【校本课程教案】漫谈数学语言--(共四课时)

漫谈数学语言
第一课数字的秘密
教学目标：通过讲述数字的发展史，让学生在过程中对数学有更深的感悟
教学重点：数字的发展史
教学难点：学生对历史的理解
教学方法：讲座式
教学用具：多媒体
教学过程：
一、学科内容介绍及要求
各位同学，下午好。

我姓刘，现在在高三年级。

我的办公室在三楼，欢迎各位同学来与讨论数学问题。

今天这节课有三个任务。

第一，讲讲为什么开此课及本课的基本概况。

第二，对同学们的要求。

第三，本课知识介绍。

提到数学，更多同学想到的是公式，运算。

没有人会把它与语言联系在一起。

数学是抽象的，但也是简洁的。

比如我们想说明一个数a是整数，汉字表达是5个字。

而用数学符号表示则是a>0，仅三个字母。

再比如，两数a和b一正一负，占“9个字”，但用数学符号表达是“ab<0”,仅4个字符，笔画还少。

咱们同学每天都在运用它，但并没有把它真正的当成一个语言理解。

对数学有一些理解不透彻，生搬硬套的问题。

学习数学有危难情绪。

所以，本门课内容主要选取了一些同学们比较迷惑、不太熟练的问题进行阐述，希望能对同学们
有所启发和帮助。

课程内容大都来源与史料和各种文献资料，冲淡了应试的痕迹。

在这里，我们只谈理解，不谈考试。

即便最后的测试也是极为简单的，希望同学们能以一个放松的心态学习本课，如果同学们有什么好的建议，咱们也可以交流。

我这也有一些课外阅读书单，欢迎同学们借阅。

那么今天主要课的内容就是------------数字的秘密
二、数字的秘密
①数字符号的起源
同学们接触数学，估计从三岁左右就开始了。

从幼儿园时候起，就开始教授数字的基本概念。

可是人类花了几千年才搞清楚数字怎么回事，有的人还送上了性命。

起初，人们是没有数字符号的，但人们要交易，必须有所标注。

咱们看看古人是怎么交易的吧，（展示图片）这是在伊朗的苏萨出土的黏土工艺品，在新月沃土的组织化农业系统中，被用来帮助会计业务。

上图：复杂的符号在上一列中从左到右依序代表一只羊、一单位特殊油、一单位的金属、一种服装；在下一列中，从左至右则依序是第二种服装、一种未知商品、以及蜂蜜的一种度量。

所有这些都出现在约公元前3300年。

中图：一个符号容器和所藏符号标记对应的标记，约公元前3300年。

下图：一块被铭刻的泥扳展示谷物的账目，约公元前3100年。

我们现在可以用3表示3个本，3个人，3只羊，但原始人还无法写出这种抽象的符号。

他们借助骨头、贝壳、小石头等通过对应必须来标记。

比如，一个斯里兰卡的维达部落男子想要计算椰子（图片）
的时候，他会收集一堆树枝并给每个椰子分配一根。

他在每次新加一根的时候，并说：“就这么多。

”这些部落成员确有一种数数的方法，但是，在么有抽象数目的情况下，他们运用这种明确的实体树枝来“计算”。

从小孩子的学习我们也可以看到这一点，2-3岁左右小孩子会慢慢被教1-10这些数字，但如果问：“这些苹果有多少个？”他会很困惑。

大概在四岁左右时，他才能比较熟练应用并理解这些数字。

即便是最简单的符号，我们的祖先也经历的几千年的探索，演化成现在对数字一点都不奇怪的智慧大脑。

想到这一点，我想我们会坦然接受数学确实很抽象，很难学这样的事实。

②进位制
有了数字的符号，下面的任务就是计数了。

我们学过计数制，知道可以有各种数字的进位制。

常见的有二进制、八进制、十进制、16进制等。

首先同学们设想下，如果没有进位制我们怎么数数。

（数同学人数）数目是无穷的，符号是有限的。

我们不可能发明无限的符号来数更大的数字，那么我们就需要制定一些法则，就像26个英文字母创造了英语一样，10个阿拉伯数字创造了数字的国王。

用二进制数班人数（一条龙）
用十进制数班人数（一条龙）
用八进制数班人数（一条龙）
还有别的进制，我们不再尝试，同学们可能会有这样的疑问，为什么我们学到的十进制，而不是二进制、八进制？这个理由很简单，
就是起初人的计数是用手指头来数的。

曾经有人感慨，为什么我们人类不是八个手指头呢，那样我们流行于世的就是八进制了。

（视频）八进制对于电子计算机来说比十进制方便得多。

电子计算机使用二进制数码进行实际的运算。

而八进制与二进制之间的相互转换易如反掌。

这里有一张报记录了他们的互化。

用以上方法，我们可以方便地把一个八进制数，例如317（相当于十进制下的207），直译作011,001,111.丢掉最左边的0，就是110001111.反过来，二进制下的1010110，自右向左，3个码一组，看成001,010,110，也能直译成八进制下的126.
③数域的扩充
在进位制的基础上人们可以熟练应用数字来表示数，但这些都是整数，生活也存在着大量不是整数的关系，比如我们买半个西瓜，或者把4个桃子分给3个人。

古人在这些方面也积累了很多方法。

（视
频）人们用分数解决这个问题。

至此，人类认识的数字仅限整数和分数。

整数和分数都是有理数，注意有理数的英文是“rational number”，意思就是“可以写成比值的数”，因为早期中文文言文中理就是比值的意思，所以称之为有理数。

可不是讲道理的意思。

在这方面做出巨大贡献的就是古希腊学者-----毕达哥拉斯。

他发现所有数字都可以写成成比值的数，不仅如此，他在数学上还有很多独到的见解。

我们所熟悉的勾股定理就是他证明出来的。

在生产力低下，科学技术不发达的奴隶社会，懂点科学技术很容易受到人们崇拜和尊敬，拥护和向毕达哥拉斯学习的人很多，不乏一些贵族，慢慢地形成一个团体---毕达哥拉斯学派。

这个学派不仅讨论了大量的数学问题，而且他们慢慢在研究数字的过程中形成自己的信仰：数字就是一切。

万物皆数。

数是宇宙的要素。

这个同学们理可能不好理解。

简单的说，他们把数字当成的自己的信仰，给数字无比崇拜的地位。

把喔了数字的规律，就把握了了世界。

他们学派是研究数字的最权威的团体，所以他们是离上帝最近的人，是至高无上的。

说这么多，是想让同学们理解这样一个事实：如果有人质疑他们论述有错误，他们会有什么反应。

偏偏有个门徒叫希伯索斯，颠覆了本派的理论-------世界上数有些不能用比值的形式表示。

边长为1的等腰直角三角形，我们可以用勾股定理来求2
21
2
=
+，x解是什么，希腊人困惑了，带的分数不1x
成立啊，这个解虽然不知道是什么，但是他们固执的认为结果一定是一个能写成分数形式的数。

但希伯索斯发现，这是一个新数种，这个数不能写成分数形式，过程如下：
假设x 为有理数，则x 可以写成p
q （p ，q 互质的整数）
222p q =则q 一定是偶数，设q=2s 怎2224p s =，化简得222p s =，则p 一定是偶数，与p ，q 互质矛盾，故此数不能写成分数形式，是个新数种。

希伯索斯纠结了，要么与自己的导师、门派决裂，要么坚持真理。

他选择了坚持真理，将自己的证明公之于众，颠覆了本学派神秘的学术色彩，受到本门派的追杀，最终被投入大海。

但真理是掩盖不住的，虽然毕达哥拉斯学派百般掩饰，世人还是认识到了确实有一个毕达哥拉斯没有发现的数，这个数不能用比值表示，称之为无理数。

毕达哥拉斯用生命的代价打开无理数的发现之门。

现在我们知道，有理数和整数都可以写成有限小数和无限循环小数。

而无理数则是无限不循环小数。

我们学过的π，e ，还有方根开不出来的等，都叫做五理数。

值得同学注意的是，不像整数分数能写出确定数值，无理数需要借助符号表示，比如2，很多同学看到他没反应，不知道是什么，实际上是数值约为1.414的小数。

同学们考虑下我们为什么不写数值呢？（学生回答）由于无线不循环的特征，使得我们在数值上表示产生困难。

所以我们借助符号来表示。

以前我们在数轴上可以表示整数，分数，（举例），我们以为这就是数轴的全部。

但是无理数的发现，数轴上还存在一些空隙的的位置，就是无理数，太不可思议了！
后来又有人设想，是否还有一些数种我们没有发现呢？我们以后
在高二数学课就知道了，还有一个比较有意思的数种---虚数。

这些内容同学们将来会学到，这里就不再赘述。

三、总结
今天重点学习了数的演变，那么数字在运算中有哪些规律呢？下次我们再讲！谢谢大家！
第二课没有规矩不成方圆------运算法则
教学目标：理解各种运算法则，对不同运算法则能够区分，初步对运算的封闭性形成感知。

教学重点：理解各种运算法则
教学难点：运算法则的运用
教学方法：讲座与活动相结合
教学用具：多媒体
教学过程：
一、数的运算法则
提到数的运算法则，相信每个同学都都有自己的理解。

现在我们来做一道数学家高斯小时候做的一道数学题：
1+2+3+4+5+6+7+……+100
学生叙述做法
同学们做的时候用到两个常识，加法的两个数交换或任意组合，其结果不变。

也就是加法的交换律和运算律。

交换律：a+b=b+a
结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
乘法对加法的分配率：a （b+c ）=ab+ac
同学们可能觉得，这不是废话吗？都知道啊！同学们对数学运算的理解会帮助你们不需要记住什么法则就可以熟练的运用，但这样也往往会给我们带来学习障碍，因为有些运算法则是比较特殊的，如果我们还是运用我们的常识运用，就会出现错误。

就好像每个国家都有自己的风俗习惯，如果我们认为所有国家的风俗习惯都跟我们国家一样，那就要闹笑话了。

所以我们要入乡随俗，才能适应生活。

数学也是如此，有些运算法则跟数字运算法则是不一样的，我们要想很好的运用它，就需要深刻理解他们的风俗习惯----运算法则。

我找出一些例子，请同学们来分析。

二、 易混淆的运算法则
对于数的运算法则，更多同学是实践的感知，这种认知经验往往会干扰新的知识的学习。

特别是对一些运算法则比较特别的类型，常看到同学们会无意识的自己的感觉创造运算法则，带来错解。

请同学们来看下面几个题目，思考他们为什么错误：
1、指数运算法则
① ()53
2a a = ② 853a a a =+
③ 2
21
a a = ④ a a -=-1
⑤ 842a a a =⨯
活动：第一层次，学生举例说明为什么错误
第二层次，学生叙述他们潜意识中自造的法则，并举例说明
第三层次，教师叙述正确的法则
第四层次，巩固练习
练习：
______832= _____222321=⨯ ______413=⎪⎭⎫ ⎝⎛-
2、向量运算法则 1=a ，3=b ，所以4=+b a ，2-=-b a ，4=⋅b a
活动：第一层次，让学生自己叙述符号含义
第二层次，教师讲授向量的运算法则及注意事项 第三层次，练习
练习：
在黑板上画出两向量：a 和b ，做出b a +，b a -，如果这两向量夹
角60°，求b a ⋅
3、根式运算 22224949m m m m +=+
活动：第一层次，学生叙述为什么错
第二层次，学生对自造法则解析
第三层次，教师点评
4、三角变换运算
∵sin30°=2
1，∴sin60°=2sin30°=1
活动：第一层次，学生举例说明错误
第二层次，挖出潜意识中自造的错误定理
第三层次，教师讲析如何正确运用公式
三、总结
没有规矩不成方圆，不熟悉运算法则，往往就会产生错误。

老师举了一些例子，在高中数学中这样例子不胜枚举，同学们还可以自己去寻找。

运算能力差，可能不仅仅是粗心的问题，很有可能是对运算法则很好的理解。

就像踢足球，如果没有规则的瞎踢，就算进球也可能因为不符合规则而没分。

老师在这里抛砖引玉，希望能对同学们有所帮助。

前两节课我们重点分析了数字内容，其实数学语言的魅力不仅于此，文字性的内容它也可以处理-----这就是我们下节课要讲的内容----密码
第三课神奇的密码
教学目标：了解密码的历史，密码的制成过程及密码破译的原理
教学重点：密码制成过程及密码的破译
教学难点：密码的制成
教学方法：讲授与活动相结合
教学用具：多媒体、自制密码工具
教学过程：
一、影视作品中密码赏析
1、《潜伏》视频片段
问题：余则成是怎么破译密码的？
课外知识稍多点的学生可以叙述原理，如果学生不了解，教师补
充。

同学们可能以为余则成查看的是绝密的密码本，其实不然。

那可能就是再普通不过的一本书，可能是张恨水的小说，也没准是一本菜谱，乃至皇历
这种秘密通讯方式是事前双方有一个约定，约定一本书，比方西方的圣经，或者随便一本常见小说，以不容易引起怀疑为前提。

太专业的书不要，比方不懂医的人要是选一本医学专著，那就有麻烦了。

抄收的那些数码含义，也是事前约定。

随便举个例子，比方9145这个数，它的含义按约定可能是第91页第4行的第5个字。

余则成只要翻查那本约定的书，找到“第91页第4行的第5个字”，则这个字就翻译出来了。

当然这是最简明的例子，实际上那4位数字约定稍加变化，就能演绎出更复杂的规则，比如采用补码等。

这是非信息化时期，特工常用的一种看似非常简单，却又有效可靠的秘密通讯方式。

首先是几乎不需要进行特工专业培训，只要花10分钟，把基本规则讲清楚就人人会用，人人可当特工；
其次，这方法不需要神秘兮兮的密码本，只要随身带一本普通小说即可。

再三，用不着专业电台，只要普通戏匣子就能收听；
第四，可以打神经战，50-60年代，国共双方都用这种方式。

台湾广播里也经常先是“地瓜呼叫土豆”，然后说出一串码子，真的假的谁也不知道。

第五，密钥就是那本书本身，要是对方掌握了是那本书，则就算破解了。

50年代我方福建方面曾经分析破解国民党方面派遣特务的用书，竟是当地的中学语文课本。

当然发现被破解后，会立即更换启用另一本密钥书。

2、《风声》视频片段
摩尔斯电码（Morse alphabet）（又译为摩斯电码）是一种时通时断的信号代码，这种信号代码通过不同的排列顺序来表达不同的英文字母、数字和标点符号等。

由美国人摩尔斯（Samuel Finley Breese Morse）于1837年发明，当时他正在协助Samuel Morse进行摩尔斯电报机的发明（1835年）。

A *-
B -***
C -*-*
D -**
E *
F **-*
G --*
H **** I ** J *--- K -*- L *-** M -- N -*
O --- P *--* Q --*- R *-* S *** T - U **- V ***- W *-- X -**- Y -*-- Z --**
0 ----- 1 *---- 2 **--- 3 ***-- 4 ****-
5 *****
6 -****
7 --***
8 ---**
9 ----*
句号*-*-*- 逗号--**-- 问号**--**
长破折号-***- 连字符-****- 分数线-**-*
请同学们翻译这句话：-/****/*-/-*/-*-/ -*--/---/**-/
二、其他密码赏析
1、凯撒密码
《高卢战记》有描述恺撒曾经使用密码来传递信息，即所谓的“恺撒密码”，它是一种替代密码，通过将字母按顺序推后起几位起到加密作用，如将字母A换作字母D，将字母B换作字母E。

因据说恺撒是率先使用加密函的古代将领之一，因此这种加密方法被称为恺撒密码。

比如推移一位
明文abcdefghijklmnopqrstuvwxyz
密文bcdefghijklmnopqrstuvwxyza
请同学们破译这个密码Xpbjoj
2、手机密码
手机密码每个字母有两个数字组成，第一个数字键上的数字，第
二个是数字键上的字母位置数。

请同学们来破译这句话 31 94638274 22327381
3、数字谐音密码
数字谐音同学们应该很熟悉，比如“521”表示（学生答），“741”表示（学生答），谐音密码为娱乐而生，由于采用谐音，适用范围也小，保密性不强，看似符号，其实不难猜出。

如果同学们想向一个人表达爱意，不妨用谐音密码，避免直述的不好意思。

相传是一个女孩给一个男孩发了一个短消息：“这是一封感人的情书：584，5682177778，12234，1798，76868，587129955，829475，请翻译成中文发给我。

”，然后女孩又打来电话说须10天内破译这封情书，否则便与他分手。

男孩冥思苦想也解不出来，于是就发到网上让热心的网友来解答，后来弄得沸沸扬扬，接着媒体又大肆炒作，结果全国都轰动了。

真情版：我发誓(584)，我来伴你一起出去走吧(5682177778)，与你爱相随(12234)，一起走吧(1798)，去溜达溜达(76868)，我不求与你朝朝暮暮(587129955)，被爱就是幸福(829475)
告白版：我发誓，我无法爱已情去醒醒吧，多爱要生事，一起想法，请顺道来吧，我抱歉不要再纠缠我，把爱就还给我。

无奈版：我爸死活不让我爱你，放弃吧。

要爱爱三四，要生气就去溜达溜达，我不气，要爱就找我爸，哎，就是气我。

相关数字密码链接：
246437爱是如此神奇
8834761漫漫相思只为你
9918875 求求你别抛弃我
825别爱我
……
三、密码的破译
刚才我们了解了各种密码的制作，密码能不能破译呢？如果能够被破译，它的原理又是什么呢？
1、尝试法
一个一个尝试去做。

比如两位数字的密码，只要有耐心，总能试出来。

有些木马程序就是这么做的。

2、概率法
英文中每个字母中的应用频率是不一样的，比如同学们觉得印象最深的字母是什么？有人曾经把26的英文字母出现的频率做出总结。

比如我们想解读一段密码，可以先统计文章中字母出现频率，再结合语意即可。

比如可以破译凯撒密码
四、总结
以上讲述内容仅仅是冰山一角，感兴趣的同学可以课下查阅资料，寻找更多密码和密码破译的内容。

数学不仅仅是处理数字，图形，在文字语言上也在发挥着重要的作用。

在现代社会起着举足轻重的作用。

21世纪最普及的科学技术就是计算机了，计算机能否给我们带来更大的便利？敬请期待下一节课------计算机应用
第四课计算机应用
教学目标：通过超级画板的学习，初步体会计算机做课件的好处，并观摩一些数学实验
教学重点：对数学实验的观摩
教学难点：数学特殊符号的计算机处理
教学方法：讲授与活动相结合
教学用具：计算机教室超级画板软件安装
教学过程：
一、输入数学表达式的一般规则
数学表达式的用途有两种，一种是仅仅为了给人看的，一种是让计算机进行实际计算的。

例如，让计算机测量一个表达式的值，或让计算机画一个函数的图像，都是要算的，和要看的有所不同。

超级画板中尽量使两种表达式统一起来。

但由于数学表达式历史悠久，而计算机技术则方兴未艾，两者的完全统一目前尚不可能。

下面的规则中指出要算的或要看的表达式输入时的要点和不同。

1．加法和减法和通常写法一样，如 a-x, 3+b-f, -u-p 等。

2. 要计算的表达式用小括弧，如 x-(3-b), (t-(7-u))+(-5)等，要看的不受此限制。

3. 要计算的表达式用*号表示乘号，不能省略。

如 a*(b+c)不能写成a(b+c)。

显示时不要*号或要用圆点或×号可以在文本属性对话框里选择。

如图1-57。

图1-57
4. 用/号表示除号或分数线，注意分子分母包含运算或汉字
或希腊字母时要加括号。

显示时自动排成一般的水平分数线。

如要保持斜线/号，可在/号前加\号，如图1-58。

图1-58
5. 用^号表示指数运算或上标。

如“x的m次方”写作x^m,
根号2写作2^(1/2)。

显示时如果要保持^号，可在^号前面添加\号。

如果要把根号2写作指数形式，就在^号和(1/2)之间留个空格。

如图1-59。

图1-59
6. 要计算的表达式中其它函数运算要写括弧，如A的正弦要
写成sin(A),不能写成sinA。

要看的不受此限制。

7. 要计算的表达式中，以a为底的对数函数写作log(a,x),
自然对数为ln(x),常用对数为lg(x)。

要看的表达式，以a为底的对数函数写作 log_a x . 注意在x前面要有空格。

一般说来，“_a”表示符号a被作为下标。

如图1-60。

8. 要计算的表达式中，x的绝对值写作abs(x), 如图1-60。

不超过x的最大整数用floor(x)表示。

图1-60
9. 要计算的表达式中，函数sign(x,a)当x>a 时值为1，否
则为0（这函数很有用）。

10.要计算的表达式中，圆周率写作pi ，自然对数的底写作e 。

二、 函数图像赏析
1、指导学生用超级画板画出y=x ，x y 2=，x y 2log =图像，体会不同的增长速度
2 、学生用计算机做出x a y =图像，通过调节a 观察性质。

请学生用自己话描述
3、学生用计算机做出a x y =图像，通过调节a 观察性质。

请学生归纳总结
4、学生自创一个函数，用计算机作图
三、 概率实验赏析
计算机除了在作图上有优势，在模拟实验上也大大提高了效率。

请同学们来看两个经典的概率实验
1、硬币实验
通过实验演示体会出现“一正一反”和“全正”的概率不一样
2、投针试验
公元 1777 年的一天，法国科学家 D · 布丰（ D · Buffon 1707 ～ 1788 ）的家里宾客满堂，原来他们
是应主人的邀请前来观看一次奇特试验的。

试验开始，但见年已古稀的布丰先生兴致勃勃地拿出一张纸来，纸上预先画好了一条条等距离的平行线。

接着他又抓出一大把原先准备好的小针，这些小针的长度都是平行线间距离的一半。

然后布丰先生宣布：“请诸位把这些小针一根一根往纸上扔吧！不过，请大家务必把扔下的针是否与纸上的平行线相交告诉我。

”
客人们不知布丰先生要玩什么把戏，只好客随主意，一个个加入了试验的行列。

一把小针扔完了，把它捡起来又扔。

而布丰先生本人则不停地在一旁数着、记着，如此这般地忙碌了将近一个钟头。

最后，布丰先生高声宣布：“先生们，我这里记录了诸位刚才的投针结果，共投针2212次，其中与平行线相交的有704次。

总数2212与相交数704的比值为3.142。

”说到这里，布丰先生故意停了停，并对大家报以神秘的一笑，接着有意提高声调说：“先生们，这就是圆周率的近似值！"
众客哗然，一时疑议纷纷，大家全部感到莫名其妙：“圆周率？这可是与圆半点也不沽边的呀！”
布丰先生似乎猜透了大家的心思，得意洋洋地解释道：“诸位，这里用的是概率的原理，如果大家有耐心的话，再增加投针的次数，还能得到的更精确的近似值。

不过，要想弄清其间的道理，只好请大家去看敝人的新作了。

”随着布丰先生扬了扬自己手上的一本《或然算术试验》的书。

在这种纷纭杂乱的场合出现，实在是出乎人们的意料，然而它
却是千真万确的事实。

由于投针试验的间题，是布丰先生最先提出的，所以数学史上就称它为布丰间题。

布丰得出的一般结果是：如果纸上两平行线间相距为 d ，小针长为 1 ，投针的次数为 n ，所投的针当中与平行线相交的次数为 m ，那么当 n 相当大时有：
dm
ln 2≈π 在上面故事中，针长 1 恰等于平行线间距离 d 的一半，所以代入上面公式
简化得： m
n ≈π 现在我们用计算机来模拟（展示实验）
四、总结
计算机不仅给我们的生活带来极大的方便，也给我们的数学学习带来变革。

不理解的内容不妨做作图，相信必然豁然开朗。

希望同学们在数学学习中，有意识的多运用一些计算机技术，这样可能比单纯的练习更有趣，也更容易增强你对数学理解。