山西省大同市新荣中学2020年高一数学理联考试卷含解析

山西省大同市新荣中学2020年高一数学理联考试卷含
解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如图是函数的图像，的值为（）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
参考答案：
C
略
2. 已知幂函数f（x）=xα（α为常数）的图象过点P(2，)，则f（x）的单调递减区间是（）
A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，+∞）
C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（﹣∞，0）与（0，+∞）
参考答案：
D
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
【分析】由题意代入点的坐标可求得α=﹣1；从而写出单调区间．
【解答】解：由题意得：2α=，则α=﹣1；
则y=f（x）=x﹣1，
函数的单调递减区间是（﹣∞，0），（0，+∞）；
故选：D．
【点评】本题考查了幂函数的基本性质，属于基础题．
3. 在△ABC中，A＝45°，AC＝4，AB＝，那么cosB＝（）
A、 B、－
C、 D、－
参考答案：
D
4. 函数的零点所在的大致区间是（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
5. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出S的结果是（）
A． B． C． D．
参考答案：
C
考点：程序框图．
专题：计算题；概率与统计．
分析：根据题意，该程序框图的意图是求S=1+++的值，由此不难得到本题的答案．
解答：解：由题意，k、S初始值分别为1，0．当k为小于5的正整数时，用S+的值代替S，k+1代替k，
进入下一步运算．由此列出如下表格
因此，最后输出的s=1+++=
故选：C
点评：本题给出程序框图，求最后输出的s值，着重考查了分数的加法和程序框图的理解等知识，属于基础题．
6. 下列函数中既是偶函数，最小正周期又是π的是（）
A．y=sin2x B．y=cosx C．y=tanx D．y=|tanx|
参考答案：
D
【考点】三角函数的周期性及其求法；函数奇偶性的判断．
【分析】逐一分析各个选项，利用三角函数的奇偶性、周期性排除A、B、C，从而得到D 正确．
【解答】解：由于函数 y=sin2x周期为π，不是偶函数，故排除A．
由于函数y=cosx周期为2π，是偶函数，故排除B．
由于函数y=tanx是周期函数，且周期为π，但它不是偶函数，故排除C．
由于函数 y=|tanx|是周期函数，且周期为π，且是偶函数，故满足条件，
故选：D．
7. 函数的最小值和最大值分别为( )
A. －7,7
B. －3,4
C. －4,3
D. －5,5
参考答案：
D
8. （5分）函数f（x）=2x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）
参考答案：
C
考点：函数零点的判定定理．
专题：计算题．
分析：利用函数的零点判定定理，先判断函数的单调性，然后判断端点值的符合关系．
解答：∵f（x）=2x+x﹣2在R上单调递增
又∵f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0
由函数的零点判定定理可知，函数的零点所在的一个区间是（0，1）
故选C
点评：本题主要考查函数零点区间的判断，判断的主要方法是利用根的存在性定理，判断函数在给定区间端点处的符号是否相反．
9. 满足{2，3}?M?{1，2，3，4，5}的集合M的个数为（）
A．6 B．7 C．8 D．9
参考答案：
C
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【分析】由题意，满足{2，3}?M?{1，2，3，4，5}的集合M的个数可化为{1，4，5}的子集个数．
【解答】解：∵{2，3}?M?{1，2，3，4，5}
∴1，4，5共3个元素可以选择，
即满足{2，3}?M?{1，2，3，4，5}的集合M的个数可化为
{1，4，5}的子集个数；
故其有8个子集，
故选C．
10. 已知函数是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的不等实数，不等式
恒成立，则不等式的解集为
（）
A． B． C． D．
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数的值域是；
参考答案：
略
12. 若等比数列的前项和为，且，则= ．
参考答案：
13. 若不等式对一切恒成立，则的取值范围是 .
参考答案：
略
14. 函数y＝x＋2在区间[0,4]上的最大值为M，最小值为N，则M＋N＝________.
参考答案：
8
略
15. 方程的实数解为________
参考答案：
16. 已知，则的值为__________________。

参考答案：
略
17. 将二进制数101101（2）化为十进制结果为．
参考答案：
45
【考点】进位制．
【分析】由题意知101 101（2）=1×20+0×21+1×22+1×23+0×24+1×25计算出结果即可选出正确选项．
【解答】解：101101（2）
=1×20+0×21+1×22+1×23+0×24+1×25
=1+4+8+32
=45．
故答案为：45．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=3，S n+1=3（S n+1）（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）在数列{b n}中，b1=9，b n+1﹣b n=2（a n+1﹣a n）（n∈N*），若不等式λb n＞a n+36（n ﹣4）+3λ对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；
（Ⅲ）令T n=+++…+（n∈N*），证明：对于任意的
n∈N*，T n＜．
参考答案：
【考点】数列与不等式的综合；8H：数列递推式．
【分析】（Ⅰ）由S n+1=3（S n+1）（n∈N*）．
得当n≥2时，S n=3（S n﹣1+1）（n∈N*）．
两式相减得a n+1=3a n，得数列{a n}是首项为3，公比为3的等比数列，即可．
（Ⅱ）可得，b n=（b n﹣b n﹣1）+（b n﹣1﹣b n）+…+（b2﹣b1）+b1=2?3n+3，（n∈N+）
不等式λb n＞a n+36（n﹣4）+3λ对一切n∈N*恒成立?
λ＞
令f（n）=+，利用单调性实数λ的取值范围．
（Ⅲ）当n≥2时，（2n﹣1）a n﹣1=（2n﹣1）?3n＞2?3n
即
=
【解答】解：（Ⅰ）∵S n+1=3（S n+1）（n∈N*）．
当n≥2时，S n=3（S n﹣1+1）（n∈N*）．
两式相减得a n+1=3a n
∴数列{a n}是首项为3，公比为3的等比数列，当n≥2时，．
当n=1时，a1=3也符合，∴．
（Ⅱ）将，代入b n+1﹣b n=2（a n+1﹣a n）（n∈N*），得，
∴b n=（b n﹣b n﹣1）+（b n﹣1﹣b n）+…+（b2﹣b1）+b1
=4（3n﹣1+3n﹣2+…+3）+9+9
=2?3n+3，（n∈N+）
∴不等式λb n＞a n+36（n﹣4）+3λ对一切n∈N*恒成立?
λ＞
令f（n）=+，则f（n+1）=，
∴当n≤4时，f（n）单调递增，当n≥5时，f（n）单调递减，
故a1＜a2＜a3＜a4＜a5＞a6＞a7…
∴，故
∴实数λ的取值范围为（，+∞）．
（Ⅲ）证明：当n=1时，T1=
当n≥2时，（2n﹣1）a n﹣1=（2n﹣1）?3n＞2?3n
∴
∴
=
=
故对于任意的n∈N*，T n＜．
19. 如图，在四棱锥中，是正方形，平面，
，分别是的中点．
（1）在线段上确定一点，使平面，并给出证明；
（2）证明平面平面，并求出到平面的距
离.
参考答案：
试题解析：（1）为线段中点时，平面.
略
20. 当x满足log（3﹣x）≥﹣2时，求函数y=4﹣x﹣2﹣x+1的最值及相应的x的值．
参考答案：
【考点】对数函数的图像与性质．
【专题】计算题；函数思想；换元法；函数的性质及应用．
【分析】解对数不等式可得﹣1≤x＜3，换元可化原问题为y=（t﹣）2+在t∈（，2]的最值，由二次函数区间的最值可得．
【解答】解：log（3﹣x）≥﹣2等价于log（3﹣x）≥log4，
由对数函数y=log x在（0，+∞）单调递减可得0＜3﹣x≤4，
解得﹣1≤x＜3，∴t=2﹣x∈（，2]，
∴y=4﹣x﹣2﹣x+1=t2﹣t+1=（t﹣）2+，
由二次函数可得y在t∈（，）单调递减，在t∈（，2）单调递增，
∴当t=2﹣x=即x=1时，函数取最小值；
当t=2﹣x=2即x=﹣1时，函数取最大值3．
【点评】本题考查对数的图象和性质，涉及换元法和二次函数区间的最值，属基础题．21. 设函数f（x）=lg（x2﹣x﹣2）的定义域为集合A，函数g（x）=的定义域为集合B．
（1）求A∩B；
（2）若C={x|m﹣1＜x＜2m+1，m∈R}，C?B，求实数m的取值范围．
参考答案：
【考点】函数的定义域及其求法；集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．
【分析】（1）利用函数的定义域求法，求得集合A，B利用集合的基本运算进行求解即可．
（2）讨论C为空集和非空时，满足条件C?B时成立的等价条件即可．
【解答】解：（1）要使函数f（x）有意义，则x2﹣x﹣2＞0，
解得x＞2或x＜﹣1，即A={x|x＞2或x＜﹣1}，
要使g（x）有意义，则3﹣|x|≥0，
解得﹣3≤x≤3，即B={x|﹣3≤x≤3}，
∴A∩B={x|x＞2或x＜﹣1}∩x|﹣3≤x≤3}={x|﹣3≤x＜﹣1或2＜x≤3}．
（2）若C=?，即m﹣1≥2m+1，解得m≤﹣2时，满足条件C?B．
若C≠?，即m＞﹣2时，要使C?B成立，
则，解得﹣2＜m≤1．
综上：m≤1．
即实数m的取值范围是（﹣∞，1]．
【点评】本题主要考查函数定义域的求法，集合的基本运算，以及利用集合关系求参数问题．
22. 若不等式的解集是，
(1) 求的值；
(2) 求不等式的解集.
参考答案：
……………（5分）（2）ax2－5x+a2－1>0可化为：－2x2－5x+3>0 即2x2+5x－3 < 0 (2x－1)( x +3 )< 0
………………（10分）
略。