广东省深圳市北大附中南山分校高中部高二数学第一次月考试题 理

广东省深圳市北大附中南山分校高中部2014-2015学年高二数学第一次月考试
题 理
一．选择题（本大题共8个小题；每小题5分，共40分）
1. 已知等比数列
}
{n a 的公比为正数，且3a ·9a =22
5a ，2a =1，则1a =（ ）
A. 21
B. 22
C. 2
D.2
2. 已知}
{n a 为等差数列，
105
531=++a a a ，
99
642=++a a a 则
20
a 等于( )
A. -1
B. 1
C. 3
D.7
3. 设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若6
3S S =3 ，则69S S =（ ）
A. 2
B.7
3
C. 8
3 D.3
4．已知△ABC 中，
125
tan -
=A ，则cos A =（ ）
A. 1213
B. 5
13
C.513-
D. 12
13-
5．公差不为零的等差数列
{}
n a 的前n 项和为
n S .若4a 是37a a 与的等比中项，832S =,则10S 等于（ ）
A.18
B.24
C.60
D. 90 .
6．已知等比数列
{}
n a 满足
0,1,2,n a n >=L
，且
25252(3)n
n a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++=
L （ ）
A. (21)n n -
B.2(1)n +
C.2n
D.2(1)n -
7．在ABC ∆中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ）
A.10,45,70b A C ===o o
B. 60,48,60a c B ===o
C. 7,5,80a b A ===o
D. 14,16,45a b A ===o
8．若a > 0 ，b > 0 ，则不等式－b < 1
x < a 等价于（ ）
A.
1b －
< x < 0或0< x <1a B.－1a < x <1b C.x < -1a 或x > 1b D.x <1b －
或x > 1
a
二.填空题（本大题共6个小题；每小题5分，共30分） 9．不等式2
560x x -+≤的解集为 .
10.已知等差数列}{n a ，}{n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且7211
3+-=
n n T S n
n ，则66b a = .
11.已知数列}
{n a 满足11=a ，
n n
n a a a 211+=
+)(+∈N n ,则n a = .
12．已知
{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到
最大值的n 是 . 13．已知数列
{}
n a 满足：
434121,0,,N ,
n n n n a a a a n *--===∈则
2014
a =_________.
14．设等差数列
{}
n a 的前n 项和为
n S ，则4S ，84S S -，128S S -，1612S S -成等差数列．类比以上结论有：
设等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，则4T ， ， ，16
12T T 成等比数列.
三.解答题（本大题共6个小题；共80分）
15．（12分）在ABC ∆中，内角 A.B.C 的对边长分别为a .b .c ，已知22
2a c b -=，且
sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b.
16.（14分）已知等差数列{n a }中，,0,166473=+-=a a a a 求{n a }前n 项和n s .
17．（12分）数列{n a } 中1a ＝1
3，前n 项和n S 满足1n S +-n S ＝1
13n +⎛⎫ ⎪⎝⎭
（n ∈*
N ）．
( I ) 求数列{
n a }的通项公式n a 以及前n 项和n S ；K^S*5U.C#O
（II ）若S1 ， t ( S1+S2 ), 3( S2+S3 ) 成等差数列，求实数t 的值.
18．（14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c
，且满足cos
2A =， 3=•.
（I ）求ABC ∆的面积；
（II ）若6b c +=，求a 的值.
19．（14分）已知数列{}n a 的前n 项和
2
211
+⎪
⎭⎫
⎝⎛--=-n n n a S （n 为正整数）.
（Ⅰ）令
2n
n n b a =，求证数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （II ）令1
n n n c a n +=
，12........n
n T c c c
=+++.求n T .
20.（14分）在数列{}n a 中，
11111,(1)2n n n n a a a n ++==++ （I ）设
n
n a b n =
，求数列{}n b 的通项公式； （II ）求数列{}
n a 的前n 项和
n S .
北大附中深圳南山分校高中部
2014--2015学年度上学期第一次月考考试
高二数学（理）答卷
时间：120分钟满分：150分
1 2 3 4 5 6 7 8
填空题：（每题5分，共30分）
9．； 10. ； 11．；
12. ；13．； 14. ，；
三.解答题（本大题共6个小题；共80分）
15．（12分）
16.（14分）
17．（12分）
18．（14分）19．（14分）
20.（14分）
北大附中深圳南山分校高中部高二年级
2014-2015学年度第一学期第一次月考数学（理）答案 选择题
BBBDC CDD
1. 解：2693a a a =⋅2
225262
2
5
2
6==∴=∴a a q a a ，q>0,2
=∴q 22
21==∴q a a 2. 解：
105
35313=++=a a a a ，
99
36424=++=a a a a
2
33,353443-=-=∴==∴a a d a a ，
1
343517320=-=+=∴d a a
3. 解：
3336543216)()(S q S a a a a a a S +=+++++=，
3
63339S q S q S S ++=
由
2313
363
=∴==+q S S q 373421113
633333633369=++=+++=+++=∴q q q S q S S q S q S S S 4．解：已知△ABC 中，125tan -
=A A ∴是钝角，1312
cos -
=∴A
5．解：若
4a 是37a a 与的等比中项，832S =,
所以)6()2()3(112
1d a d a d a +⋅+=+，
3227
881=⋅+
d a ，解得：2,31=-=d a
6029
1010110=⋅+
=∴d a S
解：12252321225252
log ......log log log 2--++++∴=⋅=n n
n n
a a a a a a a )......]()[(log )......(log 323121212325312----⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=n n n n a a a a a a a a a 2
22222
2log ......]22[log n n n n ==⋅=
D
8．D 解：法一，分为两类 －b < 1x < 0或0 < 1
x < a
法二，利用函数
x y 1
=
图像
二.填空题（本大题共6个小题；每小题5分，共30分） 9．[2,3]
10.解：2922)(211)
(211
22111111111111
11116666=
=++=++==T S b b a a b b a a b a b a
11.解：
21
12111+=∴+=
++n n n n n a a a a a ⎭⎬
⎫⎩⎨⎧∴n a 1是首项111=a ，公差2=d 的等差数列
12)1(211
-=-+=∴
n n a n 121
-=∴n a n
12.解：
105
35313=++=a a a a ，
9936424=++=a a a a 2
33,353443-=-=∴==∴a a d a a ，
n
d n a a n 241)3(3-=-+=∴ 解不等式
5
.20,0<>∴n a n ，所以前20项和最大
13.解：
1252410072014===-⋅a a a
14．4T ，8124
8,T T T T ，16
12T T 成等比数列. 三.解答题（本大题共6个小题；共80分）
15．解：由正、余弦定理，sin cos 3cos sin ,A C A C =得222222
3,
22a b c c b a a c ab bc +-+-⋅=⋅g g
化简得：
222
2()44b a c b b =-=∴=
16略解：利用基本量法，得 ①当2,81-==d a 时29n n S n -=
②当2,81=-=d a 时，n n S n 92
-=
17．解：①=+1n a 1n S +-n S ＝
1
13n +⎛⎫ ⎪⎝⎭ （n ∈*
N ），所以),2(31≥⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a n
n 而
,311=a 所以,1=n 也适合，所以),(31*N n a n n ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛=)311(21311)31
1(31n n n S -=-
-=
②
2713)2711(21,94)911(21,31321=
-==-==S S S 由题知：S1 ，t( S1+S2 ), 3(S2+S3 ) 成等差数列，即925
,97,31t 成等差数列 所以2928
92531914=∴=+=t t
18．解：①在ABC ∆
中
cos
25A =
，
5312cos 2cos 2=-=∴A A ,54sin =∴A 已知3=•，53533cos =∴=⋅∴=∴bc bc A cb 2
54
521sin 21=⋅⋅==∴∆A bc S ②由余弦定理，得A bc bc c b A bc c b a cos 22)(cos 22
222--+=-+=2053
101036=⋅--= 52=∴a
19．解：①当n=1时，我们有11S a =，所以
21
21111=
∴+--=a a a ，
⎪⎪⎭⎪⎪
⎬⎫+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+⎪⎭
⎫
⎝⎛--=-++2212211
11n n n n
n n a S a S 两式作差，得n n n n a a a 2111++-=++，即：n n n a a 2121+=+
两边同乘n
2，得
1
2211+=++n n n n a a ，所以
1
1+=+n n b b ，
1
1=-+n n b b
所以
{}n b 等差数列，其中首项
121
21=⋅
=b ，公差1=d .n n b n =⋅-+=∴1)1(1
n n n n n b a 22==
∴
②
n n n n n n n c 21
21+=⋅+=
∴
()1 (21)
2......2423221321n
n n n n T ++++++=
∴- ()2......
21
2......242322212210--++++++=∴n n n n n T -(1)（错位相减）得:
n n n n T 21)21......2121(221210+-++++=∴-n
n n 21211)
21
1(2121+--
-+=-n n 233+-= 20.（14分）在数列{}n a 中，
1111
1,(1)2n n n n a a a n ++==++ （I ）设
n
n a b n =
，求数列{}n b 的通项公式；
（II ）求数列
{}
n a 的前n 项和
n S .
解：①已知
n n n n a n n a 2111+++=
+n n n n a n a 2111+=+∴+n n n b b 211+=∴+n n n b b 21
1=-∴+
)
(......)()(123121--++-+-+=∴n n n b b b b b b b b
1
2121
......21211-++++=n 1
21
2)211(2211)21
1(1--=-=--
⋅=
n n n
②由
122--==∴=
n n n n n n
n nb a n a b
)22(.....)236()224()212(1210--++-+-+-
=∴n n n
n S
)
2.....232221()2......642(1210-++++-++++=n n
n 令)1(2......642+=++++=n n n A
()1........2.. (2322211)
210-++++=
n n
B ∴ ()2.......
2.....23222121321n n
B ++++= ()()21-(错位相减），得：n
n n
B 221 (212121212)
113210-+++++=-
n
n n
n n 22
22211)21
1(1+-=---⋅=
122
4-+-
=∴n n B
12224-++
-+=-=∴n n n n n B A S。