01-矢量和微积分初步
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物理学
第五版
一 标量和矢量
附录：矢量与微积分
1、基础物理学中的两类物理量：
标量物理量(标量) —遵循代数运算法则, 如m, t, V
矢量物理量(矢量) —遵循矢量代数运算法则, 如 r, v, F
用有向线段表示矢量， 矢量的大小叫做矢量
的模，用符号 A 表示。
A A
图1 矢量的图像表示
附录一 矢量
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物理学
第五版 标积的性质：
附录：矢量与微积分
(1) 标积的交换律：
A B AB cos BAcos B A
(2) 标积的分配律：
A B C AC B C
A Axi Ay j Azk B Bxi By j Bzk
A B AxBx Ay By Az Bz
附录一 矢量
附录一 矢量
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物理学
第五版
附录：矢量与微积分
四 矢量的标积和矢积
物理学中，矢量乘积有两种：标积(点乘)，矢积(叉乘)
1、矢量的标积： A B AB cos
B
A
A B AB cos
A
B 0o B
A
A B AB 90o
A B
180o
AB 0
A B AB
附录一 矢量
9/31
附录一 矢量
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物理学
第五版
附录：矢量与微积分
d
c
BC
B
a
b
A
图4两矢量相加的三角形法则
自矢量 A 的末端画出矢量 B ，再从矢量 A 的始端 到矢量 B 的末端画出矢量 C ，则 C 就是 A 和 B
的合矢量。
附录一 矢量
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物理学
第五版
附录：矢量与微积分
2、利用计算方法计算合矢量的大小和方向：
极限称作f (x) 在 x0 处的导数。 f '
x0
dy , y ' xx0 , dx
x x0
f
' x0
lim y x0 x
lim
x0
f
x0
x
x
f
x0
附录一 矢量
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物理学
第五版
附录：矢量与微积分
若函数在某一区间内各点均可导，则在该区间内每一点都有函
数的导数与之对应，则导数也成为自变量的函数，称为导函数。
附录：矢量与微积分
如果函数 y =f (x) 在 x=x0 处有增量△x ，因此相应函数 y 也会
有一增量 y f x0 x f x0
则
y f x0 x f x0
x
x
叫做函数 y 在x0 到x0 + △x 之间的平均变化率。
若当 x 0 时，y / x有极限，则称 f (x) 在 x0 处可导，并把
ex ' ex
loga x ' x ln a 1
xn ' nxn1 n为实数 ax ' ax ln a
ln x ' x1
sin x ' cos x
arcsin x ' ( 1 x2 )1(1 x 1)
cos x ' sin x arccos x ' ( 1 x2 )1(1 x 1)
1、矢量在三维直角坐标轴上的分矢量和分量：
A Ax Ay Az A Axi Ay j Azk
矢量 A 的模为： A Ax2 Ay2 Az2 矢量 A 的方向为：
z Az
ko A
y
i j
Ay
Ax
x 图7 矢量在三维直角坐标轴
上的正交分量
cos Ax / A,cos Ay / A,cos Az / A
f ' x lim y lim f x x f x
x x0
x0
x
tan y
f x
x
f ' x lim y lim tan
x x0
x0
RQ P y
x
导数的几何意义：函数曲线的斜率 o
x0 x0 x x
附录一 矢量
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物理学
第五版
基本导数公式：
附录：矢量与微积分
c ' 0 c为常数
物理学
第五版
附录：矢量与微积分
2、矢量平移的不变性：
把矢量 A 在空间平移，则矢量A 的大小和方向都
不会因平移而改变。
A
A
A
图2 矢量平移不变性
附录一 矢量
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物理学
第五版
附录：矢量与微积分
二 矢量合成的几何方法
1、矢量加法：平行四边形法则
c
B
C
a A
d
AB C b
图3两矢量相加的平行四边形法则
C
A
B
B sin
x
B cos
图5 合矢量的计算
C A2 B2 2AB cos arctan B sin
A B cos
附录一 矢量
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物理学
第五版
附录：矢量与微积分
3、同一平面内多矢量的相加
C B
D
A
R
图6 同平面多矢量相加
附录一 矢量
6/31
物理学
第五版
三
附录：矢量与微积分
矢量合成的解析法
附录一 矢量
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物理学
第五版
2、矢量合成的解析法：
矢量 A 和 B 在两坐标轴上
的分量可分别表示为：
附录：矢量与微积分
y
B
C
By
Ax Acos Ay Asin
Bx Bcos By Bsin
o A
Ay
x
Ax
Bx
图8 矢量合成解析法
Cx Ax Bx
Cy Ay By
C Cx2 Cy2 arctan Cy / Cx
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物理学
第五版 2、矢量的矢积：
附录：矢量与微积分
C AB
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
矢量 C 的大小为： C AB sin
矢量 C 的方向为：
平行四边形面积
C
C
B
B
A
图9 两矢量的矢积
B sin
A
附录一 矢量
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物理学
第五版 矢积的性质：
附录：矢量与微积分
(1) 矢积不遵守交换律：
AB B A AB B A
(2) A B ABsin
当 0 or 时，A B 0
(3) 矢积的分配率：
C A B C A C B
附录一 矢量
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第五版
附录：矢量与微积分
A B Axi Ay j Azk Bxi By j Bzk
利用 i j k,i k j,i i 0 ，
AxByk AxBz j AyBzi AyBxk AzBx j AzByi
AyBz AzBy i Az Bx AxBz j AxBy AyBx k
i jk
k
j
A B Ax Ay Az
i
Bx By Bz
附录一 矢量
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第五版
附录：矢量与微积分
五 函数、导数和微分
1、函数：
如果当 x 在其变域内任意取一数值时，y 都有确定的值与其对
应，则称 y为 x 的函数。
y f x
如果当 y 为 z 的函数，z 又是 x 的函数，则 y为 x 的复合函数。
y x f g x z g x 中间变量
附录一 矢量
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第五版 2、导数：
第五版
一 标量和矢量
附录：矢量与微积分
1、基础物理学中的两类物理量：
标量物理量(标量) —遵循代数运算法则, 如m, t, V
矢量物理量(矢量) —遵循矢量代数运算法则, 如 r, v, F
用有向线段表示矢量， 矢量的大小叫做矢量
的模，用符号 A 表示。
A A
图1 矢量的图像表示
附录一 矢量
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第五版 标积的性质：
附录：矢量与微积分
(1) 标积的交换律：
A B AB cos BAcos B A
(2) 标积的分配律：
A B C AC B C
A Axi Ay j Azk B Bxi By j Bzk
A B AxBx Ay By Az Bz
附录一 矢量
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第五版
附录：矢量与微积分
四 矢量的标积和矢积
物理学中，矢量乘积有两种：标积(点乘)，矢积(叉乘)
1、矢量的标积： A B AB cos
B
A
A B AB cos
A
B 0o B
A
A B AB 90o
A B
180o
AB 0
A B AB
附录一 矢量
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附录：矢量与微积分
d
c
BC
B
a
b
A
图4两矢量相加的三角形法则
自矢量 A 的末端画出矢量 B ，再从矢量 A 的始端 到矢量 B 的末端画出矢量 C ，则 C 就是 A 和 B
的合矢量。
附录一 矢量
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附录：矢量与微积分
2、利用计算方法计算合矢量的大小和方向：
极限称作f (x) 在 x0 处的导数。 f '
x0
dy , y ' xx0 , dx
x x0
f
' x0
lim y x0 x
lim
x0
f
x0
x
x
f
x0
附录一 矢量
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第五版
附录：矢量与微积分
若函数在某一区间内各点均可导，则在该区间内每一点都有函
数的导数与之对应，则导数也成为自变量的函数，称为导函数。
附录：矢量与微积分
如果函数 y =f (x) 在 x=x0 处有增量△x ，因此相应函数 y 也会
有一增量 y f x0 x f x0
则
y f x0 x f x0
x
x
叫做函数 y 在x0 到x0 + △x 之间的平均变化率。
若当 x 0 时，y / x有极限，则称 f (x) 在 x0 处可导，并把
ex ' ex
loga x ' x ln a 1
xn ' nxn1 n为实数 ax ' ax ln a
ln x ' x1
sin x ' cos x
arcsin x ' ( 1 x2 )1(1 x 1)
cos x ' sin x arccos x ' ( 1 x2 )1(1 x 1)
1、矢量在三维直角坐标轴上的分矢量和分量：
A Ax Ay Az A Axi Ay j Azk
矢量 A 的模为： A Ax2 Ay2 Az2 矢量 A 的方向为：
z Az
ko A
y
i j
Ay
Ax
x 图7 矢量在三维直角坐标轴
上的正交分量
cos Ax / A,cos Ay / A,cos Az / A
f ' x lim y lim f x x f x
x x0
x0
x
tan y
f x
x
f ' x lim y lim tan
x x0
x0
RQ P y
x
导数的几何意义：函数曲线的斜率 o
x0 x0 x x
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基本导数公式：
附录：矢量与微积分
c ' 0 c为常数
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2、矢量平移的不变性：
把矢量 A 在空间平移，则矢量A 的大小和方向都
不会因平移而改变。
A
A
A
图2 矢量平移不变性
附录一 矢量
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附录：矢量与微积分
二 矢量合成的几何方法
1、矢量加法：平行四边形法则
c
B
C
a A
d
AB C b
图3两矢量相加的平行四边形法则
C
A
B
B sin
x
B cos
图5 合矢量的计算
C A2 B2 2AB cos arctan B sin
A B cos
附录一 矢量
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附录：矢量与微积分
3、同一平面内多矢量的相加
C B
D
A
R
图6 同平面多矢量相加
附录一 矢量
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三
附录：矢量与微积分
矢量合成的解析法
附录一 矢量
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2、矢量合成的解析法：
矢量 A 和 B 在两坐标轴上
的分量可分别表示为：
附录：矢量与微积分
y
B
C
By
Ax Acos Ay Asin
Bx Bcos By Bsin
o A
Ay
x
Ax
Bx
图8 矢量合成解析法
Cx Ax Bx
Cy Ay By
C Cx2 Cy2 arctan Cy / Cx
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第五版 2、矢量的矢积：
附录：矢量与微积分
C AB
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
矢量 C 的大小为： C AB sin
矢量 C 的方向为：
平行四边形面积
C
C
B
B
A
图9 两矢量的矢积
B sin
A
附录一 矢量
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第五版 矢积的性质：
附录：矢量与微积分
(1) 矢积不遵守交换律：
AB B A AB B A
(2) A B ABsin
当 0 or 时，A B 0
(3) 矢积的分配率：
C A B C A C B
附录一 矢量
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附录：矢量与微积分
A B Axi Ay j Azk Bxi By j Bzk
利用 i j k,i k j,i i 0 ，
AxByk AxBz j AyBzi AyBxk AzBx j AzByi
AyBz AzBy i Az Bx AxBz j AxBy AyBx k
i jk
k
j
A B Ax Ay Az
i
Bx By Bz
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附录：矢量与微积分
五 函数、导数和微分
1、函数：
如果当 x 在其变域内任意取一数值时，y 都有确定的值与其对
应，则称 y为 x 的函数。
y f x
如果当 y 为 z 的函数，z 又是 x 的函数，则 y为 x 的复合函数。
y x f g x z g x 中间变量
附录一 矢量
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第五版 2、导数：