四川省绵阳市小溪坝中学2018年高三数学文模拟试卷含解析

四川省绵阳市小溪坝中学2018年高三数学文模拟试卷
含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 现有4种不同颜色对如图所示的四个部分进行涂色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的涂色方法共有（）
A．24种B．30种C．36种D．48种
参考答案：
D
分两种情况：一种情况是用三种颜色有；二种情况是用四种颜色有.所以不同的着色方法共有48人
2. 在如图所示的平面图形中，已知，，，，
，则的值为（）
A．－15 B．－9
C．－6 D．0
参考答案：
C
3. 已知各项为正的等比数列中，与的等比中项为，则的最小值为（）
A．16 B．8
C． D．4
参考答案：
B
因为，即，所以。

则
，当且仅当，即，时取等号，选B.
4. 已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）
A．(0,2) B．(0,1) C．(0,3) D．(1,3)
参考答案：
B
作图，则满足条件实数的取值范围是，选B
5. 某商店将进价为40元的商品按50元一件销售，一个月恰好卖500件，而价格每提高1元，就会少卖10个，商店为使该商品利润最大，应将每件商品定价为（）A．50元B．60元C．70元
D．100元
参考答案：
C
6. 已知向量 = (2,1)，，=，则
= ( )（A）（B）（C）5 （D）25
参考答案：
C
7. 已知正方形ABCD的边长为2， H是边DA的中点.在正方形ABCD内部随机取一点P，则满足的概率为 ( )
A．B．C．D．
参考答案：
B
8. 已知向量a，b满足，且，则的取值范围是
(A)[4,5] (B)[5,6] (C)[3,6] (D)
参考答案：
D
略
9. 函数为的导函数，令则下列关系正确的是()
A．f(a)<f(b)B．f(a)>f(b) C．f(a)＝f(b)D．f(|a|)<f(b)
参考答案：
B
10. （5分）（2009?临沂一模）使奇函数f（x）=sin（2x+θ）+cos（2x+θ）在[﹣
，0]上为减函数的θ值为（）
A．﹣ B．﹣ C． D．
参考答案：
D
【考点】：正弦函数的奇偶性；正弦函数的单调性．
【专题】：计算题．
【分析】：首先根据已知将函数f（x）化简为f（x）=2sin（2x+θ+），然后根据函数的奇偶性确定θ的取值，将选项分别代入验证再根据单调性即可排除选项．
解：由已知得：f（x）=2sin（2x+θ+），
由于函数为奇函数，
故有θ+=kπ
即：θ=kπ﹣（k∈Z），可淘汰B、C选项
然后分别将A和D选项代入检验，
易知当θ=时，
f（x）=﹣2sin2x其在区间[﹣，0]上递减，故选D、
故答案为：D
【点评】：本题考查正弦函数的奇偶性和单调性，通过对已知函数的化简，判断奇偶性以及单调性，通过对选项的分析得出结果．考查了对三角函数图象问题的熟练掌握和运用，属于基础题．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 从边长为10 cm×16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为________．
参考答案：
144
12. 等比数列{a n}满足如下条件:①a1＞0；②数列{a n}的前n项和S n＜1.试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式
参考答案：
（答案不唯一）
本题考查等比数列通项公式和前项和.
例:①,则
②,则
③,则
13. 等比数列中，公比，记（即表示数列的前项之积），则中值最大的是 .
参考答案：
14. 点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上一点，F是右焦点，且△OPF是∠POF=120°的等腰三角形（O为坐标原点），则双曲线的离心率是．
参考答案：
+1
考点：双曲线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：由题意可得P在双曲线的左支上，可设P在第二象限，且|OP|=|OF|=c，即有P （﹣ccos60°，csin60°），代入双曲线方程，由离心率公式，解方程即可得到结论．
解答：解：由题意可得P在双曲线的左支上，
可设P在第二象限，且|OP|=|OF|=c，
即有P（﹣ccos60°，csin60°），
即为（﹣c，c），
代入双曲线方程，可得
﹣=1，
即为﹣=1，
由e=，可得e2﹣=1，
化简可得e4﹣8e2+4=0，
解得e2=4±2，
由e＞1，可得e=+1．
故答案为：+1．
点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要方程的运用和离心率的求法，正确判断P的位置和求出P的坐标是解题的关键．
15. 边长是的正内接于体积是的球，则球面上的点到平面
的最大距离为
参考答案：
16. 在平面直角坐标系中，点，若圆上存在一点满足，则实数的取值范围是__________．
参考答案：
设满足的点的坐标为，
由题意有：，
整理可得：，
即所有满足题意的点组成的轨迹方程是一个圆，
原问题转化为圆与圆有交点，
据此可得关于实数的不等式组：
，解得：，
综上可得：实数的取值范围是.
17. 已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为_____________.
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知
（1）化简
（2）若是方程的根，且是第三象限的角，的值
参考答案：
解：（1）
（2）因为是方程的根，所以
是三象限的角，，所以，
略
19. (本小题满分10分) 在直角坐标中，圆，圆。

(Ⅰ)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆的极坐标方程，并求出圆的交点坐标(用极坐标表示)；
(Ⅱ)求圆的公共弦的参数方程。

参考答案：
圆的极坐标方程为，圆的极坐标方程为，
解得，故圆与圆交点的坐标为
……5分
注：极坐标系下点的表示不唯一
（2）（解法一）由，得圆与圆交点的直角坐标为
故圆与圆的公共弦的参数方程为
（或参数方程写成
）
… 10分
（解法二）
将代入，得，从而
于是圆与圆的公共弦的参数方程为
20. （12分）已知函数f(x)=ax2－x－ln(ax)(a≠0,a∈R).
（1）求函数f(x)的单调递增区间；
（2）讨论函数f(x)零点的个数.
参考答案：
解：（1）当时，的定义域为，
，令得：
，，
∴的单调递增区间为.
当时，的定义域为，，当即时，的单调增区间为，
当，即时，.
的单调递增区间为和.
（2）由（1）知当时，在内单调递增，，故只有一个零点，
当时，在处取极大值，处取极小值.
由知，而，则，
，
∵，∴，∴，
∴当时，函数只有一个零点，
当时，
令，
，在单调递减，在单调递增，
，∴（当且仅当时，等号成立），
i）时，
，，，
由（1）函数单调性知，，所以函数在存在零点，∴在有两个零点.
ii）时，
，，，
同理可得函数在存在零点，
∴在有两个零点.
iii）时，
，函数在有一个零点.
综上所述：
当或时，函数有一个零点，
当且时，函数有两个零点.
21. （本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且
CE∥AB。

Ⅰ、求证：CE⊥平面PAD；
Ⅱ、若PA=AB=1，AD=3，CD=，∠CDA=45°，
求四棱锥P-ABCD的体积.
Ⅲ、在满足（Ⅱ）的条件下求二面角B-PC-D的
余弦值的绝对值.
参考答案：
(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,CE平面ABCD,所以PA⊥CE,
因为AB⊥AD,CE∥AB,所以CE⊥AD,又PA AD=A,所以CE⊥平面PAD…………….3分
(2)解:由(1)可知CE⊥AD,在直角三角形ECD
中,DE=CD,CE=CD.
又因为AB=CE=1,AB∥CE,所以四边形ABCE为矩形,所以
==,又PA⊥平面
ABCD,PA=1,所以四棱锥P-ABCD的体积等于 (7)
分
（3）建立以A为原点，AB,AD,AP为x,y,z轴的空间坐标系，取平面PBC的法向量为n1=(1,01)，取平面PCD的法向量为n2=(1,1,3)，
所以二面角的余弦值的绝对值是
………………………………………………….12分
【解析】略
22. （12分）已知数列{a n}中，a n2+2a n﹣n2+2n=0（n∈N+）
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式
（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．
参考答案：
【考点】数列递推式；数列的求和．
【分析】（I）a n2+2a n﹣n2+2n=0（n∈N+），可得（a n﹣n）（a n﹣n+2）=0．即可解出．
（II）利用等差数列的求和公式即可得出．
【解答】解：（I）∵a n2+2a n﹣n2+2n=0（n∈N+），∴（a n﹣n）（a n﹣n+2）=0．
∴a n=n，或a n=n﹣2．
（II）a n=n时，S n=．
a n=n﹣2时，S n==．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法、等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。