2018年秋高中数学 第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.3 函数的最大(

3.3.3 函数的最大(小)值与导数
学习目标：1.能够区分极值与最值两个不同的概念．(易混点)2.掌握在闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)的求法．(重点)3.能根据函数的最值求参数的值．(难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．函数f (x )在区间[a ，b ]上的最值
如果在区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a ，b ]上一定能够取得最大值和最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点取得．
思考：若函数f (x )在区间[a ，b ]上只有一个极大值点x 0，则f (x 0)是函数f (x )在区间[a ，
b ]上的最大值吗？
[提示] 根据极大值和最大值的定义知，f (x 0)是函数f (x )在区间[a ，b ]上的最大值． 2．求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最值的步骤 (1)求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值．
(2)将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
[基础自测]
1．思考辨析
(1)函数的最大值一定是函数的极大值． ( ) (2)开区间上的单调连续函数无最值．
( )
(3)函数f (x )在区间[a ，b ]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．
( ) (4)函数f (x )＝1
x
在区间[－1,1]上有最值．
( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
2．函数f (x )＝x 3
－3x 2
＋2在区间[－1,1]上的最大值是( ) A ．－2 B ．0 C ．2 D ．4
C [f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝2. 由f (－1)＝－2，f (0)＝2，f (1)＝0得f (x )max ＝f (0)＝2.]
3．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π2，π的最大值是( ) 【导学号：97792160】
A ．π－1 B.π
2
－1 C ．π D ．π＋1
C [y ′＝1－cos x >0，故函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π2，π是增函数，因此当x ＝π时，
函数有最大值，且y max ＝π－sin π＝π.]
[合 作 探 究·攻 重 难]
(1)f (x )＝2x 3
－3x 2
－12x ＋5，x ∈[－2,1]； (2)f (x )＝e x (3－x 2
)，x ∈[2,5]．
[解] (1)f ′(x )＝6x 2
－6x －12，令f ′(x )＝0得x ＝－1或x ＝2， 又x ∈[－2,1]，故x ＝－1，且f (－1)＝12. 又因为f (－2)＝1，f (1)＝－8， 所以，当x ＝－1时，f (x )取最大值12. 当x ＝1时，f (x )取最小值－8. (2)∵f (x )＝3e x －e x x 2
， ∴f ′(x )＝3e x －(e x x 2＋2e x
x ) ＝－e x (x 2
＋2x －3) ＝－e x
(x ＋3)(x －1)．
∵在区间[2,5]上，f ′(x )＝－e x
(x ＋3)(x －1)＜0， 即函数f (x )在区间[2,5]上单调递减， ∴x ＝2时，函数f (x )取得最大值f (2)＝－e 2
；
x ＝5时，函数f (x )取得最小值f (5)＝－22e 5.
1．求下列各函数的最值．
(1)f (x )＝－x 3
＋3x ，x ∈[－3，3]； (2)f (x )＝x 2
－54x
(x ＜0)．
[解] (1)f ′(x )＝3－3x 2
＝3(1－x )(1＋x )． 令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1，
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
又因为f (x )在区间端点处的取值为f (－3)＝0，f (3)＝－18， 所以f (x )max ＝2，f (x )min ＝－18. (2)f ′(x )＝2x ＋54
x
2.
令f ′(x )＝0，得x ＝－3.
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
↘
故f (x )的最小值为f (－3)＝27，无最大值.
【导学号：97792161】
[思路探究] 求导→讨论a 的正负→判断[0,2]上的单调性→得最值． [解] f ′(x )＝3x 2
－2ax ，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a 3.
当2a
3≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,2]上单调递增， 从而f (x )max ＝f (2)＝8－4a .
当2a
3≥2，即a ≥3时，f (x )在[0,2]上单调递减， 从而f (x )max ＝f (0)＝0. 当0＜2a
3
＜2，即0＜a ＜3时，
f (x )在⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤0，2a 3上单调递减，在⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤2a 3
，2上单调递增，
从而f (x )max ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
8－4a ，＜a ，
0，＜a ＜，
综上所述，f (x )max ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
8－4a ，
a ，
0，a ＞
2．已知函数f (x )＝ax 3
－6ax 2
＋b ，x ∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a ，b 的值．
[解] 由题设知a ≠0，否则f (x )＝b 为常函数，与题设矛盾．求导得f ′(x )＝3ax 2
－12ax ＝3ax (x －4)，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝4(舍去)．
(1)当a >0时，且x 变化时f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
↗
＝b ＝3.
又f (－1)＝－7a ＋3，f (2)＝－16a ＋3<f (－1)， ∴f (2)＝－16a ＋3＝－29，解得a ＝2.
(2)当a <0时，同理可得，当x ＝0时，f (x )取得极小值b ，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f (0)＝b ＝－29.
又f (－1)＝－7a －29，f (2)＝－16a －29>f (－1)， ∴f (2)＝－16a －29＝3，解得a ＝－2. 综上可得，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29.
1．比较两个函数式的大小，常用什么方法？ 提示：常用差比较法．
2．函数最值和“恒成立”问题有什么联系？
提示：解决“恒成立”问题，可将问题转化为函数的最值问题．如f (x )＞0恒成立，只要f (x )的最小值大于0即可．对含参不等式的恒成立问题，求参数范围时，可先分离参数．
设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )． (1)求g (x )的单调区间和最小值；
(2)讨论g (x )与g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x 的大小关系；
(3)求a 的取值范围，使g (a )－g (x )<1
a
对任意x >0成立．
[思路探究] (1)求出g (x )的表达式是解题的关键；(2)构造辅助函数，结合单调性求解；(3)显然g (x )的最值决定了参数a 的取值范围。

[解] (1)由题设知f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1
x
，
所以g (x )＝ln x ＋1
x
所以g ′(x )＝
x －1
x 2
，令g ′(x )＝0，得x ＝1， 当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0， 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，
故g (x )的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，＋∞)．因此，x ＝1是g (x )的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，
所以g (x )的最小值为g (1)＝1.
(2)g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x
＝－ln x ＋x ， 设h (x )＝g (x )－g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x
＝2ln x －x ＋1x
，
则h ′(x )＝－
x －
2
x 2
.
当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x
； 当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h ′(x )<0，h ′(1)＝0， 因此，h (x )在(0，＋∞)内单调递减．
当0<x <1时，h (x )>h (1)＝0，即g (x )>g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ；
当x >1时，h (x )<h (1)＝0，即g (x )<g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x
. (3)因为g (a )－g (x )<1
a
对任意x >0成立，
即ln a <g (x )对任意x >0成立． 由(1)知，g (x )的最小值为1， 所以ln a <1，解得0<a <e.
3．已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1.若xf ′(x )≤x 2
＋ax ＋1恒成立，求a 的取值范围.
【导学号：97792162】
[解] f ′(x )＝
x ＋1
x
＋ln x －1 ＝ln x ＋1
x
，xf ′(x )＝x ln x ＋1，
而xf ′(x )≤x 2
＋ax ＋1(x ＞0)等价于ln x －x ≤a . 令g (x )＝ln x －x ，则g ′(x )＝1
x
－1.
当0＜x ＜1时，g ′(x )＞0；当x ≥1时，g ′(x )≤0，x ＝1是g (x )的最大值点，所以
g (x )≤g (1)＝－1.
综上可知，a 的取值范围是[－1，＋∞)．
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．函数y ＝ln x
x
的最大值为( )
A ．e －1
B ．e
C ．e 2
D.103
A [函数y ＝ln x
x
的定义域为(0，＋∞)．
y ′＝
1－ln x x 2，由1－ln x
x
2
＝0得x ＝e ， 当0<x <e 时，y ′>0， 当x >e 时，y ′<0.
因此当x ＝e 时，函数y ＝ln x x 有最大值，且y max ＝1e
＝e －1
.]
2．若函数f (x )＝x 3
－3x －a 在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M ，N ，则M －N 的值为( )
A ．2
B ．4
C ．18
D ．20 D [f ′(x )＝3x 2
－3， 令f ′(x )＝0得x ＝±1. 当0≤x <1时，f ′(x )<0； 当1<x ≤3时，f ′(x )>0.
则f (1)最小，又f (0)＝－a ，f (3)＝18－a ，
f (3)>f (0)，所以最大值为f (3)，即M ＝f (3)， N ＝f (1)⇒M －N ＝f (3)－f (1)
＝(18－a )－(－2－a )＝20.]
3．函数y ＝x ＋2cos x 在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是__________．
π6＋3 [y ′＝1－2sin x ＝0，解得x ＝π6，比较0，π6，π2处的函数值，得y max ＝π
6＋3.]
4．函数f (x )＝x 3
－12x 2－2x ＋5，对任意x ∈[1,2]都有f (x )>m ，则实数m 的取值范围是
__________．
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－∞，72 [由题意知只要f (x )min
>m 即可， 由f ′(x )＝3x 2
－x －2＝0， 得x ＝－2
3(舍去)或x ＝1，
易知f (x )min ＝f (1)＝72，所以m <7
2
.]
5．已知函数f (x )＝1－x x ＋ln x ，求f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2上的最大值和最小值. 【导学号：97792163】
[解] f ′(x )＝
－x －
－x
x
2
＋1x ＝x －1x
2.
由f ′(x )＝0，得x ＝1.
∴在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2上，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
∵f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2－f (2)＝2－2ln 2＝2(ln e 3
－ln 16)，
而e 3
＞16，∴f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＞f (2)＞0.
∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值为f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝1－ln 2，最小值为0.
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