安徽省黄山市2016-2017学年高一下学期期末数学试卷Word版含解析

2016-2017学年安徽省黄山市高一（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题．在每小题所给的四个选项中有且只有一项是符合题意的．请将答案填写在后面的答题框内．）
1．在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析，在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是（）
A．总体B．个体
C．样本的容量D．从总体中抽取的一个样本
2．下列各式中S的值不可以用算法求解的是（）
A．S=1+2+3+4 B．S=1+2+3+4+…
C．S=1+++…+D．S=12+22+32+…+1002
3．某奶茶店的日销售收入y（单位：百元）与当天平均气温x（单位：℃）之间的关系如下：
通过上面的五组数据得到了x与y之间的线性回归方程：=﹣x+2.8；但现在丢失了一个数据，该数据应为（）
A．3 B．4 C．5 D．2
4．在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（）
A．众数B．平均数C．中位数D．标准差
5．已知点（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）
A．﹣7＜a＜24 B．﹣24＜a＜7 C．a＜﹣1或a＞24 D．a＜﹣24或a＞7
6．已知，则x（1﹣3x）取最大值时x的值是（）
A．B．C．D．
7．已知实数a1，a2，b1，b2，b3满足数列1，a1，a2，9是等差数列，数列1，b1，b2，b3，9是等比数列，则的值为（）
A．±B．C．﹣D．1
8．已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）
A．12 B．11 C．3 D．﹣1
9．某人从甲地去乙地共走了500m，途经一条宽为xm的河流，该人不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已
知该物品能被找到的概率为，则河宽为（）
A．80m B．100m C．40m D．50m
10．在△ABC中，若b=2，A=120°，三角形的面积S=，则三角形外接圆的半径为（）
A．B．2 C．2 D．4
11．一枚质地均匀的硬币连掷3次，有且仅有2次出现正面向上的概率为（）
A．B．C．D．
12．在数列{a n}中，a1=，a2=，a n a n
=1，则a2016+a2017=（）
+2
A．B．C．D．5
二、填空题（本大题共4小题．请将答案直接填在题中相应的横线上．）13．甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测验中的成绩的茎叶图如图所示，如果分别从甲、乙两组中各随机挑选一名同学，则这两名同学成绩相同的概率是．
14．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，若抽
到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落人区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为．
15．在如图所示的程序框图中，若U=lg•log3，V=2，则输出的S=，
16．数列{a n}满足，且，则a2017=．
三、解答题（本大题共6小题．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．某公司为了了解一年内的用水情况，抽取了10天的用水量如表所示：
（Ⅰ）在这10天中，该公司用水量的平均数是多少？每天用水量的中位数是多少？
（Ⅱ）你认为应该用平均数和中位数中的哪一个数来描述该公司每天的用水量？18．已知等差数列{a n}中，a3a7=﹣16，a4+a6=0，求{a n}前n项和s n．
19．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200.220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图示．
（Ⅰ）求直方图中x的值；
（Ⅱ）求月平均用电量的众数和中位数；
（Ⅲ）在月平均用电量为[220，240），[240，260），[260，280）的三组用户中，用分层抽样的方法抽取10户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？
20．设△ABC的三内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且b（sinB﹣sinC）+（c ﹣a）（sinA+sinC）=0
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=，sinC=sinB，求△ABC的面积．
21．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n2+n，n∈N*，数列{b n}满足a n=4log2b n+3，n∈N*．
（1）求a n，b n；
（2）求数列{a n•b n}的前n项和T n．
22．已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．
（Ⅰ）设集合A={﹣1，1，2，3，4，5}和B={﹣2，﹣1，1，2，3，4}，分别从集合A，B中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．
（Ⅱ）设点（a，b）是区域内的随机点，求函数f（x）在区间[1，+
∞）上是增函数的概率．
2016-2017学年安徽省黄山市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题．在每小题所给的四个选项中有且只有一项是符合题意的．请将答案填写在后面的答题框内．）
1．在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析，在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是（）
A．总体B．个体
C．样本的容量D．从总体中抽取的一个样本
【考点】BD：用样本的频率分布估计总体分布．
【分析】根据题意，结合总体、个体、样本、样本容量的定义可得结论．
【解答】解：根据题意，结合总体、个体、样本、样本容量的定义可得，5000名居民的阅读时间的全体是总体，
故选：A．
2．下列各式中S的值不可以用算法求解的是（）
A．S=1+2+3+4 B．S=1+2+3+4+…
C．S=1+++…+D．S=12+22+32+…+1002
【考点】E1：算法的概念．
【分析】由算法的概念可知：算法是在有限步内完成的，结果明确性，每一步操作明确的，即可判断A，B，C，D的正误．
【解答】解：由算法的概念可知：求解某一类问题的算法必须是有限步的，
对于A，S=1+2+3+4，可四步完成；
对于B，S=1+2+3+…，不知其多少步完成；
对于C，S=1+++…+，可100步完成；
对于D，S=12+22+32+…+1002，可100步完成；
所以S值不可以用算法求解的是B．
故选：B．
3．某奶茶店的日销售收入y（单位：百元）与当天平均气温x（单位：℃）之间的关系如下：
通过上面的五组数据得到了x与y之间的线性回归方程：=﹣x+2.8；但现在丢失了一个数据，该数据应为（）
A．3 B．4 C．5 D．2
【考点】BK：线性回归方程．
【分析】求出的值，代入方程，求出的值，从而求出丢失了的数据．
【解答】解：设该数据是a，
=0，故=﹣x+2.8=2.8，
∴（5+a+2+2+1）=2.8，
解得：a=4，
故选：B．
4．在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（）
A．众数B．平均数C．中位数D．标准差
【考点】BC：极差、方差与标准差；BB：众数、中位数、平均数．
【分析】利用众数、平均数、中位标准差的定义，分别求出，即可得出答案．【解答】解：A样本数据：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．
B样本数据84，86，86，88，88，88，90，90，90，90
众数分别为88，90，不相等，A错．
平均数86，88不相等，B错．
中位数分别为86，88，不相等，C错
A样本方差S2= [（82﹣86）2+2×（84﹣86）2+3×（86﹣86）2+4×（88﹣86）2]=4，标准差S=2，
B样本方差S2= [（84﹣88）2+2×（86﹣88）2+3×（88﹣88）2+4×（90﹣88）2]=4，标准差S=2，D正确
故选D．
5．已知点（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）
A．﹣7＜a＜24 B．﹣24＜a＜7 C．a＜﹣1或a＞24 D．a＜﹣24或a＞7
【考点】7B：二元一次不等式（组）与平面区域．
【分析】根据题意，由二元一次不等式与平面区域的关系可得[（3×3﹣2×1+a）][3×（﹣4）﹣2×6+a]＜0，化简解可得a的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，若点（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，则有[（3×3﹣2×1+a）][3×（﹣4）﹣2×6+a]＜0，
即（a+7）（a﹣24）＜0，
解可得﹣7＜a＜24；
故选：A．
6．已知，则x（1﹣3x）取最大值时x的值是（）
A．B．C．D．
【考点】7F：基本不等式．
【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵，则x（1﹣3x）=3x（1﹣3x）≤=，
当且仅当x=时取等号．
故选：B．
7．已知实数a1，a2，b1，b2，b3满足数列1，a1，a2，9是等差数列，数列1，b1，b2，b3，9是等比数列，则的值为（）
A．±B．C．﹣D．1
【考点】88：等比数列的通项公式．
【分析】利用等差数列及等比数列性质列出方程组，求出等差数列的公差和等比
数列的公比，由此能求出的值．
【解答】解：∵数列1，a1，a2，9是等差数列，数列1，b1，b2，b3，9是等比数列，
∴，解得d=，q2=3，
∴===．
故选：B．
8．已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）
A．12 B．11 C．3 D．﹣1
【考点】7C：简单线性规划．
【分析】先画出线性约束条件表示的可行域，在将目标函数赋予几何意义，数形结合即可得目标函数的最值
【解答】解：画出可行域如图阴影部分，
由得C（3，2）
目标函数z=3x+y可看做斜率为﹣3的动直线，其纵截距越大，z越大，
由图数形结合可得当动直线过点C时，z最大=3×3+2=11
故选B
9．某人从甲地去乙地共走了500m，途经一条宽为xm的河流，该人不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已
知该物品能被找到的概率为，则河宽为（）
A．80m B．100m C．40m D．50m
【考点】CF：几何概型．
【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出找到该物品的点对应的图形的长度，并将其和整个事件的长度代入几何概型计算公式进行求解．【解答】解：由已知易得：
l从甲地到乙=500
l途中涉水=x，
故物品遗落在河里的概率P==1﹣=
∴x=100（m）．
故选B．
10．在△ABC中，若b=2，A=120°，三角形的面积S=，则三角形外接圆的半径为（）
A．B．2 C．2 D．4
【考点】HP：正弦定理．
【分析】由条件求得c=2=b，可得B的值，再由正弦定理求得三角形外接圆的半
径R的值．
【解答】解：△ABC中，∵b=2，A=120°，三角形的面积S==bc•sinA=c•，∴c=2=b，
故B==30°．
再由正弦定理可得=2R==4，∴三角形外接圆的半径R=2，
故选：B．
11．一枚质地均匀的硬币连掷3次，有且仅有2次出现正面向上的概率为（）
A．B．C．D．
【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出结果．
【解答】解：一枚质地均匀的硬币连掷3次，有且仅有2次出现正面向上的概率为：
p==．
故选：D．
12．在数列{a n}中，a1=，a2=，a n a n
=1，则a2016+a2017=（）
+2
A．B．C．D．5
【考点】8H：数列递推式．
【分析】a1=，a2=，a n a n+2=1，可得：a4n﹣3=，a4n﹣1=2，a4n﹣2=，a4n=3．即可得出．
【解答】解：∵a1=，a2=，a n a n+2=1，
∴a3=2，a5=，…，可得：a4n﹣3=，a4n﹣1=2．
=，a4n=3．
同理可得：a4n
﹣2
∴a2016+a2017=3+=．
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题．请将答案直接填在题中相应的横线上．）13．甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测验中的成绩的茎叶图如图所示，如果分别从甲、乙两组中各随机挑选一名同学，则这两名同学成绩相同的概率是
．
【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；BA：茎叶图．
【分析】分别求出“分别从甲、乙两组中各随机挑选一名同学的成绩”不同情况数目及满足条件“这两名同学成绩相同”的不同情况数目，代入古典概型概率公式可得答案．
【解答】解：甲组同学的成绩分别为：88，92，92
乙组同学的成绩分别为：90，91，92
记“分别从甲、乙两组中各随机挑选一名同学的成绩”为（x，y），则共有=9种情况
其中这两名同学成绩相同的情况共有1种
故这两名同学成绩相同的概率为
故答案为：．
14．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，若抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落人区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为7．【考点】B4：系统抽样方法．
【分析】由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n=9+（n﹣1）30=30n﹣21，由751≤30n﹣21≤981 求
得正整数n的个数，即为所求．
【解答】解：∵960÷32=30，
∴由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，
且此等差数列的通项公式为a n=9+（n﹣1）30=30n﹣21．
落人区间[751，960]的人做问卷C，
由751≤30n﹣21≤960，
即772≤30n≤981
解得≤n≤．
再由n为正整数可得26≤n≤32，
∴做问卷C的人数为32﹣26+1=7，
故答案为：7
15．在如图所示的程序框图中，若U=lg•log3，V=2，则输出的S=，
【考点】EF：程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是计算分段函数S=的值，从而计算得解．
【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是计算分段函数S=的值．
∵U=lg•log3=1，V=2=，
∴U＞V，
∴S=．
故答案为：．
16．数列{a n}满足，且，则a2017=．
【考点】8H：数列递推式．
【分析】，且，可得a n
+5
=a n．利用周期性即可得出．
【解答】解：∵，且，
∴a2=2a1=，a3=a2﹣1=，a4=2a3=，a5=a4﹣1=，a6=2a5=，…，
∴a n
+5
=a n．
则a2017=a403×5+2=a2=．
故答案为：．
三、解答题（本大题共6小题．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．某公司为了了解一年内的用水情况，抽取了10天的用水量如表所示：
（Ⅰ）在这10天中，该公司用水量的平均数是多少？每天用水量的中位数是多少？
（Ⅱ）你认为应该用平均数和中位数中的哪一个数来描述该公司每天的用水量？【考点】BB：众数、中位数、平均数．
【分析】（Ⅰ）利用平均数、中位数的定义直接求解．
（Ⅱ）平均数受数据中的极端值（2个95）影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低，用中位数描述每天的用水量更合适．
【解答】解：（Ⅰ）在这10天中，该公司用水量的平均数是：
=（22+38+40+2×41+2×44+50+2×95）=51（吨）．
每天用水量的中位数是：=42.5（吨）．
（Ⅱ）平均数受数据中的极端值（2个95）影响较大，
使平均数在估计总体时可靠性降低，
10天的用水量有8天都在平均值以下，
故用中位数描述每天的用水量更合适．
18．已知等差数列{a n}中，a3a7=﹣16，a4+a6=0，求{a n}前n项和s n．
【考点】85：等差数列的前n项和；84：等差数列的通项公式．
【分析】利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，求出a1、d，进而代入等差数列的前n项和公式求解即可．
【解答】解：设{a n}的公差为d，则，
即，
解得，
因此S n=﹣8n+n（n﹣1）=n（n﹣9），或S n=8n﹣n（n﹣1）=﹣n（n﹣9）．
19．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200.220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图示．
（Ⅰ）求直方图中x的值；
（Ⅱ）求月平均用电量的众数和中位数；
（Ⅲ）在月平均用电量为[220，240），[240，260），[260，280）的三组用户中，
用分层抽样的方法抽取10户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？
【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；B8：频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由直方图的性质能求出直方图中x的值．
（Ⅱ）由频率分布直方图能求出月平均用电量的众数和中位数．
（Ⅲ）月平均用电量为[220，240]的用户有25户，月平均用电量为[240，260）的用户有15户，月平均用电量为[260，280）的用户有10户，由此能求出月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取的户数．
【解答】（本小题10分）
解：（Ⅰ）由直方图的性质，可得
（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1
得：x=0.0075，所以直方图中x的值是0.0075．…
（Ⅱ）月平均用电量的众数是=230．…
因为（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，所以月平均用电量的中位数在[220，240）内，
设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5
得：a=224，所以月平均用电量的中位数是224．…
（Ⅲ）月平均用电量为[220，240]的用户有0.0125×20×100=25户，
月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15户，
月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10户，…
抽取比例==，
所以月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×=5户．…
20．设△ABC的三内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且b（sinB﹣sinC）+（c ﹣a）（sinA+sinC）=0
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=，sinC=sinB，求△ABC的面积．
【考点】HT：三角形中的几何计算．
【分析】（Ⅰ）由正弦定理得b2+c2﹣a2=bc，由由余弦定理求角A的大小；
（Ⅱ）若a=，sinC=sinB，利用三角形的面积公式，即可求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）因为b（sinB﹣sinC）+（c﹣a）（sinA+sinC）=0，
由正弦定理得b（b﹣a）+（c﹣a）（a+c）=0，∴b2+c2﹣a2=bc，…
∴由余弦定理得，∴在△ABC中，．…
（Ⅱ）方法一：因为，且，∴
∴，∴tanB=1，在△ABC中，
又在△ABC中，由正弦定理得，∴
∴△ABC的面积…
方法二：因为，由正弦定理得
而，，由余弦定理得b2+c2﹣bc=a2，∴
∴b2=2，即，
∴△ABC的面积S==…
21．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n2+n，n∈N*，数列{b n}满足a n=4log2b n+3，n∈N*．
（1）求a n，b n；
（2）求数列{a n•b n}的前n项和T n．
【考点】8E：数列的求和；8C：等差关系的确定；8D：等比关系的确定．
【分析】（Ⅰ）由S n=2n2+n可得，当n=1时，可求a1=3，当n≥2时，由a n=s n﹣s n
可求通项，进而可求b n
﹣1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，利用错位相减可求数列的和
【解答】解：（Ⅰ）由S n=2n2+n可得，当n=1时，a1=s1=3
当n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=2n2+n﹣2（n﹣1）2﹣（n﹣1）=4n﹣1
而n=1，a1=4﹣1=3适合上式，
故a n=4n﹣1，
又∵a n=4log2b n+3=4n﹣1
∴
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
2T n=3×2+7×22+…+（4n﹣5）•2n﹣1+（4n﹣1）•2n
∴
=（4n﹣1）•2n
=（4n﹣1）•2n﹣[3+4（2n﹣2）]=（4n﹣5）•2n+5
22．已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．
（Ⅰ）设集合A={﹣1，1，2，3，4，5}和B={﹣2，﹣1，1，2，3，4}，分别从集合A，B中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．
（Ⅱ）设点（a，b）是区域内的随机点，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．
【考点】CF：几何概型；CB：古典概型及其概率计算公式．
【分析】（Ⅰ）分a=1，2，3，4，5 这五种情况来研究a＞0，且≤1的取法共有16种，而所有的取法共有6×6=36 种，从而求得所求事件的概率．
=×8×8=32，（Ⅱ）由条件可得，实验的所有结果构成的区域的面积等于S
△OMN
=×8×=，故所求的事件的概率为满足条件的区域的面积为S
△POM
P=，运算求得结果．
【解答】解：要使函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a＞0且，即a＞0且2b≤a．
（Ⅰ）所有（a，b）的取法总数为6×6=36个，满足条件的（a，b）有（1，﹣2），（1，﹣1），（2，﹣2），（2，﹣1），（2，1），（3，﹣2），（3，﹣1），（3，1），（4，﹣2），（4，﹣1），（4，1），（4，2），（5，﹣2），（5，﹣1），（5，1），（5，2）共16个，
所以，所求概率．…
（Ⅱ）如图，求得区域的面积为．
由，求得
所以区域内满足a＞0且2b≤a的面积为．
所以，所求概率．
2017年7月28日。