回归分析作业答案

1．(2021·山东高考)为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为＝x ＋，已知＝225，＝1 600，＝4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为( )
A ．160
B ．163
C ．166
D ．170
解析：选C 由题意可知y ^＝4x ＋a ^
， 又x
＝22.5，y ＝160，
因此160＝22.5×4＋a ^，解得a ^
＝70， 所以y ^
＝4x ＋70.
当x ＝24时，y ^
＝4×24＋70＝166.
2．(2018·广州高中综合测试)某地1～10岁男童年龄x i (单位：岁)与身高的中位数y i (单位：cm)(i ＝1，2，…，10)如下表： x /岁 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y /cm
76.5
88.5
96.8
104.1
111.3
117.7
124.0
130.0
135.4
140.2
对上表的数据作初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
x y ∑
=10
1
i (x i －x )2
∑
=10
1
i (y i －y )2
∑
=10
1
i (x i －x )(y i －y ) 5.5 112.45
82.50
3 947.71
566.85
(1)求y 关于x 的线性回归方程(回归方程系数精确到0.01)；
(2)某同学认为y ＝px 2＋qx ＋r 更适宜作为y 关于x 的回归方程模型，他求得的回归方程是y ^
＝－0.30x 2＋10.17x ＋68.07.经调查，该地11岁男童身高的中位数为145.3 cm.与(1)中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？
附：回归方程y ^＝a ^＋b ^
x 中的斜率和截距的最小二乘估计分别为
b ^＝
∑
∑
==---n
1
i 2
n
1
i ))
)x x y y x x i
i i
（（（，a ^＝y －b ^
x .
解：(1)由所给数据得b ^
＝
∑
∑
==---n 1
i 2
n
1
i ))
)x x y y x x i
i i
（（（＝
566.85
82.5
≈6.87， a ^＝y －b ^
x ＝112.45－6.87×5.5≈74.67， 所以y 关于x 的线性回归方程为y ^
＝6.87x ＋74.67.
(2)若回归方程为y ^＝6.87x ＋74.67，则当x ＝11时，y ^
＝150.24. 若回归方程为y ^＝－0.30x 2＋10.17x ＋68.07，则当x ＝11时，y ^
＝143.64. |143.64－145.3|＝1.66<|150.24－145.3|＝4.94，
所以回归方程y ^
＝－0.30x 2＋10.17x ＋68.07的拟合效果更好．
3．(2018·潍坊统一考试)某机构为研究某种图书每册的成本费y (单位：元)与印刷数量x (单位：千册)的关系，收集了一些数据并进行了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值．
x y u
∑
=8
1
i (x i －x )2
∑
=8
1
i (x i －x )(y i －y )
∑
=8
1
i (u i －u )2
∑
=8
1
i (u i －u )(y i －y )
15.25 3.63
0.269 2 085.5 －230.3 0.787 7.049
表中u i ＝1x i
，u ＝
18∑=8
1
i u
i
(1)根据散点图判断：y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d
x 哪一个模型更适合作为该图书每册的成本费y (单位：元)与印刷数量x (单位：千册)的回归方程？(只要求给出判断，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程(回归系数的结果精确到0.01)．
(3)若该图书每册的定价为10元，则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于78 840元？(假设能够全部售出．结果精确到1)
附：对于一组数据(ω1，v 1)，(ω2，v 2)，…，(ωn ，v n )，其回归直线v ^＝α^＋β^
ω的斜率和
截距的最小二乘估计分别为β^
＝
∑
∑
==---n
1
i 2
n
1
i ))
)w w w v v w i
i i
（（（，α^＝v －β^
ω.
解：(1)由散点图判断，y ＝c ＋d
x 更适合作为该图书每册的成本费y (单位：元)与印刷数量x (单位：千册)的回归方程．
(2)令u ＝1
x ，先建立y 关于u 的线性回归方程，
由于d ^＝
∑
∑
==---n
1
i 2
n
1
i ))
)u u u y y u i
i i
（（（＝7.049
0.787
≈8.957≈8.96， ∴c ^＝y －d ^
·u ＝3.63－8.957×0.269≈1.22， ∴y 关于u 的线性回归方程为y ^
＝1.22＋8.96u ， ∴y 关于x 的回归方程为y ^
＝1.22＋8.96x .
(3)假设印刷x 千册，依题意得10x －⎝⎛⎭⎫1.22＋8.96
x x ≥78.840，∴x ≥10， ∴至少印刷10 000册才能使销售利润不低于78 840元．。