九年级上册上册数学压轴题复习练习(Word版 含答案)

九年级上册上册数学压轴题复习练习(Word 版 含答案)
一、压轴题
1．如图1：在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 边上一点（不与点B ，C 重合），试探索AD ，BD ，CD 之间满足的等量关系，并证明你的结论．小明同学的思路是这样的：将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到线段AE ，连接EC ，DE ．继续推理就可以使问题得到解决．
（1）请根据小明的思路，试探索线段AD ，BD ，CD 之间满足的等量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，D 为△ABC 外的一点，且∠ADC ＝45°，线段AD ，BD ，CD 之间满足的等量关系又是如何的，请证明你的结论；
（3）如图3，已知AB 是⊙O 的直径，点C ，D 是⊙O 上的点，且∠ADC ＝45°． ①若AD ＝6，BD ＝8，求弦CD 的长为 ；
②若AD+BD ＝14，求2AD BD CD ⎛⎫⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭
的最大值，并求出此时⊙O 的半径．
2．已知，如图1，⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，连接OC 交对角线BD 于点F ，延长AO 交BD 于点E ，OE=OF.
（1）求证：BE=FD ；
（2）如图2，若∠EOF=90°，BE=EF ，⊙O 的半径25AO =ABCD 的面积； （3）如图3，若AD=BC ；
①求证：22•AB CD BC BD +=；②若2•12AB CD AO ==，直接写出CD 的长. 3．如图，点A 和动点P 在直线l 上，点P 关于点A 的对称点为Q ．以AQ 为边作
Rt ABQ △，使90BAQ ∠=︒，:3:4AQ AB =，作ABQ △的外接圆O ．点C 在点P 右
侧，4PC =，过点C 作直线m l ⊥，过点O 作OD m ⊥于点D ，交AB 右侧的圆弧于点
E ．在射线CD 上取点
F ，使
3
2
DF CD =，以DE 、DF 等邻边作矩形DEGF ，设
3AQ x =
（1）用关于x 的代数式表示BQ 、DF ．
（2）当点P 在点A 右侧时，若矩形DEGF 的面积等于90，求AP 的长． （3）在点P 的整个运动过程中，当AP 为何值时，矩形DEGF 是正方形．
4．研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半，如图1，已知四边形ABCD 内接于
O ，对角线AC BD =，且AC BD ⊥．
（1）求证：AB CD =； （2）若
O 的半径为8，弧BD 的度数为120︒，求四边形ABCD 的面积；
（3）如图2，作OM BC ⊥于M ，请猜测OM 与AD 的数量关系，并证明你的结论． 5．如图，在▱ABCD 中，AB ＝4，BC ＝8，∠ABC ＝60°．点P 是边BC 上一动点，作△PAB 的外接圆⊙O 交BD 于E ．
（1）如图1，当PB ＝3时，求PA 的长以及⊙O 的半径； （2）如图2，当∠APB ＝2∠PBE 时，求证：AE 平分∠PAD ；
（3）当AE 与△ABD 的某一条边垂直时，求所有满足条件的⊙O 的半径．
6．如图，在正方形ABCD 中，P 是边BC 上的一动点（不与点B ，C 重合），点B 关于直线AP 的对称点为E ，连接AE ，连接DE 并延长交射线AP 于点F ，连接BF
（1）若BAP α∠=，直接写出ADF ∠的大小（用含α的式子表示）. （2）求证：BF DF ⊥.
（3）连接CF ，用等式表示线段AF ，BF ，CF 之间的数量关系，并证明.
7．如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 交x 轴于A 、B 两点，其中点A 坐标为（1，0），与y 轴交于点C （0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，连接AC ，点Q 为x 轴下方抛物线上任意一点，点D 是抛物线对称轴与x 轴的交点，直线AQ 、BQ 分别交抛物线的对称轴于点M 、N ．请问DM +DN 是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
（3）如图2，点P 为抛物线上一动点，且满足∠PAB ＝2∠ACO ．求点P 的坐标． 8．()1尺规作图1：
已知：如图，线段AB 和直线且点B 在直线上
求作：点C ，使点C 在直线上并且使ABC 为等腰三角形． 作图要求：保留作图痕迹，不写作法，做出所有符合条件的点C ．
()2特例思考：
如图一，当190∠=时，符合()1中条件的点C 有______个；如图二，当160∠=时，符合()1中条件的点C 有______个.
()3拓展应用：
如图，AOB 45∠=，点M ，N 在射线OA 上，OM x =，ON x 2=+，点P 是射线OB 上的点.若使点P ，M ，N 构成等腰三角形的点P 有且只有三个，求x 的值．
9．如图1，ABC ∆是⊙O 的内接等腰三角形，点D 是弧AC 上异于,A C 的一个动点，射线AD 交底边BC 所在的直线于点E ，连结BD 交AC 于点F . （1）求证：ADB CDE ∠=∠；
（2）若7BD =，3CD =，①求AD DE •的值；②如图2，若AC BD ⊥，求
tan ACB ∠；
（3）若5
tan 2
CDE ∠=
，记AD x =，ABC ∆面积和DBC ∆面积的差为y ，直接写出y 关于x 的函数关系式.
10．如图，在⊙O 中，弦AB 、CD 相交于点E ，AC ＝BD ，点D 在AB 上，连接CO ，并延长CO 交线段AB 于点F ，连接OA 、OB ，且OA 5tan ∠OBA ＝12
． （1）求证：∠OBA ＝∠OCD ；
（2）当△AOF 是直角三角形时，求EF 的长；
（3）是否存在点F ，使得S △CEF ＝4S △BOF ，若存在，请求EF 的长，若不存在，请说明理由．
11．如图，在边长为5的菱形OABC中，sin∠AOC＝4
5
，O为坐标原点，A点在x轴的正半
轴上，B，C两点都在第一象限．点P以每秒1个单位的速度沿O→A→B→C→O运动一周，设运动时间为t（秒）．请解答下列问题：
（1）当CP⊥OA时，求t的值；
（2）当t＜10时，求点P的坐标（结果用含t的代数式表示）；
（3）以点P为圆心，以OP为半径画圆，当⊙P与菱形OABC的一边所在直线相切时，请直接写出t的值．
12．如图，PA切⊙O于点A，射线PC交⊙O于C、B两点，半径OD⊥BC于E，连接BD、DC和OA，DA交BP于点F；
（1）求证：∠ADC+∠CBD＝1
2
∠AOD；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中相等的线段．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、压轴题
1．（1）CD2+BD2＝2AD2，见解析；（2）BD2＝CD2+2AD2，见解析；（3）①2，②最大
值为
4414，半径为4
【解析】 【分析】
（1）先判断出∠BAD ＝CAE ，进而得出△ABD ≌△ACE ，得出BD ＝CE ，∠B ＝∠ACE ，再根据勾股定理得出DE 2＝CD 2+CE 2＝CD 2+BD 2，在Rt △ADE 中，DE 2＝AD 2+AE 2＝2AD 2，即可得出结论；
（2）同（1）的方法得，ABD ≌△ACE （SAS ），得出BD ＝CE ，再用勾股定理的出DE 2＝2AD 2，CE 2＝CD 2+DE 2＝CD 2+2AD 2，即可得出结论；
（3）先根据勾股定理的出DE 2＝CD 2+CE 2＝2CD 2，再判断出△ACE ≌△BCD （SAS ），得出AE ＝BD ，
①将AD ＝6，BD ＝8代入DE 2＝2CD 2中，即可得出结论；
②先求出CD ＝，再将AD+BD ＝14，CD ＝代入AD BD ⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭
，化简得出﹣（AD ﹣
212）2+441
4
，进而求出AD ，最后用勾股定理求出AB 即可得出结论． 【详解】
解：（1）CD 2+BD 2＝2AD 2，
理由：由旋转知，AD ＝AE ，∠DAE ＝90°＝∠BAC ， ∴∠BAD ＝∠CAE ， ∵AB ＝AC ，
∴△ABD ≌△ACE （SAS ）， ∴BD ＝CE ，∠B ＝∠ACE ， 在Rt △ABC 中，AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠ACB ＝45°， ∴∠ACE ＝45°，
∴∠DCE ＝∠ACB+∠ACE ＝90°，
根据勾股定理得，DE 2＝CD 2+CE 2＝CD 2+BD 2， 在Rt △ADE 中，DE 2＝AD 2+AE 2＝2AD 2， ∴CD 2+BD 2＝2AD 2； （2）BD 2＝CD 2+2AD 2， 理由：如图2，
将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到线段AE ，连接EC ，DE ， 同（1）的方法得，ABD ≌△ACE （SAS ）， ∴BD ＝CE ，在Rt △ADE 中，AD ＝AE ， ∴∠ADE ＝45°， ∴DE 2＝2AD 2， ∵∠ADC ＝45°，
∴∠CDE ＝∠ADC+∠ADE ＝90°，
根据勾股定理得，CE 2＝CD 2+DE 2＝CD 2+2AD 2， 即：BD 2＝CD 2+2AD 2；
（3）如图3，过点C 作CE ⊥CD 交DA 的延长线于E ， ∴∠DCE ＝90°， ∵∠ADC ＝45°，
∴∠E ＝90°﹣∠ADC ＝45°＝∠ADC ， ∴CD ＝CE ，
根据勾股定理得，DE 2＝CD 2+CE 2＝2CD 2， 连接AC ，BC ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°， ∵∠ADC ＝45°， ∴∠BDC ＝45°＝∠ADC ， ∴AC ＝BC ，
∵∠DCE ＝∠ACB ＝90°， ∴∠ACE ＝∠BCD ， ∴△ACE ≌△BCD （SAS ）， ∴AE ＝BD ， ①AD ＝6，BD ＝8， ∴DE ＝AD+AE ＝AD+BD ＝14， ∴2CD 2＝142，
∴CD ＝
故答案为； ②∵AD+BD ＝14，
∴CD ＝
∴2AD BD ⎛⎫⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭
＝AD•（BD+2）＝AD•（BD+7） ＝AD•BD+7AD ＝AD （14﹣AD ）+7AD ＝﹣AD 2+21AD ＝﹣（AD ﹣212）2+441
4
，
∴当AD ＝
212时，AD BD ⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭
的最大值为441
4， ∵AD+BD ＝14， ∴BD ＝14﹣
212＝7
2
，
在Rt △ABD 中，根据勾股定理得，AB =
∴⊙O 的半径为OA ＝
12AB ．
【点睛】
本题考查圆与三角形的结合,关键在于熟记圆的性质和三角形的性质. 2．（1）见详解；（2）5326
【解析】
【分析】
（1）如图1中，作OH⊥BD于H．根据等腰三角形的性质以及垂径定理即可；
（2）如图2中，作OH⊥BD于H，连接OB，求出AC，BD，根据S四边形ABCD=1
2•BD•AM+
1 2•BD•CM=
1
2
•BD•AC即可求解；
（3）①如图3中，连接OB，作OH⊥BD于H．利用等腰直角三角形的性质，完全平方公式等知识即可；
②如图3中，连接OB，设DM=CM=x，想办法求出BC，DB，在Rt△BCM中，利用勾股定理构建方程即可．
【详解】
（1）证明：如图1中，作OH⊥BD于H．
∵OE=OF，OH⊥EF，
∴EH=HF，
∵OH⊥BD，
∴BH=HD，
∴BE=DF；
（2）解：如图2中，作OH⊥BD于H，连接OB．
∵∠EOF=90°，OE=OF，OA=OC，
∴∠OEF=∠OAC=45°，
∴∠AME=90°，即AC⊥BD，
连接OB．设OH=a，
∵BE=EF，
∴BE=2EH=2OH=2a，
在Rt△BOH中，∵OH2+BH2=OB2，
∴a2+（3a）2=（52，
∴2或2（舍弃），
∴BD=BE+EF+DF=6a=62，
在Rt△AOC中，210，
∴S四边形ABCD=1
2
•BD•AM+
1
2
•BD•CM=
1
2
•BD•AC=
1
2
1025
（3）①如图3中，连接OB，作OH⊥BD于H．
∵OE=OF ，OA=OC ，
∴∠EOH=
12∠EOF=12（∠EAC+∠ACO ）=1
2
×2∠OAC=∠OAC ， ∴AC ∥OH ， ∴AC ⊥BD ， ∵AD=BC ，
∴∠ABD=∠CAB=∠CDB=45°，
∴2BM ，2DM ，CM=DM ，
∴AB•CD+BC 222DM+BM 2+CM 2=（BM+DM ）2=BD 2； ②如图3中，连接OB ，设DM=CM=x ， ∵∠BOC=2∠BDC=90°， ∴26，
∵AB•CD+BC 2=BD 2，AB•CD=AO 2=12， ∴12+24=BD 2，
∴BD=6（负根已经舍弃）， 在Rt △BCM 中，∵BC 2=BM 2+CM 2， ∴（6）2=（6-x ）2+x 2， ∴3或3 ∴226． 【点睛】
本题属于圆综合题，考查了垂径定理，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 3．（1）（1）5BQ x =；3FD x =（2）9AP =（3）12AP =或6
5
AP =或3AP = 【解析】 【分析】
（1）由:3:4AQ AB =、3AQ x =，易得4AB x =，由勾股定理得BQ ，再由中位线的
性质得1
2
AH BH AB ==
，求得CD 、FD ； （2）利用（1）的结论，易得CQ 的长，作OM AQ ⊥于点M ，则//OM AB ，由垂径定
理得32QM AM x ==，由矩形性质得OD MC =，利用矩形面积求得x ，得出结论； （3）点P 在A 点的右侧时，利用（1）、（2）的结论和正方形的性质得243x x +=，得AP ；点P 在A 点的左侧时，当点C 在Q 右侧，当407x <<
时，473x x -=，解得x ，易得AP ；当
4273x ≤<时，743x x -=，得AP ；当点C 在Q 的左侧时，即23x ≥，同理得AP ．
【详解】
解：（1）∵:3:4AQ AB =，3AQ x =
∴4AB x =
∴在Rt ABQ △中，225BQ AQ AB x =
+= ∵OD m ⊥，m l ⊥
∴//OD l
∵OB OQ =
∴122AH BH AB x ==
= ∴2CD x =
∴332
FD CD x == （2）∵点P 关于点A 的对称点为Q
∴3AP AQ x ==
∵4PC =
∴64CQ x =+
过点O 作OM AQ ⊥于点M ，如图：
∵90BAQ ∠=︒
∴//OM AB
∵O 是ABQ △的外接圆，90BAQ ∠=︒
∴点O 是BQ 的中点
∴1322QM AM AQ x === ∴3964422OD MC CQ QM x x ==-=+-
=+ ∵1522
OE BQ x == ∴9542422DE OD OE x x x =-=
+-=+ ∴()32490DEGF S DF DE x x =⋅=⋅+=矩形
∴13x =，25x =-（不合题意，舍去）
∴39AP x ==
∴当点P 在点A 右侧时，若矩形DEGF 的面积等于90，AP 的长为：9．
（3）若矩形DEGF 是正方形，则DE DF =
①点P 在A 点的右侧时，如图：
∴243x x +=
∴4x =
∴312AP x ==
②点P 在A 点的左侧时
I.当点C 在Q 右侧时
i.当 407
x <<时，如图：
∵47DE x =-，3DF x =
∴473x x -=
∴25x = ∴635AP x x ==
ii.当4273
x ≤<时，如图：
∵74DE x =-，3DF x =
∴743x x -=
∴1x =（不合题意，舍去）
II. 当点C 在Q 的左侧时，即23
x ≥，如图：
∵74DE x =-，3DF x =
∴743x x -=
∴1x =
∴33AP x ==
∴综上所述，当12AP =或65
AP =或3AP =时，矩形DEGF 是正方形． 故答案是：（1）5BQ x =；3FD x =（2）9AP =（3）12AP =或65AP =
或3AP = 【点睛】
本题考查了分类讨论思想、矩形的性质、正方形的性质、圆的性质等，综合性强，难度
大，正确的画出相应的图形可以更顺利地解决问题．
4．（1）见解析；（2）96；（3）AD=2OM，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据弦、弧、圆心角的关系证明；
（2）根据弧BD的度数为120°，得到∠BOD=120°，利用解直角三角形的知识求出BD，根据题意计算即可；
（3）连结OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如图3，根据垂径定理得到AE=DE，再利用圆周角定理得到∠BOM=∠BAC，∠AOE=∠ABD，再利用等角的余角相等得到
∠OBM=∠AOE，则可证明△BOM≌△OAE得到OM=AE，证明结论．
【详解】
解：（1）证明：∵AC=BD，
∴AC BD
，
则AB DC，
∴AB=CD；
（2）如图1，连接OB、OD，作OH⊥BD于H，
∵弧BD的度数为120°，
∴∠BOD=120°，
∴∠BOH=60°，
则BH=3
OB=43，
∴BD=83，
则四边形ABCD的面积=1
2
×AC×BD=96；
（3）AD=2OM，
连结OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如图2，∵OE⊥AD，
∴AE=DE，
∵∠BOC=2∠BAC，
而∠BOC=2∠BOM，
∴∠BOM=∠BAC，
同理可得∠AOE=∠ABD，
∵BD⊥AC，
∴∠BAC+∠ABD=90°，
∴∠BOM+∠AOE=90°，
∵∠BOM+∠OBM=90°，
∴∠OBM=∠AOE，
在△BOM和△OAE中，
OMB OEA
OBM OAE
OB OA
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△BOM≌△OAE（AAS），
∴OM=AE，
∴AD=2OM．
【点睛】
本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质和矩形的性质、会利用三角形全等解决线段相等的问题是解题的关键．
5．（1）PA13O的半径为
39
3
；（2）见解析；（3）⊙O的半径为2或
47
7
【解析】
【分析】
（1）过点A作BP的垂线，作直径AM，先在Rt△ABH中求出BH，AH的长，再在
Rt△AHP中用勾股定理求出AP的长，在Rt△AMP中通过锐角三角函数求出直径AM的长，即求出半径的值；
（2）证∠APB＝∠PAD＝2∠PAE，即可推出结论；
（3）分三种情况：当AE⊥BD时，AB是⊙O的直径，可直接求出半径；当AE⊥AD时，连
接OB，OE，延长AE交BC于F，通过证△BFE∽△DAE，求出BE的长，再证△OBE是等边
三角形，即得到半径的值；当AE⊥AB时，过点D作BC的垂线，通过证△BPE∽△BND，
求出PE，AE的长，再利用勾股定理求出直径BE的长，即可得到半径的值．
【详解】
（1）如图1，过点A作BP的垂线，垂足为H，作直径AM，连接MP，
在Rt△ABH中，∠ABH＝60°，
∴∠BAH＝30°，
∴BH
＝1
2
AB＝2，AH＝AB•sin60°＝
∴HP＝BP﹣BH＝1，
∴在Rt△AHP中，
AP
∵AB是直径，
∴∠APM＝90°，
在Rt△AMP中，∠M＝∠ABP＝60°，
∴AM＝AP
sin60︒
，
∴⊙O的半径为
3
，
即PA⊙O
（2）当∠APB＝2∠PBE时，
∵∠PBE＝∠PAE，
∴∠APB＝2∠PAE，
在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠APB＝∠PAD，
∴∠PAD＝2∠PAE，
∴∠PAE＝∠DAE，
∴AE平分∠PAD；
（3）①如图3﹣1，当AE⊥BD时，∠AEB＝90°，
∴AB是⊙O的直径，
∴r＝1
2
AB＝2；
②如图3﹣2，当AE⊥AD时，连接OB，OE，延长AE交BC于F，∵AD∥BC，
∴AF⊥BC，△BFE∽△DAE，
∴BF
AD ＝
EF
AE
，
在Rt△ABF中，∠ABF＝60°，
∴AF＝AB•sin60°＝BF＝1
2
AB＝2，∴2
8
，
∴EF＝
5
，
在Rt△BFE中，
BE，
∵∠BOE＝2∠BAE＝60°，OB＝OE，
∴△OBE是等边三角形，
∴r；
③当AE⊥AB时，∠BAE＝90°，
∴AE为⊙O的直径，
∴∠BPE＝90°，
如图3﹣3，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于点N，延开PE交AD于点Q，在Rt△DCN中，∠DCN＝60°，DC＝4，
∴DN＝DC•sin60°＝
CN＝1
2
CD＝2，
∴PQ＝DN＝
设QE＝x，则PE＝x，
在Rt△AEQ中，∠QAE＝∠BAD﹣BAE＝30°，∴AE＝2QE＝2x，
∵PE∥DN，
∴△BPE∽△BND，
∴PE
DN ＝
BP
BN
，
∴BP
10
，
∴BP＝10x，
在Rt△ABE与Rt△BPE中，
AB2+AE2＝BP2+PE2，
∴16+4x
2＝（10x）2+（x）2，
解得，x1＝（舍），x2，
∴AE＝
∴BE
＝
∴r，
∴⊙O的半径为2或47或7．
【点睛】
此题主要考查圆与几何综合，解题的关键是熟知圆的基本性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质.
6．（1）45°+ ；（2）证明见解析；（3）2BF+CF.
【解析】
【分析】
（1）过点A作AG⊥DF于G，由轴对称性质和正方形的性质可得AE=AD，∠BAP=∠EAF，
根据等腰三角形“三线合一”的性质可得∠EAG=∠DAG，即可得∠FAG=1
2
∠BAD=45°，
∠DAG+∠BAP=45°，根据直角三角形两锐角互余的性质即可得答案；
（2）由（1）可得∠FAG=1
2
∠BAD=45°，由AG⊥PD可得∠APG=45°，根据轴对称的性质可
得∠BPA=∠APG=45°，可得∠BFD=90°，即可证明BF⊥DF；
（3）连接BD、BE，过点C作CH//FD，交BE延长线于H，由∠BFD=∠BCD=90°可得B、F、C、D四点共圆，根据圆周角定理可得∠FBC=∠FDC，∠DFC=∠DBC=45°，根据平行线的性质可得∠FDC=∠DCH，根据角的和差关系可得∠ABF=∠BCH，由轴对称性质可得BF=EF，可得△BEF是等腰直角三角形，即可得∠BEF=45°，BE=2BF，即可证明∠BEF=∠DFC，可得BH//FC，即可证明四边形EFCH是平行四边形，可得EH=FC，EF=CH，利用等量代换可得CH=BF，利用SAS可证明△ABF≌△BCH，可得AF=BH，即可得AF、BF、CF的数量关系.【详解】
（1）过点A作AG⊥DF于G，
∵点B关于直线AF的对称点为E，四边形ABCD是正方形，
∴AE=AB，AB=AD=DC=BC，∠BAF=∠EAF，
∴AE=AD，
∵AG⊥FD，
∴∠EAG=∠DAG，
∴∠BAF+∠DAG=∠EAF+∠EAG，
∵∠BAF+∠DAG+∠EAF+∠EAG=∠BAD=90°，
∴∠BAF+∠DAG=∠GAF=45°，
∴∠DAG=45°-α，
∴∠ADF=90°-∠DAG=45°+α.
（2）由（1）得∠GAF=45°，
∵AG⊥FD，
∴∠AFG=45°，
∵点E、B关于直线AF对称，
∴∠AFB=∠AFE=45°，
∴∠
BFG=90°，
∴BF ⊥DF.
（3）连接BD 、BE ，过点C 作CH//FD ，交BE 延长线于H ，
∵∠BFD=∠BCD=90°，
∴B 、F 、C 、D 四点共圆，
∴∠FDC=∠FBC ，∠DFC=∠DBC=45°，
∵CH//FD ， ∴∠DCH=∠FDC ，
∴∠FBC=∠DCH ，
∵∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠ABC+∠FBC=∠BCD+∠DCH ，即∠ABF=∠BCH ，
∵点E 、B 关于直线AF 对称，
∴BF=EF ，
∵∠BFE=90°，
∴△BEF 是等腰直角三角形，
∴∠BEF=45°，BE=2BF ，
∴∠BEF=∠DFC ，
∴FC//BH ，
∴四边形EFCH 是平行四边形，
∴EH=FC ，CH=BF ，
在△ABF 和△BCH 中，AB BC ABF BCH BF CH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴AF=BH=BE+EH=2BF+CF.
【点睛】
本题考查正方形的性质、等腰三角形的性质、轴对称的性质、圆周角定理、四点共圆的判定及全等三角形的判定与性质，正确得出B 、F 、C 、D 四点共圆并熟练掌握圆周角定理及轴对称的性质是解题关键.
7．（1）223y x x =+-；（2）是，定值为8；（3）1557,416⎛⎫- ⎪⎝
⎭或939,416⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 【解析】
【分析】
（1）把点A 、C 坐标代入抛物线解析式即可求得b 、c 的值．
（2）设点Q 横坐标为t ，用t 表示直线AQ 、BN 的解析式，把x ＝1-分别代入即求得点M 、N 的纵坐标，再求DM 、DN 的长，即得到DM +DN 为定值．
（3）点P 可以在x 轴上方或下方，需分类讨论．①若点P 在x 轴下方，延长AP 到H ，使AH ＝AB 构造等腰△ABH ，作BH 中点G ，即有∠PAB ＝2∠BAG ＝2∠ACO ，利用∠ACO 的三角函数值，求BG 、BH 的长，进而求得H 的坐标，求得直线AH 的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点P 坐标．②若点P 在x 轴上方，根据对称性，AP 一定经过点H 关于x 轴的对称点H '，求得直线AH '的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点P 坐标．
【详解】
解：（1）∵抛物线y ＝x 2+bx +c 经过点A （1，0），C （0，－3），
∴10003b c c ++=⎧⎨++=-⎩解得：23b c =⎧⎨=-⎩
， ∴抛物线的函数表达式为y ＝x 2＋2x －3．
（2）结论：DM +DN 为定值．
理由：∵抛物线y ＝x 2＋2x －3的对称轴为：直线x ＝－1，
∴D （﹣1，0），x M ＝x N ＝﹣1，
设Q （t ，t 2+2t ﹣3）（﹣3＜t ＜1），
设直线AQ 解析式为y ＝dx +e
∴2023d e dt e t t +=⎧⎨+=+-⎩解得：33d t e t =+⎧⎨=--⎩
， ∴直线AQ ：y ＝（t +3）x ﹣t ﹣3，
当x ＝﹣1时，y M ＝﹣t ﹣3﹣t ﹣3＝﹣2t ﹣6，
∴DM ＝0﹣（﹣2t ﹣6）＝2t +6，
设直线BQ 解析式为y ＝mx +n ，
∴230
23m n mt n t t -+=⎧⎨+=+-⎩解得：133m t n t =-⎧⎨=-⎩
， ∴直线BQ ：y ＝（t ﹣1）x +3t ﹣3，
当x ＝﹣1时，y N ＝﹣t +1+3t ﹣3＝2t ﹣2，
∴DN ＝0﹣（2t ﹣2）＝﹣2t +2，
∴DM +DN ＝2t +6+（﹣2t +2）＝8，为定值．
（3）①若点P 在x 轴下方，如图1，延长AP 到H ，使AH ＝AB ，过点B 作BI ⊥x 轴，连接BH ，作BH 中点G ，连接并延长AG 交BI 于点F ，过点H 作HI ⊥BI 于点I ．
∵当x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴B（﹣3，0），
∵A（1，0），C（0，﹣3），
∴OA＝1，OC＝3，AC22
1310
+=AB＝4，
∴Rt△AOC中，sin∠ACO＝010
10
A
AC
=，cos∠ACO＝
310
10
OC
AC
=，
∵AB＝AH，G为BH中点，
∴AG⊥BH，BG＝GH，
∴∠BAG＝∠HAG，即∠PAB＝2∠BAG，∵∠PAB＝2∠ACO，
∴∠BAG＝∠ACO，
∴Rt△ABG中，∠AGB＝90°，sin∠BAG＝
10 BG
AB
=，
∴BG＝
1010 105
AB=，
∴BH＝2BG＝10
5
，
∵∠HBI+∠ABG＝∠ABG+∠BAG＝90°，∴∠HBI＝∠BAG＝∠ACO，
∴Rt△BHI中，∠BIH＝90°，sin∠HBI＝HI
BH
10
，cos∠HBI＝
310
BI
BH
=，
∴HI 10
BH＝
4
3
，BI
310
BH＝
12
5
，
∴x H＝
411
3
55
-+=-，y H＝
12
5
-，即
1112
,
55
H
⎛⎫
--
⎪
⎝⎭
，
设直线AH解析式为y＝kx+a，
∴
0 1112 55 k a
k a
+=
⎧
⎪
⎨
-+=-
⎪⎩
，解得：
3
4
3
4
k
a
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
，
∴直线AH：
33
44
y x
=-，
∵
2
33
44
23
y x
y x x
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=+-
⎩
解得：
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
（即点A）或
9
4
39
16
x
y
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
，
∴
939
,
416
P
⎛⎫
--
⎪
⎝⎭
．
②若点P在x轴上方，如图2，在AP上截取AH'＝AH，则H'与H关于x轴对称．∴
1112
,
55
H
⎛'⎫
-
⎪
⎝⎭
，
设直线AH'解析式为y k x a
='+'，
∴
1112
55
k a
k a
+=
''
'
⎧
-'
⎪
⎨
+=
⎪⎩
，解得：
3
4
3
4
k
a
⎧
=-
⎪⎪
⎨
'
'
⎪=
⎪⎩
，
∴直线AH'：
33
44
y x
=-+，
∵
2
33
44
23
y x
y x x
⎧
=-+
⎪
⎨
⎪=+-
⎩
解得：
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
（即点A）或
15
4
57
16
x
y
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，
∴
1557
,
416
P
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
．
综上所述，点P的坐标为
939
,
416
⎛⎫
--
⎪
⎝⎭
或
1557
,
416
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
．
【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查了求二次函数解析式、求一次函数解析式，解一元二次方程、二元一次方程组，等腰三角形的性质，三角函数的应用．运用到分类讨论的数学思想，理清线段之间的关系为解题关键．
8．(1) 见解析；(2) 2，2 ；(3)0或222-或222x <<.
【解析】
【分析】
()1根据等腰三角形的定义，用分类讨论的思想解决问题即可；
()2通过画图分析可得，当190∠=时，符合()1中条件的点C 有2个，当160∠=时，符合()1中条件的点C 有2个；
()3分三种情形讨论求解即可．
【详解】
解：()1如图1中，点1C ，2C ，3C ，4C 即为所求．
()2如图一，当190∠=时，符合()1中条件的点C 有2个；如图二，当160∠=时，符合()1中条件的点C 有2个，
当∠1=90°或∠1=60°时，符合条件的点C 都是在点B 左右各一个，当∠1=60°时，符合条件的点C 如图所示：
故答案为2，2．
()3①如图31-中，当x 0=时，当PM PN =时，有点1P ，当ON OP =时，有点2P ，当NO NP =时，有点3P ，此时有3个P 点．
②如图32-中，当N 与OB 相切于点1P 时，
1OP N 是等腰直角三角形，
1ON 2NP 22∴==，
OM ON MN 222∴=-=-，此时有3个P 点．
③如图33-中，当M 经过点O 时，此时只有2个P 点，
如图34-中，M 与OB 相交时，此时有3个P 点，
如图35-中，当M 与OB 相切时，只有2个P 点．
此时OM 22=， 综上所述，当2x 22<<3个P 点．
∴满足条件的x 的值为0或222或2x 22<<
【点睛】
本题考查等腰三角形的判定和性质，尺规作图，直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9．(1)证明见解析；（2）①215（3）21029
y x =
【解析】
【分析】 ()1由圆内接四边形性质知ABC CDE ∠∠=，由AB AC =知ABC ACB ∠∠=，从而得ADB ACB ABC CDE ∠∠∠∠===；
()2①由BAD DCE ∠∠=，ADB CDE ∠∠=可证
ADB ∽CDE.从而得
AD DB CD DE =； ②连接AO 并延长交BD 于点M ，连接CM ，证MAF ≌DAF 得MF DF =，据此知BM CM CD 3===，MF DF 2==，求得22CF CD DF 5=-=定义可得答案；
()3证
ABD ∽AEB 得2AB AD AE.=⋅证ABD ∽CED 得BD CD AD DE.⋅=⋅从而得2ABC BCD 111S S AB AC sin BAC BD CD sin BDC x sin BAC 222
∠∠∠-=⋅⋅-⋅⋅=，再由5tan ABC tan CDE 2∠∠==
，可设BM 2a =，知AM 5a =，AB 29a =，由面积法可得BN 29=
，即20sin BAC 29∠=，据此得出答案． 【详解】
解：()1四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，
ABC 180ADC CDE ∠∠∠∴=-=．
AB AC =，
ABC ACB ∠∠∴=．
ADB ACB ABC CDE ∠∠∠∠∴===；
()2①四边形ABCD 内接于圆，
BAD 180BCD DCE ∠∠∠∴=-=．
又ADB CDE ∠∠=，
ADB ∴∽CDE ．
AD DB CD DE
∴=， AD DE BD CD 7321∴⋅=⋅=⨯=；
②连接AO 并延长交BD 于点M ，连接CM ，
AM 平分BAC ∠，
AM BC ∴⊥，
CAD CBD 90ACB MAF ∠∠∠∠∴==-=．
MAF ∴≌()DAF ASA ．
MF DF ∴=，即AC 是线段MD 的中垂线． BM CM CD 3∴===，
MF DF 2∴==，
在Rt CDF 中，2222CF CD DF 325=--=，
BF tan ACB 5CF 5
∠∴=== ()3BAD EAB ∠∠=，ADB ACB ABE ∠∠∠==，
ABD ∴∽AEB ，
AB AD AE AB
∴=，即2AB AD AE =⋅． CDE ADB ∠∠=，DCE BAD ∠∠=
ABD ∴∽CED ，
BD AD DE CD
∴=，即BD CD AD DE ⋅=⋅． ABC BCD 11S S AB AC sin BAC BD CD sin BDC 22
∠∠-=⋅⋅-⋅⋅,
()1sin BAC AD AE AD DE 2
∠=⋅-⋅. 21x sin BAC 2
∠=，
又5tan ABC tan CDE 2
∠∠==， 如图2，设BM 2a =，则AM 5a =，AB 29a =
， 由面积法可得BN 29=，即20sin BAC 29
∠=， 22ABC BCD 12010S S x x 22929y ∴-==
⨯=． 【点睛】
本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质、圆周角定理、相似三角形和全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及三角函数的应用等知识点．
10．（1）见解析；（2）EF ＝
32或512；（3）存在 【解析】
【分析】
（1）先判断出∠ECB ＝∠EBC ，再判断出∠OCB ＝∠OBC ，即可得出结论；
（2）先求出EF ，再分两种情况，利用锐角三角函数和相似三角形的性质即可得出结论； （3）先利用面积关系得出
53
CO FO =，进而利用△OAF ∽△EFC 得出比例式，即可得出结论．
【详解】
解：（1）如图1，连接BC ，
∵AC BD = ，
∴∠ECB ＝∠EBC ，
∵OB ＝OC ，
∴∠OCB ＝∠OBC ，
∴∠OCD ＝∠ECF ＝∠ECB ﹣∠OCB ＝∠EBC ﹣∠OBC ＝∠OBA ；
（2）∵OA ＝OB ，
∴∠OAF ＝∠OBA ，
∴∠OAF ＝∠ECF ，
①当∠AFO ＝90°时，
∵OA
tan ∠OBA ＝12
， ∴OC ＝OA
OF ＝1，AB ＝4，
∴EF ＝CF •tan ∠ECF ＝C F•tan ∠OBA
②当∠AOF ＝90°时，
∵OA ＝OB ，
∴∠OAF ＝∠OBA ，
∴tan ∠OAF ＝tan ∠OBA ＝
12， ∵OA
∴OF ＝OA •tan ∠OAF
， ∴AF ＝52
， ∵∠OAF ＝∠OBA ＝∠ECF ，∠OFA ＝∠EFC ，
∴△OFA ∽△EFC ，
∴EF CF OC OF OF AF AF +=== ∴EF
OF ＝32, 即：EF ＝
32
； （3）存在，如图2，连接OE ，
∵∠ECB ＝∠EBC ，
∴CE ＝EB ，
∵OE ＝OE ，OB ＝OC ，
∴△OEC ≌△OEB ，
∴S △OEC ＝S △OEB ，
∵S △CEF ＝4S △BOF ，
∴S △CEO +S △EOF ＝4（S △BOE ﹣S △EOF ）， ∴53
CEO EFO S S ∆∆=，
∴
5
3 CO
FO
=，
∴FO＝3 5
CO
＝
35
5
，
∵△OFA∽△EFC，
∴
5
3
CE AD CO
EF FO FO
===，
∴BF＝BE﹣EF＝CE﹣EF＝
2
3
EF，
∴AF＝AB﹣BF＝4﹣
2
3
EF，
∵△OAF∽△EFC，
∴
CF EF
FA FO
=，
∴
8
5
5
235
4
3
EF
=
-
，
∴EF＝3﹣
35
．
【点睛】
圆的综合题，主要考查了圆的性质，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，分类讨论的思想，判断出
5
3
CE AD CO
EF FO FO
===是解本题的关键．11．（1）t＝3；（2）P（
3
5
t+2，
4
5
t﹣4）；（3）t的值为
20
9
秒或4秒或16秒或
160
9
秒【解析】
【分析】
（1）如图1，过点C作CP⊥OA，交x轴于点P．就可以求出OP的值，由勾股定理就可以求出的OP值，进而求出结论；
（2）t＜10时，P在OA或AB上运动，所以分两种情况：①当0≤t≤5时，如图1，点P在OA上，OP=t，可得P的坐标；②当5＜t＜10时，如图2，点P在AB上，构建直角三角
形，根据三角函数定义可得P 的坐标； （3）设切点为G ，连接PG ，分⊙P 与四边相切，其中P 在AB 和BC 时，与各边都不相切，所以分两种情况：
①当P 在OA 上时，根据三角函数列式可得t 的值；
②当P 在OC 上时，同理可得结论． 【详解】
（1）如图1，
当CP ⊥OA 时，sin ∠AO 4
5CP C OC
＝＝， 4455
CP CP 即＝，＝， 在Rt △OPC 中，OC ＝5，PC ＝4，则OP ＝3，
∴331
t ＝＝
（2）当0≤t ≤5时，如图1，点P 在OA 上，
∴P （t ，0）；
当5＜t ＜10时，如图2，点P 在AB 上，
过P 作PH ⊥x 轴，垂足为H ，
则∠AOC ＝∠PAH ，
∴sin ∠PAH ＝sin ∠AO 4
5
C ＝， 44 4555
PH PH t t ∴=-即＝﹣， ∴333255HA t OH OA AH t ++＝﹣，＝＝，
∴34P t+2t 455
（，﹣）；
（3）设切点为G ，连接PG ，
分两种情况：
①当P在OA上时，如图3，
⊙P与直线AB相切，
∵OC∥AB，
∴∠AOC＝∠OAG，
∴sin∠AOC＝sin∠OA
4
5
PG
G
AP
＝＝，
t4
5-t5 ＝，
∴
20
9
t＝；
⊙P与BC相切时，如图4，
则PG＝t＝OP＝4；
②当点P在OC上时，
⊙P与AB相切时，如图5，
∴OP＝PG＝4，
∴4×5﹣t＝4，
t＝16，
⊙P与直线BC相切时，如图6，
∴PG ⊥BC ，
∵BC ∥AO ，
∴∠AOC ＝∠GCP ，
∴sin ∠AOC ＝sin ∠GC 45PG P PC ＝＝
， ∵OP ＝PG ＝20﹣t ， ∴42051
t t -=-， ∴1609
t ＝， 综上所述，t 的值2016041699为
秒或秒或秒或秒 【点睛】
本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解答时运用等角的三角函数列方程是关键，并注意运用分类讨论的思想，做到不重不漏．
12．（1）详见解析；（2）详见解析；
【解析】
【分析】
()1根据垂径定理得到BD CD =，根据等腰三角形的性质得到()
111809022ODA AOD AOD ∠=-∠=-∠，即可得到结论； ()2根据垂径定理得到BE CE =，BD CD =，根据等腰三角形的性质得到
ADO OAD ∠=∠，根据切线的性质得到90PAO ∠=，求得90OAD DAP ∠+∠=，推出PAF PFA ∠=∠，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．
【详解】
()1证明：OD BC ⊥，
BD CD ∴=， CBD DCB ∴∠=∠，
90DFE EDF ∠+∠=，
90EDF DFE ∴∠=-∠，
OD OA =，
()
111809022ODA AOD AOD ∴∠=-∠=-∠， 190902
DFE AOD ∴-∠=-∠， 12
DEF AOD ∴∠=∠， DFE ADC DCB ADC CBD ∠=∠+∠=∠+∠，
12
ADC CBD AOD ∴∠+∠=∠； ()2解：OD BC ⊥，
BE CE ∴=，BD CD =，
BD CD ∴=，
OA OD =，
ADO OAD ∴∠=∠，
PA 切O 于点A ，
90PAO ∴∠=， 90OAD DAP ∴∠+∠=， PFA DFE ∠=∠，
90PFA ADO ∴∠+∠=，
PAF PFA ∴∠=∠，
PA PF ∴=．
【点睛】
本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．。