广东省南民私立中学高三数学第一轮复习同角三角函数的关系式及诱导公式

同角三角函数的关系式及诱导公式
一、 基础知识
（一） 诱导公式：
α±⋅
2
k )(Z k ∈与α的三角函数关系是“奇变偶不变，符号看象限”。

如：()⎪⎭
⎫
⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+απαπαπ25sin ;5tan ,27cos 等。

（二） 同角三角函数的基本关系式：①平方关系1cos sin 22=+αα；
αααα2
2
22tan 11cos cos 1tan 1+=⇔=
+②商式关系αα
αtan cos sin =；αα
α
cot sin cos =③倒数关系1cot tan =αα；1sec cos ;1csc sin ==αααα。

（三） 关于公式1cos sin 22=+αα的深化
()2
cos sin sin 1ααα±=±；αααcos sin sin 1±=±；
2
cos
2
sin
sin 1α
α
α+=+
如：4cos 4sin 4cos 4sin 8sin 1--=+=+；4cos 4sin 8sin 1-=-
注：1、诱导公式的主要作用是将任意角的三角函数转化为 0~ 90角的三角函数。

2、主要用途：
a) 已知一个角的三角函数值，求此角的其他三角函数值（①要注意题设中角的范
围，②用三角函数的定义求解会更方便）； b) 化简同角三角函数式；
证明同角的三角恒等式。

二、 题型剖析 1、化简求值
例1：化简（1）())
cos(])1sin[(]
)1cos[(sin απαπαπαπ+⋅++--⋅-k k k k （Z k ∈）
（2）α
αα
α4
266sin sin cos sin 1--- 解：（1）当k 为偶数时，原式=
α
αααcos sin )
cos (sin --⋅-=－1；当k 为奇数时同理可得，原式=－1，
故当Z k ∈时，原式=-1。

（2）原式=
()(
)(
)
α
αααα
ααα22222
2222sin 1sin ]
cos sin 3cos sin [cos sin 1-⋅-++-=3
【思维点拨】（1）分清k 的奇偶，决定函数值符号是关键；
（2）平方降次是化简的重要手段之一。

练习：（变式2）()z n n n ∈⎪⎭
⎫
⎝⎛-++⎪⎭⎫
⎝⎛--απαπ414cos 414sin 化简
解：原式=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫
⎝⎛+-αππαππ4cos 4sin n n （1）当n 为奇数时，设()z k k n ∈+=12，
则原式=⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫
⎝⎛+-+απππαπππ42cos 42sin k k =04cos 4cos 4cos 4sin =⎪⎭
⎫
⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫
⎝⎛+απαπαπαπ。

（2）当n 为偶数时，设()z k k n ∈=2，同理可得原式=0。

2、证明题
例2、（考例4）证明：
()α
α
ααααααcos 1sin sin 1cos cos sin 1sin cos 2+-+=++-
法一：右边=()()()()()()
ααααααααααααcos 1sin 1cos sin 1sin cos cos 1sin 1sin sin cos cos 22++++-=
++--+ ()()()()()α
αααααααααααααααααcos sin 2cos 2sin 2cos sin 1cos sin 1sin cos 2cos sin cos sin 12cos sin 1sin cos 222+++++++-=
+++++-=
()()
()=++++-=
2
cos sin 1cos sin 1sin cos 2αααααα右边
法二：要证等式 即证
()()()()()ααααααα
α
ααααααcos 1sin 1cos sin 1sin cos cos 1sin sin 1cos cos sin 1sin cos 2++++-=
+-+=++- 只需证()()()2
cos sin 1cos 1sin 12αααα++=++ 即证
α
αααααααααcos sin 2cos 2sin 2cos sin 1cos sin 2cos 2sin 2222+++++=+++即αα2
2
cos sin 1+=显然成立
所以原等式成立。

思维点拨：证等式常用方法：（1）左边证明到右边或右边证明到左边（从繁到简为原则） （2）两边向中间证（3）分析法 练习（变式4）求证：
α
αα
αααααsin tan sin tan sin tan sin tan +=-
证明：左边=α
α
ααααcos 1sin cos sin sin sin 2-=-
右边=
()()()αα
ααααααα
αααcos 1sin cos 1sin cos 1cos 1sin cos 1sin cos sin sin 2
-=--+=+=+ 所以原等式成立
思维点拨：“切割化弦”，“化异为同” 3、条件求值的题型
例3、例3：已知2tan =α，求
（1）α
αααcos 3sin 5cos 2sin 4+-的值；
（2）2cos sin 3sin 52-+ααα的值。

解：（1）法一：由已知sin α=2cos α，∴原式=
13
6； 法二：∵2tan =α，∴cos α≠0，∴原式=3tan 52tan 4+-αα=13
6。

（2）2cos sin 3sin 52
-+ααα=α
αα
ααα2222cos sin cos 2cos sin 3sin 3+-+=
1
tan 2tan 3tan 32
2+-+ααα=516
思维点拨：关于ααcos ,sin 的齐次式的一般处理方法。

例4、（变式5）已知()πθθθ,0,5
1
cos sin ∈=
+，求θcot 的值。

解：由已知51cos sin =+θθ得25
12
cos sin -=θθ，所以θθcos ,sin 是方程
02512512=--x x 的两根，5
3,5421-==x x
而()4
3
cot ,53cos ,54sin ,,0-=∴-==∴∈θθθπθ
思维点拨：常用关系t =+θθcos sin ，则2
1
cos sin 2-=t θθ在解题中的作用。

讨论：已知x 是锐角，求函数)cos 34)(sin 34(x x y --=的最小值。

解：y=16-12（sinx+cosx ）+9sinxcosx ，令sinx+cosx=m 则m ∈（1，]2，并且有sinxcosx=2
1
2-m ,
从而有y=
27)34(292+-m ，易得y min =2
7。

例5．[P147考例5]已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R ， （1）若,10,60cm R == α求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积。

（2）若扇形的周长是一定值C （C>0）,当α为多少弧度时,该扇形有最大面积? 解:(1)弧长为L ，弓形面积为S 弓，因为,10,60cm R == α，所以cm l π3
10
=
))(2
33(5060sin 1021103102122cm S S S -=⋅⋅-⋅=
-=∆ππ 扇弓 （2）因为扇形周长α
α+=
+=+=2,22C
R R R l R C 所以 所以16
4441244412)2(21212
22
222
C C C C R S ≤+
+⋅=++⋅=+=⋅=α
αα
ααααα扇 4、三角应用问题（考例5） 三：课堂小结
1、同角三角函数关系式，诱导公式。

2、解决三角函数问题一般要做到以下几点：（1）考察角的变化（2）切割化弦（3）平方降次（4）化同为异
3、注意公式的变形使用，要避免负开方运算，谨慎确定符号。

4、θθcos sin +，θθcos sin ，θθcos sin -三个式子中，已知其中一个式子的值，求出其余两个式子的值。

四、作业
P153：基础强化 外： 能力提高 高考新题预测。