四川省成都七中2019_2020学年高二数学下学期半期考试试题含解析

某某省某某七中2019-2020学年高二数学下学期半期考试试题（含解
析）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.已知复数12z i =-，则z = ( ) A.
i C.
12
55i + D. 12
55
i - 【答案】B 【解析】 【分析】
根据共轭复数的定义易得. 【详解】解：复数12z i =-， 则12z i =+. 故选：B.
【点睛】考查共轭复数的定义，基础题.
2.在空间直角坐标系O ﹣xyz 中,点A （2,﹣1,3）关于yOz 平面对称的点的坐标是( ) A. （2,1,3）B. （﹣2,﹣1,3） C. （2,1,﹣3）D. （2,﹣1,﹣3） 【答案】B 【解析】 【分析】
根据空间坐标对称的性质求解即可. 【详解】在空间直角坐标系O ﹣xyz 中,
点A （2,﹣1,3）关于yOz 平面对称的点的坐标是（﹣2,﹣1,3）. 故选：B.
【点睛】本题主要考查了空间坐标中求对称点的问题,属于基础题. 3.在极坐标系中，过点(2,)2
π
且与极轴平行的直线方程是（ ）
A. 2ρ=
B. 2
π
θ= C. sin 2ρθ= D. cos 2ρθ=
【答案】C 【解析】
点2,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
对应的直角坐标为()0,2，则直线的直角坐标方程为2y =，转化为极坐标方程：sin 2ρθ=.
4.如图是函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象，则下面判断正确的是( )
A. 在区间()2,1-内，()y f x =是增函数
B. 在()1,3内，()y f x =是减函数
C. 在()4,5内，()y f x =是增函数
D. 在2x =时，()y f x =取到极小值 【答案】C 【解析】 【分析】
根据导数大于零，函数递增；导数小于零，函数递减；先增后减，函数有极大值；先减后增，
函数有极小值，对选项逐一进行判断即得答案.
【详解】解：由图象知当32
-＜x ＜2或x ＞4时，()0y f x '=>，函数为增函数， 当3
32
x -<<-或2＜x ＜4时，()0y f x '=<，函数为减函数， 则当x 3
2
=-
或x ＝4函数取得极小值，在x ＝2时函数取得极大值， 故ABD 错误，正确的是C ， 故选：C.
【点睛】本题考查了导函数的正负和原函数单调性关系，以及极大值极小值的判断，考查学生对于图像的理解和判断，基础题.
5.函数2cos y x x =+在π02⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
，上取最大值时，x 的值为（ ） A. 0B.
π6C. π3D. π2
【答案】B 【解析】
【详解】试题分析：函数2cos y x x =+的导数为12sin y x '=-，令12sin 0y x -'==得
1sin 2x =，又因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以6x π=，当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0y '>，当,62x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭时，0y '<，所以函数2cos y x x =+在0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，在,62x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
上单调递减，所
以使得函数2cos y x x =+取得最大值的x 的值为6
π
，故选B. 考点：利用导数研究函数在闭区间上的最值.
【点晴】本题主要考查了利用导数研究函数在闭区间上的最值问题，属于基础题.函数在闭区间上的最值一般从极值点和区间端点处取得，解答的基本思路是先利用导数研究函数在给定区间上的单调性，看能否找到所需要的最值点，否则求出极值和区间端点的函数值进行比较，
来找到所需要的最值点和最值,本题中只需要研究在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的单调性，就能找到极大值点也
就是最大值点.
6.已知实数,,x y z 满足236x y z ++=，则2
2
2
x y z
++的
最小值是( )
A.
B. 3
C.
18
7
D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】
由柯西不等式得(
)()()2
222
2
22123
23x
y z x y z ++++≥++， 即可算出答案.
【详解】由柯西不等式得(
)()()2
22
2
222123
23x y z x y z ++++≥++，
则22
2
2
(23)3618
14147x y z x y z ++++≥==，
当且仅当“123
x y z
==”时取等号.
故2
2
2
x y z ++的最小值是187
. 故选：C
【点睛】本题考查的是利用柯西不等式求最值，解答的时候要注意写上等号成立的条件，属于基础题.
7.把长为12cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是（ ）
A.
2B. 24cm
C. 2
D. 2 【答案】D 【解析】
设两段长分别为xcm,(12-x)cm,这两个正三角形的边长分别为
x 3cm,12x
3
-cm,面积之和为
22
x x 433⎤⎛⎫⎛⎫+-⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
29x 2-8x 3+16).令
S ′48x 93⎫
-⎪⎝⎭
=0,解得x=6.则x=6是S(x)的极小值点,也是最小值点,所以S(x)
min 2. 8.若f （x ）32
1132
x x =-
++2ax 在（1，+∞）上存在单调递增区间，则a 的取值X 围是( ) A. （﹣∞，0]B. （﹣∞，0）C. [0，+∞）D. （0，+∞） 【答案】D 【解析】 【分析】
f (x )在(1,+∞)上存在单调递增区间,等价于()f x '>0在(1,+∞)上有解.因此结合()f x '
的单调性
求出其在(1,+∞)上的最值,即可得出结论. 【详解】f (x )32
1132
x x =-
++2ax 在(1,+∞)上存在单调递增区间, 只需()f x '
>0在(1,+∞)上有解即可.
由已知得2
()2f x x x a '=-++,该函数开口向下,对称轴
12
x =
, 故()f x '
在(1,+∞)上递减,
所以(1)f '=2a >0,解得a >0. 故选:D.
【点睛】本题主要考查了函数单调性的应用,难度不大.
9.我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在
+
中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程
x
=确定出来x＝2，类似地不难得到
1
1
1
1
1
+
+
+
＝（）
A. 1
2
B. 1
2
C. 1
2
D. 1
2
【答案】C 【解析】【分析】
+的例子，令
1
1(0)
1
1
1
x x
+=>
+
+
，即
1
1x
x
+=，解方程即
可得到x的值.
【详解】令
1
1(0)
1
1
1
x x
+=>
+
+
，即
1
1x
x
+=，即210
x x
-
-=，解得
x=(x
=舍)，故
1
1
1
1
1
+=
+
+
故选：C
【点睛】本题考查归纳推理，算术和方程，读懂题中整体代换的方法、理解其解答过程是关键，属于基础题.
10.二面角l
αβ
--为60°，A、B是棱l上的两点，AC、BD分别在半平面,αβ内，AC l⊥，BD l
⊥，且AB＝AC＝a，BD＝2a，则CD的长为(
)
A. 2a
B. C. a D.
【答案】A
【解析】
试题分析：根据异面直线上两点间的距离公式EF=，对于本题
考试
中，d a =，m a =，2n =，60θ=，故
2CD a ==．
考点：异面直线上两点间距离,
空间想象能力．
11.已知函数f （x ）的导数()f x '
满足f （x ）+x ()f x '
＞()f x '-对x ∈R 恒成立，且实数x ，
y 满足xf （x ）﹣yf （y ）＞f （y ）﹣f （x ），则下列关系式恒成立的是( )
A. 33
11
11
x y <++ B. ln （x 2+1）＞ln （y 2+1） C.
x y x y e e
< D. x ﹣y ＞sin x ﹣sin y 【答案】D 【解析】 【分析】
由题得f （x ）+（x +1）()f x '
＞0，令g （x ）=（x +1）f （x ），得到函数()g x 的单调性，由
xf （x ）﹣yf （y ）＞f （y ）﹣f （x ）得到x ＞y .再逐一分析判断每一个选项的正误得解.
【详解】因为f （x ）+x ()f x '
＞()f x '-，
所以f （x ）+（x +1）()f x '
＞0，
令g （x ）=（x +1）f （x ），
则()g x '=f （x ）+（x +1）()f x '
＞0对x ∈R 恒成立，
∴g （x ）在x ∈R 时单调递增.
又由题得实数x ，y 满足（x +1）f （x ）﹣（y +1）f （y ）＞0， 所以g （x ）＞g （y ）， ∴x ＞y ，
取x =1，y =2-，则有33
11
11x y >++成立，故A 选项错误； 又当x =1，y =1-时，有ln （1+x 2）=ln （1+y 2），故B 选项错误；
令h （x ）x
x e =
，则h ′（x ）1x x
e -=， 当x ＜1时，()h x '
＞0，此时h （x ）单调递增，当x ＞1时，()h x '
＜0，此时h （x ）单调递减，当y ＜x ＜1时，有h （x ）＞h （y ）成立，即有
x y
x y
e e ＞成立，故C 选项错误； 令t （x ）=x -sin x ，则()t x '=1-cos x ≥0，此时t （x ）单调递增， 又∵x ＞y ，∴t （x ）＞t （y ），
∴x ﹣sin x ＞y ﹣sin y ，即x ﹣y ＞sin x ﹣sin y ，故D 选项正确. 故选：D
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
12.设函数()x
f x m
π=．若存在()f x 的极值点0x 满足()2
2
200x f x m ⎡⎤+<⎣⎦，则m 的取值X 围是（ ） A. ()(),66,-∞-⋃∞ B. ()(),44,-∞-⋃∞ C. ()(),22,-∞-⋃∞ D. ()(),11,-∞-⋃∞ 【答案】C 【解析】
由题意知：()f x 的极值为()203f x ⎡⎤=⎣⎦，因为00
()0x f x m m
ππ
='=， 所以
,2
x k k z m
ππ
π=+
∈，所以
01
,2
x k k z m =+∈即01122x k m =+≥，所以02m x ≥，即
2
2
00[()]x f x +≥24m +3，而已知()22200x f x m ⎡⎤+<⎣⎦，所以22
4m m >+3，故2334m >，解
得2m >或2m <-，故选C.
考点：本小题主要考查利用导数研究的极值，考查三角函数，考查一元二次不等式的解法，考查分析问题与解决问题的能力.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.定积分5
4xdx ⎰
=__________．
【答案】50 【解析】 【分析】
直接根据微积分基本定理即可得结果.
【详解】由微积分基本定理可得5
250
4250xdx x
==⎰
，故答案为50.
【点睛】本题主要考查了微积分基本定理的应用，属于基础题. 14.不等式|x ﹣1|﹣|x ﹣5|＜2的解集是_____. 【答案】(),4-∞ 【解析】 【分析】
分1x <,1
5x ≤≤与5x >三种情况去绝对值进行求解即可. 【详解】当1x <时,原不等式可化为：1﹣x +x ﹣5＜2,恒成立,
15x ≤≤时,原不等式可化为：x ﹣1+x ﹣5＜2,解得：1≤x ＜4,
5x >时,原不等式可化为：x ﹣1﹣x +5＜2,无解.
综上：原不等式的解集是(),4-∞.
故答案为：(),4-∞
【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解,属于基础题.
15.已知函数()2
11020x e x x x e
f x lnx x x
⎧--+≤⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，，＞，若方程f （x ）﹣m =0恰有两个实根，则实
数m 的取值X 围是_____.
【答案】(]10e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭
，
【解析】 【分析】
通过求导，得出分段函数各段上的单调性，从而画出图像.若要方程f （x ）﹣m =0恰有两个实根，只需y =m 与y =f （x ）恰有两个交点即可，从而得出m 的取值X 围.
【详解】（1）x ≤0时，f ′（x ）=e x ﹣x ﹣1，易知f ′（0）=0，而f ″（x ）=e x ﹣1＜0， 所以f ′（x ）在（﹣∞，0]上递减，故f ′（x ）≥f ′（0）=0，故f （x ）在（﹣∞，0]上递增，
且f （x ）≤f （0）1
1e
=+
，当x →﹣∞时，f （x ）→﹣∞. （2）x ＞0时，()2
1'lnx
f x x -=，令f ′（x ）＞0，得0＜x ＜e ；f ′（x ）＜0得x ＞e ；
故f （x ）在（0，e ）上递增，在（e ，+∞）递减， 故x ＞0时，()1
()max f x f e e
==
；x →0时，f （x ）→﹣∞；x →+∞时，f （x ）→0. 由题意，若方程f （x ）﹣m =0恰有两个实根，只需y =m 与y =f （x ）恰有两个交点，同一坐标系画出它们图象如下：
如图所示，当直线y =m 在图示①，②位置时，与y =f （x ）有两个交点，所以m 的X 围是：
(]10e ⎧⎫
-∞⋃⎨⎬⎩⎭
，.
故答案为：(]10e ⎧⎫
-∞⋃⎨⎬⎩⎭
，
. 【点睛】本题考查了方程根的问题转化为函数图像交点问题，以及利用导数求函数单调性.考查了转化思想和数形结合，属于中档题. 16.已知函数f （x ）=x 223
-
ax 3
（a ＞0），x ∈R .若对任意的x 1∈（2，+∞），都存在x 2∈（1，+∞），使得f （x 1）⋅f （x 2）=1，则a 的取值X 围是_____.
【答案】3342⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，
【解析】 【分析】
由()f x '=﹣2ax 2+2x 12ax x a ⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭，令()f x '=0，得10x x a ==或，根据对任意x 1∈（2，+∞），都存在x 2∈（1，+∞），使得f （x 1）⋅f （x 2）=1，分
11a ≤， 1
12a
<≤， 1
2a
>三种情况讨论f （x 1），f （x 2）的值域即可. 【详解】因为()f x '=﹣2ax 2+2x 12ax x a ⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭，
令()f x '=0得10x x a
==或， ①：当1
1a
≤，即a ≥1时，()f x '＜0，在x ∈[1，+∞）恒成立，所以f （x ）在[1，+∞）递减， ∵()2113f a =-
，()16
243
f a =-， 若对任意的x 1∈（2，+∞），都存在x 2∈（1，+∞），使得f （x 1）⋅f （x 2）=1，
所以f （x 1）的值域为（1643a -∞-，
），f （x 2）的值域为（2
13
a -∞-，），
由f （x 1）⋅f （x 2）=1得：
()
()211
f x f x =. 显然，当f （x 1）→﹣∞时，()11
f x →0（负数），故要满足结论，首先需满足：
2103a -≥，16403a -≤，解得3342
a ≤≤.
所以3
12a ≤≤.
②当112a
<≤，即112a ≤<时，f （x 1）在（2，+∞）上递减，故此时f （x 1）1643a
<-，
f （x 2）在（1，1
a
）递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递减，故()22113f x f a a ⎛⎫≤=> ⎪⎝⎭
0. 此时只需16403a -≤即可，解得3
14
a ≤＜. ③当
12a >，即1
02
a <＜时，f （x 1），f （x 2）的最大值都是2113f a a ⎛⎫
=> ⎪⎝⎭0，所以()1
1f x 能
取到所有正实数，
而()22
1
3f x a ≤，故此时不满足题意. 综上，a 的取值X 围是[33
42
，].
故答案为：3342
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，
【点睛】本题主要考查导数与函数的值域以及双变量问题，还考查了分类讨论思想和运算求解的能力，属于难题.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.其中17题10分，18-22题每小题10分 17.已知函数()31132
f x x =
+. （1）求曲线y =f （x ）在点516P ⎛⎫
⎪⎝⎭
，处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
（2）求过点122A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，作曲线y =f （x ）的切线方程. 【答案】（1）172
；（2）y 1
2=或18x ﹣2y ﹣35=0.
【解析】 【分析】 （1）函数()31132f x x =
+的导数为()f x '=x 2，曲线y =f （x ）在点516P ⎛⎫
⎪⎝⎭
，处的切线的斜率为k =1，写出切线的方程，分别令x =0，y =0，得到在x ，y 轴上的截距，再利用三角形面积公式求解.
（2）易得A （2，
1
2
）不在图象上，设切点为（m ，n ），则切线的斜率为m 2，切线的方程为y ﹣n =m 2（x ﹣m ），再由231221132n m m n m ⎧-⎪=⎪
-⎨⎪=+
⎪⎩
求解.
【详解】（1）因为函数()31132
f x x =+， 所以()f x '=x 2， 所以()1=1f '
所以曲线y =f （x ）在点516P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，处的切线的斜率为k =1， 则切线的方程为y 5
6
-
=x ﹣1，即为6x ﹣6y ﹣1=0，
令x =0，可得y 1
6=
-
；y =0，可得x 16
=. 则切线与坐标轴围成的三角形的面积为S 1111
26672
=⨯⨯=； （2）由A （2，1
2）和()31132f x x =+，可得f （2）811322
=+≠，
即A 不在f （x ）的图象上，
设切点为（m ，n ），则切线的斜率为m 2， 切线的方程为y ﹣n =m 2（x ﹣m ），
则231221132n m m n m ⎧
-⎪=⎪
-⎨⎪=+⎪
⎩
， 解得012m n =⎧⎪⎨=⎪⎩或3192m n =⎧⎪⎨=⎪⎩
，
故切线的方程为y 1
2
=
或18x ﹣2y ﹣35=0. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18.如图,五面体A ﹣BCC 1B 1中,AB 1＝4.底面ABC 是正三角形,AB =2.四边形BCC 1B 1是矩形,二面角A ﹣BC ﹣C 1为直二面角.
（1）D 在AC 上运动,当D 在何处时,有AB 1//平面BDC 1,并且说明理由； （2）当AB 1//平面BDC 1时,求二面角C ﹣BC 1﹣D 余弦值.
【答案】（1）当D 为AC 中点时,有AB 1//平面BDC 1,理由见解析；（2）313
. 【解析】 【分析】
(1)根据线面平行以及中位线的性质易得当D 为AC 中点时,有AB 1//平面BDC 1,再连接B 1C 交
BC 1于O ,连接DO ,进而证明DO //AB 1即可.
(2)以B 为原点建立空间直角坐标系,再分别求得面1CBC 与面1BC D 的法向量,继而求得二面角1C BC D --的余弦值即可.
【详解】(1)当D 为AC 中点时,有AB 1//平面BDC 1, 证明：连接B 1C 交BC 1于O ,连接DO ∵四边形BCC 1B 1是矩形
∴O 为B 1C 中点又D 为AC 中点,从而DO //AB 1, ∵AB 1⊄平面BDC 1,DO ⊂平面BDC 1 ∴AB 1//平面BDC 1
(2)建立空间直角坐标系B ﹣xyz 如图所示,则B （0,0,0）,A 3,1,0）,C （0,2,0）,D （32
,3
2,0）,C 1（3,
所以BD =
（
3,3
2
,0）,1BC =（0,2,23）. 设()1,,n x y z =为平面BDC 1的法向量,则有33
0222230
x y y z ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩
,即33x z y z =⎧⎪⎨=-⎪⎩
令1z =,可得平面BDC 1的一个法向量为1n =（3,3-,1）, 而平面BCC 1的一个法向量为()21,0,0n =, 所以cos 1n ＜,12212
31313n n n n n ⋅=
=
=＞,故二面角C ﹣BC 1﹣D 的余弦值为31313
.
【点睛】本题主要考查了判断线面平行的条件,同时也考查了建立空间直角坐标系求解二面角的问题.属于中档题.
19.已知直线l 的参数方程为1cos sin x t y t α
α
=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ≤<），以原点为极点，x 轴的
非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为2
12cos 4sin ρρθρθ+=+.
（1）求圆C 的直角坐标方程；
（2）若直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且||3AB =，求α的值.
【答案】（1）22
2410x y x y +--+=；（2）3
π
α=
或23
π
α=
【解析】 【分析】
(1)根据极坐标和直角坐标的互化公式得到结果；（2）联立直线和圆得到24sin 0t t α-=，根
据弦长公式得到AB =
.
【详解】（1）圆C 的直角坐标方程为2
2
2410x y x y +--+=.
（2）将直线l 的参数方程代入到圆C 的直角坐标方程中，有24sin 0t t α-=，由
AB
=
sin 2
α=
，所以3πα=或23πα=.
【点睛】这个题目考查了极坐标方程化为普通方程的方法，考查了直线参数中t 的几何意义，一般t 的绝对值表示方程中的定点到动点的距离，故PA PB +，PA PB -，PA PB 均可用t 来表示，从而转化为韦达定理来解决.
20.已知函数()ln(1),()(),0f x x g x xf x x '=+=≥，其中()f x '
是()f x 的导函数.
若[]
*
11()(),()(),n n g x g x g x g g x n +==∈N . （1）求()n g x 的表达式；
（2）求证：()()()
(
)
2
2
2
2
2
11213111
n g g f g n n -+-+-+
+-<
+，其中n ∈N *. 【答案】（1）()*N 1n x
g x n nx
=∈+，；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）根据已知条件猜想()1n x
g x nx
=
+，利用数学归纳法证得猜想成立. （2）利用放缩法，结合裂项求和法，证得不等式成立. 【详解】（1）由题意可知，()01x
g x x x
=≥+，， 由已知 ()()()12111x x g x g x g g x g x x ⎛⎫
⎡⎤=
== ⎪⎣⎦++⎝⎭
， 11211x
x x x x x
+==+++，()313x
g x x =
+，，
猜想()*N 1n x
g x n nx
=
∈+，，下面用数学归纳法证明： （i ）当 n =1 时，()11x
g x x
=+，结论成立：
假设 n =k （k ≥1，k ∈N *） 时结论成立，即()1k x
g x kx
=+，
那么，当n =k +1（k ≥1，k ∈N *）时，
()()()()()1111111k k k k x
g x x kx g x g g x x g x k x kx
++⎡⎤====⎣⎦++++
+，即结论成立. 由（i ）（ii ）可知，结论对 n ∈N * 成立.
（2）∵()01x
g x x x =
≥+，， ∴()()
221111111x g x g n x x n
=
=-⇒-=-++， ∴g （12﹣1）+g （22﹣1）+g （32﹣1）+…+g （n 2﹣1）
222211*********n ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2222
1111123
n n ⎛⎫=-+++
+ ⎪⎝⎭
()1111122334
1n n n ⎡⎤
-+++
+
⎢⎥⨯⨯⨯+⎢⎥⎣⎦
＜
11111
112231n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=--+-+
+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
21111n n n n ⎛
⎫=--=
⎪++⎝⎭
， ∴g （12﹣1）+g （22﹣1）+g （32﹣1）+…+g （n 2﹣1）
2
1
n n <
+. 【点睛】本小题主要考查数学归纳法，考查不等式的证明，属于中档题. 21.已知函数f （x ）=﹣alnx+（a+1）x ﹣2
12
x （a ＞0）． （1）讨论函数f （x ）的单调性；
（2）若f （x ）≥﹣
212x +ax+b 恒成立，求a 1,12⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，实数b 的最大值． 【答案】(1)见解析；(2)()1
122
ln + 【解析】 【分析】
（1）求出()'f x 并对其因式分解，对a 与1的大小分类讨论，由()'f x 的正负情况判断()f x 的单调性．
（2）把f （x ）≥﹣
2
12x +ax+b 恒成立转化成b ≤﹣alnx+x 恒成立，令g （x ）=﹣alnx+x ，求出g ′（x ）=x a
x
-，判断g （x ）的单调性，从而求得g （x ）min =﹣alna+a ，令h （a ）=
﹣alna+a ，求得h ′（a ）=﹣lna ＞0，即可求得h （a ）min ，问题得解． 【详解】（1）∵f （x ）=﹣alnx+（a+1）x ﹣2
12
x （a ＞0），定义域为（0，+∞）， ∴()()()11x a x a
f x a x x x
---=-
++-=
'，x ＞0 令f ′（x ）=0，则x 1=a ，x 2=1
①当0＜a ＜1时，令f ′（x ）＞0，则a ＜x ＜1； 令f ′（x ）＜0，则0＜x ＜a ，或x ＞1，
∴f （x ）在（0，a ），（1，+∞）上单调递减；在（a ，1）上单调递增； ②当a=1时，f ′（x ）≤0，且仅在x=1时，f ′（x ）=0， ∴f （x ）在（0，+∞）单调递减； ③当a ＞1时，令f ′（x ）＞0，则1＜x ＜a ； 令f ′（x ）＜0，则0＜x ＜1，或x ＞a ，
∴在（0，1 ），（a ，+∞）上单调递减；在（1，a ）上单调递增． 综上所述，
当0＜a ＜1时，f （x ）在（0，a ），（1，+∞）上单调递减；在（a ，1）上单调递增； 当a=1时，f （x ）在（0，+∞）上单调递减；
当a ＞1时，f （x ）在（0，1），（a ，+∞）上单调递减；在（1，a ）上单调递增． （2）∵f （x ）=﹣alnx+（a+1）x ﹣2
12
x （a ＞0） 若()2
1f 2
x x ax b ≥-
++恒成立， ∴b ≤﹣alnx+x 恒成立 令g （x ）=﹣alnx+x ，x ＞0， 即b ≤g （x ）min ， ∵g ′（x ）=1a x a x x
--
=，（a ＞0）， ∴g （x ） 在（0，a ）单调递减，（a ，+∞） 单调递增； g （x ）min =g （a ）=﹣alna+a ∴b ≤﹣alna+a ，a ∈[
1
2
，1]， 令h （a ）=﹣alna+a
∴h ′（a ）=﹣lna ＞0，∴h （a ）单调递增， ∴h （a ）min =h （12）=1
2
（1+ln2）， ∴()1
b 122
ln ≤
+ 即b 的最大值为()1
122
ln +
【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，利用导数求函数的最值，还考查了分类讨论思想及转化思想，考查计算能力，属于难题．
22.已知函数()x
e f x ax lnx x
=-+.
（1）a =1时,求函数f （x ）的极值；
（2）若21142e a ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦
，,求f （x ）的最小值g （a ）的取值X 围. 【答案】（1）f （x ）极小值e ﹣1,无极大值；（2）[ln 2﹣1,e ﹣1].
【解析】
【分析】
(1)代入1a =求导可得()()'21x x f x e x x
-=-,再求导分析单调性与最值可知0x e x ->,进而求得()f x 的极值点与单调区间以及极值.
(2)求导后构造导函数()()'p x f
x =得出()()2'222(0)x e x x x p x x x -+-=>,再根据(1)中的结论可知()'0p x >恒成立,进而可得()'f x 在定义域上单调递增.再根据零点存在定理可知
'0f x 在()0,∞+上有唯一解0x ,且012x ≤≤,进而求得最小值
()()00000
x e g a f x ax lnx x ==-+,再根据隐零点问题消去参数a ,再构造函数关于极值点0x 的函数分析即可.
【详解】(1)当a =1时,()()0x
e f x x lnx x x
=-+＞,则()()()'
221111x x e x x f x e x x x x --=-+=-, 令h （x ）=e x ﹣x ,当x ∈（0,+∞）时,h ′（x ）=e x ﹣1＞0,
∴在（0,+∞）上,h （x ）＞h （0）=1,即e x ＞x ,
令f ′（x ）=0,则x =1,经检验,在（0,1）上,f ′（x ）＜0,f （x ）单调递减,在（1,+∞）上,f ′（x ）＞0,f （x ）单调递增,
∴当x =1时,函数y =f （x ）取得极小值e ﹣1,无极大值；
(2)()()'
211(0)x e x f x a x x x -=-+>,令()()()'211(0)x e x p x f x a x x x -==-+>,
则()()2'322(0)x e x x x
p x x x -+-=>,
由（1）知,当x ∈（0,+∞）时,
e x ＞x ,e x （x 2﹣2x +2）﹣x ＞x （x 2﹣2x +2）﹣x =x （x ﹣1）2≥0,
∴p ′（x ）＞0在（0,+∞）上恒成立,
∴f ′（x ）在定义域上单调递增, ∵21142e a ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦
，, ∴()()2''
11102042e f a f a =-+≤=-+≥，, ∴方程f ′（x ）=0在（0,+∞）上有唯一解,
设方程f ′（x ）=0的解为x 0,则在（0,x 0）上f ′（x ）＜0,在（x 0,+∞）上f ′（x ）＞0,且1≤x 0≤2,
∴f （x ）的最小值为()()00000
x e g a f x ax lnx x ==-+, 由f ′（x ）=0得,()
0020011x e x a x x -=+代入g （a ）得,()()[]000002112x
e x g a lnx x x -=-+∈，，, 令()()
[]2112x e x x lnx x x ϕ-=-+∈，，,则()()2'222x e x x x
x x ϕ--+=,
∵﹣x 2+2x ﹣2=﹣（x ﹣1）2﹣1≤﹣1,
∴e x （﹣x 2+2x ﹣2）+x ≤x ﹣e x ＜0,
∴φ（x ）在[1,2]上为减函数,
∴()()()2,1x ϕϕϕ∈⎡⎤⎣⎦,
∴g （a ）∈[ln 2﹣1,e ﹣1].
【点睛】本题主要考查了求导分析函数单调性的问题,需要根据题意求出函数的极值点,再求出
单调区间与极值.同时也考查了构造函数分析隐零点的问题,需要结合极值点满足的关系式消参,进而求导分析函数的单调性与取值X围.属于难题.。