江西省赣州市赣南师范学院附属中学2020年高三数学理测试题含解析

江西省赣州市赣南师范学院附属中学2020年高三数学
理测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知，，则的值为
(A). (B). (C).
(D).
参考答案：
C
略
2. 若执行如图所示的程序框图，输出S的值为3，则判断框中应填人的条件是
A． 6 ？
B．7 ？
C．8 ？
D．9 ？
参考答案：
C
3. 已知函数f（x）=asinx+bcosx（x∈R），若x=x0是函数f（x）的一条对称轴，且
tanx0=3，则点（a，b）所在的直线为（）
A．x﹣3y=0 B．x+3y=0 C．3x﹣y=0 D．3x+y=0
参考答案：
A
【考点】H6：正弦函数的对称性．
【分析】利用辅助角公式将函数进行化简，求出函数的对称轴即可得到结论．
【解答】解：f（x）=asinx+bcosx=（sinx+cosx），
令sinα=，则cosα=，即tanα=，
则f（x）=cos（x﹣α），
由x﹣α=kπ，得x=α+kπ，k∈Z，
即函数的对称轴为x=α+kπ，k∈Z，
∵x=x0是函数f（x）的一条对称轴，
∴x0=α+kπ，则tanx0=tanα==3，即a=3b，
即a﹣3b=0，
则点（a，b）所在的直线为x﹣3y=0，
故选：A
4. 已知i是虚数单位，则复数的虚部等于（）
A. B. C.
D. 1
参考答案：
D
略
5. 已知全集U={1，2，3，4，5}，A∩?U B={1，2}，?U（A∪B）={4}，则集合B为（）A．{3} B．{3，5} C．{2，3，5} D．{1，2，3，5}
参考答案：
B
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】集合．
【分析】利用已知条件求出A∪B，通过A∩?U B={1，2}，即可求出B．
【解答】解：全集U={1，2，3，4，5}，?U（A∪B）={4}，
可得A∪B={1，2，3，5}
∵A∩?U B={1，2}，
∴A={1，2，3}，
则B={3，5}．
故选：B．
【点评】本题考查集合的基本运算，交、并、补的求法，考查计算能力．
6. 若实数x，y满足不等式组则z=2x－y的取值范围是A．[－5,3] B．[－5,1] C[1,3] D．[－5,5]
参考答案：
A
7. 已知△ABC的外接圆半径为1，圆心为O，且3+4+5=，则?的值为( )
A．﹣B．C．﹣D．
参考答案：
A
考点：向量在几何中的应用．
专题：平面向量及应用．
分析：先将一个向量用其余两个向量表示出来，然后借助于平方使其出现向量模的平方，则才好用上外接圆半径，然后进一步分析结论，容易化简出要求的结果．
解答：解：因为3+4+5=，
所以，
所以，
因为A，B，C在圆上，所以．
代入原式得，
所以
=
=．
故选：A．
点评：本题考查了平面向量在几何问题中的应用．要利用向量的运算结合基底意识，将结论进行化归，从而将问题转化为基底间的数量积及其它运算问题．
8. 已知两个单位向量与的夹角为，则与互相垂直的充要条件是（）
A．或 B．或
C．或 D．为任意实数
参考答案：
A
略
9. 已知集合M={y|y=x2+1，x∈R}，集合N={y|y=ln（x+1）+1，x∈R}，则M∩N等于
（）
A．{（0，1）} B．（0，1）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）
参考答案：
D
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题；集合．
【分析】求出M中y的范围确定出M，求出N中y的范围确定出N，找出两集合的交集即可．
【解答】解：由M中y=x2+1≥1，即M=[1，+∞），
由N中y=ln（x+1）+1，即N=（﹣∞，+∞），
则M∩N=[1，+∞），
故选：D．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
10. 要得到函数的图象，只要将函数的图象
A.向左平移单位
B.向右平移单位高考资源网w。

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C.向右平移单位
D.向左平移单位
参考答案：
D
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数f(x)=2sinx+3x，若f（6－a2）+f(5a)>0，则实数a的取值范围是＿＿＿
参考答案：
（-1，6）
略
12. 已知函数，若方程f（x）+f（2﹣x）=t恰有4个不同的实数根，则实数t的取值范围是．
参考答案：
（，2）
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】方程f（x）+f（2﹣x）=t恰有4个不同的实数根?g（x）=f（x）+f（2﹣x）
=与y=t的交点，画出图象，根据图象即可求解．
【解答】解：由，
得f（2﹣x）=，
g（x）=f（x）+f（2﹣x）=
画出函数g（x）的图象（如图），f（﹣）=f（）=．
方程f（x）+f（2﹣x）=t恰有4个不同的实数根，则实数t的取值范围是：（）故答案为：（）
13. 已知点A（1，﹣2），B（5，6），直线l经过AB的中点M，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程是．
参考答案：
2x﹣3y=0，或 x+y﹣5=0
【考点】直线的截距式方程．
【专题】直线与圆．
【分析】求出中点坐标，当直线过原点时，求出直线方程，当直线不过原点时，设直线的方程为x+y=k，把中点坐标代入直线的方程可得k值，即得所求的直线方程．
【解答】解：点A（1，﹣2），B（5，6）的中点坐标公式（3，2），
当直线过原点时，方程为 y=x，即 2x﹣3y=0．
当直线不过原点时，设直线的方程为x+y=k，把中点（3，2）代入直线的方程可得 k=5，故直线方程是 x+y﹣5=0．
综上，所求的直线方程为 2x﹣3y=0，或 x+y﹣5=0，
故答案为：2x﹣3y=0，或 x+y﹣5=0．
【点评】本题考查用待定系数法求直线方程，体现了分类讨论的数学思想，注意当直线过原点时的情况，这是解题的易错点．
14. 已知，则=__________
参考答案：
略
15. 若复数是纯虚数，则实数的值为____________。

参考答案：
2
16. 若二项式的展开式中，第4项与第7项的二项式系数相等，则展开式中的系数为．（用数字作答）
参考答案：
9
略
17. 对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个
三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心.若，则该函数的
对称中心为，计算 .
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）如图，已知点，函数的图象上的动点在轴上的射影为，且点在点的左侧.设，的面积为.
（I）求函数的解析式及的取值范围；
（II）求函数的最大值.
参考答案：
（I）由已知可得，所以点的横坐标为,
因为点在点的左侧，所以，即.
由已知，所以，
所以
所以的面积为.--
（II）
由，得（舍）,或.
函数与在定义域上的情况如下：
↘
所以当时，函数取得最大值8.
19. (14分)如图，在四棱锥中，是矩形，平面，
，点是的中点，点在上移动．
(1)求三棱锥的体积；（4分）
(2)当点为的中点时，试判断与平面的关系，并说明理由；（4分）
(3)求证：（6分）
参考答案：
(1) 证明：∵平面，…………………… 1分
∴＝…………………… 4分
(2)解：当点为的中点时，∥平面. …………………… 5分
理由如下：∵点分别为的中点，
∴∥. …………………… 6分
又∵?平面，平面，
∴∥平面. …………………… 8分
(3)证明：∵平面,?平面,.
∵是矩形，∴.
∵∩，∴. …………………… 10分
∵,∴. …………………… 11分
∵=，点是的中点，
∴.
又∩，
∴. …………………… 13分
∵
∴. …………………… 14分
20. （本题满分12分）本题有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分。

已知关于t的方程一个根为
（1）求方程的另一个根及实数a的值；
（2）若上恒成立，试求实数m的取值范围。

参考答案：
略
21. 已知椭圆）的离心率为,椭圆的短轴端点与双曲线
的焦点重合，过点P(4，0)且不垂直于x轴直线，与椭圆C相交于A、B两点．
(I)求椭圆C的方程；
(II)已知O是坐标原点，求的取值范围。

(Ⅲ)若点B关于x轴的对称点是点E，证明：直线AE与x轴相交于定点。

参考答案：
略
22. （14分）在△ABC在，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosC=，sinA=cosB．
（1）求tanB的值；
（2）若c=，求△ABC的面积．
参考答案：
【考点】正弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】（1）由cosC=，C∈（0，π），可得sinC=，由A+B+C=π，可得
sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=，又sinA=cosB．即可得出tanB．
（2）由（1）知tanB=，可得sinB，cosB．利用正弦定理得，又
sinA=cosB，利用S=bcsinA即可得出．
【解答】解：（1）∵cosC=，C∈（0，π），
∴sinC==，
∵A+B+C=π，
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=，
又sinA=cosB．
∴cosB=，
∴tanB=．
（2）由（1）知tanB=，∴，cosB=．
由正弦定理得，=，
又sinA=cosB=，
S=bcsinA==．
【点评】本题考查了正弦定理、两角和差的正弦函数、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。