大学物理学 第十二章 稳 恒 磁 场

Φm＝ S dΦm
B •d S
S
B
它表示，由闭合曲面穿出的磁通量为正，
穿入闭合曲面内的磁通量为负。
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二、磁场的高斯定理
磁场中磁感应线与闭合曲面S 的关系共有三种情况：
①与S 相离
③
②与S 相交 对磁通量的贡献均为零 。 ③与S 相切
② ①
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高斯定理的证明
0
B
L
D
A
φ
I
安培环路定律
图4.17 计算环流(3)
B dl μ 0 I 或 B dl μ 0 i dS
(L)
【讨论】：
1.
（L内）
(L)
(S)
i f x, y, z ,
且
di 0
dt
2. 只适用于闭合回路，或无限长电流
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1. 均匀载流长直圆柱体的磁场
I
设：长直圆柱体半径R，沿轴向通
同上
B dl μ 0I
(L)
3. 若沿-L，反向积分
I
L
dl
dl dl//
计算环流(2)
B dl B cosθ dl μ 0I
(L)
(L)
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4. 若环路L 未包围电流
B dl B dl B dl
(L)
ABC
CDA
C
μ0I 2π
dφ
ABC
dφ
CDA
大学物理学
第十二章 稳 恒 磁 场
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直线电流的推广 ▪平面电流，平板电流，无限大平面电流，无限大平板电流
▪圆弧面电流，圆弧体电流，圆柱面电流，圆柱体电流
I↑ y
x
Iz y
x
平面电流
圆弧电流
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低速运动电荷的电场和磁场
如图所示，电荷 q 以速度υ 沿 x 轴运动， y
c e f b
B dl B dl B dl B dl B dl
bcef
b
c
e
f
e b
l
c B dl f B dl 0
f
e
c f
B d l b
e
Bdl
0nef l 0nIl
Bef Bbc Bef 0nI 0nI
磁场为无源场
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磁高斯定理的微分形式 • 利用数学的高斯定理
B B d S 0
S
BdV 0
B 0
V
说明恒磁场的散度为零——无源场
根据矢量分析，若一个位置的矢量函数是通过取另一个矢 量函数A的旋度得出的，则该矢量函数的散度处处为零
( A) 0
磁场B总可以通过取另一个矢量场A的旋度得到
按定律
π r2
B dl
( L2 )
μ0I π R2
则
B
μ 0Ir 2π R2
载流圆柱体的磁场
B
均匀载流长直圆柱体的磁场分布见图。
特别： r 0时
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r R时
B0.
B 0 I (最大） 2 R
OR
r
载流圆柱体
磁场分布曲线
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【讨论】： 均匀载流长直圆柱体的磁场问题可扩展为 1) 载流圆柱面，载流圆柱管，多层载流圆柱管（体）；
B外 0
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例题3 求载流螺绕环的磁场分布。设螺绕环均匀密绕 N 匝， 通有电流 I ，每一匝圆环的直径为R2－R1。
解 由分析知磁场分布为轴对称，磁感应线为同轴圆形曲线，
与轴距离相同的各点B大小相同，方向沿圆的切线方向。
在环内:取r为半径的圆为积分回路 , 则
LB d l LB d l
B A
矢量A称为磁矢势，简称矢势。
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A 0 库仑规范 10
§12.5 安培环路定理
一、 安培环路定理
1、表述 在稳恒电流的磁场中，磁感应强度B 沿任何闭合路
径L的线积分( 环流 ) 等于路径 L 内所包围的电流的
代数和的μ0倍。
通过任意闭合路径的环流
B dl L
0
L内 I i
设磁场中 某点处的磁 感应强度为 B ，
定义该点处任意面元 矢量的磁通量为
dΦm Ben d S Bcos d S
磁场中任意曲面 S 的磁通量
S
dS
Φm
BdS
S
B cos d S
S
SI 单位: 韦伯(Wb) 1 Wb 1Tm2
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磁场线
en
B
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若为闭合曲面，规定由里向外为法线的正方向则有:
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则在空间 P 点的电场
q
E 4 0r 3 r
显然
P q
z
B
B 00 ( E)
E
x
c
1
1 c2
(
E)
0 0 真空中的光速
电荷的电场和磁场
思考：两个运动电荷之间的 相互作用是否满足牛顿第三 定律？
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§12.4 磁场的高斯定理
一 、磁通量 Φm
通过磁场中某一曲面的磁感应线的条数叫磁通量。
B2r 0 NI
因而有:
B 0 NI 2r
螺绕环内各处的磁场强弱不同，与 r 成反比。
同理，环外: B 0
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例题4 无限大平面电流的磁场。一无限大的载流平面，其电
流线密度（垂直于电流线的单位长度上的电流）为α。求距平面为
d 的任一点的磁感应强度。
解 由分析知磁场分布为面对称。平面两侧
(S)
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通过磁场中任一闭合曲面的磁通量恒等于零。
通过任意闭合 曲面的磁通量
高斯面上各点的磁感应强度
Φm
Bd S 0
S
磁场的高斯定理
高斯面
电场高斯定理
反映闭合曲面的电通量
与所包围电量之间的关
系
SE
dS
1
0
qi
磁场高斯定理
反映闭合曲面的磁通量 恒为零。
SB dS 0
电场为有源场
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2) 非均匀载流圆柱体，非均匀载流圆柱管，非均匀载流多层圆柱 管（体）；
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例题2 求无限长载流直螺线管内、外的磁场。
解 由电流分布的对称性知：在管内平行于轴线的任一直线
上各点的B 都相等。
选如图abcd为安培环路，则有
b c d a
B dl B dl B dl B dl B dl
电流元的磁感应线两处穿过闭面S 的通量
dφ1
dφ 2
μ0 4π
μ0 4π
Idl r1
r3 Idl r2
r
3
dS1
dS2
-B1 dS1 B2 dS2 BdS
d1 d2 0
B2
dS2
S
B1
dS1
θ
Idl
再根据叠加原理，即可得
高斯定理的证明
B dS 0
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B dl B cosθ dl
(L)
(L)
其中 cosθ dl rdφ , B μ 0I 2π r
所以
B dl
(L)
μ0I 2π
dφ
μ0I
L I
dφ r
计算环流(1)
B
θ dl
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2. 设环路 L 不在同一平面内
由
dl dl// dl
而
B dl B dl//
j
的磁场线为与面平行的水平直线族。
P
d
过 P 点作图示的安培环路ABCD ，则有:
B C
B • d l B d l B d l
L
A
B
D A
C B d l D B d l
Bl 0 Bl 0 0l
C
l
B
B
d •P
B 0
2
D
A
B
无限大均匀载流平面在其外部产生均匀磁场。
abcd b B
dl
a
d b B dl 0
c
d
l
a
c
c a
a
d
B d l b
Bdl
d
0I 0
b
c
Bbcl Bdal 0
Bbc 0nI
Bda Bbc 0nI B内 0nI
无限长载流直螺线管内的磁场为均匀磁场。
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再取环路b c e f ，则
有旋场
环路内所包围电流 的代数和
安培路环
安培环路上各点 的磁感应强度
1）∑ Ii 为代数和，其中 Ii 正负的 规定:
LL
I0
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I0
2）所谓包围: 以 L 为边界作任意曲面， LL I 一定与此面相交。
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计算无限长直电流的磁场中 的B 环流
1. 设环路 L 在垂直于之电流的平面内
以电流I，且横截面上均匀分布。
L1
1）柱外 ( r ≥ R ) ：
分析得
B dl B 2π r
( L1 )
按定律
B dl μ 0I
( L1 )
载流圆柱体的磁场
则 B μ0I 2πr
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2）柱内 ( r ≤ R ) ：
I
L2
分析得
B dl B 2π r
( L2 )