高考金题巧练答案

2012考前金题巧练(4)参答
1 •解：(I)依题意，令f(x)二g'(x),，得1 = 2x 3,故x =-1
.函数f (x)的图像与函数g(x)的图象的切点为(『1,0),将切点坐标代入函数f(x) =x • b可得b=1 (或：依题意方程f(x)) =g(x),即x2 2x・2_b =0有唯一实数解故厶-22 _4(2 _b) =0,即b =1)
2 3 2
.F(x)=(x 1)(x 2x 2) =x 4x 5x 2
5 5
故F'(x) =3x 8x 5 =3(x 1)(x ),令F'(x)=0,解得x - -1 或x =—
3 3
列表如下：
从上表可知F (x)在x 处取得极大值，在x = -1处取得极小值
3 27
(n)由(I)可知函数y = F (x)大致图象如下图所示•作函数y = k的图象，当y = F (x)
的图象与函数y = k的图象有三个交点时，关于x的方程F(x)二k恰有三个
4
不等的实数根•结合图形可知：(0, —)
27
,, 3 2 2 i' 2 a 1
2 .解：(I)因为f (x)二-X ax b，所以f (x)二-3x ■ 2ax 二-3x j x - 乙3
当a = 0时，f (x)乞0，函数f (x)没有单调递增区间；当a 0时，令「(x) • 0，得n
2a 2 2a
1 3
2 2
3.解：(I)当a =0时，f (x) x -x 1 ,.•• f ⑶=1 , ••• f '(x) =x—2x 曲
线在点(3,1)处的切线的斜率k = f '(3) =3
所求的切线方程为y -1 = 3(x —'3)，即y = 3x —'8
(n)当a = -1 时，函数f (x) x3• x2-3x T
3
0：：：x •故f (x)的单调递增区间为0,-a ；当a：：：0时，令f (x) • 0，得x ：：：0 .
3 I 3 丿 3
(2)
故f(x)的单调递增区间为2a,0 •综上所述，当a=0时，函数f(x)没有单调递增区间；
13丿
(2)
当a 0时，函数f(x)的单调递增区间为0,2a ;
\ 3 )
当a ： 0时，函数f(x)的单调递增区间为
1 2
a,0 .
13丿
f 2
(n)由(I)知，a ^ [3,4 ]时，f(x)的单调递增区间为
0, —a ，单调递减区间为(皿,0) I 3丿
/ 4a 3、 4工33
成立，所以bn -——
=---------- =-4•所以实数b 的取值范围是(-4,0 ).
I 27,max 27
2
••• f'(x) =x 2x —3，令 f'(x) =0 得为=1,x 2 - -3
X 2订0,4］，当(0,1)时，f'(x) ：：：0,即函数y 二f (x)在(0,1)上单调递减，
当x € (1,4)时，f '(x) > 0，即函数y = f (x)在(1,4)上单调递增
2
1 •••函数 y 二 f(x)在［0,4］上有最小值，f (x)最小值二 f (1) ，又 f (0) =1, f (4) =26 —
3
3
1
2
•••当a = -1时，函数y = f (x)在［0,4］上的最大值和最小值分别为 26丄，-三.
3 3
2
(川)••• f '(x) =x -2(2a 1)x 3a(a 2) =(x —3a)(x -a -2) •为=3a, x ?二 a 2
① 当为=X 2时，3a = a • 2，解得a ，这时人=x ? = 3，函数y = f '(x)在(0,4)上 有唯一的零点，故 a =1为所求；
② 当x i
x 2时，即3a a a 1,这时x-i x 2 3,又函数y 二f '(x)在(0,4)上
所以函数f (x)在x =0处取得极小值
2a
f 0 =b
，函数f(x)在x u 处取得极大值
2a
二但• b •由于对任意
3
27
3,4 1,函数f (x)在R 上都有三个零点,
f
0 3
所以M a ) ° f .一 >0.
.13丿
b ： 0,
即4a 3
"27 解得
b 0.
空 讣：：：0 •因为对任意a •〔3,4 l,b •-空恒
27 27
和 i 2a,=
3
3 ：： a 2 ：： 4,
4 c a . 2 ,
3a _4.
3
③当为：：：x 2时，即a :: 1，这时x^：： x 2 :: 3又函数y = f '(x)在(0,4)上有唯一的零点,
... xjO, = 3心，=._2：：：a 乞0综上得当函数
0 ：： x 2 :: 3. 0 ：： a 2 ：： 3.
4
唯一的零点时，
-2 a 込0或 a . 2或a = 1.
3
4 .解：(I)因为函数 f (x) , g (x)的图象都过点(t , 0),所以
即 t 3，at=0.因为 t=0,所以 a =—t 2. g(t) =0,即bt 2 c 又因为f (x)，g(x)在点(t ，0)处有相同的切线，所以 f (t)二g (t).
而 f (x) = 3x 2
a, g (x) = 2bx,所以 3t 2 a = 2bt.
将 a = -t 2代入上式得 b =t.因此 c=ab = -tl 故 a =-t 2, b = t , c = -t 3.
(n) y = f (x)-g(x) = x 3 -t 2x -tx 2 t 3, y = 3x 2-2tx -t 2 = (3x t)(x -t)
因为函数y 二f (x) -g(x)在(—1, 3)上单调递减，且 / = (3x t)(x-t)是(—1, 3)上
v"l "兰0
"(—3+t)(_1 _t)兰 0 的抛物线， 所以丿八X7
'即八 八 )—•解得t —9或2 3.
VU0.
©+t)(3-1)".
所以t 的取值范围为(」：，-9] 一. [3,：：).
5.解：(I) 设切线斜率为k ，贝V k = f '(x) =x 2 -2x-3当x=1时，k 取最小值-4,
20
20
又f(1)
,所以，所求切线方程为 y
4(x-1)，即12x 3y ^0
3 3
(n) 由 f (x) = x 2「2x 「3 • 0，解得：x " T 或 x 3。

b v a £ 3a 兰 3 ‘0 £ a £ 3 v 3a a>3
.f(3a)X0
或丿
J (3)^0
或
」(a)启0解得
函数f(x)在-：：，-1和3,；上是增函数，在
-1,3上是减函数。

所以
< x 2 <4,
有唯一的零点，•••
=
y = f'(x)在(0,4)上有
f(t) =0， =0,所以 c = ab.
6. 解：(1) f (x) = (x—t)2 +4t3—3t+3 ,
当x = t 时，f (x)达到其最小值 g(t)，即g(t) =4t 3 -3t 3 ；
(D)因为 g /(t) =12t 2 —3 =3(2t 1)(2t -1),
列表如下：
由此可见，g(t)在区间i 1,--和-，单调递增，在区间 -丄，丄 单调递减;
I 2丿(2丿
I 2 2丿
(出)g (1)= g(-2)= 4, g(--) = g(?) = 2，所以 g(t)max 二 4,
g(t)min = 2;
3
2
3 3
2
3
7. 解：(I)： f (x) = x ax x a /. f (x) = 3x 2ax .
2 2 2
2
3 由题意知f (x) =0有实数解.•••△ =4a 2-
4 3 —_0
2
.29 . 3、2 、 3.2 3.2 3T 2
--a ,即 a 或 a .故 a ・(一〜 ]U [
「：)•
2 2 2 2 2
3
9 (□)••• f (-1) =0
• 3-2a 0 即 a .
2
4
f (x)二 3x 2 2ax — = 3(x -)(x 1),令 f (x) = 0 得论=, x 2 = -1.
2 2 2
25 1 49 27
当 x [-1,0]时，f (_1)=仝，仁_丄)二49, f (0)二27
8 2 16 8 27 1 49
• f (X)max = f(0) , f (X)min = f()
8 2 16
5
5
故 X 1,X 2 [-1,0]时，| f (xj - f (X 2)D f (X)max - f (X )min 二石，以 口 - 耘，即 m 的
5
最值为—.
16
2
2
[―6 = a 23 +b 22 —a 2 2
8.
解：(I)由切点为(2,-6 )，y=ax
+bx —a =k ，有」 3 2
g(t)兰k 既一 k < g(t)兰k 恒成立，所以
>4
—k 兰2 ，综合可得k 的范围为k _ 4。

7 = a 22+b 2-a2解得a =3,b =2
b r
.为 X 2 = -一，X 1X 2 = —a ：： 0
可
a
x 2 -x^ = x 2 x-^ - —4x^2= 4 =禺 4a = b 2
a
2
2
3
设t 二a 4-4a =4a -4a ,其中a 0.
9.解：(I) f (x) =3x 2 6x =3x(x 2)，令 f (X 0 即 x(x • 2) 0 . x 0或x ：： -2
.f(x)的增区间为(-二，-2］和［0, f(x)在区间［2m-1,m ・1］上是增函数,
［2 m T, m 1］二(Y ‘, -2］或［2 m 「1, m 1］二［0,：：);
m
仁-2或亦-
1
—。

口 一 3或丄”：2
2m 一1 ： m 1 2m 一1 ： m 1
2 f (x) =3x 2 6x =3x(x 2) =0= x =0或x - -2，丁 f
(0) =0, f (-1) =2, f ⑴=4，
f (x)在区间［-1 , 1］上的最大值M 为4,最小值N 为0,
故对任意 为，x 2 ［ -1,1］，有 I f (xj - f (x 2) QM -N = 4-0=4
1 a
10•证明：因为函数f (x) =-x 4十X 3-一x 2+cx 有三个极值点，所以
4 2 f (x) = x 3 ' 3x 2 -9x ' c = 0 有三个互异的实根.设 g (x)二 x 3 3x 2 -9x • c,贝U g (x) =3x 2 6x -9 =3(x 3)(x -1),
当 x ：：： -3时，g (x) 0, g(x)在(-：：，-3)上为增函数；当 -3 ：：： x ：：： 1 时，
(n)由题，x i 、X 2是方程
2 2
ax ，bx-a
0的两个根, 得两根一正一负，不妨设
X i vO, X 2 >0, % +冷=2n
X
2 - X<|
= 2,
t ' =8a -12a 2 二-12a a -
I 3丿
2 =0得a = 0舍去或a ，当0 ：：： a ：：：2时，t '
4-3
当氓时，t ＜。

.所以当吨时，“寻，即心和^晋.
g(x)：：：0, g(x)
在(-3,1)上为减函数；当x 1时，g(x) 0, g(x)在(1/-)上为增函数, 所以g(x)在x =-3时取极大值，在x =1时取极小值。

当g(-3)^0或g(1)_0时，g(x)=O最
多只有两个不同实根。

g(x) =0有三个不同实根，所以g( -3) 0且g(1)：：：0,
即-27 27 27 c .0, 且1，3-9 0，解得c . 一27,且c ：：：5，故—27：：：c：：：5・
1 3 3
2 2
11.解：(1)当a =3 时，fx x x-2x，得f'x--x，3x-2 .
3 2
因为f'x=—x23x—2 = —x—1 x—2 ,
所以当1 ：：x :: 2时，「X・0,函数f x单调递增；
当x 1或x 2时，x ：0 ,函数f x单调递减.
所以函数f x的单调递增区间为1,2，单调递减区间为-：：,1和2, •二.
(n)由fx - -lx' a x2—2x，得f'x - -x2ax — 2,
3 2
因为对于任意x・1, V 都有f'(X)::：2(a-1)成立，
所以问题转化为，对于任意1,邑)都有I f '(x)]max v2(a-1).因为
f ■ x = - x j2，其图象开口向下，对称轴为x=—.
I 2丿4 2
a
①当1时，即a : 2时，f' x在1,亠「i上单调递减，
所以f' x ma^ f' 1 二a -3，由a -3 ：：：2 a -1，得a • -1，此时-1 ：：：a ：：：2.
上单调
②当旦_1时，即a 一2时，f' x在1,旦上单调递增，在旦，•：：
2 12」「2
厶)a2a2
所以f' x max = f' 2，由2 ：：：2 a -1 ，得0 a 8，此时2 乞a ：：：8 .
l2 丿4 4
综上①②可得，实数a的取
值范围为-1,8 .
t2 -2t是函数y二f x图象上的切点, (川)设点P t, 一1〃-
13 2
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2
则过点P 的切线的斜率为k = f ' t i ； = -1 • at - 2，所以过点P 的切线方程为
1 1 3 a
2 2
所以 t -一t 2t 二-t at -2 0-t ,
3 3 2 即 刍3
—^at 2
+l=0 .若过点'0^- |可作函数y=f(x)图象的三条不同切线,
3 2 3 I 3 2 3 1 2 1 2 3 1 2 1 则方程一t at 0有三个不同的实数解•令 g t t --at --，则函数
3 2 3 3 2 3 _ 2
a y = g t 与t 轴有三个不同的交点.令 g t =2t -at= 0,解得t = 0或t .因为 go =3, g a =2a3^-，所以必须g 2 一沪中0，即a 2 .所以实数 a 的取值范围为 2,=. 1 3 a 2
2 y 『Q …at -2 x -t .因为点 0丄在切线上,
3。