本科高数复习题
大一高等数学复习题(含答案)
大一高等数学复习题(含答案)复习题一、 单项选择题：1、5lg 1)(-=x x f 的定义域是（ D ） A 、()),5(5,+∞∞- B 、()),6(6,+∞∞- C 、()),4(4,+∞∞- D 、())5,4(4, ∞- ()),6(6,5+∞2、如果函数f(x)的定义域为[1，2]，则函数f(x)+f(x 2)的定义域是（ B ） A 、[1，2] B 、[1，2] C 、]2,2[- D 、]2,1[]1,2[ -- 3、函数)1lg()1lg(22x x x x y -++++=( D )A 、是奇函数，非偶函数B 、是偶函数，非奇函数C 、既非奇函数，又非偶函数D 、既是奇函数，又是偶函数解：定义域为R ，且原式=lg(x 2+1-x 2)=lg1=0 4、函数)10(1)(2≤≤--=x x x f 的反函数=-)(1x f（ C ） A 、21x - B 、21x --C 、)01(12≤≤--x x D 、)01(12≤≤---x x5、下列数列收敛的是（ C ） A 、1)1()(1+-=+n nn f n B 、⎪⎩⎪⎨⎧-+=为偶数为奇数n nn n n f ,11,11)(C 、⎪⎩⎪⎨⎧+=为偶数为奇数n n n n n f ,11,1)( D 、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=为偶数为奇数n n n f n nnn,221,221)(解：选项A 、B 、D 中的数列奇数项趋向于1，偶数项趋向于-1，选项C 的数列极限为06、设1111.0个n ny =，则当∞→n 时，该数列（ C ）A 、收敛于0.1B 、收敛于0.2C 、收敛于91 D 、发散解：)1011(91101101101111.02n n ny-=+++==7、“f(x)在点x=x 0处有定义”是当x →x 0时f(x)有极限的（ D ）A 、必要条件B 、充分条件C 、充分必要条件D 、无关条件8、下列极限存在的是（ A ） A 、2)1(lim x x x x +∞→ B 、121lim -∞→xxC 、xx e 10lim → D 、xx x 1lim2++∞→解：A 中原式1)11(lim =+=∞→xx 9、xx x x x x sin 2sin 2lim 22+-+∞→=（ A ）A 、21B 、2C 、0D 、不存在解：分子、分母同除以x2，并使用结论“无穷小量与有界变量乘积仍为无穷小量”得 10、=--→1)1sin(lim 21x x x （ B ）A 、1B 、2C 、21D 、0 解：原式=21)1sin()1(lim 221=--⋅+→x x x x11、下列极限中结果等于e 的是（ B ） A 、xxx x x sin 0)sin 1(lim +→ B 、xxx xx sin )sin 1(lim +∞→C 、xx x xx sin )sin 1(lim -∞→- D 、xxx xxsin 0)sin 1(lim +→解：A 和D 的极限为2， C 的极限为1 12、函数||ln 1x y =的间断点有（ C ）个 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 解：间数点为无定义的点，为-1、0、1 13、下列函灵敏在点x=0外均不连续，其中点x=0是f(x)的可去间断点的是（ B ）A 、x x f 11)(+=B 、x xx f sin 1)(=C 、xe xf 1)9= D 、⎪⎩⎪⎨⎧≥<=0,0,)(1x e x e x f x x解：A 中极限为无穷大，所以为第二类间断点 B 中极限为1，所以为可去间断点C 中右极限为正无穷，左极限为0，所以为第二类间断点D 中右极限为1，左极限为0，所以为跳跃间断点14、下列结论错误的是（ A ）A 、如果函数f(x)在点x=x 0处连续，则f(x)在点x=x 0处可导B 、如果函数f(x)在点x=x 0处不连续，则f(x)在点x=x 0处不可导C 、如果函数f(x)在点x=x 0处可导，则f(x)在点x=x 0处连续D 、如果函数f(x)在点x=x 0处不可导，则f(x)在点x=x 0处也可能连续15、设f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3),则f ’(0)=( A ) A 、6 B 、3 C 、2 D 、0 16、设f(x)=cosx ，则=∆∆--→∆xx a f a f x )()(lim（ B ）A 、a sinB 、a sin -C 、a cosD 、a cos -解：因为原式=)()()(lim 0a f xx a f a f x '=∆-∆--→∆17、xy 2cos 2=，则=dy （ D ） A 、dx x x )2()2(cos2'' B 、xd x 2cos )2(cos2'C 、xdx x 2sin 2cos 2-D 、x xd 2cos 2cos 218、f(x)在点x=x 0处可微，是f(x)在点x=x 0处连续的（ C ）A 、充分且必要条件B 、必要非充分条件C 、充分非必要条件D 、既非充分也非必要条件 19、设xne xy 2-+=，则=)0()(n y（ A ）A 、nn )2(!-+ B 、n! C 、1)2(!--+n n D 、n!-2 20、下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是（ A ）A 、y=x 2-5x+6 [2，3]B 、2)1(1-=x y[0，2]C 、xxe y -= [0，1] D 、⎩⎨⎧≥<+=5,15,1x x x y [0，5]21、求下列极限能直接使用洛必达法则的是（ B ）A 、x x x sin lim ∞→ B 、xxx sin lim 0→ C 、x x x 3sin 5tan lim 2π→D 、xxx x sin 1sin lim20→22、设232)(-+=x xx f ，则当x 趋于0时（ B ）A 、f(x)与x 是等价无穷小量B 、f(x)与x 是同阶非等价无穷小量C 、f(x)是比x 较高阶的无穷小是D 、f(x)是比x 较低阶的无穷小量 解：利用洛必达法则13ln 2ln 13ln 32ln 2lim 232lim )(lim 00000≠+=+-+=→→→x x x x x x x x x x f23、函数xxe e xf -+=)(在区间（-1，1）内（ D ）A 、单调增加B 、单调减少C 、不增不减D 、有增有减24、函数21x x y -=在（-1，1）内（ A ）A 、单调增加B 、单调减少C 、有极大值D 、有极小值25、函数y=f(x)在x=x 0处取得极大值，则必有（ D ）A 、f ’(x 0)=0B 、f ”(x 0)<0C 、f ‘(x 0)=0且f “(x 0)<0D 、f ‘(x 0)=0或f ‘(x 0)不存在26、f ‘(x0)=0，f “(x0)>0是函数f(x)在点x=x0处以得极小值的一个（ B ）A 、必要充分条件B 、充分非必要条件C 、必要非充分条件D 、既非必要也非充分条件27、函数y=x 3+12x+1在定义域内（ A ） A 、单调增加 B 、单调减少 C 、图形上凹 D 、图形下凹28、设函数f(x)在开区间（a ，b ）内有f ‘(x)<0且f “(x)<0，则y=f(x)在(a ，b)内（ C ） A 、单调增加，图形上凹 B 、单调增加，图形下凹C 、单调减少，图形上凹D 、单调减少，图形下凹29、对曲线y=x 5+x 3，下列结论正确的是（ D ） A 、有4个极值点 B 、有3个拐点 C 、有2个极值点 D 、有1个拐点 30、若⎰+=Cex dx x f x22)(，则f(x)=（ D ）A 、ze x 22 B 、zxe 24 C 、xe x 222 D 、)1(22x xex+31、已知x y 2='，且x=1时y=2，则y=( C ) A 、x 2 B 、x 2+C C 、x 2+1 D 、x 2+2 32、=⎰x d arcsin（ B ）A 、x arcsinB 、x arcsin +C C 、x arccosD 、xarccos +C33、设)(x f '存在，则[]='⎰)(x df （ B ）A 、f(x)B 、)(x f 'C 、f(x)+CD 、)(x f '+C 34、若⎰+=Cx dx x f 2)(，则=-⎰dx xxf )1(2（ D ）A 、Cx+-22)1(2 B 、Cx+--22)1(2 C 、Cx+-22)1(21 D 、Cx+--22)1(21 解：C x x d x f dx xxf +--=---=-⎰⎰22222)1(21)1()1(21)1(35、设⎰+=C x dx x f sin )(，则=-⎰dx x x f 21)(arcsin （ D ）A 、arcsinx+CB 、Cx +-21sin C 、Cx +2)(arcsin 21D 、x+C解：原式=⎰+=+=C x c x x d x f )sin(arcsin arcsin )(arcsin36、设xe xf -=)(，则='⎰dx xx f )(ln （ C ） A 、C x +-1 B 、C x +-ln C 、C x+1 D 、lnx+C 解：原式=C xC eC x f x d x f x+=+=+='⎰-1)(ln ln )(ln ln37、设⎰+=C x dx x xf arcsin )(，则⎰=dx x f )(1（ B ） A 、Cx +--32)1(43B 、Cx +--32)1(31C 、Cx +-322)1(43D 、Cx +-322)1(32解：对⎰+=C x dx x xf arcsin )(两端关于x 求导得211)(xx xf -=，即211)(xx x f -=，所以C x x d x dx x x dx x f +--=---=-=⎰⎰⎰22222)1(31)1(1211)(138、若sinx 是f(x)的一个原函数，则⎰='dx x f x )(（ A ）A 、xcosx-sinx+CB 、xsinx+cosx+C C 、xcosx+sinx+CD 、xsinx-cosx+C 解：由sinx 为f(x)的一个原函数知f(x)=cosx ，则使用分部积分公式得 39、设xef x+='1)(，则f(x)=（ B ）A 、1+lnx+CB 、xlnx+C C 、Cx x ++22D 、xlnx-x+C40、下列积分可直接使用牛顿—莱布尼茨公式的是（ A ） A 、dx x x ⎰+5231B 、dxxdx ⎰--1121 C 、⎰-4223)5(x xdx D 、⎰11ln exx xdx解：选项A 中被积函数在[0，5]上连续，选项B 、C 、D 中被积函数均不能保证在闭区间上连续 41、≠⎰-22|sin |ππdx x （ A ）A 、0B 、⎰2|sin |2πdxx C 、⎰--02)sin (2πdxx D 、⎰2sin 2πxdx42、使积分⎰=+-22232)1(dx xkx 的常数k=（ C ）A 、40B 、-40C 、80D 、-80解：原式=325202)11(2)1()1(2220222==+-=++⎰-k x k x d x k43、设⎩⎨⎧≤≤-<≤-+=10,101,12)(x x x x f x ，则 =⎰-11)(dx x f （ B ）A 、312ln 21+B 、352ln 21+C 、312ln 21-D 、352ln 21- 解：352ln 2101)1(3210)22ln 1(1)12()(2312111+=---+=-++=⎰⎰⎰--x x dx x dx dx x f x x44、⎰+-=xdtt t y 02)2()1(，则==0x dxdy（ B ）A 、-2B 、2C 、-1D 、1 解：dy/dx=(x+1)2(x+2)45、下列广义积分收敛的是（ B ） A 、⎰10xdx B 、⎰1xdx C 、⎰1xx dx D 、⎰103xdx 解：四个选项均属于⎰10px dx，该广义积分当p<1时收敛，大于等于1时发散二、填空题 1、⎰=+dx exe x （ ）解：原式=xx x ex e e xe de e dx e e==⋅⎰⎰+C2、已知一函数的导数为211)(xx f -=，且当x=1时，函数值为π23， 则此函数F(x)=( π+x arcsin ) 解：ππ=∴=+=+=-=∴='⎰C C F Cx dx xx F x f x F ,231arcsin )1(arcsin 11)()()(23、曲线2x e y -=的上凸区间是（ （22,22-） ）解：22,)12(2,2222±=∴-=''-='--x e x y xe y x x4、=+⎰-xdx x x 322cos )sin (22ππ（ 8π ） 解：⎰⎰⎰⎰--=-===∴222020222222323824cos 1212sin 412cos sin 0cos cos πππππππdx x xdx xdx x xdx x ，x 为奇函数5、若f(x)的一个原函数是sinx ，则⎰=''dx x f )(（ -sinx+C ）解：x x f x x f x x x f cos )(,sin )(,cos )(sin )(-=''-='='= 6、设2222)ln()(a x a x x x x f +-++=，其中0≠a ，则='')0(f （ a1 ）解：222222222222222221)0(1)2211(1)()ln(221)2211()ln()(a f a x a x xa x x x f a x x a x x a x x a x x x a x x x f =''+=+⋅+++=''++=+⋅-+⋅++++++='7、曲线⎰+=+=ty t t x sin 1cos cos 2上对应于4π=t 的点外的法线斜率为（ 21+ ） 8、设)2(2x f y =，而xx f tan )(='，则==8πx dy （π2 ）解：)2tan(4)2()2(222x x x xf dxdy ='⋅'=9、=++++++∞→)2211(lim 222n n n n n n （ 21 ） 10、设1)1(lim)(2+-=∞→nx xn x f n ，则f(x)的间断点为x=（ 0 ）解：x 不等于0时，xn x n n x x f n 1111lim)(2=-+-=∞→X=0时，f(x)=f(0)=0,显然x 不等于0时，f(x)=1/x 连续，又)0()(lim 0f x f x ≠∞=→三、计算题 1、求极限22220sin 112lim x x x x x +-+→参考答案： 原式=81)(81lim )](81211[12lim 4440444220=-=+-+-+→→x x o x x x o x x x x x2、求极限)1ln()13()1(11320limx e x x x x x +----+→参考答案：利用等价无穷小：xx x x a x a x e x xαα~1)1(,~)1ln(,ln ~1,~1-++--原式=3ln 32lim 31lim 3ln 1)1(lim 11lim 3ln 1)3(ln )1(11lim 202202023202320-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=⋅---+→→→→→x x x x x x e x x x x e x x x x xx x xx 3、设⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x ，求22dx y d参考答案：)cos 1(sin t a t a x y dx dy t t -=''=23222)cos 1(1)cos 1(1cos )cos 1(1)cos 1(sin sin )cos 1(cos )(t a t a t t a t t t t t dx dt dx dy dt d dx dx dy d dx y d --=--=-⋅-⋅--=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==4、求由方程yxe y +=1所确定隐函数的二阶导数22dx y d参考答案：把原方程两边对自变量x 求导，得 dxdy xe e dxdyy y⋅+=解得ye xe e dx dy yy y -=-=21则32222)2()3()2()()2()2(y ey y dx dye y dx dy e y e dx d dxy dy y yy-⋅-=----⋅=-=5、近似计算数e 的值，使误差不超过10-2参考答案：n x x n x x e !1!2112++++≈令x=1)!1(!1!2111++++++=⇒n e n e θ要使误差310-<nR，只需210)!1(3-<+≤n Rn经计算，只需取n=5,所以72.27167.20083.00417.01667.05.2!51!2111≈=+++=++++≈ e6、讨论函数)1()(3x x x f -=的凸性与相应曲线拐点 参考答案： 函数的定义为R 3243)(x x x f -=')21(6126)(2x x x x x f -=-=''由0)(=''x f 可得x=0,1/2 列表如下： x(-∞，0)（0，1/2）1/2（1/2，+∞）)(x f ''- 0 + 0 - )(x f凹拐点凸拐点凹所以凹区间为),21()0,(+∞⋃-∞ 凸区间为)21,0( 拐点为（0，0）和)161,21( 7、 求函数22y x x=+的单调区间、极值点参考答案：定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞． 由3222122x yx x x-'=-=，令0y '=得驻点1x =，列表给出单调区间及极值点： x (,0)-∞(0,1) １ (1,)+∞y '－ — ０ ＋ ()f x极小值3所以，函数的单调递减区间为(,0)-∞，(0,1]，单调递增区间为[1,)+∞，极小值点为(1,3) 8、 求由,,2yx y x x 所围图形的面积参考答案：120174()d (d )233Axx xxx x9、设210()0xx x f x ex -⎧+≤=⎨>⎩，求31(2)d f x x-⎰．参考答案：方法一：先作变量代换 23112111(2)d ()d (1)d d x tt f x x f t t t t e t-=----==++⎰⎰⎰⎰301111147[]1333tt t e e e ----=+-=-+=-． 方法二：先给出2(2)1(2)2(2)2x x x f x ex --⎧+-≤-=⎨>⎩，于是3232(2)11127(2)d [1(2)]d d 3x f x x x x e x e ----=+-+=-⎰⎰⎰10、求曲线33)1(xx y -+=在A （-1，0），B （2，3），C （3，0）各点处的切线方程参考答案：323323)3(1313)1()3(31)1(3x x x x x x y -+--=-⋅-⋅++-='-在A （-1，0）点处，34)1(=-'=y k所以在A 点处的切线方程为)1(43+=x y而在B （2，3）点处，0)2(='=y k 所以在B 点处的切线方程为y-3=0又在C （3，0）点处，)3(y k '=不存在，即切线与x 轴垂直所以C 点处的切线方程为x=311、在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上，曲线x y sin =与直线0,2==y x π所围成的图形分别绕x 轴和y 轴所产生的放置体的体积。
高等数学复习题(含答案)
高等数学复习题与答案解析一、 一元函数微积分概要 （一）函数、极限与连续1.求下列函数的定义域: (1) y =216x -+x sin ln ，(2) y =)12arcsin(312-+-xx .解 (1) 由所给函数知,要使函数y 有定义，必须满足两种情况，偶次根式的被开方式大于等于零或对数函数符号内的式子为正，可建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即⎩⎨⎧>≥-,0sin ,0162x x 推得⎩⎨⎧⋅⋅⋅±±=+<<≤≤-2,1,0π)12(π244n n x n x 这两个不等式的公共解为 π4-<≤-x 与π0<<x所以函数的定义域为)π,4[-- )π,0(.(2) 由所给函数知，要使函数有定义，必须分母不为零且偶次根式的被开方式非负；反正弦函数符号内的式子绝对值小于等于1.可建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->-≠-,112,03,032xx x 推得⎩⎨⎧≤≤<<-,40,33x x即 30<≤x , 因此，所给函数的定义域为 )3,0[.2.设)(x f 的定义域为)1,0(，求)(tan x f 的定义域. 解：令x u tan =, 则)(u f 的定义域为)1,0(∈u∴)1,0(tan ∈x , ∴x ∈（k π, k π+4π）, k ∈Z ,)(tan x f 的定义域为 x ∈（k π, k π+4π）, k ∈Z .3.设)(x f =x-11，求)]([x f f ，{})]([x f f f .解：)]([x f f =)(11x f -=x--1111=x 11- (x ≠1,0),{})]([x f f f =)]([11x f f -=)11(11x--= x (x ≠0,1).4.求下列极限：（1）123lim 21-+-→x x x x , （2）652134lim 2434-++-∞→x x x x x ,解：原式=1)1)(2(lim 1---→x x x x 解: 原式=424652134lim xx x x x -++-∞→ =)2(lim 1-→x x =2.（抓大头）= 1-.（恒等变换之后“能代就代”）（3）xx x -+-→222lim 2, （4）330sin tan lim x x x →, 解：原式=)22)(2()22)(22(lim2++-+++-→x x x x x 解：0→x 时33~tan x x ,=221lim2++→x x 33~sin x x ,=41. （恒等变换之后“能代就代”） ∴原式=330lim x x x →=1lim 0→x =1.（等价）（5）)100sin (lim +∞→x x x , （6） 2121lim()11x x x→--- ，解：原式=100lim sin lim∞→∞→+x x x x解： 原式=2211212(1)lim()lim 111x x x x x x→→-+-=--- =0 + 100= 100 （无穷小的性质） 11(1)11limlim (1)(1)12x x x x x x →→-===-++．(7)215lim+-+∞→x x x ．解 : 原式=52115lim=+-+∞→xxx ．（抓大头） （8）11lim 21-+→x x x .解：因为0)1(lim 1=-→x x 而0)1(lim 21≠+→x x ，求该式的极限需用无穷小与无穷大关系定理解决．因为011lim 21=+-→x x x ，所以当1→x 时，112+-x x 是无穷小量，因而它的倒数是无穷大量，即 ∞=-+→11lim 21x x x ． （9）limx解：不能直接运用极限运算法则，因为当x →+∞时分子，极限不存在，但sin x 是有界函数，即sin 1x ≤而 0111lim1lim33=+=++∞→+∞→x x xx x x ，因此当+∞→x 时，31xx +为无穷小量.根据有界函数与无穷小乘积仍为无穷小定理，即得lim0x =.（10）203cos cos limxxx x -→ ． 解：分子先用和差化积公式变形，然后再用重要极限公式求极限原式=202sin sin 2limx x x x →=441)22sin 4(lim sin lim 0=⨯=⋅⋅∞→→x xx x x x ．（也可用洛必达法则）（11）xx x)11(lim 2-∞→.解一 原式=10])11[(lim )11(lim )11()11(lim --∞→→∞→-⋅+=-+x x x x x x x xx x x =1ee 1=-，解二 原式=)1()(2])11[(lim 2x x x x--∞→-=1e 0=．（12）30tan sin limx x xx →-．解 ：x x x x 30sin sin tan lim -→=xx x x x cos )cos 1(sin lim 30-→ 20sin (1cos )1lim cos x x x x x x→-=⋅⋅ =222sin 2limx xx →=21 （ 222~2sin ,0⎪⎭⎫⎝⎛→x x x ） ．（等价替换） 5.求下列极限（1）201cot limx x x x -→ （2）)e e ln()3ln(cos lim33--+→x x x x （3）)]1ln(11[lim 20x x x x +-→ （4）)ln (lim 0x x n x ⋅+→ （5） xxx cos 1lim ++∞→解 ：（1）由于0→x 时，1tan cot →=x x x x ，故原极限为0型，用洛必达法则 所以 xx xx x x x x x x sin sin cos lim 1cot lim 2020-=-→→30sin cos limx xx x x -=→ （分母等价无穷小代换）20cos sin cos lim3x x x x xx →--=01sin lim 3x x x→-=31-=.（2） 此极限为∞∞，可直接应用洛必达法则 所以 )e e ln()3ln(cos lim 33--+→x x x x =)e e ln()3ln(lim cos lim 333--⋅++→→x x x x x 3e e lim e 1lim 3cos 333--⋅⋅=++→→x x x x xxx e lim 3cos e133+→⋅⋅=3cos = . （3） 所求极限为∞-∞型 ，不能直接用洛必达法则，通分后可变成00或∞∞型.)]1ln(11[lim 20x x x x +-→xx xx x x x 2111lim )1ln(lim 020+-=+-=→→ 21)1(21lim )1(211lim00=+=+-+=→→x x x x x x .（4）所求极限为∞⋅0型，得nx nx xx x x 10ln lim ln lim -→→++=⋅ （∞∞型） =1111lim --→-+n x x nx =.01lim lim 0110=-=-++→+→nx n xnxx nx （5）此极限为∞∞型，用洛必达法则，得 1sin 1lim cos lim x x x x x x -=++∞→+∞→不存在，因此洛必达法则失效！ 但 101c o s 1lim 11cos 11lim cos lim =+=+=+=++∞→+∞→+∞→x xxx x x x x x x .6.求下列函数的极限：（1）42lim 22--→x x x ， （2）()⎪⎩⎪⎨⎧++=,1,1sin 2xa x x x f ,0,0><x x 当a 为何值时，)(x f 在0=x 的极限存在. 解： (1)41)2)(2(2lim 42lim 222-=+--=----→→x x x x x x x ,41)2)(2(2lim 42lim 222=+--=--++→→x x x x x x x ,因为左极限不等于右极限，所以极限不存在．（2）由于函数在分段点0=x 处，两边的表达式不同，因此一般要考虑在分段点0=x 处的左极限与右极限．于是，有a a x x a x x x f x x x x =+=+=----→→→→0000lim )1sin (lim )1sin (lim )(lim ，1)1(l i m )(l i m 2=+=++→→x x f x x ， 为使)(lim 0x f x →存在，必须有)(lim 0x f x +→=)(lim 0x f x -→， 因此 ，当a =1 时， )(lim 0x f x →存在且 )(lim 0x f x →=1．7.讨论函数 ⎪⎩⎪⎨⎧=,1sin ,)(x x xx f0>≤x x ， 在点0=x 处的连续性．解：由于函数在分段点0=x 处两边的表达式不同，因此，一般要考虑在分段点0=x 处的左极限与右极限．因而有01sin lim )(lim ,0lim )(lim 0====++--→→→→xx x f x x f x x x x ， 而,0)0(=f 即0)0()(lim )(lim 00===+-→→f x f x f x x ， 由函数在一点连续的充要条件知)(x f 在0=x 处连续．8. 求函数xx x x f )1(1)(2--=的间断点，并判断其类型：解：由初等函数在其定义区间上连续知)(x f 的间断点为1,0==x x .21lim)(lim 11=+=→→xx x f x x 而)(x f 在1=x 处无定义，故1=x 为其可去间断点.又∞=+=→x x x f x 1lim)(0 ∴0=x 为)(x f 的无穷间断点. 综上得1=x 为)(x f 的可去间断点, 0=x 为)(x f 的无穷间断点.（二）一元函数微分学1.判断：（1）若曲线y =)(x f 处处有切线，则y =)(x f 必处处可导.答：命题错误. 如：x y 22=处处有切线，但在0=x 处不可导.（2）若A ax a f x f ax =--→)()(lim（A 为常数），试判断下列命题是否正确.①)(x f 在点a x = 处可导, ②)(x f 在点a x = 处连续, ③)()(a f x f -= )()(a x o a x A -+-. 答：命题①、②、③全正确.(3)若)(x f ，)(x g 在点0x 处都不可导，则)()(x g x f +点0x 处也一定不可导. 答：命题不成立.如：)(x f =⎩⎨⎧>≤,0,,0,0x x x )(x g =⎩⎨⎧>≤,0,0,0,x x x)(x f ，)(x g 在x = 0 处均不可导，但其和函数)(x f +)(x g = x 在x = 0 处可导.（4）若)(x f 在点0x 处可导，)(x g 在点0x 处不可导，则)(x f +)(x g 在点0x 处一定不可导. 答：命题成立.原因：若)(x f +)(x g 在0x 处可导，由)(x f 在0x 处点可导知)(x g =[)(x f +)(x g ])(x f -在0x 点处也可导，矛盾.（5）)('0x f 与)]'([0x f 有区别. 答：命题成立.因为)('0x f 表示0)(x x x f =在处的导数; )]'([0x f 表示对0)(x x x f =在处的函数值求导，且结果为0.（6）设)(x f y =在点0x 的某邻域有定义，且-∆+)(0x x f )(0x f =2)(x b x a ∆+∆，其中b a ,为常数，下列命题哪个正确？①()x f 在点0x 处可导，且()a x f ='0,②()x f 在点0x 处可微，且()x a x f x x d |d 0==, ③()()x a x f x x f ∆+≈∆+00 （ ||x ∆很小时）. 答：①、②、③三个命题全正确.2.已知x x cos )'(sin =，利用导数定义求极限xx x 1)2πsin(lim 0-+→.解：xx x 1)2πsin(lim 0-+→=xx x 2sin)2πsin(lim0π-+→ =2π|)'(sin =x x = 2πcos=0. 3.求 ()⎩⎨⎧+=，，xx x f 1ln )(0<≥x x ，的导数.解： 当0>x 时，xx f +='11)( ，当0<x 时，1)(='x f ，当0=x 时，xf x f x f x f f x x )0()(lim 0)0()(lim)0(00-=--='→→， 所以 10lim )0(0=-='-→-xx f x ， 1e ln )1ln(lim 0)1ln(lim )0(100==+=-+='++→→+x x x x xx f ， 因此 1)0(='f ，于是 ⎪⎩⎪⎨⎧+=',1,11)(xx f .0,0≤>x x4.设))((),1ln()(x f f y x x f =+=，求dxdy解：)]1ln(1ln[))((x x f f y ++==,)]'1ln(1[)1ln(11d d x x x y ++⋅++=∴)1)](1ln(1[1x x +++=.5.已知arctanxy=求y ''. 解：两端对x 求导，得)(1)()(1122222'++='⋅+y x y x y xyx ，222222222221yx y y x yx yy x y y x y +'⋅+⋅+='-⋅+，整理得 x y y x y -='+)( ，故 xy xy y +-='， 上式两端再对x 求导，得22)()())(1())(1(x y x y y x y y x y x y y y x y x y y x y y y ++-'+'--'+-'=+-+'-+-'=''=2)(22x y yy x +-'，将 xy xy y +-='代入上式，得2)(22x y y x y xy x y +-+-⋅=''322)(2222y x xy y x xy +---=322)()(2x y y x ++-=. 6.求y = 323)4()3)(2)(1(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅+++x x x x x 的导数x yd d 解：两边取对数：y ln =)]4ln(ln 3)3ln()2ln()1[ln(32+--+++++x x x x x , 两边关于x 求导：]413312111[32'1+--+++++=⋅x x x x x y y , ∴)413312111(32d d +--+++++=x x x x x y x y . 7.设xx x f e )(=，求)('x f .解：令xx y e =, 两边取对数得：x y x ln e ln =, 两边关于x 求导数得：xx y y x xe ln e '1+⋅=⋅)e ln e ('xx y y x x+=即 )e ln e ('e xx x y xxx+=. 8.设,sin ),(2x u u f y ==求x y d d 和22d d xy.解：xy d d =2cos 2)(x x u f ⋅⋅', 22d d xy=)sin 4cos 2)(()(cos 4)(222222x x x u f x x u f -'+⋅''. 9.xx y e 4+=, 求y)4(.解：xx y e 43+=', xx y e 122+='',xx y e 24+=''', x y e 24)4(+=.10.设cos sin x t t y t=-⎧⎨=⎩，， 求 22d d x y . 解：d (sin )cos d 1sin (cos )y t tx tt t '=='+- ，22d d d cos d cos d cos 1()()()d d d d 1sin d 1sin d 1sin d y y t t t t xx x x t t t x t t''===⋅=+++ 222sin (1sin )cos 11(1sin )1sin (1sin )t t t t t t -+--=⋅=+++. 11.求曲线⎩⎨⎧==,,3t y t x 在点（1，1）处切线的斜率. 解：由题意知：⎩⎨⎧==,1,13t t 1=⇒t ,33)()(d d 12131==''====t t t t t t xy,曲线在点（1，1）处切线的斜率为3 12. 求函数x x y tan ln e =的微分.解一 用微分的定义x x f y d )(d '=求微分， 有x x xx x x y xx x d ]sec tan 1e e [d )e (d 2tan ln tan ln tan ln ⋅+='= x xxx d )2sin 21(e tan ln +=. 解二 利用一阶微分形式不变性和微分运算法则求微分，得 x x xx x x y tan ln tan ln tan ln e d d e )e(d d +==)tan (ln d e d e tan ln tan ln x x x x x +=)tan d(tan 1e d e tan ln tan ln x x x x x x ⋅+= x xx x x x x d cos 1tan 1e d e 2tan ln tan ln ⋅+= x xxx d )2sin 21(e tan ln +=. 13.试证当1≠x 时，x xe e >.证明：令x x f x e e )(-=，易见()f x 在),(+∞-∞内连续，且0)1(=f e e )(-='xx f .当1<x 时，e e )(-='xx f 0<可知()f x 为]1,(-∞上的严格单调减少函数，即()(1)0.f x f >=当1>x 时，e e )(-='xx f 0>，可知()f x 为),1[+∞上的严格单调增加函数，即()(1)0f x f >=.故对任意 ,1≠x 有()0,f x >即 .0e e >-x x x xe e >.14.求函数344x x y -=的单调性与极值. 解：函数的定义域为),(+∞-∞.)3(3223-=-='x x x x y ， 令 ,0='y 驻点 3,021==x x 列表由上表知，单调减区间为)3,(-∞，单调增区间为),3(+∞，极小值 4)3(-=y 求函数的极值也可以用二阶导数来判别，此例中0,6302=''-=''=x y x x y 不能确定0=x 处是否取极值， ,093>=''=x y 得427)3(-=y 是极小值. 15.求3)(x x f =+23x 在闭区间[]5,5-上的极大值与极小值，最大值与最小值.解：x x x f 63)(2+=', 令0)(='x f , 得2,021-==x x ,66)(+=''x x f , 06)0(>=''f , 06)2(<-=-''f ,∴)(x f 的极大值为=-)2(f 4，极小值为0)0(=f . ∵50)5(-=-f , 200)5(=f .∴ 比较)5(),0(),2(),5(f f f f --的大小可知：)(x f 最大值为200， 最小值为50-.16.求曲线32310510x x y ++=的凹凸区间与拐点. 解：函数的定义域为()+∞∞-,,21010x x y +=', x y 2010+='',令0=''y , 得21-=x , 用21-=x 把()+∞∞-,分成)21,(--∞，),21(+∞-两部分.当∈x )21,(--∞时，0<''y , 当∈x ),21(+∞-时，0>''y , 曲线的凹区间为),,21(+∞-凸区间为),21,(--∞ 拐点为)665,21(-.17.求函数)1ln(2x y +=的凹向及拐点. 解：函数的定义域 ),(+∞-∞，,122x x y +=' 222222)1()1(2)1(22)1(2x x x x x x y +-=+⋅-+=''， 令 ,0=''y 得1±=y ， 列表由此可知，上凹区间(1,1)-,下凹区间(,1)(1,)-∞-+∞，曲线的拐点是)2ln ,1(±.的渐近线.18.求下列曲线的渐近线 （1）x x y ln = ，（2）1222-+-=x x x y ，（3）()()213--+=x x x y .解 （1）所给函数的定义域为),0(+∞.由于 011lim ln lim ==+∞→+∞→x x xx x ，可知 0=y 为 所给曲线xxy ln =的水平渐近线.由于 -∞=+→xxx ln lim0， 可知 0=x 为曲线xxy ln =的铅直渐近线.（2） 所给函数的定义域)1,(-∞,),1(∞+.由于 -∞=-+-=--→→122lim )(lim 211x x x x f x x ， +∞=-+-=++→→122lim )(lim 211x x x x f x x ， 可知 1=x 为所给曲线的铅直渐近线（在1=x 的两侧()f x 的趋向不同）.又 a x x x x x x f x x ==-+-=∞→∞→1)1(22lim )(lim 2，[]b x x x x x x x ax x f x x x =-=-+-=--+-=-∞→∞→∞→112lim ])1(22[lim )(lim 2， 所以 1-=x y 是曲线的一条斜渐近线.（3）()()∞=--+→213lim1x x x x , 故1=x 为曲线的铅直渐近线,()()∞=--+→213lim2x x x x , 故2=x 为曲线的铅直渐近线,()()2133lim lim 0121211x x x x x x x x x →∞→∞++==--⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 故0=y 为曲线的水平渐近线,∴ 曲线的渐近线为：2,1,0===x x y .19.求解下列各题：（1）设某产品的总成本函数和总收入函数分别为x x C 23)(+=， 15)(+=x xx R , 其中x 为该产品的销售量，求该产品的边际成本、边际收入和边际利润.解：边际成本C M =x x C 1)('=边际收入R M =2)1(5)('+=x x R边际利润xx M M q L C R 1)1(5)('2-+=-=. （2）设p 为某产品的价格，x 为产品的需求量，且有801.0=+x p , 问p 为何值时，需求弹性大或需求弹性小.解：由801.0=+x p 得10d d -=px, 所以需求价格弹性80)10(1.080-=-⨯-=p p p p Ep Ex , 故当80-p p < 1-, 即40<p <80时, 需求弹性大; 当1-<80-p p<0, 即0<p <40时，需求弹性小.（三）一元函数积分学1. 在不定积分的性质x x f k x x kf d )(d )(⎰=⎰中，为何要求0≠k ？答：因为0=k 时，C x x x kf =⎰=⎰d 0d )(（任意常数），而不是0. 2. 思考下列问题：(1) 若C x x x f x ++=⎰sin 2d )(，则)(x f 为何？ 答：x x x f x f x cos 2ln 2)d )(()(+='⎰=. (2) 若)(x f 的一个原函数为3x ，问)(x f 为何？ 答：233)()(x x x f ='=(3)若)(x f 的一个原函数的x cos ，则dx x f )('⎰为何？答：C x C x f x x f x x x f +-=+='⎰-='=sin )(d )(,sin )(cos )(. 3. 计算下列积分：（1）)sin d(sin 5x x ⎰, （2）x x d cos 3⎰, （3）⎰+x xx x d )sin (,（4）x xe x d 2⎰, （5）⎰-21d xx x , （6）⎰-41d xx x ,（7）⎰x x x d 2ln , （8）x x d )32(2+⎰, （9）⎰-⋅dx x x 211arcsin 1, （10）⎰+x x x d arctan )1(12, （11）⎰+22d x x , （12）⎰-24d x x .解：（1）C xx x +=⎰6sin )sin d(sin 65. （2）x x x x x d cos )sin 1(d cos 23-⎰=⎰ =)sin d()sin 1(2x x -⎰ =)sin d(sin )sin d(2x x x ⎰-⎰=C xx +-3sin sin 3. （3）x x x x x xx x d sin 2d d )sin (⎰+⎰=+⎰=C x x +-cos 222. （4）C x x x x x x +=⎰=⎰222e 21)(d e 21d e 2.（5）C x x x x x x+--=--⎰-=--⎰2221221)1(d )1(21d 1.（6）C x x x x xx +=-=-⎰⎰22224arcsin 21)(1)(d 211d .（7（8）C x x x x x ++=++⎰=+⎰322)32(6)32(d )32(2d )32(.（9）C x x x x x x +==-⋅⎰⎰|arcsin |ln )arcsin d(arcsin 1d 11arcsin 12.（10）C x x x x x x +==+⎰⎰|arctan |ln )arctan d(arctan 1d arctan )1(12.（11）C x x x x x x x +=+=+=+⎰⎰⎰22arctan 22)2(d )2(1121)2(1d 212d 222. （12）⎰2-4d x x =⎰2)2(-12d x x=)2(d )2(-112xx ⎰=C x +2arcsin .4. 计算下列不定积分：（1）⎰++x xd 111，（2）x x d 162-⎰,（3）⎰+232)4(d x x ，（4）⎰-x xx d 122.解：（1） 令t x =+1, 则 =x 12-t , t t x d 2d =,于是原式=⎰+t t t d 12=⎰+-+t t t d 1112=]1d d [2⎰⎰+-t tt =C t t ++-1ln 22=C x x +++-+11ln 212. （2）令)2π2π(sin 4<<-=t t x ，则t x cos 4162=-，t t x d cos 4d =， 于是 t t t t t x x d )2cos 1(8d cos 4cos 4d 162+⎰=⋅⎰=-⎰ =C t t ++2sin 48.由右图所示的直角三角形，得81641642cos sin 22sin 22xx x x t t t -=-⋅⋅==, 故 C xx x dx x +-+⋅=-⎰2164arcsin81622. （2）令)2π2π(tan 2<<-=t t x ，则t t x t x d sec 2d ,sec 8)4(23232==+,x于是C t t t t t tx x +==⋅=+⎰⎰⎰2sin d 2cos d sec 2sec 41)4(d 23232. 由右图所示的直角三角形，得24sin xx t +=故C x x x x ++=+⎰223242)4(d .（4） 设 t x sin = ,t x cos 12=-,t t x d cos d = , 于是原式=⎰t t tt d cos cos sin 2=⎰t t d sin 2=⎰-t t d 22cos 1 =21⎰⎰-)2(d 2cos 41d t t t ==+-C t t 2sin 4121C t t t +-cos sin 2121=C x xx +--212arcsin 21． 5.计算下列积分：(1)⎰x x d 2ln , (2)⎰x x d 2arctan , (3) ⎰x x xd e4,(4)⎰x x xd 4sin e5, (5)⎰x x x d 100sin , (6) ⎰x x x d 2arctan .解：（1）)2ln d(2ln d 2ln x x x x x x ⎰-=⎰=x xx x x d 222ln ⋅⎰- =C x x x +-2ln .（2）⎰x x d 2arctan =)d(arctan22arctan x x x x ⎰- =x x x x x d )2(122arctan 2+⋅⎰-=⎰+-2241)(d 2arctan xx x x =)41(d 411412arctan 22x xx x ++-⎰ =C x x x ++-)41ln(412arctan 2.（3）x x x x x x x xx d e 41e 41de 41d e 4444⎰-==⎰⎰=C x xx +-44e 161e 41. x221x -1x t（4）5555e 1e e sin 4d sin 4d()e sin 4d(sin 4)555x xxx x x x x x ⎰=⎰=-⎰ =x x x xxd 4cose 544sin e5155⎰-=5e d 4cos 544sin e 5155xx x x ⎰-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎰)4cos d(5e 4cos 5e 544sin e 51555x x x xx x=x x x x xx xd 4sine 25164cos e 2544sin e 51555⎰--, 移项合并，得C x x x x xx+-=⎰)4cos 44sin 5(e 411d 4sin e55. （5）⎰---=-⎰=⎰x xx x x x x x x d )100100cos (100100cos )100100cos (d d 100sin =C xx x +-100100cos 10000100sin . （6）⎰x x x d 2arctan =⎰)2d(2arctan 2x x=⎰-)2(arctan d 22arctan 222x x x x =x x x x x d )2(1222arctan 2222⎰+⋅-=x x x x d )4111(412arctan 222⎰+-- =C x x x x ++-2arctan 8142arctan 22. 6.计算 （1）x x xd e )1(2⎰+ ， （2） 3s e c d x x ⎰． 解：（1） 选 12+=x u ，=v d x e x d ， =v xe ， x x u d 2d =, 于是原式 )1(2+=x x e ⎰-x 2x e x d ,对于⎰x x e x d 再使用分部积分法,选x u =， =v d x e x d , 则 x u d d =，=v xe ,从而⎰x xex d =x x e ⎰-x x d e =x x e C x +-e ．原式=xe =+--)e e (21C x x x )12(2++x x Cx+e （12C C =）,为了简便起见，所设 x u =,=v xe 等过程不必写出来，其解题步骤如下:⎰x xe dx =⎰x d x e =x C x x x x x x +-=-⎰e e d e e . （2）3secd x x ⎰=)(tan d sec x x ⎰=x x tan sec ⎰-)(sec d tan x x=x x tan sec ⎰-x x x d sec tan 2=sec tan x x -x x x d sec )1(sec 2-⎰=sec tan x x -⎰x x d sec 3+⎰x x d sec =sec tan x x -⎰x x d sec3+x x tan sec ln +,式中出现了“循环”，即再出现了⎰x x d sec 3移至左端，整理得3sec d x x ⎰=21[x x tan sec +x x tan sec ln +]+C ． 7. 利用定积分的估值公式，估计定积分⎰-+-1134)524(x x x d 的值.解：先求524)(34+-=x x x f 在[]1,1-上的最值，由0616)(23=-='x x x f , 得0=x 或83=x . 比较 7)1(,102427)83(,5)0(,11)1(=-===-f f f f 的大小，知 11,102427max min =-=f f ， 由定积分的估值公式，得[])1(1d )524()]1(1[max 1134min --⋅≤+-≤--⋅⎰-f x x x f ,即 22d )524(512271134≤+-≤-⎰-x x x . 8. 求函数21)(x x f -=在闭区间[-1，1]上的平均值.解：平均值⎰-=⋅⋅=---=11224π21π21d 1)1(11x x μ. 9. 若⎰=2d sin )(2x xt t x f ，则)(x f '=？解：)(x f '=242222sin sin 2sin )sin()(x x x x x x -=-'.10.已知 ⎰+=t t x xx F d 1sin )(2 ， 求 )(x F '．解：)(x F '=)2(12x x +-+x x cos sin 1⋅+=++-212x x x x cos sin 1⋅+．11. 求极限x tt x x πcos 1d πsin lim11+⎰→.解：此极限是“0”型未定型，由洛必达法则，得xtt x x πcos 1d πsin lim11+⎰→=)πcos 1()d πsin (lim11'+'⎰→x t t xx =π1)π1(lim πsin ππsin lim11-=-=-→→x x x x12.计算下列定积分（1）⎰-20d |1|x x , （2）⎰-122d ||x x x , （3）⎰π20d |sin |x x .解：（1）⎰-2d |1|x x =⎰-10d )1(x x +⎰-21d )1(x x=212122)1(2)1(-+--x x =2121+=1.（2）⎰-122d ||x x x =⎰--023d )(x x +⎰103d x x=1402444x x +--=4+41741=.（3）⎰π20d |sin |x x =⎰πd sin x x +⎰-π2πd )sin (x x=π2ππ0cos )cos (x x +-=2+2=4.13.计算下列定积分（1）⎰--2π2π3d cos cos x x x ，（2）⎰--112d 1x x .解：(1)x x x x x x d sin )(cos 2d cos cos 212π2π2π03⎰⎰-=-=34cos 34)cos d()(cos 22π0232π021=-=-⎰x x x .(2)⎰⎰⎰---=-=-112π2π2π2π222d )(cos )sin d()(sin 1d 1t t t t x x=2=+=+=⎰⎰2π02π02π02)2sin 21(d 22cos 12d )(cos t t t t t t 2π.14.计算 （1）⎰+-4d 11x xx， （2）⎰4π4d tan sec x x x ．解:（1）利用换元积分法，注意在换元时必须同时换限．令 x t =，x 2t = ，t t x d 2d = ，当0=x 时，0=t ，当4=x 时，2=t ，于是⎰+-40d 11x x x=⎰+-20d 211t t t t =⎰+--20d ]1424[t tt [].3ln 44021ln 442-=+--=tt t（2）⎰4π4d tan sec x x x =⎰4π03)(sec d sec x x43411sec 414π04=-==x ．15. 计算下列定积分：（1）x x xd e )15(405⎰+, （2）x x d )12ln(e21⎰+,（3）x x x d πcos e 10π⎰, （4）x x x x x d )e 3(133⎰++.解：（1）x x xd e )15(405⎰+=5e d )15(540x x ⎰+=⎰+-+10515)15(d 5e )15(5e x x x x =5155e 5e 51e 6=--x.(2)x x d )12ln(e21⎰+=()())12ln d(12ln e21e21+-+⎰x x x xx x xd 1223ln )1e 4ln(e 2e21⎰+--+= --+=3ln )1e 4ln(e 2x x )d 1211(e 21⎰+---+=3ln )1e 4ln(e 2()e21)12ln 21(+-x x()1e 23ln 231e 4ln )21e 2(+--++=.(3) x x xd πcose 10π⎰=ππsin d e 10πx x ⎰x x x x πde ππsin πsin e π11010π⎰-= =0x x x d πsin e 10π⎰-=)ππcos d(e 10πx x--⎰ x x x x πde ππcos πcos e π11010π⎰-==-+-)1e (π1πx x x d πcos e 10π⎰ 移项合并得x x x d πcos e 10π⎰)1e (π21π+-=. （4）x x x xxd )e 3(1033⎰++)e 313ln 34(d 3104xx x x ++=⎰⎰++-++=1034134d )e 313ln 34()e 313ln 34(x x x x xx x x=4514e 923ln 23ln 3)e 913ln 320(e 313ln 3413213253++-=++-++x x x 16.计算（1）⎰1d arctan x x ， （2）x x x d ln 2e e1⎰．解:（1）⎰1d arctan x x =10arctan x x⎰+-102d 1x x x=102)1ln(214πx +- =2ln 214-π ．（2） 由于在[1,e1]上0ln ≤x ；在[2e ,1]上0ln ≥x ，所以x x x d ln 2e e1⎰=x x x d )ln (1e1⎰-+x x x d ln 2e 1⎰=)2(d ln 21e1x x ⎰-+)2d(ln 2e 12x x ⎰=[-x x ln 22+42x ]1e 1+[x x ln 22-42x ]2e 1=41-（412e 1+212e 1）+（4e -414e +41） =21-432e 1+434e ． 17.判别下列广义积分的敛散性，如果收敛计算其值 . (1)⎰∞++022d )1(x x x, (2) ⎰∞+02d 1x x , (3)x xd e 1100⎰∞+-, (4)⎰∞++02100d xx ． 解:(1) 因为积分区间为无穷区间，所以原式=+∞→b lim ⎰+bx x x 022d )1(=+∞→b lim ⎰++b x x 0222)1()1(d 21=bb x 02])1(21[lim +-+∞→ =]21)1(21[lim 2++-+∞→b b =21， 故所给广义积分收敛，且其值为21． (2)⎰∞+02d 1x x =+∞=-=-+∞→→+∞+xx x x x 1lim 1lim )1(00,∴⎰∞+02d 1x x 发散. (3)x xd e1100⎰∞+-=1001001100e 1001)100e (0100e --+∞-=--=-x .(4)⎰∞++02100d x x =20π10arctan 1010=+∞x . 18.求曲线22)2(,-==x y x y 与x 轴围成的平面图形的面积.解：如图，由⎪⎩⎪⎨⎧-==,)2(,22x y x y 得两曲线交点（1，1）. 解一 取x 为积分变量，]2,0[∈x , 所求面积323)2(3d )2(d 213103212102=-+=-+=⎰⎰x x x x x x A . 解二 取y 为积分变量,y 的变化区间为[0，1]，32)d y -y -2(1==⎰y A . 显然，解法二优于解法一.因此作题时，要先画图，然后根据图形选择适当的积分变量，尽量使计算方便. 19. 求下列曲线所围成的图形的面积:抛物线 22xy =与直线42=-y x . 解:先画图，如图所示，并由方程⎪⎩⎪⎨⎧=-=4222y x x y ，求出交点为（2，1-），（8，2）. 解一 取y 为积分变量,y 的变化区间为[1-，2]， 在区间[1-，2]上任取一子区间[y ，y +y d ]，则面积微元 A d =y y y d )242(2-+,则所求面积为A =⎰--+212d )242(y y y = （32324y y y -+）21-=9.解二 取x 为积分变量，x 的变化区间 为[0，8]，由图知，若在此区间上任取子区间， 需分成[0，2]，[2，8]两部分完成.在区间[0，2]上任取一子区间[x ，x +x d ]， 则面积微元 A d 1=x xd ]22[, 在区间[2，8]上任取一子区间[x ，x +x d ]，2)2-y则面积微元 A d 2=[)4(212--x x ]x d , 于是得=A 1+A 2 =⎰20d 22x x +x x x d )222(82+-⎰=23322x 20+[23322x 224x x -+]82=9 .显然，解法一优于解法二.因此作题时，要先画图，然后根据图形选择适当的积分变量，尽量使计算方便. 20.用定积分求由0,1,0,12===+=x x y x y 所围平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 解：如右图，所求体积⎰+=122d )1(πx x V⎰++=1024d )12(πx x x=135)325(πx x x ++=π1528. 二、 微分方程1. 验证x x C C x C y --+=e e 21为微分方程0'2''=++y y y 的解，并说明是该方程的通解. 证明： x x C C x C y --+=e e 21,x x C x C C C y ----=∴e e )('121, x x C x C C C y --+-=e e )2(''112,于是0'2''=++C C C y y y ，故C y 是0'2''=++y y y 的解.x x -e 与x -e 线性无关，∴0'2''=++y y y 中的1C 与2C 相互独立，即C y 中含有与方程0'2''=++y y y 阶数相同（个数均为2）的独立任意常数，故C y 是该方程的通解. 2. 用分离变量法求解下列微分方程:（1）22d d y x x y =, （2）21d d x yx y -=, （3）y x x x y )1(d d 2++=，且e )0(=y . 解：（1）分离变量得x x yyd d 22=,（0≠y ） 两边积分得⎰⎰=x x y yd d 122 ,x求积分得 3313Cx y +=-,从而通解为Cx y +-=33及验证0=y 也是方程的解.（特别注意，此解不能并入通解） （2）分离变量得21d d xxy y -=,（0≠y ） 两边积分得⎰⎰-=x x y y d 11d 12,求积分得 1arcsin ||ln C x y +=,即 )e (e e e 11arcsin arcsin Cx x CC C y ±==±=,从而通解为 x C y arcsin e =，验证0=y 也是方程的解. （3）分离变量得x x x yyd )1(d 2++=,（0≠y ） 两边积分得⎰⎰++=x x x y y d )1(d 12 求积分得 13232||ln C x x x y +++=, 即 )e (eee 1332232132C x x x C C C y x x x ±==±=++++,从而通解为3232ex x x C y ++=，验证0=y 也是方程的解.由e )0(=y ，得e =C ， 故特解为32132e x x x y +++=.3.求解下列一阶线性微分方程（1）x b ay y sin '=+（其中b a ,为常数）, (2)21d d yx x y +=. 解：(1)因a x P =)(， x b x Q s i n)(=， 故通解为 ⎰⎰⋅+⎰=-]d e sin [e d d x x b C y xa x a⎰⋅+=-)d e sin (e x x b C ax ax)]cos sin (e 1[e 2x x a a b C axax -++=-. (2)方程变形为2d d y x yx=-, 这是x 关于y 的一阶线性微分方程，其中2)(,1)(y y Q y P =-=,通解为：⎰⋅⎰⋅+⎰=---]d e [e d )1(2d )1(y y C x yy⎰-⋅+=]d e [e 2y y C y y)22(e 2++-=y y C y .以上是用一阶线性微分方程的通解公式求解，要熟练掌握常数变易法！ 4.求微分方程 y y x y x y xy d d d d 2+=+ 满足条件20==x y的特解.解：这是可以分离变量的微分方程，将方程分离变量，有x x y y y d 11d 12-=-， 两边积分，得=-⎰y y yd 12⎰-x x d 11，求积分得121ln 1ln 21C x y +-=-，1222)1ln(1ln C x y +-=-， 1222e )1(1C x y -=-，222)1(e 11-±=-x y C ，记 0e12≠=±C C ，得方程的解 22)1(1-=-x C y .可以验证 0=C 时，1±=y ，它们也是原方程的解，因此，式22)1(1-=-x C y 中的C 可以为任意常数，所以原方程的通解为 22)1(1-=-x C y （C 为任意常数）. 代入初始条件 20==x y得 3=C ，所以特解为 22)1(31-=-x y .5.求微分方程（1）xy yy +='，（2） x xy y x cos e 22=-'的通解.（1）解一 原方程可化为 1d d +=xyx y x y ，令 x yu =，则 1d d +=+u u x u x u ，即 x x u uu d d 12-=+ ，两边取积分 ⎰⎰-=+x x u u u d 1d )11(2， 积分得C x u u ln ln ln 1-=-，将xy u =代入原方程，整理得原方程的通解为 yx C y e = （C 为任意常数）.解二 原方程可化为11d d =-x yy x 为一阶线性微分方程，用常数变易法.解原方程所对应的齐次方程 01d d =-x yy x ，得其通解为 y C x =. 设y y C x )(=为原方程的解，代入原方程，化简得 1)(='y y C ，1ln)(C yy C =，所以原方程的通解为 1ln C y y x=，即yxC ye = （C 为任意常数）.（2）解一 原方程对应的齐次方程02d d =-xy x y 分离变量，得xy x y 2d d =，x x yy d 2d =， 两边积分，得x x y y⎰⎰=d 2d ，C x y +=2ln ，)e ln(ln e ln ln 22x x C C y =+=，2e x C y =，用常数变易法.设2e )(x x C y =代入原方程，得 x x C x x cos e e )(22='，x x C cos )(='，C x x x x C +==⎰sin d cos )(，故原方程的通解为 )(sin e 2C x y x += （C 为任意常数）. 解二 这里x x P 2)(-=，x x Q x cos e )(2=代入通解的公式得)d e cos e (e d 2d 22⎰+⎰⋅⎰=---C x x y xx x x x=)d e cos e(e 222C x x x x x +⋅⎰-=)d cos (e 2C x x x +⎰=)(sin e 2C x x +（C 为任意常数）.6.求微分方程 123='+''y x y x 的通解.解：方程中不显含未知函数y ，令P y ='，x P y d d =''，代入原方程，得 1d d 23=+P x xP x， 311d d xP x x P =+，这是关于未知函数)(x P 的一阶线性微分方程，代入常数变易法的通解公式，所以 =)(x P 1d 13d 1d e 1(eC x xxx x x +⎰⎰⎰-） =1ln 3ln d e 1(e C x x x x+⎰-）=13d 1(1C x x x x +⋅⎰）=11(1C x x +-）=x C x 121+-， 由此x y d d =x Cx121+-，⎰+-=x x C xy d )1(12=21ln 1C x C x ++， 因此，原方程的通解为 y =21ln 1C x C x++ （21,C C 为任意常数）. 7.求微分方程 )1()(22-''='y y y 满足初始条件21==x y ，11-='=x y 的特解.解：方程不显含x ，令 P y ='，y P Py d d =''，则方程可化为 )1(d d 22-=y yP PP ， 当 0≠P 时y y P P d 12d -=，于是 21)1(-=y C P .根据 21==x y，11-='=x y ，知12-='=y y 代入上式，得 11-=C ，从而得到x y yd )1(d 2-=-，积分得 211C x y +=-，再由21==x y ，求得 02=C ，于是当0≠P 时，原方程满足所给初始条件的特解为x y =-11， 当0=P 时，得C y =(常数)，显然这个解也满足方程，这个解可包含在解x y =-11中. 故原方程满足所给初始条件的特解为x y =-11，即 xy 11+=. 8.求方程0)'(''2=-y yy 的通解.解：方程不显含自变量x , 令)('y p y =原方程可变为0d d 2=-⋅⋅p ypp y , 即0=p 或p ypy=d d , 由0'==p y 得C y =.由p y p y=d d 分离变量，得yy p p d d =, 两边积分得⎰⎰=y yp p d d ,求积分得 1ln ln ln C y p +=, 即y C p 1=, 解y C y 1'= 得xC C y 1e 2=,因C y =包含于xC C y 1e2=中, 故原方程通解为 xC C y 1e2=.9.写出下列微分方程的通解：（1）0'2''=+-y y y , （2）08'=+y y . 解：（1）特征方程0122=+-r r , 特征根121==r r , 通解为x x C C y e )(21+=.（2）特征方程08=+r , 特征根8-=r , 通解为xC y 81e-=.10.求下列微分方程满足所给初始条件的特解:（1）xy y y 3e6'2''-=-+, 1)0(',1)0(==y y ,（2） x y y sin 2''=+，1)0(',1)0(==y y . 解：（1）先解06'2''=-+y y y ,。
高数复习题与答案
复习题（一）一、选择题1. 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=001cos)(x x xx x f 在0=x 处( )A 、连续；B 、不连续；C 、为第一类间断点；D 、为第二类间断点.2、已知2)]([)(x f x f ='，则=)()(x f n ( )A 、1)]([+n x f ；B 、n x f n )]([；C 、1][+n f(x)n!；D 、n x f n )]([! 3、设xe y sin =，则dy=（ ）A 、x d e 22sin ；B 、x d e x sin sin ；C 、x d e x sin 2sin ；D 、xdx e x sin 2sin . 4.函数)(x f 在0x 可导是函数)(x f 在该点连续的 （ ）A 、充分条件；B 、必要条件；C 、充要条件；D 、非充分非必要条件.5、1lim(1)n n n→∞-=( )A.2eB.1C. 1 -eD. e6. 0tan 1lim(sin )x x x x x→-=( )A. 1B. 2C. 0D. 不存在 7、 数列收敛是数列有界的（ ）A 、充分非必要条件；B 、必要非充分条件；C 、充分必要条件；D 、既不充分又不必要条件. 8、0x →时，下列无穷小中，（ ）是等价无穷小A 、arcsin x x 与 x ；B 、1cos x -与 22x ；C 、1xe -与 2x ；D 、22x x -与 24x x -.9、设1112()1xxe f x e+=+，则0x =是()f x 的（ ）A 、可去间断点；B 、跳跃间断点；C 、无穷间断点；D 、振荡间断点. 10、函数()f x 在0x 不可导，则()f x 在0x 处（ ）A 、一定不连续；B 、一定无界；C 、不一定连续；D 、一定无定义.11、设曲线L 的参数方程是2(sin )2(1cos )x t t y t =-⎧⎨=-⎩，则曲线在2t π=处的切线方程是（ ）A 、x y π-=；B 、4x y π+=-；C 、x y π+=；D 、4x y π-=-.12、设tan ln 2y x =+，则y '=（ ）A 、1sec 2x +；B 、2sec 2x +； C 、2sec x ；D 、cot x .二、填空题1. 当)(),(),(0x x x x x γβα时，→都是无穷小，且))(o()(x x βα=,)(x β～)(x γ，则)()()(limx x x x x γβα+→=2. 21lim()xx x x→∞+= 3.设a )(=x x f 在连续，且6)1(2tan lima 0=-→xe f x x x x ，则=)a (f ； 4、过曲线xxy -+=66上点（2，2）处的切线方程为 ； 5、设)0(,)sin(ln >=x x y ，则=dy x d ln 。
高等数学复习题及答案
高等数学复习题及答案高等数学复习题及答案高等数学作为一门重要的学科，对于理工科学生来说是必修课程。
在学习高等数学过程中，掌握和复习数学题目是非常关键的。
本文将为大家提供一些高等数学复习题及答案，希望能够帮助大家更好地复习和掌握这门学科。
一、微积分1. 计算下列定积分：∫(x^2+2x+1)dx解答：∫(x^2+2x+1)dx = (1/3)x^3 + x^2 + x + C2. 求函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x的导函数f'(x)。
解答：f'(x) = 3x^2 + 4x - 33. 求曲线y = x^3 + 2x的切线方程。
解答：由y = x^3 + 2x可得，y' = 3x^2 + 2。
切线方程为y - y0 = y'(x - x0)，代入x0 = 1，y0 = 3可得切线方程为y = 5x - 2。
二、线性代数1. 求矩阵A = [2 1; 3 4]的逆矩阵A^-1。
解答：A^-1 = (1/(2*4 - 1*3)) * [4 -1; -3 2] = [2/5 -1/5; -3/5 4/5]2. 已知矩阵B = [1 2; -1 3]，求B的特征值和特征向量。
解答：特征值λ满足|B - λE| = 0，其中E为单位矩阵。
解方程可得λ^2 - 4λ + 5 = 0，得到特征值λ1 = 2 + i和λ2 = 2 - i。
将特征值代入(B - λE)X = 0，得到特征向量X1 = [1; i]和X2 = [1; -i]。
三、概率论与数理统计1. 一枚硬币抛掷10次，求正面朝上的次数大于等于7次的概率。
解答：设X为正面朝上的次数，X服从二项分布B(10, 0.5)。
P(X ≥ 7) = P(X = 7) + P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10)= C(10, 7) * (0.5)^7 * (0.5)^3 + C(10, 8) * (0.5)^8 * (0.5)^2 + C(10, 9) * (0.5)^9 * (0.5) + C(10, 10) * (0.5)^10= 0.1718752. 一批产品的重量服从正态分布N(60, 4)，求随机抽取一个产品，其重量大于65的概率。
大学考试题型高数题库及答案
大学考试题型高数题库及答案一、选择题1. 下列函数中，不是周期函数的是（）A. y = sin(x)B. y = cos(x)C. y = e^xD. y = tan(x)答案：C2. 函数f(x) = x^2在区间（-∞，+∞）上的极值点是（）A. x = 0B. x = 1C. x = -1D. 无极值点答案：A3. 曲线y = x^3在点（1，1）处的切线斜率为（）A. 0B. 1C. 3D. 2答案：C二、填空题4. 极限lim (x→0) [sin(x)/x] 的值为 _______。
答案：15. 函数f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 3x的拐点个数为 _______。
答案：26. 微分方程dy/dx + y = 0的通解为 _______。
答案：Ce^(-x)三、解答题7. 求函数f(x) = ln(x^2 + 1)的导数。
解答：首先，我们使用链式法则求导。
令u = x^2 + 1，则f(x) = ln(u)。
对u求导得到du/dx = 2x。
对f(x)求导得到：\[ f'(x) = \frac{d}{dx}ln(u) = \frac{1}{u} \cdot\frac{du}{dx} = \frac{2x}{x^2 + 1} \]8. 已知某工厂生产商品的总成本函数为C(x) = 100 + 5x + 0.01x^2，其中x为生产的商品数量。
求生产100件商品的平均成本。
解答：平均成本是总成本除以商品数量，即：\[ AC(x) = \frac{C(x)}{x} \]对于x = 100，我们有：\[ AC(100) = \frac{100 + 5(100) + 0.01(100)^2}{100} =\frac{100 + 500 + 100}{100} = \frac{700}{100} = 7 \]9. 求曲线y = x^2 - 4x + 3在点（2，-1）处的切线方程。
(完整版)专升本高等数学习题集与答案
·第一章 函数一、选择题1.以下函数中，【 C 】不是奇函数A.y tan x xB. y xC. y ( x 1) ( x 1)D. y2 sin 2 x2.f (x) 与 g( x) 同样的是【x以下各组中，函数 】A.f ( x) x, g( x)3x 3B.f ( x) 1, g( x) sec 2 xtan 2 xC. f ( x) x 1, g(x) x21D. f ( x) 2 ln x, g( x)ln x 23.x1以下函数中，在定义域内是单一增添、有界的函数是【】A. y x+arctan xB. y cosxC. yarcsin xD. y x sin x4. 以下函数中，定义域是 [,+ ] , 且是单一递加的是【】A. y arcsin xB. y arccosxC. y arctan xD. y arccot x5. 函数 yarctan x 的定义域是 【】A. (0, )B. (2 , )2C.[, 2 ]D. (,+ )26. 以下函数中，定义域为 [ 1,1] ，且是单一减少的函数是【】A. y arcsin xB. y arccosxC. y arctan xD. y arccot x7. 已知函数 yarcsin( x 1) ，则函数的定义域是 【】A. ( , )B. [ 1,1]C. (, )D. [ 2,0]8. 已知函数 yarcsin( x 1) ，则函数的定义域是 【】A. ( , )B. [ 1,1]C. (, )D. [ 2,0]9.以下各组函数中， 【 A 】 是同样的函数A. f ( x) ln x 2和 gx 2ln x B. f (x)x 和 g xx 2C. f ( x) x 和 g x ( x )2D. f ( x) sin x 和 g(x) arcsin x10. 设以下函数在其定义域内是增函数的是【】A. f ( x) cos xB. f ( x) arccos xC. f (x)tan xD. f (x)arctan x11. 反正切函数 y arctan x 的定义域是【】A. (, ) B. (0, )2 2C. ( , )D. [1,1]12. 以下函数是奇函数的是【】··A. y x arcsin xB.y x arccosxC.y xarccot xD. yx 2 arctan x13. 函数 y5ln sin 3x 的复合过程为 【 A 】A. y 5u ,u ln v, v w 3 , w sin xB. y 5u 3, u ln sin xC. y5ln u 3 ,u sin x D. y5u , u ln v 3,v sin x二、填空题1.函数 yarcsin xarctan x的定义域是 ___________.5 5 2.f ( x)x 2arcsin x的定义域为 ___________.33.函数 f ( x) x 2 arcsinx 1的定义域为 ___________。
高数复习题
复习题一一、单项选择题：1．当0→x 时，x x arcsin -是3x 的 （ ） A. 高阶无穷小； B. 同阶无穷小，但非等价无穷小； C. 低阶无穷小； D. 等价无穷小． 2．设)1ln(tan )(x xx x f ++=，则0=x 是)(x f 的 （ ）A. 连续点；B. 跳跃间断点；C. 可去间断点；D. 第二类间断点．3．设)(x f 在0x 处连续，在0x 的某去心邻域内可导，且0x x ≠时，0)()(0>'-x f x x ，则 )(0x f 是 （ ） A. 极小值； B. 极大值；C. 0x 为)(x f 的驻点；D. 0x 不是)(x f 的极值点．4．设x e y 2sin =，则=dy （ ） A. x d e x 2sin ； B. x d e x 2sin sin 2；C. x xd exsin 2sin 2sin ； D. x d exsin 2sin ．5．设周期为4的函数)(x f 在实数域内可导，12)1()1(lim-=--→xx f f x ，则曲线)(x f y =在))5(,5(f 处切线斜率为 （ ）A. 0.5；B. 0C. -1 ；D. -2． 二、填空题：1．已知2325lim2=+++∞→n bn an n ，则=a ，=b ． 2．若)(x f 为可导的奇函数，且5)(0='x f ，则=-')(0x f ．3．函数bx x a x x f ++=223)(在1-=x 处取得极值2-,则_________,==b a ． 4．广义积分2x xe dx +∞-⎰= ．5．dx xa x x a a)1sin (222⎰--+= （其中0a >）． 三、计算下列各题：1．2220sin cos 1lim x x x x -→．2．求由方程3ln sin 21=+-y y x 所确定函数的二阶导数．3．设)1ln(211222++++=x x x x y ，求y ''． 4．dx e x ⎰-2． 5．⎰-π75sin sin dx x x ．6. 求由参数方程sin 1cos x t ty t =-⎧⎨=-⎩确定的函数的导数．四、证明题：1. 设函数)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且a b f b a f ==)(,)(，)0(>a ，证明存在一点),(b a ∈ξ使ξξξ)()(f f -='．2. 设)(x f 在],[b a 上连续,且0)(>x f ,又⎰⎰-=x ab xdt t f dt t f x F )(1)()( 证明方程0)(=x F 在),(b a 内有唯一实根．五、求抛物线2y x =与直线210x y --=及x 轴所围成图形的面积，以及此平面图 形绕x 轴一周形成立体的体积．六、求函数78624++-=x x x y 的单调区间、极值、凹凸区间和拐点．复习题二一、填空题1. 已知321lim2=+++∞→n bn an n ,则常数),(b a = ； 2. 设x e x f 2)(=，则=)(x df x de ； 3. 设()y y x =由1y y xe =+确定，=x dx dy= ； 4. 级数∑∞=+-1)12)(12(1n n n 的和是 ；5. 函数)1ln()(x x x f +=的麦克劳林展开式中n x 的系数为 .二、单项选择题6. 设函数=)(x f 1lim 2++∞→x t t e x ，则0=x 是)(x f 的 （ ）A. 连续点；B. 跳跃间断点；C. 可去间断点；D. 无穷间断点．7. 设)(x f 在0x 处连续，在0x 的某去心邻域内可导，且0x x ≠时，0)()(0<'-x f x x ， 则 )(0x f 是)(x f 的 （ ） A. 极小值； B. 极大值；C. 0x 为)(x f 的驻点；D. 0x 不是)(x f 的极值点．8. 级数)0()1(11>-∑∞=+p n n pn 的敛散性为 ( ) A ．1p >时绝对收敛，1p ≤时条件收敛； B ．1p <时绝对收敛，1p ≥时条件收敛； C ．1p ≤时发散，1p >时收敛； D ．对任何0p >，均绝对收敛．9. 设x xe x f 2)(=, 则=)0()10(f ( )A. 102；B. 10210⨯；C. 1025⨯；D. 10215⨯.10. 设21)(xx f =，则积分dx x f ⎰-11)( ( )A ．等于0；B ．等于2-；C ．等于2；D ．不存在．11. 计算⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+→1e 1)1ln(1lim 0x x x ； 12. 求由参数方程sin 1cos x t ty t =-⎧⎨=-⎩确定的函数的二阶导数；13.dx x xx ⎰+-cos 1sin ；14. 求函数2)2(1--=x x y 的单调性与极值，及其图形的凹凸区间与拐点； 15. 将21)(2-+=x x x f 展开成x 的幂级数． 16.⎰-π53sin sin dx x x .17. 曲线2x y =与x 轴及直线2=x 围成一平面图形，计算该图形的面积以及该图形绕y 轴旋转一周形成的旋转体的体积．18 . 证明当0x >时，arctan ln(1)1xx x+>+； 19 . 求幂级数nn x n n ∑∞=-11的收敛半径、收敛域及和函数；复习题三一、单项选择题：1．函数23()(2)f x x x x x =+--的不可导点的个数为 ( )A ．3；B ．2；C ．1；D ．0．2．级数)0()1(11>-∑∞=+p n n pn 的敛散性为 ( ) A ．1p >时 绝对收敛，1p ≤时条件收敛； B ．1p <时 绝对收敛，1p ≥时条件收敛； C ．1p ≤时 发散，1p >时收敛； D ．对任何0p >，均绝对收敛．3．设)()1)(1()(2x g x x x x f +-=，其中)(x g 在[-1，1]上有连续二阶导数，则在)1,1(-内 ( )A ．至少有两个点i ξ，使0)(=''i f ξ；B ．至少有三个点i ξ，使0)(='i f ξ；C ．最多有一个点i ξ，使0)(=''i f ξ；D ．最多有两个点i ξ，使0)(='i f ξ．4．已知)()(x g x f ='，则=)(2x df ( ).A ．2()g x dx ；B ．22()xg x dx ；C ．2()xg x dx ；D ．22()x g x dx ．5．若)(x f 为可导函数,且(0)0,(0)2,f f '==则204()limx x f t dt x →⎰的值是( ).A ．0；B ．1；C ．2；D ．不存在． 二、填空题：1．已知01lim 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+∞→b ax x x x ,其中b a ,为常数,则_______=a ,_______=b . 2．曲线x y xe -=的水平渐近线方程为____________..3．)2ln(1)(x x x f -+=的定义域为 .4．已知2)3(='f ，则0(3)(3)lim___________2h f h f h→--=．5．设)(x f 连续，且满足10()2()f x x f x dx =+⎰，则)(x f = . 三、计算下列各题：1．011lim ln(1)e 1x x x →⎛⎫- ⎪+-⎝⎭．2．求级数∑∞=-1)1(n n x n 的收敛域及和函数．3．⎰．4．2cos sin x x x dx π-⎰．5．求2(ln )xy x =的导数y '．6. 设()y y x =由1yy xe =+确定，计算22x d ydx=．四、证明题：1. 当0x >时，arctan ln(1)1xx x+>+． 2. 设)(x f 在[0，1]上可导，且120(1)2()0f xf x dx -=⎰，证明至少存在一点(0,1)ξ∈，使()()0f f ξξξ'+=． 五、应用题1.过曲线2x y =)0(≥x 上某点A 作一切线，使之与曲线2x y =以及x 轴所围成图形的面积为121．求（1）过切点的切线方程；（2）上述图形绕x 轴旋转一周形成的旋转体的体积．2. 设函数324()x f x x +=，求函数的单调区间、极值、凹凸区间及拐点.参考答案一、1.B ； 2.A ； 3.A ； 4.B ； 5.B ．二、1. 1，1- ； 2 .0=y ； 3. )2,1()1,1[⋃-； 4.1-； 5. 1x -． 三、1．解：当0x →时,2e 1~,ln(1)~,(e 1)ln(1)~x x x x x x x -+-+原式=200e 1ln(1)1ln(1)lim lim (e 1)ln(1)x x x x x x e x x x →→⎛⎫--+--+= ⎪-+⎝⎭20011(1)1limlim 122x x x x e e x x x →→+-++===．2．解：令1x t -=，对于级数∑∞=1n nnt ，111n n a n a n++=→ )(∞→n ∴ 11R t ==，处，级数∑∞=1n n 发散，1t =-处，级数1(1)n n n ∞=-∑发散∴ 收敛域为（-1，1），故原级数收敛域（0，2）1111()nn nn n n nt t ntt t ∞∞∞-==='==∑∑∑，而11()()()1nn n n tt t t ∞∞=='''==-∑∑ ， 11t -<<∴ 21()1(1)nn t t nt t t t ∞='==--∑ ∴21(1)(1)(2)nn x n x x ∞=--=-∑ 02x <<. 3．解：=⎰⎰12(1(1)21arcsin 21arcsin(1)2x tt t t Cx C+==-=---=+=++⎰4．解：2cos sin x x x dx π-⎰424(cos sin )(sin cos )x x x dx x x x dx πππ=-+-⎰⎰,其中 2244(sin cos )()(cos sin )2x t x x x dx t t t dt πππππ=--=---⎰⎰440(cos sin )(cos sin )2t t dt t t t dt πππ=---⎰⎰原式40(cos sin )1)22t t dt πππ=-=⎰.5.解：)()(][)1(])[(ln 2123)ln(ln 2'-'+'='-+'='-x x e x x x y x x xln(ln )1[ln(ln )]ln x x ex x =++2123x +2321-x=1(ln )[ln(ln )]ln x x x x ++ 6. 解：1y y xe =+两边对x 求导数 y y y e xe y ''=+整理 得 11y y ye y xe e x-'==-- 两边再对x 求导数223112()()()()y y yy y ye y e x y e x e x e x e x ------'---'''=--=-=--- 当0x =时，1y =故220x d ydx ==220,1x y d y dx ==230,122()y yx y e xe e x --==-==-．四、证明题1．证明：只要证当0x >时，(1)ln(1)arctan x x x ++>. 设()(1)ln(1)arctan f x x x x =++-则2221()ln(1)1ln(1)11x f x x x x x '=++-=++++ 当0x >时，()0f x '>，所以 [0,)+∞上，()f x 单调增加. 当0x >时，()(0)0f x f >=，即 (1)l n(1)a r c t a n x x x ++->.2．证明：由定积分中值定理得至少存在一点1[0,]2η∈使得1201(1)2()2()()2f xf x dx f f ηηηη==⋅=⎰令)()(x xf x F =，由已知)(x F 在]1,[η可导又)()()1()1(ηηηF f f F === 由罗尔定理得至少存在一点)1,0()1,(⊂∈ηξ使得0)(='ξF ， 即()()0f f ξξξ'+=．五、1．解：设200(,)M x x ，过M 的切线方程是 20002()y x x x x -=-，该切线与x 轴的交点)0,2(0x N 依题意 0003220000021[2()]1212x x x x x dx x x x x dx =-+-=⎰⎰，所以 10=x ，于是 (1,1)M ．（1）切线方程 )1(21-=-x y ，即012=+-x y ． （2）⎰⎰=--=112122230)12()(πππdx x dx x V x ．2．解：定义域),0()0,(+∞-∞ ，381x y -='， 令0='y ，得驻点2=x ．所以，区间)0,(-∞，(2,)+∞为单调增区间；)2,0(为单调减区间；2=x 为极小值点，极小值3=y .又因为0244>=''xy ，所以，区间),0(),0,(+∞-∞为凹区间，无拐点.复习题四一、填空题：1．设()内可导，，＋－在∞∞⎪⎩⎪⎨⎧<+=>+=0010)(2x c bx x x a x x f 则.________________,_______,===c b a3．设()x f y x f sin )(//=存在，，则__________22=dxyd 。
函授本科高数试题及答案
函授本科高数试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3的零点个数为（）。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C2. 极限lim(x→0)(sin(x)/x)的值为（）。
A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 以下哪个函数是奇函数（）。
A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x^5答案：B4. 以下哪个函数是周期函数（）。
A. f(x) = e^xB. f(x) = sin(x)C. f(x) = ln(x)D. f(x) = x^2答案：B5. 以下哪个是二阶导数（）。
A. f'(x)C. f'''(x)D. f(x)答案：B6. 以下哪个是不定积分（）。
A. ∫f(x)dxB. f'(x)C. f''(x)D. ∫f(x)^2dx答案：A7. 以下哪个是定积分（）。
A. ∫f(x)dxB. ∫f(x)^2dxC. ∫[a,b]f(x)dx答案：C8. 以下哪个是二重积分（）。
A. ∫f(x)dxB. ∫[a,b]f(x)dxC. ∬f(x,y)dxdyD. ∫f(x)^2dx答案：C9. 以下哪个是偏导数（）。
A. ∂f/∂xB. f'(x)C. f''(x)D. ∫f(x)dx答案：A10. 以下哪个是全微分（）。
A. df = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dyB. f'(x)C. f''(x)D. ∫f(x)dx答案：A二、填空题（每题4分，共40分）11. 函数f(x)=x^3-3x的导数为_________。
答案：3x^2-312. 函数f(x)=e^x的不定积分为_________。
答案：e^x+C13. 函数f(x)=ln(x)的导数为_________。
14. 函数f(x)=x^2+2x+1的二阶导数为_________。
高数(下)复习题(经管本科)
高数复习题（经管本科）一、填空题（每小题 3分）1、设a =｛1,2,1｝,b =｛-2,-1,1｝,则>=<b a,cos _________。
2、=+-→→xy xy y x 42lim10 。
3、交换二次积分的积分次序⎰⎰y y dx y x f dy 2202),(= 。
4、如果级数∑∞=1n n u 收敛，则级数∑∞=+1)1(n n u 的敛散性为________________。
5、方程12+=x y 在空间解析几何中表示的图形是_________。
6．设42y x z +=，则=)1,1(dz．7．若级数∑∞=1n n u 收敛，则级数)1(12n n u n +∑∞= （填收敛或发散）． 8.微分方程0'4"=+y y 的通解为= ． 9．设22:4D x y +≤ (0)y >则Ddxdy =⎰⎰ ．10．已知)3,1,4(),1,1,1(B A -，则方向与AB 相同的单位向量0AB = ___________．11、设向量{}1,3,2a =- ，{}2,6,b l =，且a 与b 垂直，则l =_____ .12、设函数2sin()z x y x y =++，则2zx y∂=∂∂ .13、过点()01,1,2M -，且垂直于直线11:231x y zl +-==的平面方为 . 14、将二重积分10d (,)d xI x f x y y =⎰改变积分次序为 .15、级数2111n n n ∞=--∑的敛散性是 （填收敛、发散、不能判定）.16、微分方程430y y y '''-+=的积分曲线在()0,2处与直线20x y -+=相切的特解是 （具体值）.17．方程4130y y y '''-+=的通解是 ． 18．球面22224470x y z x y z ++-+--=的球心是 ．19．函数xy +=41关于x 的幂级数展开式为 ． 20．设D 是由1,==xy x y 及2=x 所围成的域，不计算⎰⎰=Dd y x f I σ),(的先y 后x的累次积分为=I ．21．已知点(4,0,5),(7,1,3)A B ，则方向与AB相同，过A 点的直线方程是 ．22.曲面222z x y =++的曲面名称是_____ __ .23．若级数11nn q∞=∑收敛，则24．点()2,3,4--在空间直角坐标系的位置是第 卦限. 25．2ln(21)z y x =-+的定义域 . 26. 将函数1()4f x x=-展开成1x -幂级数是 . 27．2y x =在平面几何中表示 图形，在空间几何中表示图形.28．过点（1，2，-1）且与直线：2,73,1x t y t z t =-=-+=-+垂直的平面方程为______________ ． 29．求00x y →→＝ .30．二阶常系数线性方程230y y y '''+-=的通解是 ．31．交换120(,)ydy f x y dx ⎰⎰的积分次序 _________．32.设2......,1n n a a aq aq aq q =++++<，则lim n n a →+∞=33.已知(1,2,3),(0,1,0)a b ==,则a b ⋅= 34.过点(0,1,2)且平行平面31x y z ++=的平面方程为35.交换积分次序11(,)0dx f x y dy x⎰⎰=36.微分方程022=+'+''y y y 的通解是 二、选择题（每小题 3 分）1、函数()y x f z ,=连续是),(z y x f =可微的（ ）条件。
高等数学复习题及答案
高等数学复习题及答案【篇一：大学高等数学上考试题库(附答案)】>一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）.1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）.（a）f?x??lnx 和 g?x??2lnx （b）f?x??|x| 和 g?x??2（c）f?x??x 和 g?x??2（d）f?x??|x|x和 g?x??122．函数f?x???ln?1?x??a?x?0x?0在x?0处连续，则a?（）.（a）0 （b）14（c）1 （d）23．曲线y?xlnx的平行于直线x?y?1?0的切线方程为（）.（a）y?x?1 （b）y??(x?1)（c）y??lnx?1??x?1?（d）y?x 4．设函数f?x??|x|，则函数在点x?0处（）.（a）连续且可导（b）连续且可微（c）连续不可导（d）不连续不可微5．点x?0是函数y?x4的（）.（a）驻点但非极值点（b）拐点（c）驻点且是拐点（d）驻点且是极值点6．曲线y?1|x|的渐近线情况是（）.（a）只有水平渐近线（b）只有垂直渐近线（c）既有水平渐近线又有垂直渐近线（d）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．?f???2dx的结果是（）. ?x?x??1??1??1（b）（c）?c?f??cf????x??x??x?x（a）f??8．?dxe?ex??1（d）?c?f????x???c ?的结果是（）.x?x（a）arctane?c （b）arctane?c （c）e?e x?x?c （d）ln(e?ex?x)?c9．下列定积分为零的是（）.?（a）?4?arctanx1?x2??4dx （b）?4??4xarcsinxdx （c）?11?1e?e2x?x1?1?x2?x?sinxdx10．设f?x?为连续函数，则?f??2x?dx等于（）.（a）f?2??f?0? （b）12??f?11??f?0???（c）12??f?2??f?0???（d）f?1??f?0?二．填空题（每题4分，共20分）?e?2x?1?1．设函数f?x???x?a?x?0x?056在x?0处连续，则a?.2．已知曲线y?f?x?在x?2处的切线的倾斜角为?，则f??2??3．y?4．?xx?12.的垂直渐近线有条.dxx?1?lnx?2?.?5．?2??xsinx?cosx?dx?4?2.三．计算（每小题5分，共30分） 1．求极限①lim x??2x?1?x????x?②limx?0x?sinxxe?x2?1?2．求曲线y?ln?x?y?所确定的隐函数的导数y?. x3．求不定积分①?四．应用题（每题10分，共20分） 1．作出函数y?x?3x的图像. 232dx?x?1??x?3?②??a?0? ③?xe?xdx2．求曲线y?2x和直线y?x?4所围图形的面积.《高数》试卷1参考答案一．选择题1．b 2．b 3．a 4．c 5．d 6．c 7．d 8．a 9．a 10．c 二．填空题 1．?22．?三．计算题１①e2 ②1163３．２４．arctanlnx?c ５．２2.y??x1x?y?13. ①ln|2x?1x?3|?c②ln|x|?c③?e?x?x?1??c四．应用题１．略２．s?18《高数》试卷2（上）一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分) 1.下列各组函数中,是相同函数的是( ). (a) f?x??x和g?x??(b) f?x??22x?1x?122和y?x?1(c) f?x??x和g?x??x(sinx?cosx)(d) f?x??lnx和g?x??2lnx ?sin2?x?1??x?1??2.设函数f?x???2?2x?1???x?1x?1 ，则limfx?1?x??（）.x?1(a) 0 (b) 1(c)2(d) 不存在3.设函数y?f?x?在点x0处可导，且f??x?0, 曲线则y?f?x?在点?x0,f?x0??处的切线的倾斜角为{}. (a) 0 (b)?2(c)锐角(d) 钝角4.曲线y?lnx上某点的切线平行于直线y?2x?3,则该点坐标是( ). ??1?1??(b) 2,?ln??? 2?2??2?x(a) ?2,ln (c)??1??1?,ln2? (d) ?,?ln2? ?2??2?5.函数y?xe及图象在?1,2?内是( ).(a)单调减少且是凸的 (b)单调增加且是凸的 (c)单调减少且是凹的 (d)单调增加且是凹的6.以下结论正确的是( ).(a) 若x0为函数y?f?x?的驻点,则x0必为函数y?f?x?的极值点. (b) 函数y?f?x?导数不存在的点,一定不是函数y?f?x?的极值点. (c) 若函数y?f?x?在x0处取得极值,且f??x0?存在,则必有f??x0?=0. (d) 若函数y?f?x?在x0处连续,则f??x0?一定存在.17.设函数y?f?x?的一个原函数为xex,则f?x?=( ).21111(a) ?2x?1?ex (b)2x?ex(c)?2x?1?ex(d) 2xex 8.若?f?x?dx?f?x??c,则?sinxf?cosx?dx?( ).(a) f?sinx??c (b) ?f?sinx??c (c) f?cosx??c (d) ?f?cosx??c 9.设f?x?为连续函数,则?f??1?x??dx=( ). ?2???1??(a) f?1??f?0? (b)2??f?1??f?0??? (c) 2??f?2??f?0??? (d)2?f?2??f?0??????10.定积分?dx?a?b?在几何上的表示( ).ab(a) 线段长b?a (b) 线段长a?b (c) 矩形面积?a?b??1 (d) 矩形面积?b?a??1 二.填空题(每题4分,共20分) ?ln?1?x2??1.设 f?x???1?cosx?a?x?0x?0, 在x?0连续,则a=________.2.设y?sin2x, 则dy?_________________dsinx.3.函数y?xx?12?1的水平和垂直渐近线共有_______条.4.不定积分?xlnxdx?______________________.5. 定积分?1?1xsinx?11?x22?___________.三.计算题(每小题5分,共30分) 1.求下列极限:?①lim?1?2x?x ②limx?01?arctanx1xx???2.求由方程y?1?xe所确定的隐函数的导数y?x.3.求下列不定积分:①?tanxsec3xdx②?ya?0?③?xedx2x四.应用题(每题10分,共20分) 1.作出函数y?13x?x的图象.(要求列出表格)3【篇二：高等数学试题及答案】>一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
大四高等数学考卷及答案
专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1.设函数f(x)在区间(a,b)内可导，且f'(x)>0，则f(x)在区间(a,b)内是（）A.严格单调递增B.严格单调递减C.常数函数D.无法确定2.设函数f(x)=x^33x，则f(x)的极大值点为（）A.x=-1B.x=0C.x=1D.x=33.设函数f(x)=e^x，则f(x)的n阶导数为（）A.e^xB.ne^xC.(n-1)e^xD.e^(x+n)4.设函数f(x)=ln(x)，则f(x)在x=1处的二阶导数值为（）A.1B.0C.-1D.无限大5.设函数f(x)=sin(x)，则f(x)的泰勒展开式的前三项为（）A.xx^3/6B.x+x^3/6C.xx^3/3D.x+x^3/3二、判断题（每题1分，共5分）1.若函数f(x)在区间(a,b)内可导，且f'(x)>0，则f(x)在区间(a,b)内单调递增。
（）2.函数f(x)=x^33x在x=0处取得极大值。
（）3.函数f(x)=e^x的n阶导数仍为e^x。
（）4.函数f(x)=ln(x)在x=1处的二阶导数值为0。
（）5.函数f(x)=sin(x)的泰勒展开式的前三项为xx^3/6。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1.若函数f(x)在区间(a,b)内可导，且f'(x)>0，则f(x)在区间(a,b)内是______。
2.函数f(x)=x^33x的极大值点为______。
3.函数f(x)=e^x的n阶导数为______。
4.函数f(x)=ln(x)在x=1处的二阶导数值为______。
5.函数f(x)=sin(x)的泰勒展开式的前三项为______。
四、简答题（每题2分，共10分）1.简述罗尔定理的内容及其应用。
2.简述拉格朗日中值定理的内容及其应用。
3.简述泰勒公式的内容及其应用。
4.简述牛顿-莱布尼茨公式的内容及其应用。
5.简述高斯-赛德尔迭代法的内容及其应用。
高等数学(2-1)高起本 复习题 及答案
《高等数学》复习题一一、判断题（每题3分，共15分） 1. f(x)=x 是偶函数 （ ）2． f(x)=2x+1在x=0处连续。
（ ）3. u(x) 、v(x)可导，则v u v u v u '+'='+)( （ ）4.⎰⎰+=vdu uv udv （ ）5. x=0是函数y=cosx 的驻点 （ ）。
二、选择题 (每题3分，共15分)1．=→xxx sin lim0（ ）①.1 ②.2 ③.21④. 0 2． f(x)=392+-x x 的间断点（ ）①.1 ②.2 ③.-3 ④. -43. 函数3x y =在x=0点的切线方程__________. ①.x=0 ②. y=0 ③. x=1 ④. y=1 4.⎰=dx x 2( )①.c x+22ln 1 ②.2x +c ③. x x ln 2+c ④. 2ln 2x 5. =+⎰-dx x x x 2224cos ( )①.0 ②.1 ③. 2 ④. 3 三、填空题(每题3分，共15分)1. x y 2sin =是由函数2u y =与_____复合而成。
2. =+/)1(sin x __________ 3． d(tanx)=_____________. 4.⎰xdx =______________.5. 设f(x)连续,且F(x)是f(x)的一个原函数,则 (x)b af dx =⎰____________.四、（10分）叙述拉格朗日微分中值定理 五、综合计算（每题5分，共30分）1. 求极限（1）1231x 4lim 222-++→x x x （2）xx x3)11(lim +∞→2. 求下列函数的导数（1）y=x 2 -3x 4 +2 （2）y=sinx 2 3. 求积分（1）dx x x x)2sin 2(3⎰+-(2)⎰2cos πxdx x六、（15分）求函数y=19623-+-x x x 的单调区间、极值。
高等数学(本科)复习题
一.选择题１. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ Ｄ ）. A)、()()()2221,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-=B)、(())()ln ,lnf x xg x x =+=-C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2tan ,sec csc )(xx g x x x f =+= ２. 下列各式正确的是（ Ｂ ）A ）、2ln 2x xx dx C =+⎰ B ）、s i nc o s td t t C =-+⎰C ）、2a r c t an 1dxdx x x =+⎰ D ）、211()dx C x x-=-+⎰ ３. 下列等式不正确的是（ Ａ ）.A ）、()()x f dx x f dx d b a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ C ）、()()x f dx x f dx d x a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ D ）、()()x F dt t F dx d x a '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'⎰ ４. 设bx x f sin )(=，则=''⎰dx x f x )(（ Ｃ ）A ）、C bx bx b x +-sin cosB ）、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cosD ）、C bx b bx bx +-cos sin５.1()()bx x ae f e dx f t dt =⎰⎰，则（ Ｄ ）A ）、1,0==b aB ）、e b a ==,0C ）、10,1==b aD ）、e b a ==,1 ６.23(sin )xx dx ππ-=⎰( Ａ )A ）、0B ）、π2C ）、1D ）、22π ７.=++⎰-dx x x x )1(ln 2112( Ａ )A ）、0B ）、π2C ）、1D ）、22π８. 若1)1(+=x xxf ，则dx x f ⎰10)(为（ Ｄ ）A ）、0B ）、1C ）、2ln 1-D ）、2ln９. 设)(x f 在区间[]b a ,上连续，⎰≤≤=xab x a dt t f x F )()()(，则)(x F 是)(x f 的（ Ｂ ）.A ）、不定积分B ）、一个原函数C ）、全体原函数D ）、在[]b a ,上的定积分１０. 设1sin 2y x x =-，则dx dy=（ Ｄ ） A ）、11co s 2y - B ）、11co s 2x - C ）、22c o sy- D ）、22c o sx-1１. )1ln(1lim 20x e x xx +-+→=( Ａ ) A 21- B 2 C 1 D -11２. 函数x x y +=在区间]4,0[上的最小值为（Ｂ ）A 4;B 0 ;C 1;D 3二.填空题1. =+++∞→2)12(lim x x x x 21e2. 2-=⎰2π3. 若⎰+=C e dx e x f xx 11)(，则⎰=dx x f )(C x+1４. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(2x x xx x f ，则=')0(f ０ ５. 如果21)74)(1(132lim 23=+-+-∞→n x x x x x ，则=n ２. ６. 设⎰+=C x dx x f 2cos )(，则=)(x f x 2sin 2-７. 若⎰++=C x dx x xf )1ln()(2，则⎰=dx x f )(1C x x ++326121８. ⎰=++dx xx 2cos 1cos 12C x x ++21tan 21 9. 设函数f x x x x k x (),,=>+≤⎧⎨⎪⎩⎪e 2122，若f x ()在2x =处连续，则k=5ln 2110. 设x x f +='1)(ln ，则)(x f C e x x++11. 若⎰++=C x dx x xf )1ln()(2，则⎰=dx x f )(1C x x ++326121三.判断题 (每题2分，共20分) 1. xxy +-=11ln是奇函数. （ Ｔ ） 2. 设()f x 在开区间(),a b 上连续，则()f x 在(),a b 上存在最大值、最小值.( Ｆ )3. 若函数()f x 在0x 处极限存在，则()f x 在0x 处连续. （ Ｆ ）4.sin 2xdx π=⎰. （ Ｔ ）5. 罗尔中值定理中的条件是充分的，但非必要条件.( Ｔ )1. 函数1f(x)=(0,1)1x xa a a a +>≠- 是非奇非偶函数. （ Ｆ ） 2. 若)(lim 0x f x x →不存在,则02lim ()x x f x →也一定不存在. （ Ｆ ）3. 若函数()f x 在0x 处极限存在，则()f x 在0x 处连续. （ Ｆ ）4. 方程2cos (0,)x x π=在内至少有一实根. （ Ｆ ） 5. 0)(=''x f 对应的点不一定是曲线的拐点（ Ｔ ）四.解答题(每题4分，共20分)１求cos(23)x dx -⎰.1cos(23)cos(23)(23)31sin(23)3x dx x d x x C-=---=--+⎰⎰２.求⎰+dx xx 321.令t x =6，则dt t dx t x 566,==原式⎰⎰⎰++-=+=+=dt )t111t (6dt t 1t 6dt t t t 62435 C t 1ln t 2t 62+⎪⎭⎫⎝⎛++-= C x x x +++⋅-⋅=6631ln 663３．设21sin ,0()1,0x x f x x x x ⎧<⎪=⎨⎪+≥⎩，求()f x '222sin 2cos ,0()1,00x x x x f x x x ⎧-+<⎪⎪⎪'=>⎨⎪=⎪⎪⎩不存在，４．求定积分40⎰42l n -５. 设)(x f 在[]1,0上具有二阶连续导数，若2)(=πf ，⎰=''+π5sin )]()([xdx x f x f ，求)0(f .. 解：⎰⎰⎰''--=-=ππππ0sin )()0()()cos ()(sin )(xdx x f f f x d x f xdx x f所以3)0(=f６. 求由直线0,1,0===y x x 和曲线xe y =所围成的平面图形绕x 轴一周旋转而成的旋转体体积 V=())1(2121)2(21210210210221-====⎰⎰⎰e e x d e dx e dx e x x x x πππππ五.计算题 (每题10分，共20分)1.讨论函数()arctan f x k x x =-的单调性，并求方程()0f x =的不同实根的个数，其中k 为参数.令()arctan f x k x x =-，则()f x 是(,)-∞+∞上的奇函数，且221'()1k x f x x--=+.当1k -≤0即k ≤1时，'()0(0),()f x x f x <≠在(,)-∞+∞内单调减少;当1k -＞0即k ＞1时，在(内，'()0,()f x f x >单调增加；在)+∞内，'()0,()f x f x <单调减少。
高等数学(2-1)高起本 复习题 及答案
《高等数学》复习题一一、判断题（每题3分，共15分） 1. f(x)=x 是偶函数 （ ）2． f(x)=2x+1在x=0处连续。
（ ）3. u(x) 、v(x)可导，则v u v u v u '+'='+)( （ ）4.⎰⎰+=vdu uv udv （ ）5. x=0是函数y=cosx 的驻点 （ ）。
二、选择题 (每题3分，共15分)1．=→xxx sin lim0（ ）①.1 ②.2 ③.21④. 0 2． f(x)=392+-x x 的间断点（ ）①.1 ②.2 ③.-3 ④. -43. 函数3x y =在x=0点的切线方程__________. ①.x=0 ②. y=0 ③. x=1 ④. y=1 4.⎰=dx x 2( )①.c x+22ln 1 ②.2x +c ③. x x ln 2+c ④. 2ln 2x 5. =+⎰-dx x x x 2224cos ( )①.0 ②.1 ③. 2 ④. 3 三、填空题(每题3分，共15分)1. x y 2sin =是由函数2u y =与_____复合而成。
2. =+/)1(sin x __________ 3． d(tanx)=_____________. 4.⎰xdx =______________.5. 设f(x)连续,且F(x)是f(x)的一个原函数,则 (x)b af dx =⎰____________.四、（10分）叙述拉格朗日微分中值定理 五、综合计算（每题5分，共30分）1. 求极限（1）1231x 4lim 222-++→x x x （2）xx x3)11(lim +∞→2. 求下列函数的导数（1）y=x 2 -3x 4 +2 （2）y=sinx 2 3. 求积分（1）dx x x x)2sin 2(3⎰+-(2)⎰2cos πxdx x六、（15分）求函数y=19623-+-x x x 的单调区间、极值。
本科高数题库
第一章一、选择题1． 下面四个函数中，与x y =不同的是（ ）A ． x e y ln =B ． 2x y =C ． 44x y =D ． x x y sgn =2．下列函数中是偶函数的是 （ ）A ． 1xy e =+ B ． 3y x = C ． x x y cos 3= D ． x y ln =3． 设,12)11(-=-x x x f 则=)(x f （ ） A ． x +11 B ． x -11 C ． x1- D ． x 14．设()sin f x x x =, 则函数()f x 在(,)-∞+∞内为（ ）A ． 周期函数B ． 偶函数C ． 单调函数D ． 有界函数 5． 下列计算正确的的是（ ）A ．e x xx =+→10)1(lim B ． 01lim(1)x x e x→+= C ． 01lim sin1x x x →= D ． sin lim 1x x x→∞=6． 设232)(-+=xxx f , 则当0→x 时, 有 （ ）A ． )(x f 与x 是等价无穷小B ． )(x f 与x 是同阶但非等价无穷小C ． )(x f 是比x 高阶的无穷小D ． )(x f 是比x 低阶的无穷小 7． 数列有界是数列收敛的（ ）A ． 充分条件B ． 必要条件C ． 充要条件D ． 无关条件 8． 当0→x 时,1是x 的（ ）A ． 高阶无穷小B ． 低阶无穷小C ． 同阶但非等价无穷小D ． 等价无穷小 9． 下列函数中是偶函数的是 （ ）A ． 1xy e =+ B ． x y 2cos 4= C ． x x y cos 3= D ． x x y cos sin -=10． 下列计算正确的是（ ）A ． e x xx =+∞→1)1(lim B ． 01lim(1)x x e x→+= C ． 01sinlim 20=→x x x D ． sin lim 1x x x→∞=11． 设2()f x x =2,(())2xf x ϕ=, 则函数()x ϕ是（ ）A ． x 2log 2B ． 2xC ． 22log x D ． 2x12． 设函数111()1xxe f x e -=+, 则0x =是()f x 的（ ）A ． 可去间断点B ． 跳跃间断点C ． 第二类间断点D ． 连续点13． 设1()1f x x=+，则(())f f x =( )． A ． 12x x ++ B ． 11x+ C ．12x + D ． 1xx+ 14． 下列各式计算正确的是( )． A ． sin lim1x x x →∞= B ． 01lim sin 1x x x→=C ． 1lim sin1x x x →∞= D ． 011lim sin 1x x x→=15． 设函数11()1xxf x e-=-，则1x =是()f x 的( )．A ． 可去间断点B ． 跳跃间断点C ． 无穷间断点D ． 连续点16． 设函数极限0lim ()x x f x →存在，而0lim ()x x g x →不存在，则 ( ) (A) 0lim[()()]x x f x g x →+可能存在 (B) 0lim[()()]x x f x g x →-可能存在(C) 0lim[()()]x x f x g x →⋅必不存在 (D) 0lim[()()]x x f x g x →⋅可能存在17． 当0x →时，以下不是无穷小量的是 ( )(A) 2sin x x(B) ln(1)x + (C) 12(1)1x +- (D) 2(1)x x +18． nn n A nn 1)1(+-+=，则当∞→n 时，n A 是（ ）． A ．无穷小量 B ．无穷大量 C ．有界数列 D ．无界数列 19． =--∞→xx x)11(lim （ ）．A ． e B ．1eC ． 不存在D ． 1 20． 下列四个极限中不存在的是 （ ） A ．x 1xsinlim 0x → B ． x1xsin lim x ∞→ C ． x 1sin x 1lim 0x → D ． x 1lim x ∞→sinx21． 设)x (f lim 0x x →及)x (g lim 0x x →均存在，则)x ()x (f limx x g → （ ） A ．存在 B ． 不存在 C ． 不一定存在 Ｄ． 存在但不等于 22． 设[x]表示不超过x 的最大整数，则[]y x x =- 是（ ）A ． 无界函数B ．周期为1的周期函数C ． 单调函数D ． 偶函数23． 当0→x 时，xx 1sin是 （ ） A ．无穷大量 B ．无穷小量 C ．有界变量 D ．无界变量24． 设x x g x x f -==1)(,1)(，则=)]([x g f ( ) A ． x 11- B ． x 11+ C ． x-11D ． x25． ()f x =-x1（1-）x,则当x →∞时，()f x 的极限是（ ）． A ．e B ．1eC ．不存在D ．126． 下列函数中是偶函数的是 ( )．(A) 1.xy e =+ (B)x y 2cos 4=． (C)x x y cos 3=． (D)x x y cos sin -=． 27． 设232)(-+=xx x f , 则当0→x 时, 有 ( )．(A))(x f 与x 是等价无穷小． (B))(x f 与x 是同阶但非等价无穷小． (C))(x f 是比x 高阶的无穷小． (D))(x f 是比x 低阶的无穷小． 二、判断题 1． 3010-是无穷小量。
高等数学(文本)复习题
高等数学(文本)复习题一、单项选择题1．函数12cos sin ++=x x x y 是（ ） A.奇函数B.偶函数C.周期函数D.非奇非偶函数2. 设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且0)x (f 0='，那末当0)(0<''x f 时( )A ．函数f(x)在点x0处取得最小值B ．函数f(x)在点x0处不取得极值C ．函数f(x)在点x0处取得极大值D ．函数f(x)在点x0处取得极小值3.函数y=cos x 的定义域是（ ） A.()+∞∞-,B.[)+∞,0C.[)+∞,1D.()+∞,04.函数y=sin 2x的周期为（ ） A.πB.4πC.5πD.6π5. 级数∑∞=++-1112)1(n n n 是( )A ．收敛的B ．发散的C ．绝对收敛的D ．部分和无界的级数6.过原点作曲线y=e x的切线，则：切线的方程为( )A.y=e xB.y=e xC.y=xD.y=2e x 7.设f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3),则：方程f ′(x)=0,在〔0,3〕内的根的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.48.设⎰x2dt )t (f =2x 3,则: ⎰1dx )x (f ( )A.1B.2C.3D.4 9.如果广义积分⎰-xP 2dx x 收敛，则( )A.P>1B.P<1C.P>3D.P<3.10.函数Z=f(x,y)在点(x 0,y 0)处连续是z=f(x,y),在点(x 0,y 0)处存在一阶偏导数的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既非充分，又非必要条件11.方程y xdx dy -=的通解为( ) A.x 2-y 2=C B.xy=C C.x 2+y 2=C D.x+y=C12.下列级数中绝对收敛的级数是( ) A.∑∞=-1n n)1(1n 1+ B.∑∞=1n tg2n 1 C.∑∞=-1n n)1( 32n 1n 2++ D.∑∞=1n ln(1+n1) 13.抛物线y=x 2上点N （x 0,y 0）的切线平行于ox 轴，则N （x 0,y 0）为（ ） A.（1，1） B.（1，0） C.（0，0） D.（0，1） 14.设y=xlnx ，则='y （ ）A.lnxB.x1C.xlnx+1D.lnx+115.设y=ln cosx ，则=''y （ ） A.sec 2xB.-sec 2xC.csc 2xD.-csc 2x16.设⎩⎨⎧==3ty t ln x 则=dx dy （ ） A.3t 3B.3t 2C.t 4D.3t31 17.对于函数2x 11)x (f +=，满足罗尔定理全部条件的区间是（ ） A.[-2，0] B.[0，1] C.[-1，2] D.[-2，2] 18.函数y=x+arctgx 在（-∞，+∞）上（ ） A.单调减少 B.单调增加 C.不连续 D.不可导19.a x的一个原函数是（ ）A.a xB.aln a xC.a x lnaD.a x+120.微分方程思念siny dx+(1+e -x)cosy dy=0是( )A. 二阶微分方程B.齐次方程C.一阶线性微分方程 D 可分离变量的微分方程二、填空题1. ∞→n lim （n n n -+42）=___________。
高等数学复习题(附答案)
高等数学复习题一、选择题 1、已知函数)2arctan(2)(-+-=x x x f ，则函数)(x f 的定义域为 （ ）①)2,1(-， ②]3,1(-， ③]2,1[， ④]2,(-∞.2、已知函数)(x f 的定义域为[0,1]，则函数)2(x f -的定义域为 （ ） ①]2,(-∞， ②(1,2)， ③[0，1], ④[1,2].3、已知函数|1|arcsin )(-=x x f ，则函数)(x f 的定义域为 （ ） ①]1,1[-， ②]1,1(-， ③)2,0(， ④]2,0[.4、=∞→xx x πsinlim （ ）① 1 ② π ③不存在 ④ 05、下列函数中为奇函数的是 ( )①)1(log 2++x x a ， ②2x x e e -+， ③x cos ， ④x2.6、下列函数中是相同函数的是 （ ） ① 1)(,)(==x g xxx f ② 33341)(,)(-=-=x x x g x x x f ③ 2)()(,)(x x g x x f == ④ x x g x x f lg 2)(,lg )(2==7、=→xxx 3sin lim0 （ ）①1 ② 2 ③ 3 ④ ∞ 8、()=+→xx x 121lim ( )①2-e ， ②2e ， ③2， ④+∞.9、=→xx x arcsin 0lim( )①0， ②1， ③2， ④不存在.10、=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→xx x 21lim ( )①2-e ， ②2e ， ③2， ④+∞.11、=++--∞→103422lim 22x x x x x ( ) ①0， ②1， ③2， ④不存在.12、=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→xx x x 2lim ( )①2-e ， ②2e ， ③2， ④+∞.13、=∞→xx x arctan lim( )① 0， ② 1， ③ 2， ④不存在. 14、()=+→xx x 1021lim ( )①2-e ， ②2e ， ③2， ④+∞.15、当0→x 时，下列函数为无穷小量的是 （ ） ①x x sin ②x x 1sin 2③)1ln(1+x x ④x11+ 16、当x x 2tan 0时，与→等价的无穷小量是 ( ) ①x -， ②x ， ③2x ， ④2x .17、下列函数在指定变化趋势下是无穷小量的是 ( ) ①1,ln →x x ， ②+→0,ln x x ， ③∞→x e x,， ④+∞→x e x,. 18、下列函数在指定变化趋势下不是无穷小量的是 ( )①1,ln →x x ， ②0,cos →x x ， ③∞→x x ,sin 1， ④+∞→-x ex,. 19、当x x 2sin 0时，与→等价的无穷小量是 ( ) ①x -， ②x ， ③2x ， ④2x .20、点0=x 是函数⎩⎨⎧≥-<=0,10,)(x e x x x f x 的 （ ）①连续点 ②可去间断点③第二类间断点 ④第一类间断点，但不是可去间断点 21、函数)(x f y =由参数方程0sin cos ≠⎩⎨⎧==a ta y ta x ，则 =dx y d （ ）①t sin - ② t tan ③ t cot - ④t sec 22、设==dy ey x则, （ ）①dx ex x， ②dx e x， ③xdx e x 2， ④xdx e x23、设==-dy ey x则,1 （ ）①dx e x1-， ②dx e x x 121--， ③dx e xx 121-， ④dx e x x 11--24、设,sin 2x y= 则=dy （ ）① x x cos sin 2 ② xdx cos 2 ③ xdx sin 2 ④xdx 2sin25、设函数||)(x x f = 则在0=x 点处 （ ） ①不连续， ②连续但左右导数均不存在， ③连续且可导， ④连续但不可导.26、设函数||cos )(x x f = 则在0=x 点处 （ ） ①不连续， ②连续但左右导数均不存在， ③连续且可导， ④连续但不可导. 27、设函数x x f =)(，则)(x f 在点0=x 处 （ ） ①可导 ②不连续③连续，但不可导 ④可微28、设21,1,()31,1x x f x x x ⎧+<=⎨-≥⎩，则f (x )在x =1处 ………………………………( )①既可导又连续 ②可导但不连续 ③不连续也不可导 ④连续但不可导 29、函数x y sin =，则 =)12(y（ ）①x cos ② x cos - ③ x sin ④x sin - 30、曲线26322-+=x x y 在点(3,1)处的切线的斜率=k ( )①3 ②1 ③15 ④ 0 31、设'0000(2)()()limh f x h f x f x h→+-=存在，则 ………………………..….. ( )①'0()f x ②'0()f x h - ③'02()f x h - ④'02()f x32．设函数3)(x x f = ， 则在0=x 是函数的 （ ） ① 驻点与极值点; ②不是驻点与极值点; ③极值点; ④驻点. 33、设函数()f x 区间[0,1]满足罗尔定理的是 （ ） ①|5.0|)(-=x x f , ②⎩⎨⎧≥-<=5.0225.02)(x x x xx f , ③)sin()(x x f π=, ④ x x f =)(34、设函数()f x 在0x 的()00f x '=，则()f x 在0x （ ） ① 一定取极大值 ② 一定 取极小值 ③ 一定 不取极值 ④ 极值情况不确定35、设函数)(x f 在0x 处具有二阶导数，且0)(0='x f ，0)(0<''x f ，则)(0x f 为① 最小值 ②极小值 ③最大值 ④极大值36、⎰='])([dx x F d ( ) ①dx x F )('， ②)(x F ， ③dx x F )(， ④. )(x F '37、设x sin 是)(x f 的一个原函数，则⎰=dx x f )( （ ）①C x +sin ② C x +cos ③C x x ++cos sin ④C x x +sin 38、⎰=-dx xx 212 ( )①C x +arcsin ， ②C x +-21， ③C x +--212， ④C x +2arcsin 2139、⎰=+dx x x212 ( )①C x +arctan ， ②C x +2arctan 21， ③C x +2， ④C x ++)1ln(240、下列函数中，为)(222x xe e y --=的原函数的是………………………….( )① x xe e22-- ②)(2122x x e e -- ③x x e e 22-+ ④)(2122x x e e -+41、dx x x e⎰+1)ln 1(1= ( )① 12ln + ②C +2ln ③2 ④2ln42、=⎰badaddx x f )( （ ）① )()(a f b f - ②)(a f - ③ f(b ) ④ 0 43、=⎰21sin xdx x dx d ( )① x sin x ②0 ③2 ④344、=⎰badbddx x f )( （ ）① )()(a f b f -， ② f(b )， ③)(a f -， ④ 0.二、填空题1、 若)(x f 的定义域为)0,(-∞,则)(ln x f 的定义域为 ；2、 已知函数291)(xx f -=，则函数)(x f 的定义域为 。
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一、填空题，选择(每小题3分)
1、322042lim 32x x x x x x →-++=， 2030
50(23)(32)lim (21)
x x x x →∞-++，351lim 48x x x x →∞+++， 2、设2tan x y =，则=')4
(π
f 设100(10)y x =- ln ln y x = 2(arcsin )y x = ，求y '
函数2()53f x x x =-+极值点为 ；函数22()1x f x x
=+极值点为 函数2()44(1)
f x x x I n x =-++在x = 取极大值,在x = 处取得极小值. 3、若⎰⎰=b a
e
du u f dx x f x )()(ln 11，则a = b = '03])([2⎰x dt t f ＝ ']ln [⎰x e x dt t t ＝ 设f(x)连续，,)(1
03x dt t f x =⎰-则f(7)＝ dx x ),1max(320⎰=
4、微分方程x e y y x =+'的通解是
微分方程09=-''y y 的通解是
微分方程09124=+'-''y y y 的通解是
微分方程0=+''y y 的通解是
5、若)(x f =
)1(--x x a e x 有无穷间断点0=x 和可去无穷间断点1=x ,则a= 已知lim()9x x x a x a
→∞+=-，则a = . 要使1,2()sin ,2
ax x f x x b x ππ⎧+<⎪⎪=⎨⎪+≥⎪⎩在(,)-∞+∞上连续，则,a b 应满足关系式 . 确定,a b 之值，使21lim()1x x ax b x
→∞+--=
二、计算题（每题9分）
1、21lim()x x x x →∞+，214lim()1x x x x -→∞-+ ，3sec 2
lim(1cos )x x x π→+，22cot 0lim(1)x x x →+ 2、⎩
⎨⎧==t e y t e x t t cos sin ， 2ln(1)arctan x t y t t ⎧=+⎨=-⎩，2x y xe =，ln ()y f x =，求22dx y d 3、1tan 1tan x dx x
-+⎰，dx x x ⎰cos tan ，dx x x ⎰ln 1，⎰dx x e x 3，⎰dx e x x 23 4、求⎰--=
20)2()(x t dt e t x f 在[]3,0的最大值和最小值. 5、⎰∞+∞-++dx x x 5212.120(1)dx x -⎰
6、求解方程
(1);127x y y y =+'-'' (2);2sin 82x y y y =-'+''
(3)x e y y y 2844=+'-''; (4) x e x y y y 2244=+'-''
7、求y x x =-+-2
43与其过点()03,-和点()30,的切线所围成的平面图形的面积。
求由曲线x y ln =与两直线y=e+1-x 及 y=0所围成图形的面积
三、证明题（每题7分）
证明⎰⎰-+=-a
a
a dx x f x f dx x f 0)]()([)( 设⎰+=
x dt t t x f 11ln )(，其中0>x 证明2ln )1()(2x x f x f =+。