山东省烟台市高三数学上学期期末自主练习试题理

山东省烟台市2018届高三数学上学期期末自主练习试题 理
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集为R ，集合{}1,1,2,4M =-，{}
2230N x x x =--≤，则()R M C N =( )
A.{
}1,1,2-
B.{}1,2
C.{}4
D.{}12x x -≤≤
2.已知01b a <<<，则下列不等式成立的是( )
A.11a b
>
B.1122a b
⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C.()()22
lg lg a b >
D.
11
lg lg a b
<
3.已知函数()1,0sin ,02
x e x f x x x π-⎧>⎪
=⎨⎛⎫
-≤ ⎪⎪⎝
⎭⎩，则()()0f f =( ) A.0 B.1 C.e
D.1
e
4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且233215S S -=，则数列{}n a 的公差为( ) A.3
B.4-
C.5-
D.6
5.若将函数()sin 24f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度，所得图象关于原点对称，
则ϕ的最小值是( ) A.
8
π
B.
4
π C.
38
π
D.
34
π 6.在区间[]0,π上随机取一个数x ，则事件“2
sin cos x x +≥”发生的概率为( ) A.
12
B.13
C.
712
D.2
3
7.函数2cos y x x =-的图象大致为( )
A
B
C
D
8.在ABC △中，已知AB AC AB AC +=-，1AB =，3AC =，,M N 分别为BC 的三等分点，则AM AN ⋅=( ) A.
109
B.
20
9
C.89
D.83
9.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于( )
A.12
B.18
C.20
D.24
10.已知()1,0F c -，()2,0F c 为双曲线()22
2210,0x y a b a b -=>>的两个焦点，若双曲线上存在点P
使得2
122c PF PF ⋅=-，则双曲线的离心率的取值范围为( )
A.()1,+∞
B.[)2,+∞
C.)
2,⎡+∞⎣
D.)
3,⎡+∞⎣
11.数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，记()
*n n n n n n n c a T b S a b n N =⋅+⋅-⋅∈，若20181S =，20182018T =，则数列{}n c 的前2018项和为( )
A.2017
B.2018 2018 D.
2019
2
12.定义在区间[],a b 上的函数()y f x =，()'f x 是函数()f x 的导函数，若存在(),a b ζ∈，使得()()()()'f b f a f b a ζ-=-，则称ζ为函数()f x 在[],a b 上的“中值点”.下列函数：①()sin f x x =；②()x f x e =；③()()ln 3f x x =+；④()31f x x x =-+.其中在区间[]2,2-上至少有两个“中值点”的函数的个数为( ) A.1
B.2
C.3
D.4
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.()()5
2x y x y --的展开式中33x y 的系数是__________.(用数字作答)
14.设变量,x y 满足约束条件203x y y x x y -≥⎧⎪
≥⎨⎪+≥⎩
，则2z x y =+的最小值为__________.
15.中国古代数学经典《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鐅臑.若三棱锥P ABC -为鐅臑，且PA ⊥平面ABC ，2PA =，3AB =，AB BC ⊥，该鐅臑的外接球的表面积为29π，则该鐅臑的体积为__________.
16.过抛物线()220y px p =>的焦点F 的一条直线交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点，给出以下结论： ①12y y ⋅为定值；
②若经过点A 和抛物线的顶点的直线交准线于点C ，则BC x ∥轴； ③存在这样的抛物线和直线AB ，使得OA OB ⊥(O 为坐标原点)；
④若以点A ，B 为切点分别作抛物线的切线，则两切线交点的轨迹为抛物线的准线. 写出所有正确的结论的序号__________.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知函数(
)22sin 24f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
(1)求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值及相应的x 的值；
(2)在ABC △中，若A B <，且()()12f A f B ==，求BC
AB
的值.
18.某食品集团生产的火腿按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1，2，3，…，8，其中5X ≥为标准A ，3X ≥为标准B .已知甲车间执行标准A ，乙车间执行标准B 生产该产品，且两个车间的产品都符合相应的执行标准.
(1)已知甲车间的等级系数1X 的概率分布列如下表，若1X 的数学期望()1 6.4E X =，求,a b 的值；
(2)为了分析乙车间的等级系数2X ，从该车间生产的火腿中随机抽取30根，相应的等级系数组成一个样本如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3
4 6 3 4 7
5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5
6 7
用该样本的频率分布估计总体，将频率视为概率，求等级系数2X 的概率分布列和均值； (3)从乙车间中随机抽取5根火腿，利用(2)的结果推断恰好有三根火腿能达到标准A 的概率. 19.已知四棱锥S ABCD -，SA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AB DC ∥，
90DAB =∠°，2AB DC =，3AD DC =，M 是SB 中点.
(1)求证：CM ∥平面SAD ；
(2)若直线DM 与平面SAB 3
，F 是SC 的中点，求二面角C AF D --的余弦值.
20.已知点,A B 是椭圆()22
22:10x y L a b a b
+=>>的左右顶点，点C 是椭圆的上顶点，若该椭圆
的焦距为23AC ，BC 的斜率之积为1
4-.
(1)求椭圆L 的方程；
(2)是否存在过点()1,0M 的直线l 与椭圆L 交于两点,P Q ，使得以PQ 为直径的圆经过点C ？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由. 21.已知函数()()ln 1a
f x x x a a x
=+
-+-∈R . (1)求函数()f x 的单调区间； (2)若存在1x >，使()1x
f x x x
-+<
成立，求整数a 的最小值. 22.已知曲线C 的参数方程为1525x y θ
θ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)，以直角坐标系的原点为极点，x 轴
正半冷眉冷眼为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线C 的极坐标方程，并说明其轨迹；
(2)若曲线1C 的极坐标方程为3
sin cos θθρ
-=，曲线C 与1C 相交于,A B 两点，求线段AB 的长
度.
23.已知函数()21f x x =+，()123g x a x =---. (1)当5a =-时，求()()f x g x ≤的解集；
(2)若存在实数x 使得()()f x g x <成立，求实数a 的取值范围.
参考答案
一、 选择题
C D B C C C A B D C B B 二、 填空题
13.120- 14.4 15.4 16.①②④ 三、 解答题
17. 解：（1）(
)1cos 21cos(2)12222
x x f x ππ⎛⎫
-+ ⎪
+-⎝⎭=+-
1sin 22sin 223x x x π⎛
⎫==- ⎪⎝
⎭. 由于02
x π
≤≤
，223
3
3x π
π
π-
≤-
≤
，所以当232x ππ-=即5
12
x π=时， ()f x 取得最大值，最大值为1.
（2）由已知，A 、B 是ABC ∆的内角，A B <,且()()1
2
f A f B ==， 可解得4
A π
=
，712
B π
=
. 所以6
C A B π
π=--=,
得
sin sin BC A
AB C
==18. 解：（1）1()50.26780.1 6.4E X a b =⨯+++⨯= 即67 4.6a b +=① 又0.20.11a b +++=，即0.7a b +=② 联立①②得 67 4.60.7a b a b +=⎧⎨
+=⎩，解得0.3
0.4
a b =⎧⎨=⎩ .
（2）由样本的频率分布估计总体分布，可得等级系数2X 的分布列如下：
8.41.081.071.062.052.043.03)(2=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E ，
即乙车间的等级系数的均值为8.4.
（3）3
3251
15
()()2216
P C =⨯⨯=
. （4）19. （1）证明：取SA 中点N ,连接DN MN ,， 在SAB ∆中，MN //AB ,AB MN 2
1
=
,DC NM DC NM =∴,//, ∴四边形CDNM 为平行四边形. ∴DN CM //
又⊄CM 平面SAD ,DN ⊂平面SAD
∴//CM 平面SAD .
（2）由已知得：,,AB AD AS 两两垂直，以,,AB AD AS 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
,,,⊥⊥=∴⊥AD SA AD AB SA AB A AD 平面SAB ，
∴DMA ∠就是DM 与平面SAB 所成的角.
在Rt AMD 中，3tan AMD ∠=3
AD AM =，
设2=AB ，则3AD =
1=DC 2=∴AM
SAB Rt ∆中，M 为斜边SB 中点，4=∴SB
322422=-=∴AS .
则(0,0,0),(2,0,0)A B ，3,0),3,0)C D ，(0,0,3)S ，13
(3)2F 所以(0,3,0),(1,3,0)AD AC ==，13
(3)2AF =.
设111(,,)=x y z m 是平面ACF 的一个法向量，则
111110
01002⎧=⎧=⎪⎪
⇒⎨⎨=+=⎪⎪⎩
⎩x AC AF x y m m ，令11y =
，得(=m . 设222(,,)=x y z n 是平面ADF 的一个法向量，则
22220
010022
=⎧=⎪⇒⎨⎨=++=⎪⎪⎩
⎩AD AF x y n n ，令21z =
()
∴=-n .
∴cos ,⋅<>=
==
⋅m n m n m n . ∴二面角E AF C --
的余弦值为
13
. 20. 解：（1
）由题意可知，c =,AC BC b b
k k a a
=
=-， 有 221
4
b a -=-，
即2
2
4a b =，又2
2
2
a b c =+，
解得2
2
4,1a b ==，所以椭圆C 的方程为2
214
x y +=. （2）存在；
以PQ 为直径的圆经过点C 可得，CP CQ ⊥，若直线l 的斜率为0，则,A B 为点,P Q
，此时
2
22
5
cos 03ACB ∠=
=-<，此时,CP CQ 不垂直，不满足题意，可设直线l
的方程为：1x my =+，联立2
2141x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，消x 可得，22
(4)230m y my ++-=，
则有1221222434m y y m y y m -⎧
+=⎪⎪+⎨-⎪=
⎪+⎩
. ①
设1122(,),(,)P x y Q x y ，由题意可知120x x ≠，因为CP CQ ⊥，
则1CP CQ k k =-，即
1212
11
1y y x x --⋅=-， 整理可得：2
1212(1)(1)()20m y y m y y ++-++=， ②
将①代入②可得：
2223(1)2(1)
2044
m m m m m -+--+=++， 整理得2
3250m m --=，解得1m =-或者5
3
m =
， 所以直线l 的方程为：10x y +-=或3530x y --=.
21. 解：（1）由题意可知，0x >，222
1()1a x x a
f x x x x -+-'=--=，
方程2
0x x a -+-=对应的14a ∆=-， 当140a ∆=-≤，即1
4
a ≥
时，当(0,)x ∈+∞时，()0f x '≤， ∴()f x 在(0,)+∞上单调递减； 当104
a <<
时，方程2
0x x a -+-=
，
且0<
<，
此时，()f x
在上()0f x '>，函数()f x 单调递增，
在
110)22
-++∞（，），(上()0f x '<，函数()f x 单调递减； 当0a ≤
时，
102<
，102
+>，
此时当()0x f x '∈>，()f x 单调递增，
当)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减； 综上：当0a ≤
时，x ∈，()f x 单调递增，
当)x ∈+∞时， ()f x 单调递减； 当1
04
a <<
时，()f x
在122（，上单调递增，
在
110)22
-++∞（，），(上单调递减； 当1
4
a ≥
时，()f x 在(0,)+∞上单调递减； （2）原式等价于(1)ln 21x a x x x ->+-， 即存在1x >，使ln 21
1
x x x a x +->-成立．
设ln 21
()1
x x x g x x +-=-，1x >，
则2
ln 2
'()(1)
x x g x x --=
-， 设()ln 2h x x x =--， 则11()10x h x x x
-'=-
=>，∴()h x 在(1,)+∞上单调递增． 又(3)3ln321ln30,(4)4ln 4222ln 20h h =--=-<=--=->，根据零点存在性定理，可知()h x 在(1,)+∞上有唯一零点，设该零点为0x ， 则0(3,4)x ∈，且
000()ln 20h x x x =--=，即002ln x x -=，
∴000min 00ln 21
()11
x x x g x x x +-=
=+-
由题意可知01a x >+，又0(3,4)x ∈，a ∈Z ，∴a 的最小值为5.
22. 解：（1）曲线C 的普通方程为5)2()1(2
2
=-+-y x ① 所以曲线C 是以)2,1(为圆心，
5 为半径的圆。

将⎩
⎨⎧==θρθρsin cos y x 代入①式并化简得θθρsin 4cos 2+= 所以曲线C 的极
坐标方程为 θθρsin 4cos 2+=.
（2）由题意得，曲线1C 的直角坐标方程为03=+-y x .所以圆心C 到直线1C 的距离为
22
2
==
d 所以32252||=-=AB . 23. 解：（1）当5a =-时，原不等式可化为6|32||12|≤-++x x ,等价于
⎪⎩⎪⎨⎧≤-++>6)32()12(23x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤--+≤≤-6)32()12(2321x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤--+--
<6
)32()12(2
3x x x
解得223≤<x 或2321≤≤-x 或211-<≤-x 所以原不等式的解集为{}21|≤≤-x x .
（2）|1||32||12|-<-++a x x 成立 4|)32()12(||32||12|=--+≥-++x x x x
4|1|>-∴a ∴ 3-<a 或5>a , 所以实数a 的取值范围是：
),5()3,(+∞--∞ .。