勾股定理提高练习题精编

勾股定理练习(根据对称求最小值)
基本模型：已知点A、B为直线m同侧的两个点，请在直线m上找一点M ,使得AM+BM 有最小值。

1、已知边长为4的正三角形ABC上一点E, AE=1 , AD ± BC 丁D,请在AD上找一点N,使得
EN+BN有最小值，并求出最小值。

2、.已知边长为4的正方形ABCD上一点E, AE=1,请在对角线AC上找一点N, 使得EN+BN有
最小值，并求出最小值。

3、如图，已知直线a//b，且a与b之间的距离为4,点A到直线a的距离为2,点B到直线b的
距离为3, AB=2 V30 .试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN ± a且
AM+MN+NB 的长度和最短，则此时AM+NB=( )
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
A
D 4题圈
4、已知AB=20 , DA±AB 丁点A, CB±AB 丁点B, DA=10 , CB=5.
(1)在AB上找一点E, 使EC=ED,并求出EA的长;
(2)在AB上找一点F, 使FC+FD最小，并求出这个最小值
5、如图，在梯形ABCD中，Z C=450 , Z BAD= Z B=900 , AD=3 , CD=2 42 ,
M为BC上一动点，则^ AMD周长的最小值为
6、如图，等边△ ABC的边长为6, AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AB边
上一点，WJ EM+BM的最小值为
7、如图Z AOB = 45 0『是Z AOB内一点，PO = 10 , Q、R分别是OA、OB上的动点，求
△ PQR周长的最小值.
8. 如图所示，正方形ABCD的面积为12, A ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内, 在对角线AC上有一点P,使PD+ PE的和最小，则这个最小值为（）
A. 2
B. 2 云
C. 3
D.无
9、在边长为2 cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点, 连接PB、PQ,则z\PBQ周长的最小值为cm
10、在长方形ABCD中，AB=4,BC=8,E为CD边的中点，若P、Q是BC边上的两动点，且PQ=2，当四边形APQE的周长最小时，求BP的长.
几何体展开求最短路径
1、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm , 3dm, 2dm , A和B是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B
点的最短路程是多少dm?
2、如图：一圆柱体的底面周长为20cm，高AB为4cm, B C是上底面的直径.一只蚂蚁
从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程.
旧
3题图
3、如图，一个高18m，周长5m的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为了减小坡度, 要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少多长？
（建议：拿一张白纸动手操作，你一定会发现其中的奥妙）
4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（条棱长如图所示）,问怎样走路线最短？最短路线长为多少？
5、如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m,在容器内壁离容器底部0.3m的点
B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿
0.3m与蚊子相对的点A处，求壁虎捕捉蚊子的最短距离
折叠问题
1、如图所示，折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm, BC=10cm,
求EF的长
2、如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B'处，落在点
A'处;（1）求证：B'E=BF;
(2)设AE=a, AB=b, BF=c,试猜想a 、b 、c 之间的一种关系，并给予证明
3、如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm , BC=8cm,将△ ABC 折叠,
使点B 与点A 重合，折痕为DE, WJ CD= 4、如图，折叠长方形ABCD 的一边AD ，点D 落在BC 边的D'处AE 是折痕，已知CD=6cm, CD'=2cm ，贝U AD 的长为
5、如图，在Rt^ABC 中，ZABC=90° , £=60 ° ,AC=10，将BC 向BA 方向翻折过去, 使点C 落在BA 上的点C',折痕为BE,则EC 的长度是(
.一圮
B 1
E
D
A 、5^3
B 、5 旧—5
C 、10 — 5
右
D 、5 + V 3
6、如图，把矩形ABCD 沿直线BD 向上折叠，使点C 落在C'的位置上，已知AB=?3 , BC=7, 求重合部分△ EBD 的面积。

弦图有关I 可题
1、如图，直线l 上有三个正方形 a 、b 、c ,若a 、c 的面积分别为5和11,则b 的面积为（
）
2、 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的 〈〈勾股圆方图》，它是
由
四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形 （如图所示）.如果大正方形的面积是 13,
2
小正万形的面积是 1,直角三角形的较短直角边为 a,较长直角边为 b,那么（a +b ）的值为（ ）
A 、13
B 、19
C 、25
D 、169
3、 如图，直角三角形三边上的半圆的面积依次从小到大记作 S 1、S 2、S 3,贝U
S 1、S 2、8之间的关系
是（
）
A 、S 1+S 2>S 3
B 、S I +S 2<S 3
C 、S I +S 2=S 3
D 、S 12 +S 22
=S 32
4、 如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由 4个全等的直角三角形拼合而成，若图 中大小正方形的面积分别为 52和4,则直角三角形的两条直角边的长分别为 。

5、 已知：如图，以 Rt △ ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若斜边 AB = 3,则图中阴影部分
的面积为.
6、 如图，RtA ABC 的周长为（5+3 后）cm,以AB 、AC 为边向外作正方形 ABPQ 和正方形 ACMN .若 这两个正方形的面积之和为 25cm 2
,则 △ ABC 的面积是 cm 2.
7、 在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图）.已知斜放置的三个正方形的面积分别是 1、2、3,正放
置的四个正方形的面积依次是
S I 、S 2、$、S 4,贝U S I + S 2+ S 3+ S 4= .
8、 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”.如图是由弦图 变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形 ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT
的面积分别为S1 , &, S.若S+S 2+S 3= 10,则S 2的值是 。

9、 如图，已知△ ABC 中，/ ABC= 90°,AB = BC,三角形的顶点在相互平行的三条直线 卜、l 2、l 3上，且 K l 2之间的距离为 2 , l 2、l 3之间的距离为 3，求AC 的长。

B 、6
C 、16
D 、55
A:
兰X 共力
XAH :XMI >K :XX
=■=.
■■
::
=:=:: HX
2、将直角边长分别为 a 、b,斜边长为 c 的四个直角三角形拼成一个边长为 a +b 的正方形，请利用
该图形证明勾股定理。

以a 、b 为直角边，以 c 为斜边作两个全等的直角三角形，把这两个直角三角形拼成如图所示形状, A 、E 、B 三点在一条直线上.请利用该图形证明勾股定理。

已知，如图所示，正方形ABCD 的边长为1, G 为CD 边上的一个动点(点 G 与C 、D 不重合)， CG 为一边向正方形 ABCD 外作正方形 GCEF 连接DE 交BG 的延长线于点 H. (1) 求证：① ABCG^ ADCE ②HB ± DE
(2) 试问当G 点运动到什么位置时，BH 垂直平分DEZ 青说明理由.
1、将直角边长分别为 形证明勾股定理。

勾股定理的证明
a 、b,斜边长为
c 的四个直角三角形拼成一个边长为
c 的正方形，请利用该图
3、 使
4、 以
勾股定理中考典型题目练习
1、（2014?山东枣庄）图①所示的正方体木块棱长为6cm,沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）
剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最
短距离为cm.
2、（2014?山东潍坊）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上’高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B
处.则问题中葛藤的最短长度是____________ 尺.
3、（2014?如图，△ ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上, 的长
BD±AC 于点D.贝U CD
B. 2 J2 dm
C. 2 V5 dm
D. 4*5 dm
4dm ,圆柱高为
为（）
4、（2014?湖北荆门）如图，已知圆柱底面的周长为点C嵌有一圈金属
2dm,在圆柱的侧面上，过点A和丝，则这圈金属丝的周长最小为（
5、（2014?黑龙江牡丹江）如图，在等腰△ ABC中，AB=AC , BC边上的高AD=6 cm，腰AB上的高CE=8cm,
则^ ABC 的周长等于 cm. 6、（ 2014?安徽省）如图， RtA ABC 中，AB=9 , BC=6 , Z B=90 ° ,将MBC 折叠，使 A 点与BC 的中点 D 重合，折痕为 MN ，则线段BN 的长为 。

7、（2014年山东泰安）如图①是一个直角三角形纸片，/ A=30 ° ,BC=4cm ,将其折叠，使点 C 落在斜 边上的点C'处，折痕为BD,如图②，再将②沿 DE 折叠，使点A 落在DC'的延长线上的点A'处如图③, 则折痕DE 的长。

8、（2013山东荷泽）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别
为S i 、8,则S 1+S 2的值为（ ）
9、（2013?新疆）如图，RtAABC 中，Z ACB=90
中点，若动点E 以1cm /s 的速度
从A 点出发，沿着 ABr A 的方向运动，设 E 点的运动时间为 t 秒（0<tv6），连接DE,当^ BDE 是直角三角形时，t 的值为（ ）
A. 2
B. 2.5 或 3.5
C. 3.5 或 4.5
D. 2 或 3.5 或 4.5
10. （2013湖北省鄂州市）如图，已知直线 all b,且a 与b 之间的距离为4,点A 到直线a 的距离为2, 点B 到直线b 的距离为3, AB=2 J30 .试在直线 a 上找一点M ,在直线b 上找一点N,满足
MN ± a 且AM+MN+NB 的长度和最短，则此时 AM+NB=（
） A. 6
B. 8
C. 10
D. 2 11、（2013 湖北省鄂州市，）如图，△ AOB 中，Z AOB=90 ° ,AO=3 , BO=6 , △ AOB 绕顶点 O 逆
12、（2012四川省南充市）如图，四边形 ABCD 中，/ BAD= / BCD=90 ABCD 的面积是 24cm 2,贝U AC 长是 cm .
A r
,AB=AD ，若四边形 ,3ABC=60 ° , BC=2cm , D 为 BC
时针旋转到△ A'OB'处，此时线段 A'B'与BO 的交点E 为BO 的中点，则线段 B'E 的长度为
13、（2011重庆秦江）一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示.正方形DEFH的边长为
2米，坡角/ A = 30°, Z B= 90 °,BC= 6米.当正方形DEFH运动到什么位置，即当
AE= 米时，有DC 2= AE 2 + BC2.
14、（2011内蒙古呼和浩特市）如图所示，四边形ABCD中，DC // AB, BC=1 , AB=AC=AD=2.
则BD的长为（）
A. . 14
B. . 15
C. 3 . 2
D. 2 . 3
15、（2011贵州遵义）如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶
点，可得到△ ABC,则^ ABC中BC边上的高是。

16、（2010辽宁丹东市）已知△ ABC是边长为1的等腰直角三角形，以RtAABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰RtA ACD，再以Rt△ ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ ADE,…，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是 .
17、（2010浙江省温州）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣. 1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票.所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定
理.在右图的勾股图中，已知Z ACB=90° , ZBAC=30° ,AB=4.作^ PQR使得Z R=90°,点H在边QR 上，点D, E在边PR上，点G、F在边PQ上，那么△ PQR的周长等于 .
18、（2009年山东青岛市）如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm,高为6cm.如果用一根细
线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B,那么所用细线最短需要cm ;如果从点A开始经过4个侧面缠绕n 圈到达点B,那么所用细线最短需要cm.
19、如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH, EH=12厘米, EF=16厘米，则边AD的长是（）
A. 12厘米
B. 16厘米
C. 20厘米 D . 28厘米
题囹制题图
20、如图，正方形纸片ABC D的边长为3,点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别和AE、AF折叠，点
B、D恰好都将在点G处，已知BE=1，则EF的长为（）
21、在^ ABC 中，已知 AB=20,AC=15,BC 边上的高 AD 为12,求^ ABC 的面积。

22、如图，公路 MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且/ QPN = 30° ,点A 处有一所中学，AP= 160m 。

假设 拖拉机行驶时，周围 100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路
MN 上沿PN 方向行驶时，学校 是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为
18km/h ,那么学校受影响的时
间为多少秒？
23、如图，将边长为 8cm 的正方形ABCD 折叠，使点落在 BC 边的中点E 处，点A 落在F 处, 折痕为MN ，求折痕MN 的长度。

D A.
5 B.- 2 C.— 4 D. 3。