x 的值，再根据向量的加法运算求出答案． 【题目详解】
向量()()2,1,,2a b x ==-， //a b ， 22x ∴⨯-=（），
解得4x =-， ∴214221a b +=+--=--（，）（，）（，）， 故选A ． 【题目点拨】
本题考查了向量的平行和向量的坐标运算，属于基础题． 8、D 【解题分析】
求得直线的斜率，由此求得直线的倾斜角. 【题目详解】
依题意，直线的斜率为13
3
3
-=
-，对应的倾斜角为π6，故选D.
【题目点拨】
本小题主要考查由直线一般式求斜率和倾斜角，考查特殊角的三角函数值，属于基础题. 9、C 【解题分析】
通过等差数列的性质可得答案. 【题目详解】 因为
，
，所以
.
【题目点拨】
本题主要考查等差数列的性质，难度不大.
10、B 【解题分析】
由题意利用任意角的三角函数的定义求得sin α和cos α，再利用同角三角函数的基本关系求得cos()αβ+的值，再利用两角差的余弦公式求得cos cos[()]βαβα=+-的值． 【题目详解】
角α
的终边过点(，
sin 1co 2s αα∴=
=
==，
sin()2sin()sin αβαβα+=
∴+<
又
β为锐角，
2
π
αβ∴+>
cos()0αβ∴+<
由sin()2
αβ+=
，可得
cos()2
cos cos[()]cos()cos sin()sin 1222αββαβααβααβα+==-∴=+-=+++=-
⨯+= 故选B ． 【题目点拨】
本题考查任意角的三角函数的定义，考查两角差的余弦，是基础题．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、0 【解题分析】
曲线y =22
+1x y =的上半部分，因为圆是单位圆，所以cos A x α=，
sin A y α=，cos B x β=，sin B y β=，联立曲线与直线方程，消元后根据韦达定理与
直线方程代入即可求解.
【题目详解】
由750
y x y ⎧⎪=⎨-+⎪⎩＝消去x 得22535120y y -+=， 则712
,525
A B A B y y y y +=
⋅= ， 由三角函数的定义得
cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+
A B A B x x y y ⋅+⋅=
(75)(75)A B A B y y y y =--+⋅ 5035()25A B A B y y y y =⋅-++
2449250=-+=
故cos()0αβ-=. 【题目点拨】
本题主要考查三角函数的定义，直线与圆的应用.
此题关键在于曲线y 的识别与三角函数定义的应用. 12、4 【解题分析】
根据圆台轴截面等腰梯形计算． 【题目详解】
5,2,5R r l ===，
设圆高为h ，由圆台轴截面是等腰梯形得：2
2
2
()h R r l +-=，即222
(52)5h +-=，
4h =，
故答案为：4. 【题目点拨】
本题考查求圆台的高，解题关键是掌握圆台的性质，圆台轴截面是等腰梯形． 13、
12
【解题分析】
由259210πππαα+=++可得22sin sin 5592cos sin 105ππααππαα⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，然后用正弦的和差公
式展开，然后将条件代入即可求出原式的值 【题目详解】 因为2tan 3tan
5
π
α= 所以
222sin sin sin 555922cos cos sin 10255πππαααππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
==⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+++-+ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2222sin
cos cos sin tan tan 2tan 1555522222sin cos cos sin tan tan 4tan
5555ππππαααππππααα---====----- 故答案为：1
2
【题目点拨】
本题考查的三角恒等变换，解决此类问题时要善于发现角之间的关系. 14、5 【解题分析】
利用递推关系式依次求值，归纳出：a n+6=a n ，再利用数列的周期性，得解. 【题目详解】
∵a 1=1，a 2=5，a n+2=a n+1-a n （n ∈N *）， ∴a 3=a 2-a 1=5-1=4，
同理可得：a 4=-1，a 5=-5，a 6=-4，a 7=1，a 8=5，…， ∴a n+6=a n ．
则a 2018=a 6×336+2=a 2=5 【题目点拨】
本题考查了递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力. 15、50 【解题分析】
先计算出招聘后高中数学教师总人数，然后利用比例保持不变，得到该县今年计划招聘的研究生人数. 【题目详解】
招聘后该县高中数学专科学历的教师比例下降到8%， 则招聘后，该县高中数学教师总人数为50010%
6258%
⨯=，
招聘后研究生的比例保持不变，
∴该县今年计划招聘的研究生人数为()62550040%50-⨯=.
【题目点拨】
本题主要考查学生的阅读理解能力和分析能力，从题目中提炼关键字眼“比例保持不变”是解题的关键. 16、-1 【解题分析】
先将函数转化成同名三角函数，再结合二次函数性质进行求解即可 【题目详解】
()222()cos 2sin 1sin 2sin sin 2sin 1f x x a x b x a x b x a x b =-++=--++=++-
令[]sin ,1,1t x t =∈-，()2
21f t t at b =++-，对称轴为t a =-；
当0a >时，1t =时函数值最大，1a =，解得1b =-；
当0a =时，对称轴为0t =，函数在1t =±时取到最大值，与题设矛盾； 当0a <时，1t =-时函数值最大，1a =-，解得1b =-； 故b 的数值为：-1 故答案为：-1 【题目点拨】
本题考查换元法在三角函数中的应用，分类讨论求解函数最值，属于中档题
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）2y =+或2y =+．
（2）是，定值5． 【解题分析】
（1）根据题意设出2y kx =+，再联立直线方程和圆的方程，得到122
61k
x x k -+=
+，122
5
1x x k
=
+，然后由1OA OB ⋅=列式，再将1212,x x x x +的值代入求解，即可求出； （2）先根据特殊情况，当直线l 与x 轴垂直时，求出5PA PB ⋅=，再说明当直线l 与x 轴不垂直时， 5PA PB ⋅=是否成立，即可判断． 【题目详解】
（1）由已知得l 不与x 轴垂直，不妨设l :2y kx =+，()11,A x y ，()22,B x y ． 联立22
2(1)4
y kx x y =+⎧⎨
++=⎩消去y 得()22
1650k x kx +++=， 则有(
)2
2
2
53620104
k k
k
∆=-+>⇒>
12261k x x k -+=
+，12
2
5
1x x k =+ 又112y kx =+，222y kx =+，
()()212121212124OA OB x x y y k x x k x x ⋅=+=++++
()2
2
222
561212491111k k k k k k k --=+⋅+⋅+=+=+++，解得k =k =
所以，直线l 的方程为2y =+或2y =+．
（2）当直线l 与x 轴垂直时（斜率不存在），A ，B 的坐标分别为()0,1，()0,3-， 此时5PA PB ⋅=．
当l 不与x 轴垂直时，()()121222PA PB x x y y ⋅=+-- 又由（1）112y kx =+，222y kx =+，且122
5
1x x k =
+， 所以(
)
2
2
12121215PA PB x x k x x k x x ⋅=+=+=． 综上，PA PB ⋅为定值5． 【题目点拨】
本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，韦达定理的应用，数量积的坐标表示，以及和圆有关的定值问题的解法的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．
18、（1）ˆ4106y x =-+；（2）14元
【解题分析】
（1）由表中数据求得,x y ,结合参考数据可得b .再代入方程即可求得线性回归方程
ˆy
bx a =+. （2）设售价为x 元,代入（1）中的回归方程,求得销量.即可求得利润的表达式.由于周利润大于598元,得不等式后,解不等式即可求解. 【题目详解】
（1）由表可得4567865x ++++=
=,因为9085837973
825
y ++++==,
由参考数据
()()1
40n
i i i x x y y =--=-∑,()
2
1
10n
i i x x =-=∑,
所以代入公式可得()()
()
1
2
1
40
410
n
i
i
i n
i
i x x y y b x x ==---=
=
=--∑∑, 则82(4)6106a y bx =-=--⨯=,
所以线性回归方程ˆ4106y
x =-+； （2）设售价为x 元,由（1）知周销量为4106y x =-+, 所以利润(2)(4106)598W x x =-⨯-+>,
解得
27
152
x <<,因为x ∈N ,则14x =. 所以为了确保周利润大于598元,则该店应该将产品的售价定为14元. 【题目点拨】
本题考查了线性回归方程的求法和简单应用,一元二次不等式的解法,属于基础题. 19、（1）()f x 为非奇非偶函数，证明见解析；（2）1a >-． 【解题分析】
（1）当0m =时，()2
31
x
f x =+，计算(1),(1)f f -不相等，也不互为相反数，可得出结论；
（2）由奇函数的定义，求出m 的值，证明()f x 在R 上单调递减，()()()0
f f x f a +<有解，化为()f x a >-有解，求出()f x 的值域，即可求解. 【题目详解】
（1）()f x 为非奇非偶函数．
当0m =时，()231x f x =+，()21142
f ==，
()23
11213
f -==
+ ， 因为()()11f f -≠，所以()f x 不是偶函数； 又因为()()11f f -≠-，所以()f x 不是奇函数，
即()f x 为非奇非偶函数．
（2）因为()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-恒成立， 即
22
3131
x x m m +=--++对x ∈R 恒成立， 化简整理得232221331
x x x m ⨯-=+=++，即1m =-．
下用定义法研究()2
131
x
f x =-+的单调性； 设任意12,x x R ∈，且 12x x <，()()121222
113131x x f x f x -=
--+++()
()()
211223303131
x x x
x ++=->， 所以函数()f x 在R 上单调递减， 因为()()()0f f x f a +<有解，且函数为奇函数， 所以()()()()f
f x f a f a <-=-有解，
又因为函数()f x 在R 上单调递减，所以
()f x a >-有解，12
311,01,02,3131
x x x +><
<<<++ 1()1f x -<<，()2
131
x
f x =
-+的值域为()1,1-， 所以<1a -，即1a >-． 【题目点拨】
本题考查函数性质的综合应用，涉及到函数的奇偶性求参数，单调性证明及应用，以及求函数的值域，属于较难题.
20、（1）()33x x
f x -=-；
（2）m 的取值集合{|2m m ≤或4m =} （3）存在，1,2,3n = 【解题分析】
（1）利用奇函数的性质得到关于实数k 的方程，解方程即可，注意验证所得的结果； （2）结合函数的单调性和函数的奇偶性脱去f 的符号即可； （3）可得(1)()2,()1g x g x F n n -+==-，即可得：
2233(2)()()13333
x x
x x x x f x F n f x n ----≥⇔-≤=+-即可.
【题目详解】
（1）由奇函数的性质可得：
00(0)0f k a a --=⨯+=，解方程可得：1k =-.
此时()x
x
f x a a
-=-，满足()()f x f x -=-，即()f x 为奇函数.
18
(1)3,()3
f a a f x a =-
=∴=的解析式为：()33x x f x -=-； （2）函数的解析式为：()33x x
f x -=-，
结合指数函数的性质可得：2
2291130mx
x
mx ---+-=在区间[0,1]内只有一个解.
即：2
()2(4)20g x mx m x =-++=在区间[0,1]内只有一个解. （i ）当0m =时，1
2
x =，符合题意. （ii ）当0m ≠时,
(0)20g =>
只需(1)2420,2g m m m =--+≤∴≤且0m ≠
2(4)160=m m ∆+-=时，4m =，此时1
2
x =
，符合题意 综上，m 的取值集合{|2m m ≤或4m =} （3）
函数()f x 为奇函数
1
()()12g x f x ∴=-+关于1(,1)2
对称
(1)()2g x g x ∴-+=
*1231
()()()()...()()n F n g g g g n N n n n n -=++++∈
又*1231
()()()()...()()n n n F n g g g g n N n n n n
---=++++∈ 2()22,()1F n n F n n ∴=-∴=-
2233(2)()()13333
x x
x x x x f x F n f x n ----≥⇔-≤=+-
332x x -+≥当且仅当0x =时等号成立 123,1,2,3n n n ∴-≤∴≤=
所以存在正整数n ，使不得式(2)()()f x F n f x ≥对一切[1,1]x ∈-均成立. 【题目点拨】
本题考查了复合型指数函数综合，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于难题.
21、（1）tan 24︒（2）2
【解题分析】
（1）中可将“1”转化成tan 45，即可求解； （2）结合诱导公式化简，再结合和角公式化简 【题目详解】 （1）()
1tan 21tan 45tan 21
tan 4521tan 241tan 211tan 45tan 21
--==-︒=︒++
（2）
()()
sin347cos148sin 77cos58sin 347360cos 18032cos13sin32
+=--+
()()sin 13cos3213323213sin 45cos13sin32sin cos sin cos =-︒-︒+︒︒︒︒=︒=︒=
︒+ 【题目点拨】
本题考查三角函数的化简求值，合理运用公式化简，熟悉基本的和差角公式和诱导公式是解题关键，属于中档题。