江阴市长山中学九年级数学下册第一单元《反比例函数》检测(答案解析)

一、选择题
1．如图，已知双曲线()0k y x x =>经过矩形OABC 的边AB 的中点F ，交BC 于点E ，且四边形OEBF 的面积为2．则k =（ ）
A ．2
B ．12
C ．1
D ．4 2．将函数 6y x =
的图象沿x 轴向右平移1个单位长度，得到的图象所相应的函数表达式是（ ）
A ．61y x =+
B ．61y x =-
C ．61y x =+
D ．61y x =- 3．如图，反比例函数k y x
=的图像经过平行四边形ABCD 的顶点C ，D ，若点A 、点B 、点C 的坐标分别为()3,0，()0,4，(),a b ，且7.5a b +=，则k 的值是（ ）
A ．7.5
B ．9
C ．10
D ．12
4．对于反比例函数21k y x
+=，下列说法错误的是（ ） A ．函数图象位于第一、三象限
B ．函数值y 随x 的增大而减小
C ．若A （-1，y 1）、B （1，y 2）、C （2，y 3）是图象上三个点，则y 1＜y 3＜y 2
D ．P 为图象上任意一点，过P 作PQ ⊥y 轴于Q ，则△OPQ 的面积是定值
5．已知一个正比例函数与一个反比例函数的图像交于（－3，4），则这两个函数的表达式分别是（ ）
A ．412,3y x y x ==
B ．412,3y x y x =-=-
C ．412,3y x y x =-=
D ．412,3y x y x
==- 6．在平面直角坐标系xOy 中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”．下列函数的图象中
不存在．．．
“好点”的是（ ） A ．y x =-
B ．2y x =+
C ．2y x =
D ．22y x x =- 7．反比例函数k y x =
经过点(2,1)，则下列说法错误．．的是（ ） A ．2k =
B ．函数图象分布在第一、三象限
C ．当0x >时，y 随x 的增大而增大
D ．当0x >时，y 随x 的增大而减小 8．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC 的顶点A 在反比例函数1k y x =
（x>0） 的图像上，顶点B 在反比例函数2k y x
=（x>0)的图像上，点C 在x 轴的正半轴上.若平行四边形OABC 的面积为8，则k 2-k 1的值为（ ）
A ．4
B ．8
C ．12
D ．16
9．若点()()()1231,,1,,3,A y B y C y -在反比例函数6y x =
的图像上，则123,,y y y 的大小关系是（ ）
A ．123y y y <<
B ．132y y y <<
C ．321y y y <<
D ．213y y y << 10．如图，点A 是反比例函数y ＝k x
（x ＜0）的图象上的一点，过点A 作平行四边形ABCD ，使点B 、C 在x 轴上，点D 在y 轴上．已知平行四边形ABCD 的面积为8，则k 的值为（ ）
A ．8
B ．﹣8
C ．4
D ．﹣4
11．如图直线y 1＝x+1与双曲线y 2＝k x
交于A （2，m ）、B （﹣3，n ）两点．则当y 1＞y 2
时，x 的取值范围是（ ）
A ．x ＞﹣3或0＜x ＜2
B ．﹣3＜x ＜0或x ＞2
C ．x ＜﹣3或0＜x ＜2
D ．﹣3＜x ＜2 12．对于反比例函数5y x =-
，下列说法中不正确的是( ) A ．图象经过点(1,5)- B ．当0x >时，y 的值随x 的值的增大而增大
C ．图像分布在第二、四象限
D ．若点11()A x y ，，22()B x y ，都在图像上，且12x x <，则12y y <．
二、填空题
13．双曲线y ＝
k x
经过点A （a ，﹣2a ），B （﹣2，m ），C （﹣3，n ），则m _____n （＞，＝，＜）． 14．反比例函数()0k y x x
=<的图象如图所示，下列关于该函数图象的四个结论：①0k >；②当0x <时，y 随x 的增大而增大；③该函数图象关于直线y x =-对称；④若点()2,3-在该反比例函数图象上，则点()1,6-也在该函数的图象上．其中正确结论的有_________（填番号）．
15．如图，在平面直角坐标系中，点(6,0)A 、(3,4)B ，点C 是OB 上一点，D 为AC 的
中点，若反比例函数(0)k y x x
=>过C 、D 两点，则k 的值为______．
16．以正方形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
双曲线y=3
x
经过点D，则正方形ABCD的面积是_____．
17．如图，B(2，﹣2)，C(3，0)，以OC，CB为边作平行四边形OABC，则经过点A的反比例函数的解析式为_____．
18．已知y＝y1＋y2，y1与x成正比例、y2与x成反比例，且当x＝1时，y＝4，当x＝2时，y＝5，则当x＝4时，y的值是_______．
19．如图，已知反比例函数y=k
x
(x＞0)与正比例函数y=x(x≥0)的图象，点A(1，4)，点
A'(4，b)与点B'均在反比例函数的图象上，点B在直线y=x上，四边形AA'B'B是平行四边形，则B点的坐标为______．
20．已知矩形ABCD的顶点A，B在反比例函数y＝2
x
的图象上，顶点C，D在反比例函数
y＝6
x
的图象上，且点A的横坐标为2，则矩形ABCD的面积为__________．
三、解答题
21．如图，直线y kx b =+y kx b =+与反比例函数12y x =相交于A(2,)-m 、B(n,3)．
（1）连接OA 、OB ，求AOB 的面积；
（2）根据（1）中的图象信息，请直接写出不等式
12kx b x >+的解集． 22．一次函数y = x + b 和反比例函数2y x
=
（k≠0）交于点A （a ，1）和点B ． （1）求一次函数的解析式；
（2）求△AOB 的面积；
23．如图，一次函数1522y x =-
+的图象与反比例函数()0k y k x
=>的图象交于,A B 两点，过点A 作x 轴的垂线，垂足为M ，AOM ∆面积为1．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）求出A 、B 两点坐标，并直接写出不等式1522
k x x <-+的解集． （3）在x 轴上找一点P ，并求出PA PB -取最大值时点P 的坐标．
24．已知反比例函数k 1y x
-=（k 为常数，k≠1）． （1）若点A （1，2）在这个函数的图象上，求k 的值；
（2）若在这个函数图象的每一分支上，y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围． 25．如图，已知在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A(2，5)在反比例函数1k y x
=的图象上．一次函数y 2＝x ＋b 的图象过点A ，且与反比例函数图象的另一交点为B ． （1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连结OA 和OB ，求△OAB 的面积； （3）根据图象直接写出y 1＞y 2时，x 的取值范围．
26．阅读理解：
材料一：若三个非零实数x ，y ，z 满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x ，y ，z 构成“和谐三数组”.
材料二：若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c = 0(a ≠0)的两根分别为1x ，2x ，则有
12b x x a +=-
，12c x x a
⋅=． 问题解决： （1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数 ；
（2）若1x ，2x 是关于x 的方程ax 2+bx +c = 0 (a ，b ，c 均不为0)的两根，3x 是关于x 的方程bx +c =0(b ，c 均不为0)的解．求证：x 1，x 2，x 3可以构成“和谐三数组”；
（3）若A (m ，y 1) ，B (m + 1，y 2) ，C (m +3，y 3)三个点均在反比例函数4y x
=
的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m 的值．
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
通过设Ｆ的坐标，得到点B 的坐标，再利用四边形面积OFBE 等于矩形面积OABC 减去三角形COE 和△AOF 的面积作等量，解得k 值即可．
【详解】
解：设点F 的坐标（m ，
k m ）， ∵点F 是AB 的中点，
∴点B 的坐标（m ，2k m
）， 则 S 四边形OEBF =S 矩形OABC -S △COE -S △AOF ，
∴2=m 21122
k k k m --（k>0) ∴2=2k-k ，
∴k=2，
故选：A ．
【点睛】 本题考查反比例函数的k 的几何意义以及反比例函数上的点的坐标特点、矩形的性质，难点是根据一点的坐标表示其他点的坐标．
2．B
解析：B
【分析】 由于把双曲线平移，k 值不变，利用“左加右减，上加下减”的规律即可求解．
【详解】 解：将函数6y x
=的图象沿x 轴向右平移1个单位长度，得到的图象所相应的函数表达式是61
y x =
-， 故选：B ．
【点睛】 本题考查了反比例函数的图象，注意：平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．
3．B
解析：B
【分析】
根据平移和平行四边形的性质将点D 也用a 、b 表示，再根据反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积相等列式算出a 、b ，再由点坐标求出k 的值．
【详解】
解：∵()3,0A ，()0,4B ，
∴A 可以看作由B 向右平移3个单位，向下平移4个单位得到的，
根据平行四边形的性质，D 也可以看作由C 向右平移3个单位，向下平移4个单位得到
的，
∵(),C a b ，∴()3,4D a b +-，
∵7.5a b +=，∴(),7.5C a a -，()3,3.5D a a +-，
∵C 、D 都在反比例函数图象上，
∴它们横纵坐标的乘积相等，即()()()7.53 3.5a a a a -=+-，解得 1.5a =， ∴()1.57.5 1.59k =⨯-=．
故选：B ．
【点睛】
本题考查反比例函数与几何图形的结合，解题的关键是根据题目条件，用同一个未知数设出反比例函数图象上的点，然后用反比例函数图象上点的性质列式求解．
4．B
解析：B
【分析】
先判断出k 2 +1的符号，再根据反比例函数的性质即可得出结论．
【详解】
A 、∵k 2+1＞0，∴它的图象分布在第一、三象限，故本选项正确；
B 、∵它的图象分布在第一、三象限，∴在每一象限内y 随x 的增大而减小，故本选项错误；
C 、∵它的图象分布在第一、三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小，∵x 1=-1＜0，∴y 1＜0，∵x 2=1＞0，x 3=2＞0，
∴y 2＞y 3，
∴y 1＜y 3＜y 2故本选项正确；
D 、∵P 为图象上任意一点，过P 作PQ ⊥y 轴于Q ，∴△OPQ 的面积=
12（k 2+1）是定值，故本选项正确．
故选B ．
【点睛】
本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y=
k x
（k≠0）中，当k ＞0时函数图象的两个分支分别位于一三象限是解答此题的关键． 5．B
解析：B
【分析】
用待定系数法分别求出两个函数表达式即可．
【详解】
解：设正比例函数为y ＝kx ，
将（－3，4）代入，得
解得43
k =-， ∴正比例函数为43y x =-
， 设反比例函数为k y x
=， 将（－3，4）代入，得
43
k =- 解得k ＝－12，
∴反比例函数为12y x
=-， 故选：B ．
【点睛】
本题考查了用待定系数法求正比例函数表达式和反比例函数表达式，熟练掌握待定系数法是解决本题的关键．
6．B
解析：B
【分析】
根据“好点”的定义判断出“好点”即是直线y=x 上的点，再各函数中令y=x ，对应方程无解即不存在“好点”.
【详解】
解：根据“好点”的定义，好点即为直线y=x 上的点，令各函数中y=x ，
A 、x=-x ，解得：x=0，即“好点”为（0，0），故选项不符合；
B 、2x x =+，无解，即该函数图像中不存在“好点”，故选项符合；
C 、2x x
=，解得：x =x =“好点”）
和（，），故选项不符合；
D 、22x x x =-，解得：x=0或3，即“好点”为（0，0）和（3，3），故选项不符合； 故选B.
【点睛】
本题考查了函数图像上的点的坐标，涉及到解分式方程，一元二次方程，以及一元一次方程，解题的关键是理解“好点”的定义.
7．C
解析：C
【分析】
将点（2,1）代入k y x
=中求出k 值，再根据反比例函数的性质对四个选项逐一分析即可．
将点（2,1）代入k y x
=
中，解得：k=2， A ．k=2，此说法正确，不符合题意； B ．k=2﹥0,反比例函数图象分布在第一、三象限，此书说法正确，不符合题意； C ．k=2﹥0且x ﹥0，函数图象位于第一象限，且y 随x 的增大而减小，此说法错误，符合题意；
D ．k=2﹥0且x ﹥0，函数图象位于第一象限，且y 随x 的增大而减小，此说法正确，不符合题意；
故选：C ．
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质，理解函数图象上的点与解析式的关系是解答的关键．
8．B
解析：B
【分析】
根据A ，B 分别在1k y x =和2k y x
=的图象上且A ，B 的纵坐标相同设点的坐标，再根据平行四边形OABC 的面积为8建立等量关系从而求解．
【详解】 解：∵A ，B 分别在1k y x =和2k y x
=的图象上，且A ，B 的纵坐标相同 ∴设1211,,,k k m k A m B m k m ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∴2118OABC k m k S m k m
⎛⎫=-= ⎪⎝⎭四 化简得：218k k -=
故答案选：B
【点睛】
本题考查反比例图象与四边形结合，难度正常，根据解析式设点的坐标并表示线段长度是解题关键．
9．B
解析：B
【分析】
根据反比例函数的解析式分别代入求解，把123,,y y y 的值求解出来，再进行比较，即可得到答案．
【详解】
解：∵点()()()1231,,1,,3,A y B y C y -在反比例函数6y x =的图像上， ∴1166y -==-，2166y ==，33
62y ==， 即：132y y y <<，
故选B ．
【点睛】
本题主要考查了与反比例函数有关的知识点，能根据已知条件求出未知量是解题的关键，再比较大小的时候注意符号．
10．B
解析：B
【分析】
作AE ⊥BC 于E ，由四边形ABCD 为平行四边形得AD ∥x 轴，则可判断四边形ADOE 为矩形，所以S 平行四边形ABCD =S 矩形ADOE ，根据反比例函数k 的几何意义得到S 矩形ADOE =|k|．
【详解】
解：作AE ⊥BC 于E ，如图，
∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AD ∥x 轴，
∴四边形ADOE 为矩形，
∴S 平行四边形ABCD =S 矩形ADOE ，
而S 矩形ADOE =|k|，
∴|k|=8，
而k ＜0
∴k=-8．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了反比例函数y=
k x （k≠0）系数k 的几何意义：从反比例函数y=k x
（k≠0）图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|． 11．B
解析：B
【分析】
当y 1＞y 2时，x 的取值范围就是y 1的图象落在y 2图象的上方时对应的x 的取值范围．
【详解】
根据图象可得当y 1＞y 2时，x 的取值范围是：﹣3＜x ＜0或x ＞2．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，“数形结合”是解题的关键． 12．D
解析：D
【分析】
根据反比例函数的性质判断即可．
【详解】
解：A. 把(1,5)-代入反比例函数得，55-=-，本选项正确；
B. 50-<，图象分别位于第二、四象限，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数，本选项正确；
C. 50-<，因此图像分布在第二、四象限，本选项正确；
D. 函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数，若点11()A x y ，，22()B x y ，都在图像上，当120x x <<或120x x <<时，12y y <，本选项错误．
故选：D ．
【点睛】
本题考查的知识点是反比例函数的性质，牢记反比例函数图象的性质是解此题的关键．
二、填空题
13．＞【分析】先求出反比例函数解析式判断函数的增减性﹣2>﹣3即可判断mn 的大小【详解】∵双曲线y ＝经过点A （a ﹣2a ）∴k ＝﹣2a2＜0∴双曲线在二四象限在每个象限内y 随x 的增大而增大∵B （﹣2m ）C
解析：＞．
【分析】
先求出反比例函数解析式，判断函数的增减性﹣2>﹣3，即可判断m ，n 的大小．．
【详解】
∵双曲线y ＝
k x
经过点A （a ，﹣2a ）， ∴k ＝﹣2a 2＜0， ∴双曲线在二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大，
∵B （﹣2，m ），C （﹣3，n ），﹣2＞﹣3，
∴m ＞n ，
故答案为：＞．
【点睛】
本题利用函数的性质比较大小，关键是求出函数解析式，掌握反比例函数的性质． 14．②③④【分析】观察反比例函数y ＝（x ＜0）的图象可得图象过第二象
限可得k ＜0然后根据反比例函数的图象和性质即可进行判断【详解】解：①由题图可得：当时则该函数的应满足：则①错误②由题图象可知随的增大而 解析：②③④．
【分析】
观察反比例函数y ＝
k x
（x ＜0）的图象可得，图象过第二象限，可得k ＜0，然后根据反比例函数的图象和性质即可进行判断．
【详解】
解：①由题图可得：
当0x <时，0y >， 则该函数()0k y x x
=
<的k 应满足：0k <， 则①错误，
②由题图象可知， y 随x 的增大而增大，
（反比例函数具有单调性），
则②正确，
③由于该图象为()0k y x x
=<的图象（注意x 的范围），在第二象限。

该图形是轴对称图形，对称轴为y x =-
当x <0时一定关于y x =-对称，则③正确，
④由题可知：
点()2,3-在该反比例函数图象上，
则将()2,3-代入()0k y x x =
<中， 即得：6k =-， 则该函数为6y x =-
， 将1x =-代入：
得到6y =，
可知点()1,6-也在该函数图象上，
则④正确，
综上：正确结论有②③④．
故答案为：②③④．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握图象和性质是解题的关键．
15．【分析】首先求出直线OB 的解析式设点C 的坐标为D 点坐标为分别代入求出k 的值即可【详解】解：设直线OB 的解析式为∵∴解得：∴直线的解析
式为设则即则经检验t=是原方程的解故答案为：【点睛】此题主要考查了 解析：163
【分析】 首先求出直线OB 的解析式，设点C 的坐标为(6,8)C t t ，D 点坐标为6608,22t t D ++⎛⎫
⎪⎝⎭，分别代入(0)k y x x
=>，求出k 的值即可． 【详解】
解：设直线OB 的解析式为y kx =，
∵(3,4)B
∴3=4k ，解得：43
k = ∴直线OB 的解析式为43y x =
设(6,8)C t t ，则6608,22t t D ++⎛⎫ ⎪⎝⎭
即(33,4)t t +， 则86433k t t k t t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩
， 16313
k t ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩． 经检验，t=
13
是原方程的解． 故答案为：163
． 【点睛】 此题主要考查了求反比例函数解析式，设出点C 的坐标，求出点D 的坐标是解答此题的关键．
16．12【解析】设D （aa ）∵双曲线y=经过点D ∴a2=3解得a=∴AD=2∴正方形ABCD 的面积=AD2=（2）2=12故答案为12
解析：12
【解析】
设D （a ，a ），
∵双曲线y=3x
经过点D ，
∴a
2=3，解得，
∴
∴正方形ABCD的面积=AD
2=（2=12．
故答案为12．
17．y＝【分析】设A坐标为（xy）根据四边形OABC为平行四边形利用平移性质确定出A的坐标利用待定系数法确定出解析式即可【详解】解：设A坐标为（xy）∵B（2﹣2）C（30）以OCCB为边作平行四边形O
解析：y＝2 x
【分析】
设A坐标为（x，y），根据四边形OABC为平行四边形，利用平移性质确定出A的坐标，利用待定系数法确定出解析式即可．
【详解】
解：设A坐标为（x，y），
∵B（2，﹣2），C（3，0），以OC，CB为边作平行四边形OABC，
∴x+3＝0+2，y+0＝0﹣2，
解得：x＝﹣1，y＝﹣2，即A（﹣1，﹣2），
设过点A的反比例解析式为y＝k
x
，
把A（﹣1，﹣2）代入得：k＝2，
则过点A的反比例函数解析式为y＝2
x
，
故答案为：y＝2
x
．
【点睛】
此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及平行四边形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
18．【分析】根据正比例函数与反比例函数的定义设出y与x之间的函数关系式然后利用待定系数法求出函数解析式把x=4代入进行计算即可得解【详解】∵y1与x成正比例y2与x成反比例∴设y1=kxy2=∴y=y1
解析：17 2
【分析】
根据正比例函数与反比例函数的定义设出y与x之间的函数关系式，然后利用待定系数法求出函数解析式，把x=4代入进行计算即可得解．
【详解】
∵y1与x成正比例，y2与x成反比例，
∴设y1=kx，y2=b
x
，
∴y= y1＋y2=kx+b
x
，
∵当x＝1时，y＝4，当x＝2时，y＝5，
∴
4
25
2
k b
b
k
⎧+=
+=
⎪
⎨
⎪⎩
，解得：
2
2
k
b
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴y=2x+2
x
，
∴当x＝4时，y=2×4+2
4=
17
2
．
故答案是：17
2
．
【点睛】
本题主要考查正比例函数与反比例函数的定义，掌握待定系数法，是解题的关键．19．【分析】先根据点A的坐标求出反比例函数的解析式然后求出点的坐标由点B在直线上设出点B的坐标为（aa）从而利用平行四边形的性质可得到的坐标因为在反比例函数图象上将点代入反比例函数解析式中即可求出a的值
解析：
【分析】
先根据点A的坐标求出反比例函数的解析式，然后求出点A'的坐标，由点B在直线上，设出点B的坐标为（a,a），从而利用平行四边形的性质可得到B'的坐标，因为B'在反比例函数图象上，将点B'代入反比例函数解析式中即可求出a的值，从而可确定点B的坐标．【详解】
∵反比例函数y=k
x
(x＞0)过点A(1，4)，
∴k=1×4=4，
∴反比例函数解析式为：y=4
x
．
∵点A'(4，b)在反比例函数的图象上，
∴4b=4，
解得：b=1，
∴A'(4，1)．
∵点B在直线y=x上，
∴设B点坐标为：(a，a)．
∵点A(1，4)，A'(4，1)，
∴A点向下平移3个单位，再向右平移3个单位，即可得到A'点．
∵四边形AA 'B 'B 是平行四边形，
∴B 点向下平移3个单位，再向右平移3个单位，即可得到B '点(a +3，a ﹣3)．
∵点B '在反比例函数的图象上，
∴(a +3)(a ﹣3)=4， 解得：13a =或13a =- (舍去)，
故B 点坐标为：(13,13)．
故答案为：(13,13)．
【点睛】
本题主要考查反比例函数与几何综合，掌握待定系数法，平行四边形的性质，点的平移规律和一元二次方程的解法是解题的关键．
20．2或8【分析】根据矩形ABCD 的顶点AB 在反比例函数y=的图象上顶点CD 在反比例函y ＝图象上且点A 的横坐标为2得点A 的纵坐标为1进而可得点CD 的坐标即可求解【详解】解：根据题意得A （21）所以B （1
解析：2或8
【分析】
根据矩形ABCD 的顶点A ，B 在反比例函数y=2x
的图象上，顶点C ，D 在反比例函y ＝6x 图象上，且点A 的横坐标为2，得点A 的纵坐标为1，进而可得点C 、D 的坐标，即可求解．
【详解】
解：根据题意，得
A （2，1），所以
B （1，2）
当矩形在第一象限时，C （2，3），D （3，2）
所以矩形ABCD 的面积为2；
当点C 、D 在第三象限时，C （-2，-3）、D （-3，-2）
所以矩形ABCD 的面积为8．
故答案为2或8．
【点睛】
本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，解决本题的关键是分两种情况求矩形面积．
三、解答题
21．（1）AOB 的面积是9；（2）2x <-或04x <<．
【分析】
（1）把()2,A m -、(,3)B n 代入解析式，求出m ，n 的值，可求得直线解析式，分别过点A ．B 向y 轴引垂线，垂足分别是E 、D ，即可得到BD ，AE ，即可得到结果；
（2）观察函数图象即可得到结果；
【详解】
（1）()2,A m -、(,3)B n 分别代入反比例函数12y
x =中得6m =-，4n =， ∴将(2,6)A --、(4,3)B 分别代入直线y kx b =+中得，
∴2643k b k b -+=-⎧⎨+=⎩，解得32
3k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴直线解析式为332
y x =-，令0x =得3y =-， ∴(0,3)C -∴3OC =，分别过点A ．B 向y 轴引垂线，垂足分别是E 、D ，
∴4BD =，2AE =，
∴11S S S
922
AOB OBC OAC OC BD OC AE =+=⋅+⋅=． 答：AOB 的面积是9．
（2）由题可知，反比例函数在一次函数上方时满足，
∵(2,6)A --、(4,3)B ， ∴2x <-或04x <<．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，准确计算是解题的关键． 22．（1）1y x =-；（2）
32
． 【分析】
（1）分别把A 的坐标代入反比例函数解析式求出a 的值，把A 的坐标代入一次函数解析式得出b 的值，即可求解；
（2）先求得点B 的坐标，再求出一次函数与y 轴的交点D 的坐标，根据三角形的面积公式求出△AOD 和△BOD 的面积即可．
【详解】
（1）∵点A （a ，1）是反比例函数2y x
=图象上的点， ∴2y 1a
=
=， ∴2a =，
∴A （2，1）， 又∵点A 是一次函数y x b =+的图象上的点，
∴12b =+，解得，b 1=- ，
故一次函数解析式为：1y x =-；
（2）联立方程组：y x 12y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩
，，解得：1212x 2x 1y 1y 2==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩，， 则()B 1
2--，， 因为直线1y x =-与y 轴交点D
01)-(，，则1OD =， ∴1131211222AOB AOD DOB S S S ∆∆∆=+=
⨯⨯+⨯⨯=． 【点睛】
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，函数的图象等知识点，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
23．（1）2y x =
；（2）()1,2A ，14,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，解集为14x <<或0x <；（3）()5,0 【分析】
（1）根据反比例函数比例系数k 的几何意义得出
12|k|＝1，进而得到反比例函数的解析式；
（2）解析式联立求得A 、B 的坐标，根据图象即可求得不等式
1522k x x <-+的解集； （3）一次函数1522
y x =-+与x 轴的交点即为P 点，此时|PA−PB|的值最大，最大值为AB 的长；根据一次函数图象上点的坐标特征即可求得点P 的坐标．
【详解】
（1）∵反比例函数()0k y k x
=>的图象过点A ，过A 点作x 轴的垂线，垂足为M ，AOM ∆面积为1，
∴
1|k |12
=， ∵0k >， ∴2k =， 故反比例函数的解析式为：2y x
=； （2）由15-222y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，解得12x y =⎧⎨=⎩或412x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴()1,2A ，14,
2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴不等式1522
k x x <-+的解集为14x <<或0x <； （3）一次函数1522y x =-
+的图象与x 轴的交点即为P 点， 此时PA PB -的值最大，最大值为AB 的长．
∵一次函数1522
y x =-
+， 令0y =，则15022x -+=，解得5x =， ∴P 点坐标为()5,0．
【点睛】
本题考查的是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，解题的关键是确定|PA−PB|的值最大时，点P 的位置，灵活运用数形结合思想是解题的关键．
24．（1）3k =；（2）1k >．
【分析】
（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k-1=1×2，然后解方程即可；
（2）根据反比例函数的性质得k-1＞0，然后解不等式即可．
【详解】
（1）根据题意得112k -=⨯，
解得：3k =；
（2）因为反比例函数k 1y x
-=， 在这个函数图象的每一分支上，y 随x 的增大而减小，
所以10k ->，
解得：1k >．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数
k
y
x =（
k为常数，0
k≠）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy k
=．也考查了反比例函数的性质．
25．（1）反比例函数
1
10
y
x
=，一次函数
2
3
y x
=+（2）
21
2
（3）5
x<-或02
x
<<
【分析】
（1）本题根据待定系数法，将点A坐标代入函数解析式求解即可．
（2）本题首先求得点B的坐标，继而求解直线与坐标轴的交点坐标，最后利用割补法求解本题．
（3）本题根据图像即可直接作答．
【详解】
（1）∵点(2,5)
A是直线
2
y x b
=+与反比例函数
1
k
y
x
=的图象的一个交点，
∴将A点分别代入得：52b
=+；5
2
k
=，
∴3
b=，10
k=．
故反比例函数和一次函数的解析式分别为
1
10
y
x
=和
2
3
y x
=+．
（2）如下图所示：
联立方程1
2
10
3
y
x
y x
⎧
=
⎪
⎨
⎪=+
⎩
，得
2
5
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或
5
2
x
y
=-
⎧
⎨
=-
⎩
，
∴点(5,2)
B--．
∵点C与点D分别是直线
2
3
y x
=+与y轴的交点和与x轴的交点，
∴点(0,3)
C，点(3,0)
D-，即3
OD OC
==，
∴1121
3532
222
AOB AOD BOD
S S S
=+=⨯⨯+⨯⨯=．
故△OAB的面积为
21
2
．
（3）观察函数图象可知，12
y y
>时，x的取值范围为：5
x<-或02
x
<<．
【点睛】
本题考查反比例函数与一次函数的综合，待定系数法求解解析式需要熟练掌握，其次求解不规则图形的面积通常利用割补法，比较函数大小时，利用图像法更为高效．
26．（1）
65，2，3（答案不唯一）；（2）见解析；（3）m =﹣4或﹣2或2． 【分析】
（1）根据“和谐三数组”的定义可以先写出后2个数，取倒数求和后即可写出第一个数，进而可得答案；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系求出12
11+x x ，然后再求出31x ，只要满足1211+x x =3
1x 即可； （3）先求出三点的纵坐标y 1，y 2，y 3，然后由“和谐三数组”可得y 1，y 2，y 3之间的关系，进而可得关于m 的方程，解方程即得结果．
【详解】
解：（1）∵
115236+=， ∴65
，2，3是“和谐三数组”； 故答案为：
65，2，3（答案不唯一）； （2）证明：∵1x ，2x 是关于x 的方程ax 2+bx +c = 0 (a ，b ，c 均不为0)的两根， ∴12b x x a +=-，12c x x a
⋅=， ∴12121211b
x x b a c x x x x c
a -
++===-⋅， ∵3x 是关于x 的方程bx +c =0(b ，c 均不为0)的解， ∴3c x b
=-，∴31b x c =-， ∴1211+x x =3
1x ， ∴x 1 ，x 2，x 3可以构成“和谐三数组”；
（3）∵A (m ，y 1) ，B (m + 1，y 2) ，C (m +3，y 3)三个点均在反比例函数4y x =
的图象上， ∴14y m =，241y m =+，343
y m =+， ∵三点的纵坐标y 1，y 2，y 3恰好构成“和谐三数组”，
∴
123111y y y =+或213111y y y =+或312111y y y =+， 即13444m m m ++=+或13444m m m ++=+或31444
m m m ++=+， 解得：m =﹣4或﹣2或2．
【点睛】
本题是新定义试题，主要考查了一元二次方程根与系数的关系、反比例函数图象上点的坐标特征和对新知“和谐三数组”的理解与运用，正确理解题意、熟练掌握一元二次方程根与系数的关系与反比例函数的图象与性质是解题的关键．。