八年级数学下册第十八章平行四边形微专题中点四边形作业新版新人教版

解：(2)当四边形 ABCD 满足 AB＝CD 时，四边形 EFGH 是菱形，证明：∵E，F， G，H 分别是 AB，BD，BC，AC 的中点．∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF＝12 AB， 同理 EH＝12 CD，∴EF＝EH，∵四边形 FGH 是平行四边形．∴四边形 EFGH 是菱 形
(3)当 AB 和 CD 垂直且相等时，四边形 EFGH 是正方形
证明：(2)延长 BE 交 AD 于 K，易证△BCE≌△ACD，则 BE ＝AD，∠EBC＝
∠DAC.∵∠BEC＝∠AEK，∴∠AKE＝∠ACB＝90°，即 BK⊥AD.∵M，N，G，H 分
别为
A E ，A B ，B D， DE
的中点，∴M
N∥B
K，MH∥AD，MN
＝GH
＝1 2
BE，NG＝
MH＝1 AD.∴四边形 MNGH 为菱形．∵BK⊥AD，∴MN⊥MH，即∠NMH＝90°.∴四 2
AP＝BP， 中， ∠APC＝∠BPD， ∴△APC≌△BPD(SAS).∴AC＝BD，∵点 E ，F，G 分别为
PC＝PD， AB，BC，CD 的中点，∴EF＝12 AC，FG＝12 BD，∴EF＝FG，由(1)可知四边形 EFGH 是平行四边形，∴四边形 EFGH 是菱形
类型 3：利用四边形对边及对角线的中点构成的四边形 3．如图，四边形 ABCD 中，对角线相交于点 O，E，F，G，H 分别是 AD，BD， BC，AC 的中点． (1)四边形 EFGH 的形状是__平__行__四__边__形__； (2)当四边形 ABCD 满足一个什么条件时，四边形 EFGH 是菱形？并证明你的结论； (3)当 AB 和 CD 满足什么条件时，四边形 EFGH 是正方形？(直接写出结论，不必 写证明过程)
解：(1)连接 BD，∵点 E，F，G，H 分别为边 AB，BC，CD，AD 的中点，∴EH∥BD， EH＝12 BD，FG∥BD，FG＝12 BD，∴EH＝FG，EH∥FG，∴中点四边形 EFGH 是 平行四边形
(2)四边形 EFGH 是菱形，证明如下：如图，连接 AC，BD 交于点 O，∵∠APB＝ ∠CPD，∴∠APB＋∠APD＝∠CPD＋∠APD，即∠APC＝∠BPD，在△APC 和△BPD
边形 MNGH 是正方形
类型 2：利用四边形的中点构成的四边形 2．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四 边形． (1)如图 1，四边形 ABCD 中，点 E，F，G，H 分别为边 AB，BC，CD，DA 的中 点．求证：中点四边形 EFGH 是平行四边形； (2)如图 2，点 P 是四边形 ABCD 内一点，且满足 PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD， 点 E，F，G，H 分别为边 AB，BC，CD，DA 的中点，猜想中点四边形 EFGH 的形状， 并证明你的猜想．
微专题 中点四边形
类型 1：利用图形中的中位线构成的四边形 1．如图，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，M，N，G，H 分别为 AE， AB，BD，DE 的中点． (1)线段 BE 与 AD 的数量关系是：___B_E__＝__A_D_____； (2)求证：四边形 MNGH 为正方形．