辽宁省实验学校高三下学期四模数学试题(解析版)

2021届辽宁省实验学校高三下学期四模数学试题
一、单选题
1．已知集合1{42},02x M x
x N x x -⎧⎫
=-<<=≤⎨⎬+⎩⎭
∣∣，则R
M
N =（ ）
A ．[)2,1-
B ．()()4,21,2--⋃
C ．(]()4,21,2--⋃
D ．][()
,42,-∞-⋃+∞
【答案】C
【分析】解一次分式不等式得到集合N ，求其补集，进而求交集即可.
【详解】∵(]10=2,12x N x
x -⎧⎫
=≤-⎨⎬+⎩⎭
∣，
∴
(](),21,R
N =-∞-+∞
又{42}M x
x =-<<∣， ∴(]()4,21,2R
M
N --=⋃
故选：C
2．设复数z 满足1z z i -=+，z 在复平面上对应的点为P ，则点P 不可能在（ ） A ．二､四象限 B ．一､三象限
C ．实轴
D ．虚轴
【答案】B
【分析】设复数z a bi =+，根据题意及求模公式，可得=-a b ，分析即可得z 在复平面上对应的点为P 所在象限，即可得答案.
【详解】设复数z a bi =+，由题意得：1(1)a bi a b i -+=++，
=
=-a b ，
所以当0a >时，0b <，此时z 在复平面上对应的点为P 位于第四象限， 当0a <时，0b >，此时z 在复平面上对应的点为P 位于第二象限， 所以点P 不可能在一､三象限. 故选：B
3．函数()222
x
x e f x e =-图像的切线斜率为k ，则k 的最小值为（ ）
A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2
【答案】B
【分析】根据导数的几何意义，结合配方法进行求解即可.
【详解】()()2'22(1)22
12x
x x x x e f x f x e e e k e ⇒-⇒=--=-=，
当1x e =时，即当0x =时，k 有最小值，最小值为1-， 故选：B
4．来自澳大利亚的心理学家MichaelWhite 设计出了一种被人称为“怀特错觉”的光学戏法.这类型的图片只有三种颜色：黑､白､灰，但大多数人都会看到四种颜色.这是因为灰色的色块嵌入了白色和黑色条纹中，从视觉上看，原本完全相同的灰色因亮度不同而仿佛变成了两种.某班同学用下边图片验证怀特错觉，在所调查的100名调查者中，有55人认为图中有4种颜色，有45人认为图中有3种颜色，而在被调查者所列举的颜色中，有40人没有提到白色(他们认为白色是背景颜色，不算在图片颜色之中)，根据这个调查结果，估计在人群中产生怀特错觉的概率约为（ ）
A ．0.45
B ．0.55
C ．0.05
D ．0.95
【答案】D
【分析】结合题意，根据古典概型计算公式进行求解即可.
【详解】因为在所调查的100名调查者中，55人认为图中有4种颜色，有45人认为图中有3种颜色，而在被调查者所列举的颜色中，有40人没有提到白色(他们认为白色是背景颜色，不算在图片颜色之中)，
所以100名调查者中，产生怀特错觉的人数为554095+=， 因此估计在人群中产生怀特错觉的概率约为95
0.95100
，
故选：D
5．已知0.37log 2,log 2a b ==，则下列关系正确的是（ ） A ．0a b ab +<<
B ．0a b ab +<<
C ．0ab a b <+<
D ．0ab a b <<+
【答案】A
【分析】根据对数函数的性质可得,a b 的正负，进而结合换底公式可得结果. 【详解】∵0.37log 20,log 20a b =<=>， ∴0ab <， 又
22211
log 0.3log 7log 2.11a b ab a b
+=+=+=>， ∴0a b ab +<<， 故选：A
6．已知ABC 的外心为,23O AO BC BO AC CO BA ⋅=⋅+⋅，角,A B C ､的对边为
,,a b c ，则222
a c b
+的值是（ ） A ．
13
B ．
12
C ．1
D ．2
【答案】D
【分析】取BC 中点D ，连接OD ，AD ，根据外心的性质，可得OD
BC ，所以
()
AO BC AD DO BC AD BC =+=⋅⋅⋅，根据向量的线性运算法则，可得
()()
2211
()22AD BC AB AC AC b c AB =
+⋅⋅-=-，同理可得222211
(),()22BO AC CO BA a c b a =-=-⋅⋅，代入题干条件，化简整理，即可得答案.
【详解】取BC 中点D ，连接OD ，AD ，如图所示：
因为O 为ABC 的外心，所以OD 为BC 的垂直平分线， 所以OD
BC ，即0OD BC
⋅=，
所以()
AO BC AD DO BC AD BC DO BC AD BC ⋅⋅⋅⋅⋅=+=+=，
又()()
()
2222111
()222
AD BC AB AC AC AB A B b c C A =+⋅-=-=⋅-，
同理222211
(),()22
BO AC CO BA a c b a =
-=-⋅⋅， 根据题意23AO BC BO AC CO BA ⋅=⋅+⋅得：
222222111
()2()3()222
b c a c b a -=⨯-+⨯-， 所以2
2
2
2b a c =+，所以222
2a c b +=.
故选：D
【点睛】解题的关键是熟练掌握三角形的四心，即内心为角分线的交点；外心为垂直平分线的交点；重心为中线的交点；垂心为垂线的交点.
7．在长方体1111ABCD A BC D -中，点P 是底面ABCD 上的一个动点，当三角形1PBD 的面积为定值时，满足条件的点P 所形成的图形为（ ） A ．圆的一部分 B ．直线的一部分 C ．椭圆的一部分 D ．抛物线的一部分
【答案】C
【分析】由三角形面积是定值，得P 到直线1BD 距离不变，因此得P 点在参1BD 为轴的圆柱侧面上，由圆顶侧面与平面ABCD 的交线可得结论．
【详解】因为1BD 长不变，因此P 到直线1BD 的距离不变，所以P 在以1BD 为轴的圆柱的侧面上，又P 在底面ABCD 中，平面ABCD 与轴1BD 相交，因此圆柱侧面与底面
ABCD 的交线为椭圆．
故选：C ．
8．已知拋物线()2
:20C y px p =>的焦点为F ，准线l 交x 轴于点D ，过F 作倾斜
角为α的直线与C 交于,A B 两点，若30ADB ∠=，则sin α=（ ）
A ．2
B ．
3
C ．
3
D ．
12
【答案】A
【分析】设:2
p
AB x my =+
，与抛物线方程联立可得到韦达定理的形式，利用两点连线斜率公式表示出,BD AD k k ，根据()tan tan ADB BDF ADF ∠=∠+∠，利用两角和差
2m =，解方程求得2m ；利用同角三角函数商数和平方关系可构造方程求得结果.
【详解】由抛物线方程知：,0
2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，,02p D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，
设直线AB 方程为：2
p
x my =+
，设()11,A x y ，()22,B x y 且B 位于第一象限， 由222p x my y px
⎧
=+⎪⎨⎪=⎩得：2220y pmy p --=，则222440p m p ∆=+>，
122y y pm ∴+=，212y y p =-， ()1212x x m y y p ∴+=++，
()22
121212122224p p pm p x x my my m y y y y ⎛⎫⎛⎫=++=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，
22tan 2
BD y k BDF p x ∴=∠=
+
，
1
1tan 2
AD y k ADF p x =-∠=-
+
， ()tan tan tan tan 30tan 1tan tan BDF ADF
ADB BDF ADF BDF ADF
∠+∠∴∠==∠+∠=
-∠⋅∠21
2121
2122122y y p p x x y y p p x x -++
=
+
⎛
⎫⎛⎫++ ⎪⎪
⎝
⎭⎝⎭()()2112122121212121212122222224p p p y x y x x y x y y y p p p p x x y y x x x x y y ⎛⎫⎛⎫+-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎛
⎫⎛⎫++++++
+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()
()()212
2
12123
3
1p y y m
y y pm y y p -=
=
++++ 122y y pm ∴+=，212y y p =-，
()()
2212121m y y pm y y p =++++，
()
222222212p m p m p p m =-+++=，
2m =，解得：26m =+或26m =-，
sin 1
tan cos m ααα=
=，222cos sin m αα∴=，又22sin cos 1αα+=，
()
22211sin 1
2m α∴===+，又()0,απ∈，sin 2α∴==. 故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查直线与抛物线综合应用问题，解题关键是能够根据直线斜率与倾斜角的关系，结合两角和差正切公式表示出tan ADB ∠，代入韦达定理结论进行整理得到关于m 的方程求得m .
二、多选题
9．设等差数列{}(
)*
n a n N ∈的公差为d ，前n 项和为n
S
，则()
*
1n n S S n N +>∈的充分条件是（ ） A ．10a >
B ．0d >
C ．10a >且0d >
D ．10a d +>且
0d >
【答案】CD
【分析】由110n n n S S a ++-=>，因此等差数列从第2项开始均为正，所以0d >，再保证20a >即可．
【详解】因为11n n n S S a ++=+，1n n S S +>，则10n a +>，因此只要能得出数列从2a 开始均为正的条件都符合题意，必然有0d >，又21a a d =+，因此CD 可得．AB 不可得出结论1n n S S +>． 故选：CD ．
10．一棱长等于1且体积为1的长方体的顶点都在同一球的球面上，则该球的体积可能是（ ）
A ．
2
B C ．π
D 【答案】BCD
【分析】设长方体未知的两棱长分别为,a b ，1ab =，由长方体对角线就是外接球直径
得半径R ，求得体积，并由基本不等式求得体积范围，然后可得正确选项． 【详解】设长方体未知的两棱长分别为,a b ，则11ab ⨯=，1ab =， 设外接球半径为R ，则2221R a b =++，
球体积为3
3
2224(1)36
V R a b ππ==++，2222a b ab +≥=，当且仅当1a b ==时等
号成立， 所以3
V π≥
． 故选：BCD ．
11．如图，点P 是直线l 上的动点，点,A B 在直线l 外，点,,C D E 在直线l 上，则（ ）
A ．AP BP ⋅有最小值
B ．AP BP ⋅有最大值
C ．AC BC A
D BD ⋅>⋅
D ．直线l 上有且只有一点F (不同于点
E )，使得A
F BF AE BE ⋅=⋅ 【答案】ACD
【分析】把,AP BP 与定点C 建立联系后由数量积的运算计算化简判断AB ，计算
AC BC AD BD ⋅-⋅后判断C ，利用AF BF AE BE ⋅=⋅结合向量线性运算和数量积运
算判断D ． 【详解】
()()()(())()()
AP BP AC CP AP AB AC CP AC CP AC CB AC CP CP BC ⋅=+⋅-=+⋅+-+=+⋅+2
()CP AC BC CP AC BC =++⋅+⋅，
,,A B C 为定点，则AC BC ⋅为定值，
()cos ,AC BC CP AC BC CP AC BC CP +⋅=+<+>，cos ,AC BC AC BC CP +<+>为定值，设为t ，则
2
AP BP CP t CP AC BC ⋅=++⋅，这是关于CP 的二次函数，由二次函数性质知它
有最小值，无最大值，A 正确B 错误；
22
))(()
(AC BC AD BD AC AC AB AB AC AD AB AD AD AD AC =--=-+⋅-⋅-⋅⋅-⋅22
AC AD AB CD =-+⋅，由图可知22
,0AC AD AB CD >⋅>，
所以0AC BC AD BD >⋅-⋅，即AC BC AD BD ⋅>⋅，C 正确； 若AF BF AE BE ⋅=⋅，则(())EF E AE E B F BE A E ⋅+=⋅+，
2()AE BE EF AE BE EF AE BE ⋅+⋅++=⋅，2
()0EF AE BE EF ⋅++=，
记EF 与AE BE +的夹角为θ，则()cos EF AE BE EF AE BE θ⋅+=⋅+，
2
cos 0EF AE BE EF θ⋅++=
,E F 不重合，则0EF ≠，所以cos EF AE BE θ=-+，cos 0θ<，即EF 与
AE BE +夹角为钝角，这样的点F 只有一个，D 正确．
故选：ACD ．
【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的加减法和数量积运算，解题关键是把“动”点有和“定”点表示，减少变（向）量的个数，如AB 中把向量数量积用CP 表示，D 中用
EF 表示．从而易分析得出变量的性质．
12．已知函数()()y f x x =∈R 的图象既关于点()1,1中心对称又关于点()2,2中心对称，则（ ） A ．()f x 是周期函数 B ．()f x 是奇函数
C ．()f x 既没有最大值又没有最小值
D ．函数()()()g x f x x x =-∈R 是周期函数 【答案】BCD
【分析】根据对称性，结合奇偶性定义证明它是奇函数，判断B ，用反证法（反例）说明函数不是周期函数，函数无最值，判断AC ，根据周期性定义判断D ． 【详解】由题意()(2)2f x f x +-=，()(4)4f x f x +-=， 因此
[]()2(2)24(42)2(2)f x f x f x f x -=-+=----=-+-[]222(2)()f x f x =-+---=-，
所以()f x 是奇函数，B 正确． 例如1()sin()4f x x x π=+
满足题意，但()1cos()4
f x x ππ'=+0>恒成立，因此()f x 在R 上是增函数，()f x 不是周期函数，A 错；
因为()f x 是奇函数，所以若()f x M =-是函数的最小值，则M 是函数的的最大值， 设0()f x M =-，则00(2)2()2()2f x f x M M M -=-=--=+>，与M 是最大值矛盾，因此函数无最大值，同理也无最小值．C 正确；
()f x 是奇函数，()()()()()g x f x x f x x g x -=---=-+=-，则()()g x f x x =-也是
奇函数，
()f x 的图象关于点(1,1)和(2,2)对称，
(2)(2)22(2(2))2g x f x x f x x -=--+=----+=
()()()f x x g x g x -+=-=-，所以()g x 的图象关于(1,0)对称，同理也关于(2,0)对称．
因此()g x 是周期函数，4就是一个周期．D 正确． 故选：BCD ．
【点睛】关键点点睛：本题考查函数的奇偶性、周期性，对称性．证明时利用对称性进行函数值与自变量的转换是解题关键．转换的目标是奇偶性与周期性的定义．举反例是说明一个命题不正确的常用方法．
三、填空题
13．椭圆22
134
x y +=的长轴长为___________.
【答案】4
【分析】根据椭圆的标准方程结合长轴长定义进行求解即可.
【详解】因为椭圆22
134
x y +=的焦点在纵轴上
所以2
42a a =⇒=，因此椭圆22
134
x y +=的长轴长为24a =，
故答案为：4
14．已知,,A B C 三人分别在连续三天中值班，每人值班一天，那么A 与B 在相邻两天值班的概率为_________． 【答案】
2
3
【详解】分析：先求出基本事件总数n=3
3A =6，再求出A 与B 在相邻两天值班包含的基本事件个数m=2
2
22A A =4，由此能求出A 与B 在相邻两天值班的概率．
详情：A ，B ，C 三人分别在连续三天中值班，每人值班一天，基本事件总数n=3
3A =6，
A 与
B 在相邻两天值班包含的基本事件个数m=22
22A A =4，
∴A 与B 在相邻两天值班的概率p=42
63
m n ==． 故答案为
23
点睛：（1）本题主要考查排列组合的知识，考查古典概型，意在考查学生对这些基础知
识的掌握能力. (2)相邻的问题一般利用捆绑法，先把A 和B 捆绑在一起，有2
2A 种捆法，
再把捆绑在一起的A 和B 看成一个整体，和第三个人排列有22A 种排法，共有22
22A A =4种方法. 15．已知0,
2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，函数3cos y x =的图像与函数8tan y x =的图像交于点P ，点P 在x 轴上的垂足为1P ，直线1PP 交sin y x =于点2P ，则12PP
=___________. 【答案】
1
3
【分析】根据图象可得，12PP 即为sin x 的值，根据题意8tan 3cos x x =，化简计算，即可得答案.
【详解】作出图象，如图所示：
则12PP 即为sin x 的值， 因为8tan 3cos x x =，即8sin 3cos cos x
x x
=
， 所以23sin 8sin 30x x +-=，解得1
sin 3
x =
或sin 3x =-（舍）， 所以12PP =
13. 故答案为：1
3
16．已知数列{}n a 满足2
*
12()222n
n a a a n n N ++⋅⋅⋅+=∈，数列2211n
n log a log a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前
n 项和为n S ，则10S =__________.
【答案】
10
11
【分析】首先利用作差法求出{}n a 的通项公式，即可得到2211
n
n log a log a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的通项公
式，再用裂项相消法求和即可；
【详解】解：因为2*
12()222n n a a a n n N ++⋅⋅⋅+=∈①，
当1n =时，112
a =
， 当2n ≥时，21
1212221n n a a a n --++⋅⋅⋅+=-②，
①减②得：21n
n a =，即12n n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当1n =时显然满足，故12n
n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，()*n N ∈；
()()12212211111
11
22n n n n log a log a n n n n log log -+-+∴
===-⋅++⋅
10111
111101122310111111
S ∴=-+-+
+
-=-=， 故答案为：10
11
【点睛】本题考查作差法求数列的通项公式及裂项相消法求和，属于中档题.
四、解答题
17．如图，已知四边形ABCD 中，90,30,2,.BAC ABC AC AD CD ∠∠===⊥
（1）求BD 长度的最大值；
（2）若ABC 面积是ACD △面积的6倍，求tan ACD ∠. 【答案】（1131；（232【分析】（1）D 点轨迹为以AC 为直径的半圆，圆心为AC 中点E ，所以BD 最大值为BE 加半径1，由此即得结论；
（2）设ACD θ∠=，AC a =，分别求出两个三角形面积，由题意可求得tan θ． 【详解】解：（1）D 点轨迹为以AC 为直径的半圆，圆心为AC 中点E ，所以BD 最大值为BE 加半径1，
23AB =221(23)13BE =+=
131max BD
（2）设ACD θ∠=，AC a =，则3AB a =，sin AD a θ=，cos CD a θ=， 由题意6ABC ACD S S =△△，则11
36cos sin 22
a a a a θθ=⋅⋅， 所以2
32tan sin 2=31tan θθθ
=
+. 则2tan 2310θθ-+=，解得tan 32θ【点睛】结论点睛：平面上一定点P 到圆C 上点的距离的最大值为PC r +，最小值为
PC r -（其中r 是圆半径）．
18．某同学尝试用数学模型来说明隔离和医疗两大因素在对抗传染病时的作用.模型假设如下：
假设1.传染病在人群中的表现有潜伏期和爆发期两种形式，潜伏期无症状，爆发期可以被人识别，无论在潜伏期还是爆发期的病人都具有相同的传染性.潜伏期时间记为m 0，以潜伏期时间m 0为一个传染周期；
假设2.记r 0为一个病人在一个传染周期内平均感染人数；
假设3.某一固定区域(如某个城市)的人群，保持原有的生活习惯，即r 0不变.
（1）第一模型：无干预模型.在上述模型假设中，取m 0=1天，r 0=1.2，假设初始的潜伏期人数为1万人，那么1天后将有1万人处于爆发期，1.2万人处于潜伏期，感染总人数为2.2万人，…，请问9天后感染总人数是多少？ （2）第二模型：无限医疗模型.增加两个模型假设：
假设4.政府和社会加大医疗投入，将所有爆发期的病人“应收尽收”；
假设5.潜伏期病人在传染健康人群后转为爆发期病人，然后被收入医院，收入医院的病人即失去传染性；
在第二模型中，取m 0=1天，r 0=1.2，假设初始的潜伏期人数为1万人，请问多少天后感染总人数将超过1000万？ (参考数据：
891020301.2 4.3,1.2 5.2,1.2 6.2,1.238.3,1.2237.4≈≈≈≈≈89102.2549, 2.21207, 2.22655≈≈≈).
【答案】（1）1207万人；（2）29天后感染总人数将超过1000万.
【分析】（1）记n a 为n 天后感染总人数，则1 2.2a =，2
2 2.2a =，进而求得9a 的值，
得到答案.
（2）根据等比数列的通项公式，求得1
1.2n n b -=，由n 天后总感染人数超过1000万，
求得11.2201n +≥，再结合参考数值，即可求解.
【详解】（1）记n a 为n 天后感染总人数，则1 2.2a =，2
2 2.2a =，所以9
9 2.21207a =≈
即第9天后感染总人数是1207万人.
（2）记n b 为第n 天收入医院的人数，所以11b =，2 1.2b =， 由题易得{}n b 为首项为1，公比为1.2的等比数列，所以1
1.2n n b -=，
若n 天后总感染人数超过1000万，即12 1.21000n n b b b b ++++⋅≥，
所以21 1.2 1.2 1.21000n +++
+≥，所以11.2201n +≥，
又因为301.2237.4201≈>，291.2197.8201≈<， 所以130n +≥，所以29n ≥， 即第29天后感染总人数将超过1000万.
【点睛】本题主要考查了数列的实际应用问题，其中解答中认真审题，结合等差数列、等比数列的通项公式求解是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
19．如图，在四棱锥P ABCD -，PA ⊥底面ABCD ，,//AD AB DC AB ⊥，
1,2,PA AD DC AB E ====为棱PB 上一点.
（1）确定点E 的位置，使得直线//CE 平面PAD ； （2）若二面角E AC P --6
求直线AE 与平面ABCD 所成角的余弦值. 【答案】（1）E 为PB 的中点；（225
. 【分析】（1）直线//CE 平面PAD 时，平面DCE 与平面PAD 的交线与CE 平行，注意到DC 与平面PAB 平行，1
2
DC AB =，因此E 是PB 中点，再由线面平行的判定定理证明即可；
（2）以A 为坐标原点，以AD ，AB ，AP 分别为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，由空间向量法求二面角确定E 点位置，再由线面角的余弦． 【详解】解：（1）E 为PB 的中点.
取P A 的中点F ，连EF ､FD ，E 为PB 的中点，即1
//,2
EF AB EF AB =， 又1
//,2
CD AB CD AB =
， 则四边形CDFE 为平行四边形，故//CE DF ，
DF PAD CE PAD ⊂⊄平面，平面，故//CE 面PAD .
（2）以A 为坐标原点，以AD ，AB ，AP 分别为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，如图所示，则()()()()0,0,0,0,0,1,0,2,0,1,1,0A P B C . 设(),,E x y z ，则()(),,1,0,2,1PE x y z PB =-=-.
E 在棱PB 上，可设PE PB λ=(01λ<<).
故()(),,10,2,1x y z λ-=-，解得021x y z λλ=⎧⎪
=⎨⎪=-⎩
，即()0,2,1E λλ-.
设平面PAC 的法向量为()111,,u x y z =，()()0,0,1,1,1,0AP AC ==，
·0
·
0u AP u AC ⎧=⎨
=⎩，即11100z x y =⎧⎨+=⎩，取11x =，则()1,1,0u =-. 设平面EAC 的法向量()222,,v x y z =，()()0,2,1,1,1,0AE AC λλ=-=，
·0·0v AE v AC ⎧=⎨=⎩，即()22222100
y z x y λλ⎧+-=⎨+=⎩，取21x =，则21,1,1v λλ⎛
⎫=- ⎪-⎝⎭.
二面角E AC P --6
3 3
cos ,3u v <>=，即()2
21,1,01,1,
1322111u v
u v
λλλλ→→→
→⎛⎫
-⋅-⋅ ⎪-⎝
⎭
==⎛⎫
⋅⨯++ ⎪
-⎝⎭
，即211λλ⎛⎫= ⎪-⎝⎭
. 又01λ<<，解得1
2λ=
，即10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭E ，10,1,2AE ⎛⎫= ⎪⎝
⎭. z 轴⊥平面ABCD ，平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1m =，设AE 与平面ABCD
所成角为α
，则1sin m AE m AE
α⋅=
=
=
⋅.
故AE 与平面ABCD . 【点睛】方法点睛：本题考查空间向量法求异面直线所成的角，求二面角．求空间角的方法：
（1）几何法（定义法）：根据定义作出空间的平面角（异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角的平面角）并证明，然后解三角形得出结论；
（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出直线方向向量，平面的法向量，利用直线方向向量的夹角得异面直线所成角（相等或互补），直线方向向量与平面的法向量夹角的余弦值的绝对值得直线与平面所成角的正弦值，两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）． 20．已知函数()2ln 2x t
f x e
x -=-+
（1）若1x =是()f x 的极值点，求t 的值，并讨论()f x 的单调性； （2）当1t ≤时，证明：() 2.f x > 【答案】（1）1
2
t =，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增；（2）证明见解析.
【分析】（1）由极值点与导数的关系，求出t 的值，再根据0f x f x '()>0,'()<即可求函数单调性；（2）先将()22ln 2ln 2x t
x f x e
x e x --=-+≥-+放缩，转化为求
2()ln +2x g x e x -=-的最小值即可证明.
【详解】（1）函数()f x 的定义域(0,)+∞，
因为21
()x t f x e x
-'=-
，1x =是()f x 的极值点， 所以f '（1）1210t e -=-=，所以12
t =
， 所以1
1()x f x e x
-'=-
， 因为1
x y e
-=和1
y x
=-
在(0,)+∞上单调递增，所以()f x '在(0,)+∞上单调递增， 所以当1x >时，()0f x '>；01x <<时，()0f x '<，
所以()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增. （2）当1t ≤时，()22ln 2ln 2x t
x f x e x e x --=-+≥-+，
设2
()ln +2x g x e
x -=-，则21()x g x e x
-'=-，
因为2x y e -=和1
y x
=-
在(0,)+∞上单调递增，所以()g x '在(0,)+∞上单调递增， 因为()1110e g =-<'，()11
210,22
g =-=>'
所以存在0(1,2)x ∈使得0()0g x '=，
所以当00x x <<时，()0g x '<，当0x x >时，()0g x '>，
所以()g x 在0(0,)x 单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()()0g x g x ≥， 因为0()0g x '=，即02
1
x e
x -=
，所以00ln 2x x =-， 所以02
0000
1
()l +2n x g x e
x x x -=-=+， 因为0(1,2)x ∈，所以000
1
()2g x x x =
+>，所以()2f x >. 【点睛】本题主要考查函数的极值与导数的关系、利用导数研究函数的单调性，放缩法证明不等式及利用函数单调性研究不等式恒成立问题，属于能力提升题.
21．冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS )和严重急性呼吸综合征(SARS )等较严重疾病.新型冠状病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，人感染了冠状病毒后常见体征有呼吸道症状､发热､咳嗽､气促和呼吸困难等.日前正在世界范围内广泛传播，并对人类生命构成了巨大威胁.针对病毒对人类的危害，科研人员正在不断研发冠状病毒的抑制剂.某种病毒抑制剂的有效率为60%，现设计针对此抑制剂的疗效试验：每次对病毒使用此抑制剂，如病毒被抑制，得分为2分，如抑制剂无效，得分1分，持续进行试验.设得分为()n n N +∈时的概率为n P . （1）进行两次试验后，总得分为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望； （2）求证：125
8
P >
. 【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望：3.2；（2）证明见解析.
【分析】（1）两次试验后，随机变量X 可能取值为2､3､4，分别计算出概率后得分布列，由期望公式计算期望． （2）求出{}n P 的递推关系()1223
355
n n n P P P n --=
+≥，得出{}1n n P P --是等比数列，
求得其通项公式后，由累加法可得12P ，从而证得结论成立． 【详解】（1）解：两次试验后，随机变量X 可能取值为2､3､4
()()()2
1
2242312339234525
55255525P X P X C P X ⎛⎫=====⋅===⋅=
⎝⎭⨯⎪，， X 的分布列为
X 的学期望为() 3.2E X =
（2）证明：12222319555525P P ==⨯+=， 由已知()1223
355
n n n P P P n --=+≥，
所以()11235n n n n P P P P ----=--，即{}1n n P P --是以219
25P P -=为首项，35
为公比的等比数列，
()2
1932255n n n P P n --⎛⎫
∴-=⋅-≥ ⎪
⎝⎭
()()()11
1112213212111319259353255840515P P P P P P P P ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭∴=-+-+⋯-+=⋅+=+⋅ ⎪⎛⎫⎝⎭
-- ⎪⎝⎭
12
5
8
P ∴>． 【点睛】关键点点睛：本题考查随机变量的概率分布列和数学期望，第（2）问的解题关键是得出{}n P 的递推关系()1223
355
n n n P P P n --=
+≥，由递推关系构造新数列是等比数列，然后求得通项公式n P ，从而得12P ．
22．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到右焦点F 距离的最大值为3，最小值为1. （1）求椭圆C 的标准方程：
（2）设MN 和PQ 是通过椭圆C 的右焦点F 的两条弦，且PQ MN ⊥.问是否存在常数λ，使得PQ MN PQ MN λ+=⋅恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说
明理由.
【答案】（1）22
1.
43
x y +=；（2）存在，712λ=. 【分析】（1）根据椭圆的几何性质可得，椭圆的左顶点到右焦点的距离最大，且为a+c ，椭圆的右顶点到右焦点的距离最小，且为a-c ，即可求得a ，c ，即可得答案.
（2）当MN 斜率不存在时，MN 为通径，即可求得MN ，此时PQ 为长轴，即可求得PQ ，即可得λ，当MN 和PQ 斜率都存在时，设直线MN ，(1)y k x =-，与椭圆联立，根据韦达定理，可得12x x +，12x x 表达式，根据弦长公式，可得MN ，同理可得PQ ，即可求得λ，即可得答案.
【详解】解：（1）设椭圆C 的方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，半焦距为.c
根据椭圆的几何性质可得，椭圆的左顶点到右焦点的距离最大，且为a+c ，
椭圆的右顶点到右焦点的距离最小，且为a-c ，即3
1a c a c +=⎧⎨-=⎩
，
解得：2, 1.a c ==所以2223b a c =-=
椭圆C 的方程为22
1.43
x y +=
（2）当MN 和PQ 一个斜率不存在另一个为0时，不妨令MN 斜率不存在，
则2223
=3,242
b MN PQ a a ⨯====，
所以11117
.3412
MN PQ MN PQ
MN PQ λ+=
=
+=+=⋅ 当MN 和PQ 斜率都存在时，
设直线MN 的方程为1122(1),(,),(,)y k x M x y N x y =-，直线PQ 的方程为1
(1)y x k
=--.
联立方程22
143
(1)x y y k x ⎧+
=⎪⎨⎪=-⎩
得：2222(34)84120.k x k x k +-+-=
22222
(8)4(34)(412)1441440
k k k k
∆=--+-=+>，
2
122
2
122
8
34
412
34
k
x x
k
k
x x
k
⎧
+=
⎪⎪+
⎨
-
⎪=
⎪+
⎩
，
则
2
122
12(1)
.
43
k MN x
k
+ =-==
+
同理可得
2
2
2
2
1
()112(1)
12.
134
4()3
k
k
PQ
k
k
-++
=⨯=
+
-+
则
22
22
1143347
.
12(1)12(1)12
MN PQ k k
MN PQ MN PQ k k
λ
+++
==+=+=
⋅++
综上可知存在常数
7
12
λ=，使得PQ MN PQ MN
λ
+=⋅恒成立.
【点睛】解题的关键是熟练掌握椭圆的几何性质、直线与曲线联立的方法、弦长公式等知识，并灵活应用，求PQ弦长时，只需将MN表达式里k替换成
1
k
-即可，可大大简化计算.。