创界学校八年级数学暑假专题辅导函数解题中的思想应用试题

智才艺州攀枝花市创界学校暑假专题——函数解题中的数学思想应用
重点、难点
数学思想的应用
【典型例题】
一.方程思想的应用
例1.点P 〔x ，x+y 〕与点Q 〔y+5，x-7〕关于x 轴对称，那么点Q 坐标为______。

分析：P 点关于x 轴对称时，横坐标不变，纵坐标相反 构造方程组x y x y x =+++-=⎧⎨⎩
570 解得：x y ==-⎧⎨⎩
41 ∴Q 点坐标为〔4，-3〕
例2.一次函数y x m m m =+---22222的图像经过第一、二、三象限，求m 的值。

分析：一次函数条件：x 的次数为1
即：m
m 2221--= 得：m m 2230--=
解得：m m 1
213=-=， 而当m m 1
123=--=-时， 此时y x m m =--2222图像经过一、三、四象限
不符合题意，舍去
故m=3
例3.：在△ABC 中，∠===C AB BC 90106°，，，P 为AB 上一动点〔P 不与A 、B 重合〕，过点P 作PE//BC 交AC 于E ，连结BE ，设AP=x ，△BPE 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系，并求自变量
x 的取值范围。

分析： S PE EC BPE ∆=12
· ∴知道PE 的长、EC 的长是关键，而PE 、EC 与三角形相似有关。

所以此题借助比例式找出PE 、EC 与x 之间的等量关系。

即：用含x 的式子表示PE 、EC ，进而得到函数关系式。

解： PE BC //
二.数形结合思想的应用
例1.一次函数
y k x k =-2||的图像经过第_______象限。

分析：k 2充当y kx b =+中的k ，此时大于0
-||k 充当y kx b =+中的b ，此时小于0
那么根据直线y kx b =+，当k b ><00，的图象示意图：可知图像经过一、三、四象限。

例 2.反比例函数y k x
k x y x y x y =<()()()()0112233，，，，，，是反比例函数图象上的三个点，假设x x x 1230<<<，试判断y y y 123，，的大小关系。

分析：反比例函数y k x
k =<()0的图像位于二、四象限 只需将x x x 123，，在图像上找到相对应的点，那么可确定相应的函数值
y y y 123，，。

从而根据位置判断大小。

y 轴上，越往上数越大，所以y y y 1320>>>。

例3.如下列图，一次函数y k x b =+1的图像过第一、三、四象限，且与双曲线y k x =2
的图像交于A 、
B 两点，与y 轴交于
C ，A x y ()，是∠xOA 终边上的一点，假设tan ∠=xOA 15
，原点O 到A 点的间隔为26
〔1〕求A 点坐标；
〔2〕求反比例函数的解析式；
〔3〕假设S b AOC ∆=-26，求一次函数的解析式。

分析：此题关键是在平面直角坐标系中借助tan ∠=xOA 15及OA =26，在Rt △中求A 点坐标。

从而进一步借助12
OC A ⨯到y 轴间隔等于S b AOC ∆=-26，求出b ，确定一次函数的解析式。

解：〔1〕设点A 坐标为〔a ，b 〕，且a
b >>00， 过A 作AM x ⊥轴交x 轴于M
那么OM
a AM
b ==||||， 在Rt AOM xOA
OA ∆中，，且tan ∠==15
26 所以点A 坐标为〔5，1〕 〔2〕此反比例函数解析式为y x
=5 〔3〕 S b AOC ∆=-26，且b <0〔OC=|b|，C 在x 轴下方〕
∴一次函数解析式为：
y k x =-14 又∵直线y k x =-14过点A ()51，
∴一次函数解析式为y x =-4
三.分类讨论思想的应用
例1.点N 在x 轴下方，且到x 轴间隔为2，到y 轴间隔为
3，那么点N 的坐标为_________。

分析：设点N 坐标为〔x ，y 〕 由题意得：||||x y =
=32， 那么x y =±=±32，
又∵点N 在x 轴下方，y<0
例2.直线y kx =-3与直角坐标系的两坐标轴围成的三角形的面积为9，
那么直线解析式为__________。

分析：设直线y kx =-3与x 轴交点为A ，与y 轴交点为B 那么()A k B 3003，，，⎛⎝ ⎫⎭
⎪- ∴直线解析式为y x y x =-=--12312
3或
例3.点A 为平面直角坐标系内第四象限夹角平分线上一点，且OA=5，试在坐标轴上找一点C ，使得△AOC 为等腰三角形，并写出C 点坐标。

分析：首先应分别在x 轴和y 轴上找点C
其次，△AOC 应分类找：〔1〕OA 为腰；〔2〕OA 为底
当C 点在x 轴上时
当C 点在y 轴上时
四.转化思想的应用
例1.一次函数y k x k =-+--()()15的图像经过二、三、四象限，求k 的取值范围。

分析：直线经过二、三、四象限
那么k k -<--<⎧⎨⎩
1050 得：k k <>-⎧⎨
⎩15 所以-<<51k
例2.待定系数解题〔转化为方程组〕
如：y n +与x m +成正比例，其中m ，n 是常数，当x =1时，y =-1；当x =-1时，y =-7，求y 与x 的函数关系。

分析：设
y n k x m +=+() 当x
=1时，y =-1得：-+=+11n k m () 当x =-1时，y =-7得：-+=-+71n k m ()
解方程组-+=+-+=-+⎧⎨⎩1171n k m n k m ()()
解得：k km n =-=-⎧⎨⎩
34 所求函数关系式为：
y n k x m y kx km n x +=+=+-=-()，34 例3.如下列图，直线y kx b =+与y 轴交于点A 〔0，3〕与x 轴交于点B ，正方形OPQR 的两边在坐标轴上，Q 在直线AB 上，OP ：PB=1：2，求直线的解析式。

分析：求直线AB 解析式，需要知道A 、B 坐标。

而A 点〔0，3〕，那么OA=3，求B 点即可，即求OB 长，
此问题转化为几何问题。

又知PQRO 为正方形，设正方形边长为x ，那么RQ
OR OP x ===
∴B 点坐标为〔6，0〕 ∴直线解析式为y x =-+12
3 五.几何解题思想的综合应用 例：反比例函数
y k x
=2和一次函数y x =-21，其中一次函数的图象经过〔a ，b 〕，〔a+1，b+k 〕两点。

〔1〕求反比例函数的解析式；
〔2〕如下列图，点A 是上述两个函数的图象在第一象限的交点，求点A 的坐标；
〔3〕利用〔2〕的结果，答复：在x 轴上是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形？假设存在，把符合条件的P 点坐标都求出来；假设不存在，请说明理由。

分析：〔1〕由一次函数y x =-21的图象经过两点〔a ，b 〕，〔a+1，b+k 〕，代入消去a ，b ，可得k=2，进而可确定反比例函数的关系式。

〔2〕将y x y x
=-=211与联立成方程组，易求出点A 的坐标； 〔3〕应根据OA 为腰和底进展分类，结合〔2〕探求出点P 的存在性。

解：〔1〕依题意可得：b a b k a =-+=+-⎧⎨⎩
21211() 两式相减，得k =2 所以反比例函数的解析式为
y x =1 〔2〕由y x y x =-=⎧⎨⎪⎩
⎪211，得x y 1111==⎧⎨⎩，x y 22122=-=-⎧⎨⎪⎩⎪ 经检验x y x y 112211122
==⎧⎨⎩=-=-⎧⎨⎪⎩⎪与都是原方程组的解。

因为A 点在第一象限，所以A 点坐标为〔1，1〕
〔3〕OA =+=11222，OA 与x 轴所夹锐角为45°
如图下所示①，当OA 为腰时，由OA=OP ，得
()P P 122020()，，，- 由OA AP =，得()P 320，
②当OA 为底时，得
()P 410， 所以这样的点有4个，分别是()02，、()
()()010202，、，、，- 【模拟试题】〔答题时间是：30分钟〕
1.反比例函数y m x
=-12的图象上两点()A x y 11，，()B x y 22，，当x x 120<<时，有y y 12<，那么m 的取值范围是_____________。

2.反比例函数
y k x =的图象在第一、三象限，那么一次函数y kx =-+2的图象不经过第___________象限。

3.直线y m x m =-+-()235与y 轴的交点在x 轴上方，且y 随x 的增大而减小，那么m 的取值范围是__________。

4.三角形三边长为3cm ，5cm ，xcm ，那么三角形的周长为
y cm ()与x cm ()的函数关系式是______________，自变量x 的取值范围是___________。

5.当m 取何值时，函数
y m x m m =-++-()2223是x 的一次函数？它是否是正比例函数？ 6.一次函数
y m x m =-+-()23的图象经过第一、三、四象限，求m 的取值范围。

7.直线y x =-22和直线y x =-5的交点在第__________象限。

8.两个一次函数的图象交于y 轴上一点A ，分别交x 轴于点B 、C ，如下列图，假设|OB|：|OA|：|OC|=1：2：3，且△ABC 的面积是16，求两函数的解析式。

9.在平面直角坐标系中，点()A m m 725--，在第二象限，且m 为整数，那么过点A 的反比例函数的解析式为________________。

10.假设一次函数y kx =-2的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为10，那么此一次函数为_________________。

11.点A 是正比例函数
y x =2和反比例函数y x
=8在第一象限的交点 〔1〕求点A 的坐标；
〔2〕假设直线y x b =+43
经过点A 且与x 轴交于点C ，求b 及点C 的坐标。

12.如下列图，在第四象限内的矩形OABC ，两边在坐标轴上，一个顶点在一次函数
y x =-123的图象上，当点A 从左向右挪动时，矩形的周长与面积也随之发生变化，设线段OA 长m ，矩形的周长为l ，面积为s 。

〔1〕试分别写出l s 、与m 的函数关系；
〔2〕能否求出当m 取何值时，矩形的周长l 最大？为什么？
〔3〕你能否估计矩形的面积是否有最大值，简单说一下你的想法？
【试题答案】 1.m <12 2.三 3.532<<m 4.y x x =+<<828；
5.解：m m 23120-=-≠⎧⎨⎩
，m m =±≠⎧⎨⎩22 那么m =-2
∴=-y x 4，它是一次函数也是正比例函数。

6.解： m m ->-<⎧⎨
⎩2030，∴><⎧⎨⎩m m 23 7.三
8.解：设OB x OA x OC x ===，，23
∴直线AB 解析式为y x =+24，直线AC 解析式为y x =-+23
4 9.y x
=-1 10.
y x y x =-=--152152或 11.解：〔1〕y x y x ==⎧⎨⎪⎩
⎪28，解得：x y x y 11222424==⎧⎨⎩=-=-⎧⎨⎩，〔不合题意，舍去〕
〔2〕y x b =+43
经过点()A 24， 那么443248343
=⨯+=+=b b b ，即， 12.解：〔1〕①由题意得B m m ，123-⎛
⎝ ⎫⎭⎪，AB m m =-=-+12312
3 ②s OA OB m m ==-+⎛⎝ ⎫⎭
⎪·123 〔2〕周长l m 是的一次函数，且l m 随的增大而增大。

是否有最大值，关键在于m 的取值范围。

y x =-12
3与x 轴交点为〔6，0〕，所以06<<m ，m 越接近6，周长越大。

但不能等于6，所以周长无最大值。

〔3〕当点A 接近于〔0，0〕时，面积接近于0，随着点A 逐渐右移，面积逐渐增大。

而当点A 接近于〔6，0〕，面积也接近于0，随着点A 位置变化，可知面积先随m 的增大而增大，到一定程度时，开场随x 的增大而减小，估计在m 取某一值时，面积为最大值。