四川版2016届高三上学期第二次月考 数学(文)

第二次月考数学文试题【四川版】
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 1． 若复数1m i
z i
+=
-（i 为虚数单位）为实数，则实数m = A ．0 B ．－１ Ｃ．－１或１ Ｄ．１
2． 已知全集U=R ，集合{}{}|ln(31),|sin(2),A x y x B y y x ==-==+则()U C A B ⋂=
1.(,)3A +∞ 1.0,3B ⎛⎤ ⎥⎝⎦ 1.1,3C ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
.D ∅ ３．已知角α的终边经过点（-4,3），则cos α=( )
A. 45
B. 35
C. －35
D. －4
5
４．将函数sin 2y x x =的图像沿x 轴向左平移ϕ个单位后，得到一个偶函数的图像，则ϕ
的最小值为
.
12A π .6B π .4C π 5.12
D π
5.若函数f (x )＝log a (x ＋b )的大致图象如图所示，其中a ，b 为常数，则函数
g (x )＝a x ＋b 的大致图象是
( )．
６．设,,a b c 是非零向量，已知命题P ：若0a b ∙= ，0b c ∙= ，则0a c ∙= ；命题q ：若//,//a bb c ，则//a c
，则下列命题中真命题是（ ）
A ．p q ∨
B ．p q ∧
C ．()()p q ⌝∧⌝
D ．()p q ∨⌝
７．如图１是某县参加2014年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A 1，A 2，…，A 10（如A 2表示身高（单位：cm ）在[150，155）内的学生人数）．图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～185cm （含160cm ，不含185cm ）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是( )
A．i＜9 B．i＜8 C．i＜7 D．i＜6 ８．若函数()
f x kx Inx
=-在区间()
1,+∞单调递增，则k的取值范围是
（A）(]
,2
-∞-（B）(]
,1
-∞-（C）[)
2,+∞（D）[)
1,+∞
.A AD⊥平面PBC且三棱椎D-ABC的体积为
8
3
.B B D⊥平面PAC且三棱椎D-ABC的体积为
8
3 .C AD⊥平面PBC且三棱椎D-ABC的体积为
16
3
.D B D⊥平面PAC且三棱椎D-ABC的体积为
16
3 10．已知f（x）是定义在R上且以2为周期的偶函数，当0≤x≤1，f（x）=x2．如果函数
()()()
g x f x x m
=-+有两个零点，则实数m的值为
.2()
A k k Z
∈B.22k()
4
k k Z
+∈
或C.0 D.22k-()
4
k k Z
∈
或
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上．
11．已知函数
1
(),4
()2
(1),4
x x
f x
f x x
⎧
≥
⎪
=⎨
⎪+<
⎩
，则(2)
f的值为
12．若4cos ,5αα=-
是第三象限的角，则tan 2
α
= 13．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤++=0
,0
,22)(22x x x x x x f ，若2))((=a f f ，则=a .
14．若f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围________． 15． 定义“正对数”: 0,01
ln ,ln ,1x x x x +
<<⎧=⎨
≥⎩
现有四个命题：
①若0,0,a b >>()
l n l n ;b a b a ++
=
②若0,0,a b >>()l n l n l n ;a b a b +
+
+
=+ ③若0,0,a b >>l n l n l n ;a a b b +++⎛⎫
≥- ⎪⎝⎭
④若0,0,a b >>()
l n l n l n +l n 2;a b a b ++++≤+ 其中真命题有____________.（写出所有真命题的编号）
三、解答题:本大题共6小题,满分75分.其中16－19每题12分，20题13分，21题14分.
16.已知在锐角三角形ABC 中，,,a b c 分别为角A ，B ，C 的对边，
2226cos 0,sin C=2sin AsinB.a b ab C +-=且 (1)求角C 的值;
(2)设函数2f(x)=cos (x-)-cos x 3πωω (>0)ω，且f (x )两个相邻最高点之间的距离为2
π，求f (A )的
最大值．
17．已知等差数列{}n a 的公差0,d ≠它的前n 项和为n S ，若570,S =且2722,,a a a 成等比数列． （１）求数列{}n a 的通项公式； （２）设数列1n S ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为n
T ，求证：3
8n T <
18．已知关于x 的一次函数y ＝mx ＋n .
(1)设集合P ＝{－2，－1,1,2,3}和Q ＝{－2,3}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为m 和n ，求函数y ＝mx ＋n 是增函数的概率； (2)实数m ，n 满足条件⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＋n －1≤0，－1≤m ≤1，
－1≤n ≤1，
求函数y ＝mx ＋n 的图象经过一、二、三象限的概率．
19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆是边长为2的等边三角形，1AA ⊥平面ABC ，D ，E ，I 分别是1,CC AB ，1AA 的中点． （１） 求证：面//CEI 平面1A BD ；
（２） 若Ｈ为1A B 上的动点，CH 与平面1A AB 所成的最大角的正切值
1AA 的长．
21. 设函数ax x x f -=ln )(，ax e x g x
-=)(，其中a 为实数．
（1）若)(x f 在),1(+∞上是单调减函数，且)(x g 在),1(+∞上有最小值，求a 的取值范围； （2）若)(x g 在),1(+∞-上是单调增函数，试求)(x f 的零点个数，并证明你的结论．
参考答案
10．
11． 1/16 12．-3 13．2 14． (－∞，－1)∪(2，＋∞) 15．①③④ 16．解：（１）C=
3
π
（２）7f(A)=3sin (4A-
),
<4A-
<
333
3π
π
π
π，当5A=24
π时，最大值为3 17.解：（1）由题意得12
11151070
(6)()(21)
a d a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩ 解得11614(40
a a d d ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或舍去）
42n a n ∴=+ （2）
211111
()2442
n S n n n n ==-++3111()8412n T n n ∴=-+++ 38
n T ∴<
18.解 (1)抽取的全部结果的基本事件有：
(－2，－2)，(－2,3)，(－1，－2)，(－1,3)，(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共10个基本事件．
设使函数为增函数的事件为A ，则A 包含的基本事件有：(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共6个基本事件，所以，P (A )＝610＝3
5
.
F
(2)m ，n 满足条件⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＋n －1≤0，－1≤m ≤1，
－1≤n ≤1
的区域如图所示，要使函数的图象过一、二、三象限，则m
＞0，n ＞0，故使函数图象过一、二、三象限的(m ，n )的区域为第一象限的阴影部分， ∴所求事件的概率为P ＝1
272＝1
7.
19．解：（1）法1：取1AA 中点I 证1A BD//平面CEI 面
法二：延长1A D 交AC 延长线于F 证CE//BF 法三：证CE//GD
（2）1AA ABC ⊥ 面 1CE ABC AA CE ⊂∴⊥面
又∆
ABC 等边，E
是中点CE AB ∴⊥，所以1CE AA B ⊥面，连接EH ，则1EHC CH AA B ∠
为与平面所成的角
CE CEH EHC EH EH
∆∠=
=
在Rt 中,tan 所以EH 最短时EHC ∠最大 此时,1EH
A B ⊥
2CE EHC EH EH ∴∠
===tan 5
EH ∴=
由平几相似关系得14AA = 20. （Ⅰ）设切点坐标为00(x ,y )00(x 0,y 0)>>．则切线斜率为0
x y -
．切线方程为0
000
y (x x )x y y -=-
-．即004x x y y +=．此时，两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角形面积0000
1448
2S x y x y =
⋅⋅=
．由22000042x y x
y +=≥知当且仅当00x y =时，00x y 有最大值．即
S 有最小值．因此点P
的坐标为．
（Ⅱ）设C 的标准方程为22
221(0)x y a b a b +=>>．点1122A(x ,y ),B(x ,y )．由点
P 在C 上知2
2221a b +=．
并由22
221,x y a b y x ⎧+=⎪⎨
⎪=+⎩
得222
620b x b ++-=．又12,x x 是方程的根
，因此12212262x x b x x b ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=
⎪⎩
，由
11
y x =，
22y x =，得
12AB x =-=．由点P 到直线l 的距离为
及
2PAB S AB ∆=
=得429180b b -+=．解得26b =或3．因此26b =，23a =（舍）
或2
3b =， 2
6a =．从而所求C 的方程为22
163
x y +=．
)ln ()(min a g x g =，满足．
故a 的取值范围为：a ＞e ．
（2）a x g x
-='e )(≥0在),1(+∞-上恒成立，则a ≤e x ， 故：a ≤1e
．
)0(11)(>-=-=
'x x
ax a x x f ．
(ⅰ)若0＜a ≤1e ，令)(x f '＞0得增区间为(0，1
a )；
令)(x f '＜0得减区间为(1
a
，﹢∞)．
当x →0时，f (x )→﹣∞；当x →﹢∞时，f (x )→﹣∞；
当x ＝1a 时，f (1a )＝﹣ln a －1≥0，当且仅当a ＝1
e 时取等号．
故：当a ＝1e 时，f (x )有1个零点；当0＜a ＜1
e 时，
f (x )有2个零点．
(ⅱ)若a ＝0，则f (x )＝﹣ln x ，易得f (x )有1个零点． (ⅲ)若a ＜0，则01
)(>-=
'a x
x f 在)0(∞+，上恒成立， 即：ax x x f -=ln )(在)0(∞+，上是单调增函数， 当x →0时，f (x )→﹣∞；当x →﹢∞时，f (x )→﹢∞． 此时，f (x )有1个零点．
综上所述：当a ＝1e 或a ＜0时，f (x )有1个零点；当0＜a ＜1
e
时，f (x )有2个零点．。