2021年中考数学·考点梳理 专题18 解直角三角形问题(教师版)

2021年中考数学·考点梳理专题18解直角三角形问题
一、勾股定理
1．勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2。

2．勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2＋b2=c2。

，那么这个三角形是直角三角形。

3.定理：经过证明被确认正确的命题叫做定理。

4.我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

（例：勾股定理与勾股定理逆定理）
5.直角三角形的性质：
(1)直角三角形的两锐角互余；
(2)直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方；
(3)直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半；
(4)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

6.直角三角形的判定：
(1)有一个角等于90°的三角形是直角三角形
(2)两锐角互余的三角形是直角三角形
(3)两条边的平方和等于另一边的平方的三角形是直角三角形
(4)有一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形
二、锐角三角函数
1.各种锐角三角函数的定义
（1）正弦：在△ABC中，∠C=90°把锐角A的对边与斜边的比值叫做∠A的正弦，记作sinA＝∠A的对边
斜边
（2）
余弦：在△ABC中，∠C=90°，把锐角A的邻边与斜边比值的叫做∠A的余弦，记作cosA＝∠A的邻边
斜边
（3）正切：在△ABC中，∠C=90°，把锐角A的对边与邻边的比值叫做∠A的正切，记作tanA＝∠A的对边∠A的邻边
2.特殊值的三角函数：
αsinα
cos
α
tanα
cotα
0°010不存在
30°1232333
45°
22221
1
60°32123
3
390°1
不存在
三、仰角、俯角、坡度概念1．仰角：视线在水平线上方的角；2．俯角：视线在水平线下方的角。

:i h l
=h
l
α
3．坡度(坡比)：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。

用字母i 表示，即h
i l
=。

把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h
i l
α==。

四、各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系
sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)（2）平方关系1
cos sin 22=+A A （3）倒数关系tanA ∙tan(90°—A)=1（4）弦切关系
tanA=
A
A cos sin
【例题1】（2019•湖北省鄂州市）如图，已知线段AB＝4，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝60°，P点是直线l上一点，当△APB为直角三角形时，则BP＝．
【答案】2或2或2．
【解析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
分∠APB＝90°、∠PAB＝90°、∠PBA＝90°三种情况，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．
∵AO＝OB＝2，
∴当BP＝2时，∠APB＝90°，
当∠PAB＝90°时，∵∠AOP＝60°，
∴AP＝OA•tan∠AOP＝2，
∴BP＝＝2，
当∠PBA＝90°时，∵∠AOP＝60°，
∴BP＝OB•tan∠1＝2，
故答案为：2或2或2．
【例题2】（2019•湖南长沙）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（）
A．30nmile B．60nmile
C．120nmile D．（30+30）nmile
【答案】D
【解析】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
过点C作CD⊥AB，则在Rt△ACD中易得AD的长，再在直角△BCD中求出BD，相加可得AB的长．
过C作CD⊥AB于D点，
∴∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，AC＝60．
在Rt△ACD中，cos∠ACD＝，
∴CD＝AC•cos∠ACD＝60×＝30．
在Rt△DCB中，∵∠BCD＝∠B＝45°，
∴CD＝BD＝30，
∴AB＝AD+BD＝30+30．
答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30）nmile．
【例题3】（2019•江苏连云港）如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53°的方向上，位于哨所B南偏东37°的方向上．（1）求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离；
（2）若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截．（结果保留根号）
（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37°＝sin53°≈，tan37°≈，tan76°≈4）
【答案】（1）观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里；
（2）当缉私艇的速度为6海里/小时时，恰好在D处成功拦截．
【解析】（1）先根据三角形内角和定理求出∠ACB＝90°，再解Rt△ABC，利用正弦函数定义得出AC即可；
在△ABC中，∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣37°﹣53°＝90°．
在Rt△ABC中，sinB＝，∴AC＝AB•sin37°＝25×＝15（海里）．
答：观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里；
（2）过点C作CM⊥AB于点M，易知，D.C.M在一条直线上．解Rt△AMC，求出CM、AM．解Rt△AMD中，求出DM、AD，得出C D．设缉私艇的速度为x海里/小时，根据走私船行驶CD所用的时间等于缉私艇行驶AD所用的时间列出方程，解方程即可．过点C作CM⊥AB于点M，由题意易知，D.C.M在一条直线上．
在Rt△AMC中，CM＝AC•sin∠CAM＝15×＝12，AM＝AC•cos∠CAM＝15×＝9．
在Rt△AMD中，tan∠DAM＝，∴DM＝AM•tan76°＝9×4＝36，
∴AD＝＝＝9，CD＝DM﹣CM＝36﹣12＝24．
设缉私艇的速度为x海里/小时，则有＝，解得x＝6．经检验，x＝6是原方程的解．
答：当缉私艇的速度为6海里/小时时，恰好在D处成功拦截．
一、选择题
1．（2019•渝北区）如果下列各组数是三角形的三边，则能组成直角三角形的是（）
A．1，
，2
B．1，3，4
C．2，3，6
D．4，5，6
【答案】A ．
【解析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
A.12+（）2＝22
，故是直角三角形，故此选项正确；
B.12+32≠42，故不是直角三角形，故此选项错误；
C.22+32≠62，故不是直角三角形，故此选项错误；
D.42+52≠62，故不是直角三角形，故此选项错误．
2．（2019•巴南区）下列各组数据中，能够成为直角三角形三条边长的一组数据是（）
A．，
，
B．32
，42
，5
2
C．
D．0.3，0.4，0.5
【答案】D ．
【解析】先根据三角形的三边关系定理看看能否组成三角形，再根据勾股定理的逆定理逐个判断即可．
A.（）2+（）2≠（）2，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
B.（32）2+（42）2≠（52）2，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
C.（
）2
+（
）2
≠（
）2
，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
D.0.032+0.042＝0.052，即三角形是直角三角形，故本选项符合题意。

3.（2019广西省贵港市）将一条宽度为2cm 的彩带按如图所示的方法折叠，折痕为AB ，重叠部分为ABC ∆（图中阴影部分），若45ACB ∠=︒，则重叠部分的面积为(
)
A．222cm B．23cm C．24cm D．2
42cm 【答案】A ．
4.（2019贵州省毕节市）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为（）
B．3D．5
【答案】B．
【解析】勾股定理．
∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，∴BC2＝EC2﹣EB2＝22﹣12＝3，
∴正方形ABCD的面积＝BC2＝3．故选：B．
5．（2019•南岸区）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，BC的垂直平分线交AC于点D，并交BC于点E，若ED＝3，则AC的长为（）
A．3B．3C．6D．9
【答案】D．
6．（2019•西藏）如图，在⊙O中，半径OC垂直弦AB于D，点E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝2，则半径OB等于（）
A．1B．C．2D．2
【答案】B
7.（2019•江苏苏州）如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为183m的地面上，若测角仪的高度为1.5m，测得教学楼的顶部A
处的仰角为30o，则教学楼的高度是（）
A．55.5m B．54m C．19.5m D．18m
【答案】C
8.（2019•湖南长沙）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD 的最小值是（）
A．2B．4C．5D．10
【答案】B．
二、填空题
9.（2019·贵州安顺）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为．
【答案】．
10.（2019贵州省毕节市）三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，点B 在ED 上，AB ∥CF ，∠F ＝∠ACB ＝90°，∠E ＝45°，∠A ＝60°，AC ＝10，则CD 的长度是
．
【答案】．
11.(2019海南)如图,将Rt△ABC 的斜边AB 绕点A 顺时针旋转α(0°<α<90°)得到AE,直角边AC 绕点A 逆时针旋转β(0°<β<90°)得到AF,连接EF,若AB＝3,AC＝2,且α+β＝∠B,则EF＝________.
【答案】12.（2019黑龙江哈尔滨）如图将△ABC 绕点C 逆时针旋转得到△A′B′C,其中点A′与A 是对应点,点B′与B 是对应点,点B′落在边AC 上,连接A′B,若∠ACB=45°,AC=3,BC=2,则A′B 的长为
．
【答案】：
13.（2019山东东营）已知等腰三角形的底角是30°
，腰长为【答案】6+
14.（2019•浙江宁波）如图，某海防哨所O 发现在它的西北方向，距离哨所400米的A 处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B 处，则此时这艘船与哨所的距离OB 约为米．（精确到1米，参
考数据：
≈1.414，
≈1.732）
【答案】456
15.（2019•海南省）如图，将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转β（0°＜β＜90°）得到AF，连结EF．若AB＝3，AC＝2，且α+β＝∠B，则EF＝．
【答案】
16．（2019•山东临沂）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，则△ABC的面积是．
【答案】8．
三、解答题
17.（2019黑龙江省龙东地区）如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，AD 与BE 交于点F ，BH ⊥AB 于点B ，点M 是BC 的中点，连接FM 并延长交BH 于点H ．
（1）如图①所示，若∠ABC ＝30°，求证：DF ＋BH BD ；（2）如图②所示，若∠ABC ＝45°，如图③所示，若∠ABC ＝60°（点M 与点D 重合），猜想线段DF ，BH ，BD 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．
图①图②图③
【答案】见解析。

【解析】条件中有等腰三角形ABC，故考虑用等腰三角形的性质；条件中有30°角，且有AD⊥BC，故可以找到与
BD 有关的3的数量关系，即AD ＝3
BD ；条件中有中点，故考虑构造全等三角形.结合以上信息，再结合问题中的DF,BH 两条线段，因此连接CF，问题可解.对于图②和图③，可仿照（1）的思路求解.
（1）证明：连接CF，∵AB=BC，∠ABC==30°，∴∠BAC=∠ACB=75°.
∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=60°，∴∠DAC=15°
∵AB=BC，BE⊥AC，∴BE 垂直平分AC，∴AF=CF，
∴∠ACF=∠DAC=15°，∴∠BCF=75°-15°=60°，
∵BH⊥AB，∠ABC=30°，∴∠CBH==60°，∴∠CBH=∠BCF=60°.
在△BHM 和△CFM 中，∠CBH=∠BCF，BM=CM，∠BMH=∠CMF，∴△BHM≌△CFM，
∴BH=CF,∴BH=AF，∴AD=DF+AF=DF+BH.在Rt△ADB 中，∠ABC=30°，∴AD=
3
BD,∴DF ＋BH ＝33BD .
（2）图②猜想结论：DF ＋BH ＝BD ；图③猜想结论：DF ＋BH BD
18.（2019▪广西池河）如图，在河对岸有一棵大树A，在河岸B点测得A在北偏东60°方向上，向东前进120m到
达C点，测得A在北偏东30°方向上，求河的宽度（精确到0.1m）．参考数据：≈1.414，≈1.732．
【答案】见解析。

【解析】过点A作AD⊥直线BC，垂足为点D，在Rt△ABD和Rt△ACD中，通过解直角三角形可求出BD，CD的长，结合BC＝BD﹣CD＝120，即可求出AD的长．
过点A作AD⊥直线BC，垂足为点D，如图所示．
在Rt△ABD中，tan∠BAD＝，
∴BD＝AD•tan60°＝AD；
在Rt△ACD中，tan∠CAD＝，
∴CD＝AD•tan30°＝A D．
∴BC＝BD﹣CD＝AD＝120，
∴AD＝103.9．
∴河的宽度为103.9米．
19.（2019•湖南怀化）如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸B处测得对岸A处一棵柳树位于北偏东60°方向，他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达C处，此时测得柳树位于北偏东30°方向，试计算此段河面的宽度．
【答案】这条河的宽度为30米．
【解析】如图，作AD⊥于BC于D．
由题意可知：BC＝1.5×40＝60米，∠ABD＝30°，∠ACD＝60°，
∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝30°，
∴∠ABC＝∠BAC，
∴BC＝AC＝60米．
在Rt△ACD中，AD＝AC•sin60°＝60×＝30（米）．
答：这条河的宽度为30米．
20.（2019四川巴中）某区域平面示意图如图所示，点D在河的右侧，红军路AB与某桥BC互相垂直．某校“数学兴趣小组”在“研学旅行”活动中，在C处测得点D位于西北方向，又在A处测得点D位于南偏东65°方向，另测得BC＝414m，AB＝300m，求出点D到AB的距离．（参考数据sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）
【答案】点D到AB的距离是214m．
【解析】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确根据三角函数列方程是解题的关键．如图，过点D作DE⊥AB于E，过D作DF⊥BC于F，则四边形EBFD是矩形，
设DE＝x，
在Rt△ADE中，∠AED＝90°，
∵tan∠DAE＝，
∴AE＝＝，
∴BE＝300﹣，
又BF＝DE＝x，
∴CF＝414﹣x，
在Rt△CDF中，∠DFC＝90°，∠DCF＝45°，
∴DF＝CF＝414﹣x，
又BE＝CF，
即：300﹣＝414﹣x，
解得：x＝214
21.（2019•湖北省荆门市）如图，已知平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝3，AC＝2．
（1）求平行四边形ABCD的面积；
（2）求证：BD⊥B C．
【答案】见解析。

【解析】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理及其逆定理以及全等三角形的判定与性质，综合性较强．（1）作CE⊥AB交AB的延长线于点E，如图：
设BE＝x，CE＝h
在Rt△CEB中：x2+h2＝9①
在Rt△CEA中：（5+x）2+h2＝52②
联立①②解得：x＝，h＝
∴平行四边形ABCD的面积＝AB•h＝12；
（2）作DF⊥AB，垂足为F
∴∠DFA＝∠CEB＝90°
∵平行四边形ABCD
∴AD＝BC，AD∥BC
∴∠DAF＝∠CBE
又∵∠DFA＝∠CEB＝90°，AD＝BC
∴△ADF≌△BCE（AAS）
∴AF＝BE＝，BF＝5﹣＝，DF＝CE＝
在Rt△DFB中：BD2＝DF2+BF2＝（）2+（）2＝16
∴BD＝4
∵BC＝3，DC＝5
∴CD2＝DB2+BC2
∴BD⊥B C．
22.（2019广东深圳）如图所示，某施工队要测量隧道长度BC，AD=600米，AD⊥BC，施工队站在点D 处看向B，测得仰角45°，再由D 走到E 处测量，DE∥AC，DE=500米，测得仰角为53°，求隧道BC 长.（sin53°≈5
4，cos53°≈53，tan53°≈3
4）.
【答案】隧道BC 的长度为700米．
【解析】作EM⊥AC 于点M，构建直角三角形，解直角三角形解决问题．
如图，△ABD 是等腰直角三角形，AB=AD=600．
作EM⊥AC 于点M，则AM=DE=500，∴BM=100．
在Rt△CEM 中，tan53°=
CM EM ，即600CM =43
，∴CM=800，∴BC=CM－BM=800－100=700（米），
∴隧道BC 的长度为700米．
答：隧道BC 的长度为700米．
23.（2019湖北十堰）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，AD＝3m，坝高AE＝DF＝6m，坡角α＝45°，β＝30°，求BC的长．
【答案】BC的长（9+6 ）m．
【解析】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
过A点作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC于点F，
则四边形AEFD是矩形，有AE＝DF＝6，AD＝EF＝3，
∵坡角α＝45°，β＝30°，
∴BE＝AE＝6，CF DF＝6 ，
∴BC＝BE+EF+CF＝6+3+6 9+6 ，∴BC＝（9+6 ）m，
答：BC的长（9+6 ）m．
24.（2019湖南郴州）如图所示，巡逻船在A处测得灯塔C在北偏东45°方向上，距离A处30km．在灯塔C的正南方向B处有一渔船发出求救信号，巡逻船接到指示后立即前往施救．已知B处在A处的北偏东60°方向上，这时巡逻船与渔船的距离是多少？
（精确到0.01km．参考数据： 1.414， 1.732， 2.449）
【答案】巡逻船与渔船的距离约为8.97km．
【解析】延长CB交过A点的正东方向于D，则∠CDA＝90°，由题意得：AC＝30km，∠CAD＝45°，∠BAD＝30°，
由直角三角形的性质得出AD＝CD ＝15 ，AD BD，BD 5 ，即可得出答案．
延长CB交过A点的正东方向于D，如图所示：
则∠CDA＝90°，
由题意得：AC＝30km，∠CAD＝90°﹣45°＝45°，∠BAD＝90°﹣60°＝30°，
∴AD＝CD ＝15 ，AD BD，
∴BD 5 ，
∴BC＝CD﹣BD＝15 5 15×1.414﹣5×2.449≈8.97（km）；
答：巡逻船与渔船的距离约为8.97km．。