安徽省“江南十校”高三冲刺联考(二模)文数试题

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知集合},06|{2
Z x x x x A ∈>+--=，}3,2,1{=B ，则=B A （ ）
A ．}1,0,1,2{--
B ．}3,2,1{
C ．}1,0{
D ．}1{ 【答案】D
考点：1、集合的表示；2、集合的交集.
2.复数i i
z 215+-=的虚部为（ ） A ．511 B ．i 511 C ．511
-
D ．i 5
11-
【答案】C 【解析】
试题分析：因为i i z 215+-=()()()()51271112125
i i i i i ---=
=+-,所以复数i i z 215+-=的虚部为511-，故选C.
考点：1、复数的概念；2、复数的运算.
3.已知}{n a 是公比为2的等比数列，n S 为数列}{n a 的前n 项和，若7612a S =+）（
，则=3a （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【答案】D
【解析】
试题分析：因为}{n a 是公比为2的等比数列，若7612a S =+）（
所以()6161112222,112
a a a -⨯
+=⨯=-，=3a 2124⨯=,故选D.
考点：1、等比数列的通项公式；2、等比数列前n 项和公式. 4.已知命题p :R ∈∃α，使得3cos 2sin =+αα；命题q :x x x sin ),2
,0(>∈∀π
，则下列判
断正确的是（ ）
A ．p 为真
B ．q ⌝为假
C ．q p ∧为真
D ．q p ∨为假 【答案】B
考点：1、真值表的应用；2、三角函数的有界性及导数的几何意义.
5.已知x ，y 满足不等式组43
35251x y x y x -≤-⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，则函数2z x y =+的最小值是（ ）
A ．3
B ．13
2
C ．12
D ．23
试题分析：作出不等式组表示的平面区域，即可行域，如图所示．把2z x y =+变形为
2y x z =-+．平移2y x =-由图可以看出，当直线2z x y =+经过可行域上的点B 时，截距
z 最小．解方程组1
430
x x y =⎧⎨-+=⎩，得B 点坐标为()1,1；所以min 2113z =⨯+=．故应选A ．
考点： 1、可行域的画法；2、最优解的求法.
【方法点晴】本题主要考查线性规划中可行域的画法及利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，
最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；
（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
6.若新高考方案正式实施，甲，乙两名同学要从政治，历史，物理，化学四门功课中分别选取两门功课学习，则他们选择的两门功课都不相同的概率为（ ） A ．61 B ．31 C ．2
1
D ．
3
2 【答案】A
考点：1、组合数的应用；2、古典概型概率公式.
7.如果一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A ．π32080-
B ．π3
20
80+ C ．π)4292(112-+ D ．π292112+
【答案】C 【解析】
试题分析：由三视图知,该几何体是一个底面边长为4,高为5的正四棱柱,挖去一个底面半径为2,
高为5的圆锥的组合体,其表面及是正四棱柱的全面积减去圆锥的底面积再加上圆锥的侧面
积:1124π+-= π)4292(112-+，故选C.
考点：1、三视图的应用；2、圆锥的侧面积公式及组合体的表面积.
8.已知边长为2的等边ABC ∆，其中点G Q P ,,分别是边CA BC AB ,,上的三点，且
CA CG BC BQ AB AP 4
1
,31,21===
，则=⋅（ ）
A ．125
B ．127
C ．43
D ．12
11
【答案】
B
考点：1、
向量运算的三角形法则；2、平面向量的数量积公式.
9.已知定义在R 上的奇函数)(x f y =，对于R x ∈∀都有)1()1(x f x f -=+，当01<≤-x 时， )(log )(2x x f -=，则函数2)()(-=x f x g 在)8,0(内所有的零点之和为（ ）
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12 【答案】D 【解析】
试题分析：因为函数2)()(-=x f x g 在)8,0(内所有的零点之和，就是()2f x =在)8,0(内所有的根之和，也就是(),2y f x y ==交点横坐标之和，画出(),2y f x y ==函数图象，如图，由图知12342,10x x x x +=+=，所以，123412x x x x +++=，故选D.
x
考点：1、函数零点与函数图象交点之间的关系；2、数形结合思想. 10.如果函数x y ωsin 21=
在区间]12
,8[π
π-上单调递减，那么ω的取值范围为（ ） A ．)0,6[- B ．)0,4[- C ．]4,0(
D ．]6,0( 【答案】B 【解析】
试题分析：因为1ω=时，1sin 2y x =
在,22ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上单调递增，所以可以排除C 、D ；6ω=-时，()11sin 6sin 622y x x =
-=-在,812ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,1212ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上单调递增，因此可排除选项A ，故选B.
考点：1、三角函数的单调性；2、选择题的特殊值法.
11.抛物线x y 42
=的准线与x 轴相交于点P ，过点P 作斜率)0(>k k 的直线交抛物线于B A ,两点， F 为抛物线的焦点，若||3||FB FA =，则直线AB 的斜率=k （ ）
A ．
33 B ．2
3 C ．332
D ．
3
2
【答案】B
考点：1、
抛物线的定义和几何性质；2、韦达定理的应用.
【方法点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，以及韦达定理的应用，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决，本题A B 、到焦点F 的距离就是转化为到焦点距离求解的.
12.已知函数⎩⎨⎧≤-->-+=0
,10),1(log 3)(22x x x x x x f 若5)(=a f ，则a 的取值集合为（ ）
A ．}5,3,2{-
B ．}3,2{-
C ．}5,2{-
D ．}5,3{ 【答案】C 【解析】 试题分析：
()()()()()2
2422215,33log 24,53log 25f f f -=---+==+==+=，排
除A 、B 、D,()5f a ∴=的集合为{}2,5-,故选C. 考点：1、分段函数的解析式；2、特殊值法解选择题.
【方法点睛】本题主要考查抛分段函数的解析式、特殊值法解选择题，属于难题.特殊值法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型：(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）求方程、求通项、求前n 项和公式问题等等.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）
13.已知函数2)(3
+-=x x x f ，则)(x f 在]1,0[上的最小值为 .
【答案】9
3
22-
考点：1、利用
导数利用导数研究函数的单调性；2、利用导数求函数的最值.
14.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是 .
【答案】0 【解析】
试题分析：该程序框图运行结果是数列cos
6
n n a π
=的前2016项的和，根据三角函数诱导公式及三角函数的周期性可得，该数列每相邻12和为0，而201616812=⨯，所以，其和为
16800⨯=，故答案为0.
考点：1、程序框图及循环结构；2、三角函数诱导公式及三角函数的周期性.
15.在数列}{n a 中，)2(322,1111≥+=-=-n a a a n n ，n S 为数列}{n a 的前n 项和，则n S 的最小值为 . 【答案】46-
考点：1、等差数列的定义及通项公式；2、等差数列的前n 项和公式及最值.
【方法点睛】本题主要考查等差数列的定义及通项公式、等差数列的前n 项和公式、前n 项和的最值，属于难题..求等差数列前n 项和的最小值的方法通常有两种：①将前n 项和表示成关于n 的二次函数，n S 2An Bn =+，当2B n A =-
时有最小值（若2B n A
=-不是整数，n 等于离它较近的一个或两个整数时n S 最小）；②可根据0n a ≤且10n a +≥确定n S 最小时的n 值.
16.已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b y a x ，其左，右焦点分别为21,F F ，若以右焦点
)0)(0,(2>c c F 为圆心作半径为c 的圆与双曲线的右支的一个交点为M ，且直线M F 1恰好与
圆相切，则双曲线的离心率为 . 【答案】13+ 【解析】
试题分析：因为右焦点)0)(0,(2>c c F 为圆心作半径为c 的圆与双曲线的右支的一个交点为
M ，且直线M F 1恰好与圆相切，所以122,MF MF MF c ⊥=，由勾股定理得1MF =，
由双曲线定义知
122MF MF a -=c =-，离心率1c e a ===，故答案为13+.
考点：1、双曲线的定义；2、双曲线的几何性质及离心率.
【方法点睛】本题主要考查双曲线的定义、双曲线的几何性质及离心率，属于难题 . 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ；②构造,a c 的齐次式，求出e ；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知
1cos )sin 3(cos 2
cos 22
=++C B B A
. （1）求角C 的大小；
（2）若32=c ，且ABC ∆的面积为3，求b a ,的值. 【答案】（1）3
2π
=
C ；（2）2,2==b a .
考点：1、
余弦的二倍角公式、三角形内角和定理；2、两角和的余弦公式，余弦定理及三角形面积公式.
18. 某数学老师对所任教的两个班级各抽取30名学生进行测试，分数分布如下表： （1）若成绩120分以上（含120分）为优秀，求从乙班参加测试的成绩在90分以上（含90分）的学生
中，随机任取2名学生，恰有1人为优秀的概率；
（2）根据以上数据完成下面的2×2列联表，则犯错概率小于0.1的前提下，是否有足够的把握认为学生
的数学成绩优秀与否和班级有关?
参考公式：)
)()()(()(2
2
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中
d c b a n +++=.
下面的临界值供参考：
【答案】（1）3
5
；（2）在犯错概率小于0.1的前提下，没有足够的把握认为学生的数学成绩优秀与否和班级有关.
【解析】
试题分析：（1）例举出乙班参加测试的成绩在90分以上的学生中，随机任取2名学生的基本事件，共15个，恰有1人为优秀的事件共有9个，根据古典概型概率公式可求解；（2）先列出
列联表，然后直接利用公式， 2()()()()()
n ac bd a b c d a c b d -++++，然后对照所给数据即可.
考点：1、
古典概型概率公式；2、独立性检验.
19.如图所示的多面体中，已知菱形ABCD 和直角梯形ACEF 所在的平面互相垂直，其中
FAC ∠
为直角，
60=∠ABC ，AC EF //，3,12
1
===FA AB EF . （1）求证：⊥DE 平面BEF ； （2）求多面体ABCDEF 的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）3.
（2）解：
由
（
1
）
知，
⊥
BD 平面
A C
，所以
33]3)21(2
1
[312=⨯⨯+⨯⨯=+=--A C E F
D A
C E
F B A B C D E F V V V .
考点：1、线面垂直的判定定理与性质；2、棱锥的体积公式.
20.已知ABC ∆的三个顶点坐标分别为)22,1(),3,2(),0,1(C B A -，且定点)1,1(P . （1）求ABC ∆的外接圆的标准方程；
（2）若过定点P 的直线与ABC ∆的外接圆交于F E ,两点，求弦EF 中点的轨迹方程.
【答案】（1）9)2(2
2
=+-y x ；（2）2
1)21()23
(2
2=
-+-y x .
考点：1、
定义法求圆方程；2、直接法求圆的方程.
【方法点睛】本题主要考查三角形外接圆的方程和性质、动点的轨迹方程向量垂直的性质，属于难题.求圆的方程常见思路与方法有: ①直接设出动点坐标(),x y ，根据题意列出关于
,x y 的方程即可；②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定系数法，可
以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可.本题是利用方法①②解答的. 21.已知函数x a ax x
b
x f ln )1()(++-=
，R a ∈，
且)(x f y =在1=x 处的切线垂直于y 轴. （1）若1-=a ，求)(x f y =在2
1
=x 处的切线方程；
（2）讨论)(x f 在),0(+∞上的单调性.
【答案】（1）43+-=x y ；（2）当0=a 时，)(x f 在]1,0(上单调递减，在),1(+∞上单调递增，当0<a 时， )(x f 在]1,0(上单调递减，在),1(+∞上单调递增，当10<<a 时，)(x f 在
)1,1(a 内单调递增，在]1,0(和),1
[+∞a
上单调递减；当1=a 时，)(x f 在),0(+∞上单调递减，当1>a 时，)(x f 在)1,1(a 内单调递增，在]1
,0(a
和),1[+∞上单调递减.
考点：1、
利用导数求切线方程；2、利用导数研究函数的单调性.
【方法点睛】本题主要考查利用导数求切线方程、利用导数研究函数的单调性.属于难题. 利用导数求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P 00(,())x f x 出的切线
斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在0x x =处导数不存在，切线方程为
0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程'00()()y y f x x x -=∙-.
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图所示，在ABC ∆中，CD 是ACB ∠的角平分线，ACD ∆的外接圆交BC 于E 点. （1）证明：
BD
AD
BC AC =； （2）若AC BD AD ==2，求
EC
BE
的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
3
5
. 考点：1、
相识三角形的应用；2、圆的割线定理.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以O 为极点，C 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，取相同的长度单位.已知曲线C
的极坐标方程为θρsin 52=，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 225223（t 为参数）. （1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；
（2）若点)5,3(P ，直线l 与曲线C 相交于N M ,两点，求||||PN PM +的值.
【答案】（1）0522
2=-+y y x ,053=--+y x ；（2
）
考点：1、
参数方程化普通方程及韦达定理；2、极坐标方程化直角坐标方程及直线参数的几何意义. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数|2
3||212|)(-++
=x a x x f . （1）当1-=a 时，解不等式x x f 3)(≤；
（2）当2=a 时，若关于x 的不等式|1|1)(2b x f -<+的解集为空集，求实数b 的取值范围.
【答案】（1）4
1
21-<≤-
x ；
（2）]9,7[-.
考点：1、
绝对值不等式的解法；2、不等式有解问题.。