人教A版必修四高二数学下学期期中考试理人教版

重庆外国语学校09-10学年高二下学期期中考试（数学理）
命题：刁成章审题：唐昕
注意：时间：120分钟总分：150分考试结束后只交答题卷
一、选择题（每小题有且只有一个正确选项）
1、对于平面α和共面的直线m 、n ，下列命题中真命题是
A.若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α
B.若m ∥α，n ∥α，则m ∥n
C.若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n
D.若m 、n 与α所成的角相等，则n ∥m 2、设A 、B 、C 、D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确．．．
的是 A.若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面
B.若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线
C.若AB =AC ，DB =DC ，则AD =BC
D.若AB =AC ，DB =DC ，则AD ⊥BC
3、若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的 A.充分非必要条件；B.必要非充分条件；C.充要条件；D.非充分非必要条件
4、已知二面角l αβ--的大小为060，,m n 为异面直线，且,m n ββ⊥⊥，则,m n 所成的角为 A.030B.060C.090D.0120
5、棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面如图1,则图中三角形(正四面体的截面)的面积是
A.
2
6、由数字2，3，4，5，6所组成的没有重复数字的四位数中5，6相邻的奇数共有 A ．10个 B ．14个 C ．16个 D ．18个
7、62.998的近似值（精确到小数后第三位）为
A B D
C
A.726.089 B .724.089 C.726.098 D.726.908
8、将4个相同的白球和5个相同的黑球全部．．放入3个不同的盒子中，每个盒子既要有白球，又要有黑球，且每个盒子中都不能同时只．．．．．放入2个白球和2个黑球，则所有不同的放法种数为 A.3B.6C.12D.18
9、一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则其中恰好有
一个二等品的概率为A.41004901C C - B.4100390110490010C C C C C + C.4100
110C C D.4
100390
110C C C . 10、已知：2
{(,)|}4y x y y x
≥⎧⎪Ω=⎨≤-⎪⎩，直线2y mx m =+和曲线24y x =-有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M ，向区域Ω上随机投一点A ，点A 落在区域M 内的概率为()P M ，若
2
()[,1]2P M ππ
-∈，则实数m 的取值范围为
A ．1
[,1]2
B ．3[0,
] C ．3[,1]D ．[0,1]
二、填空题
11、如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为1，高为8，一质点自A 点
出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周．．,．达1A 点的最短路线的长为
12、在三棱锥O ABC -中，三条棱OA 、OB 、OC 两两互
相垂直，且OA ＝OB ＝OC ，M 是AB 边的中点，
则OM 与平面ABC 所成的角的
大小是 （用反三角函数表示）；
13、、已知集合A ={12,14,16,18,20}，B ={11,13,15,17,19}，在A 中任取一个元素a i （i =1,2,3,4,5），在B 中任取一个元素b j (j =1,2,3,4,5)，则所取两数a i 、b j 满足a i ＞b j 的概率为 .
14、若5
(1)ax -的展开式中3
x 的系数是80，则实数a 的值是 15、若多项式
=++++++++++=+82010991010,)1()1()1(10a a a x a x a x a a x x K Λ则
三、解答题（要求写出必要的解答过程）
16（13分）、如图,在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AA 1＝4，点D 是AB 的中点， （1）求证：AC ⊥BC 1；
（2）求证：AC 1//平面CDB 1；
（3）求异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值．
D
M
C
B
A
O
17（12分）、如图，在三棱锥A－BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD3BD＝CD＝1，另一个侧面是正三角形
（1）求证：AD^BC
（2）求二面角B－AC－D的大小
18（12分）、如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=3，BC=1，PA=2，E为PD的中点.
（1）求直线AC与PB所成角的余弦值；
（2）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出
N点到AB和AP的距离.
19（13分）、甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张。

（1）设（i,j）分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲乙二人抽到的牌的所有情况；
（2）若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌面数字比3大的概率是多少？
（3）甲乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，否则，则乙胜。

你认为此游戏是否公平，说明你的理由。

20（13分）、甲、乙两人破译一种密码，它们能破译的概率分别为1
3
和
1
4
，求：
（1）恰有一人能破译的概率；（2）至多有一人破译的概率；
（3）若要破译出的概率为不小于65
81
，至少需要多少甲这样的人？
o
y
X 2
2
-2
21（12分）、已知函数c
x x x f ++=1
)(2的图象关于原点对称。

（1）求)(x f 的表达式；
（2）;2])([]2)2([|]1)1([:,,22
222<-++--∈≥n n f f f N n n Λ求证时
（3）对.22)()]([,0,,2-≥->∈≥n
n
n
x f x f x N n n 求证
半期试题答案
1、C
2、C
3、A
4、B
5、C
6、B
7、A
8、C
9、D10、D 已知直线2y mx m =+过半圆24y x =
-上
一点（－２，０），当()1P M =时，直线与ｘ轴重合，这时ｍ＝０，故可排除A,C,若ｍ＝１，如图可求得当2
()2P M ππ
-=，故选D.
11、12、arctan 2.13、
5
3
.14、215、510 16、（1）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5，
∴AC ⊥BC ，且BC 1在平面ABC 内的射影为BC ，∴AC ⊥BC 1；
（2）设CB 1与C 1B 的交点为E ，连结DE ，∵D 是AB 的中点，E 是BC 1的中点，∴DE//AC 1，
∵DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1，∴AC 1//平面CDB 1； （3）∵DE//AC 1，∴∠CED 为AC 1与B 1C 所成的角，
在△CED 中，ED=
21AC 1=25，CD=21AB=25，CE=21
CB 1=22，∴822
cos 552222
CED ∠==⋅⋅，
∴异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值22
5
.
17、(1)方法一:作AH ⊥面BCD 于H ,连.DH
,AB BD HB BD ⊥⇒⊥3,1AD BD ==Q 2AB BC AC BD DC ∴===∴⊥ 又BD CD =,则BHCD 是正方形.则..DH BC AD BC ⊥∴⊥
方法二:取BC 的中点O ,连AO 、DO ,则有,.AO BC DO BC ⊥⊥ ,.BC AOD BC AD ∴⊥∴⊥面
(2)作BM AC ⊥于M ,作MN AC ⊥交AD 于N ,
则BMN ∠就是二面角B AC D --的平面角.2,AB AC BC ===
Q
M 是AC 的中点,且MN ∥CD
则61113,,.22222
BM MN CD BN AD ===== 由余弦定理得22266
cos ,arccos .2BM MN BN BMN BMN BM MN +-∠=
=∴∠=⋅ 18、（1）设AC ∩BD=O ，连OE ，则OE//PB ，∴∠EOA 即为AC 与PB 所成的角或其补角.
在△AOE 中，AO=1，OE=
,2721=PB ,2521==PD AE ∴.14731
2
7
245471cos =⨯⨯-
+=
EOA 即AC 与PB 所成角的余弦值为1473. （2）在面ABCD 内过D 作AC 的垂线交AB 于F ，则6
π
=∠ADF .
连PF ，则在Rt △ADF 中.3
3
tan ,332cos ====
ADF AD AF ADF AD DF
设N 为PF 的中点，连NE ，则NE//DF ，
∵DF ⊥AC ，DF ⊥PA ，∴DF ⊥面PAC ，从而NE ⊥面PAC. ∴N 点到AB 的距离12
1
==
AP ，N 点到AP 的距离.6321=
=AF 19、（1）甲乙二人抽到的牌的所有情况（方片4用4′表示）为
（2，3）、（2，4）（2，4′）、（3，2）、（3，4）、（3，4′）、（4，2）、（4，3）、（4，4′）、（4，2′）、（4′，3）、（4′，4），共12种不同情况。

（2）甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，4。

因此乙抽到的牌的数字大3的概率为;3
2 （3）由甲抽到的牌比乙大有（3，2）、（4，2）、（4，3）（4′，2）、（4′，3）共5种
甲胜的概率p 1=
125，乙获胜的概率为,1272=
p ,12
7
125<Θ∴此游戏不公平 20、（1）设A 为“甲能译出”，B 为“乙能译出”，则A 、B 互相独立，从而A 与B 、A 与
B
A 与
B 均相互独立.
“恰有一人能译出”为事件A B A B +g g ，又A B g 与A B g 互斥，
则11115
()()()()()()()11.343412
P A B A B P A B P A B P A P B P A P B ⎛⎫⎛⎫+=+=+=⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g g g g g g
（2）“至多一人能译出”的事件A B A B A B ++g g g ，且A B g 、A B g 、A B g 互斥，
∴11()()()()()()().12
P A B A B A B P A P B P A P B P A P B ++=++=
g g g g g g （3）设至少需要n 个甲这样的人，而n 个甲这样的人译不出的概率为113n
⎛⎫
- ⎪⎝⎭，
∴n 个甲这样的人能译出的概率为1113n
P ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
，
由4
165216211,43813813n n n ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫--=∴ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭得≥≤≥∴至少需4个甲这样的人才能满足题意.
21、（1）x x x f 1
)(2+=
（2）)2(111)1(11)(22
2≥--=-<
=-n n n n n n
n n f 2)1
11()3121()211(1])([]1)1([22<--++-+-+<-++-n
n n n f f ΛΛ
（3）)1()1()()]([n n
n n n x
x x x x f x f +-+=-
1
1
22211)1()1(1----+++=n n n n n n n x x C x x C x x C ΛΛ++++=------))1()1(())1(1[(211222221111n n n n n n n n n n x x C x x C x x C x x C ))]1()1((1111x
x C x x C n n n n n ---++。