2022年精品解析鲁教版(五四制)九年级数学下册第五章圆综合练习试卷(精选)

鲁教版（五四制）九年级数学下册第五章圆综合练习
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为
r，扇形的圆心角等于120°，则围成的圆锥模型的高为（）．
B．3r C D
A．
==，6
AD BD
那么CD的长为（）
A．6 B．7 C．8 D．9
3、若正方形的边长为4，则它的外接圆的半径为（）
A．B．4 C．D．2
4、如图，在⊙O 中，半径r ＝10，弦AB ＝12，M 是弦AB 上的动点，则线段OM 长的最小值是（ ）
A ．10
B ．16
C ．6
D ．8
5、如图，△ABC 的外接圆半径为8，∠ACB ＝60°，则AB 的长为（ ）
A ．
B ．
C ．6
D ．4
6O 中，弦AB 与CD 交于点E ，75DEB ∠=︒，4AB =，1AE =，则CD 长是（ ）
A B ．C ．D ．7、如图，PA 、PB 是O 的切线，A 、B 为切点，点C 在O 上，且55ACB ∠=︒，则APB ∠的度数为（ ）
A．55°B．65°C．70°D．90°
8、如图，AD，BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→O的路线匀速运动，设∠APB=y（单位:度)，点P运动的时间为x（单位:秒），那么表示y与x关系的图象是( )
A．B．
C．D．
9、如图，将线段OA绕点O逆时针旋转45°，得到线段OB．若OA＝8，则点A经过的路径长度为（）
A ．4π
B ．3π
C ．2π
D ．π
10、如图，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边CD 、AD 上，且AB ＝2CE ＝3AF ，过F 作FG ⊥BE 于P 交BC 于G ，连接DP 交BC 于H ，连BF 、EF ．下列结论：
①△PBF 为等腰直角三角形；②H 为BC 的中点；③∠DEF ＝2∠PFE ；④2=3
PHG PDE S S ∆∆． 其中正确的结论（ ）
A ．只有①②③
B ．只有①②④
C ．只有③④
D ．①②③④
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为P ．若CD ＝AP ＝8，则⊙O 的直径为 _____．
2、圆锥的侧面展开图的面积是15πcm 2，母线长为5cm ，则圆锥的底面半径长为_____cm ．
3、圆锥的底面周长为3π，母线长为5cm ，该圆锥侧面展开扇形的圆心角是________°．
4、小华为参加元旦晚会演出，准备制作一顶圆锥形彩色纸帽，如果纸帽的侧面展开图是半径为9cm ，圆心角为120°的扇形，则此圆锥底面圆的半径为 _____cm ．
5、如图，一个边长是1的等边三角形ABC ，将它沿直线l 作顺时针方向滚动，求滚动100次，B 点所经过的路程____________．（结果保留π）
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，AB 为O 的直径，AC 平分BAD ∠交O 于点C ，CD AD ⊥，垂足为点D ．求证：CD 是O 的切线．
2、如图1，在圆O 中，AB ＝AC ，∠ACB ＝75°，点E 在劣弧AC 上运动，连接EC 、BE ，交AC 于点F ．
(1)求∠E 的度数；
(2)当点E 运动到使BE ⊥AC 时，如图2，连接AO 并延长，交BE 于点G ，交BC 于点D ，交圆O 于点M ，求证：D 为GM 中点．
3、在ABC 中，60ABC ∠=︒，12BC =，AD 是BC 边上的高，E ，F 分别为边AB ，AC 的中点．当6AD =时，BC 边上存在一点Q ，使90EQF ∠=︒，求此时BQ 的长．
4、如图，在△ABC中，点O为BC边上一点，⊙O经过A、B两点，与BC边交于点E，点F为BE下方半圆弧上一点，FE⊥AC，垂足为D，∠BEF＝2∠F．
(1)求证：AC为⊙O切线．
(2)若AB＝5，DF＝4，求⊙O半径长．
5、△ABC为等腰三角形，AB＝AC，点D为△ABC所在平面内一点．
(1)若∠BAC＝120°，
①如图1，当点D在BC边上，BD＝AD，求证：DC＝2BD；
②如图2，当点D在△ABC外，∠ADB＝120°，AD＝2，BD＝4，连接CD，求CD的长；
(2)如图3，当点D在△ABC外，且∠ADB＝90°，以AD为腰作等腰三角形△ADE，∠DAE＝∠BAC，AD ＝AE，直线DE交BC于点F，求证：点F是BC中点．
-参考答案-
一、单选题
1、A
【解析】
【分析】
首先求得围成的圆锥的母线长，然后利用勾股定理求得其高即可．【详解】
解：∵圆的半径为r，扇形的弧长等于底面圆的周长得出2πr．
设圆锥的母线长为R，则120
180
R
=2πr，
解得：R=3r．
根据勾股定理得圆锥的高为，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查圆锥侧面面积的计算，正确理解圆的周长就是扇形的弧长是解题的关键．
2、C
【解析】
【分析】
根据圆周角定理，可证∠C＝∠B，又由AD＝BD，可证∠B＝∠DAB，即得∠DAP＝∠C，可证△DAP∽△DCA，得到AD：CD＝DP：AD，代值计算即可求CD的长．
【详解】
解：连接AC，
由圆周角定理知，∠C＝∠B，
∵AD＝BD
∴∠B＝∠DAB，
∴∠DAP＝∠C
∴△DAP∽△DCA，
∴AD：CD＝DP：AD，
得AD2＝DP•CD＝CD•（CD﹣PC），
把AD＝4，PC＝6代入得，26160
--=，
CD CD
解得，CD＝8或CD＝-2（舍去）．
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
3、C
【解析】
【分析】
根据圆内接正多边形的性质可得正方形的中心即圆心，进而可知正方形的对角线即为圆的直径，根据勾股定理求得正方形对角线的长度即可求得它的外接圆的半径．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
AC BD的交点O即为它的外接圆的圆心，
∴,
4
==
AB BC
∴=
AC
OA
∴=
故选C
【点睛】
本题考查了圆内接正多边形的性质，勾股定理，理解正方形的对角线即为圆的直径是解题的关键．4、D
【解析】
【分析】
过点C作OC⊥AB于点C，连接OB，根据垂径定理可得
1
6
2
BC AB
==，再由勾股定理，即可求解．
【详解】
解：如图，过点C作OC⊥AB于点C，连接OB，
∴
1
6
2
BC AB
==，
∵⊙O的半径r＝10，∴OB=10，
∴8
OC=，
根据垂线段最短可得当点M与点C重合时，OM最小，最小值为8．
故选：D
【点睛】
本题主要考查了垂径定理，勾股定理，垂线段最短，熟练掌握垂径定理，勾股定理，垂线段最短是解题的关键．
5、A
【解析】
【分析】
连接OA，OB，过O作OH⊥AB于H，根据圆周角定理得到∠AOB=2∠ACB=120°，根据等腰三角形的性质得到∠AOH=∠BOH=60°，根据直角三角形的性质得到OH，AH的长，于是得到答案．
【详解】
解：连接OA，OB，过O作OH⊥AB于H，
∵∠ACB=60°，
∴∠AOB=2∠ACB=120°，
∵OB=OA=8，
∴∠AOH=∠BOH=60°，
∴∠OAB=30°，
∴OH=1
2
OA=4，
∴AH
∴AB=2AH
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
6、C
【解析】
【分析】
过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，由垂径定理得出DF=CF，AG=BG=1
2
AB=2，得出EG=AG-AE=1，由勾股定理得出OG=1，证出△EOG是等腰直角三角形，得出∠OEG=45°，OE=
OEF=30°，由直角三角形的性质得出OF=
2
，由勾股定理得出DF=
案．
【详解】
解：过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，如图所示：
则DF=CF，AG=BG=1
2
AB=2，
∵AE=1
∴EG =AG -AE =1，
在Rt △BOG 中，2BO BG ==
∴
1OG ==，
∴EG =OG ，
∴△EOG 是等腰直角三角形，
∴∠OEG =45°，OE
=
∵∠DEB =75°，
∴∠OEF =30°，
∴OF =12OE =2
，
在Rt △ODF 中，DF ===，
∴CD =2DF =；
故选：C ．
【点睛】
本题考查的是垂径定理、勾股定理以及直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
7、C
【解析】
【分析】
根据切线的性质，可得∠OAP =∠OBP =90°，再根据圆周角定理可得∠AOB =110°，最后根据四边形内角和等于360°，即可求解．
【详解】
解：∵PA 、PB 是O 的切线，A 、B 为切点，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵∠AOB=2∠ACB，55
ACB
∠=︒，
∴∠AOB=110°，
∴∠APB=360°-∠OBP-∠OAP-∠AOB=70°．
故选：C
【点睛】
本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，多边形内角和定理，熟练掌握切线的性质，圆周角定理是解题的关键．
8、B
【解析】
【分析】
当点P在OC上自O向C运动时，APB
∠自90︒逐渐减小到45︒；当点P在CD上运动时，
1 245
APB AOB
∠=∠=︒，为定值；当点P在DO上自D向C运动时，APB
∠自45︒逐渐增大到90︒，据此求解即可．
【详解】
解：如图所示，
当点P在OC上自O向C运动时，APB
∠自90︒逐渐减小到45︒；
当点P在CD上运动时，
1
2
45
APB AOB
∠=∠=︒，为定值；
当点P 在DO 上自D 向C 运动时，APB ∠自45︒逐渐增大到90︒；
符合以上变化规律的只有B 选项，
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是掌握圆周角定理及圆的基本性质．
9、C
【解析】
【分析】
根据题意可得45AOB ∠=︒，再根据弧长公式，即可求解．
【详解】
解：根据题意得：45AOB ∠=︒，
∴点A 经过的路径长度为
4582180
ππ⨯=． 故选：C
【点睛】 本题主要考查了求弧长公式，熟练掌握弧长公式为
180n r π（其中n 为圆心角，r 为半径）是解题的关键．
10、D
【解析】
【分析】
如图，①绕点B 将△EBC 逆时针旋转90°得△ABM ，就有AM ＝CE ，由勾股定理可以求出EF 的值，通过证明△EFB ≌△MFB 就可以求出①；根据△BPG ∽△BCE 就可以求出PG 、BG 从而求出GC ，再求
△HPG ∽△DPF 得出GH 的值就可以得出HC 的值，从而得出②的结论；由△BCE ≌△DCH 可以得出∠1＝∠4，根据四点共圆的性质可以得出∠4＝∠5，进而由角的关系得出∠9＝∠5而得出③成立；根据
△BHP≌△DEP就可以得出面积相等，根据等高的两三角形的面积关系等于底之比就可以求出结论．【详解】
解：如图，①绕点B将△EBC逆时针旋转90°得△ABM，
∴AM＝CE，BE＝BM，∠1＝∠2．∠BAM＝∠BCE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°．AD BC
∥．
∴∠BAM＝∠BCE＝90°，
∴∠MAF＝180°，
∴点M、A、F在同一直线上．
∵AB＝2CE＝3AF，设AF＝x，
∴AB＝3x，CE＝1.5x，
∴MF＝1.5x+x＝2.5x，FD＝3x﹣x＝2x，ED＝1.5x．
在Rt△DFE中，由勾股定理得EF＝2.5x，
∴EF＝MF．
∵在△EFB和△MFB中，
EF MF
BE BM
，
BF BF
∴△EFB≌△MFB（SSS），
∴∠EBF＝∠MBF．
∵∠MBF＝∠2+∠3，
∴∠MBF＝∠1+∠3，
∴∠EBF＝∠1+∠3．
∵∠EBF+∠1+∠3＝90°，
∴∠EBF＝45°．
∵FG⊥BE，
∴∠FPB＝∠BPG＝90°，
∴∠BFP＝45°，
∴∠BFP＝∠PBF，
∴PF＝PB，
∴△PBF为等腰直角三角形，故①正确；
在Rt△AFB中，由勾股定理得BF
，
在Rt△BFP中，由勾股定理得PF＝PB
，
在Rt△BEC中，由勾股定理得BE
，
∵∠1＝∠1，∠BPG＝∠BCE＝90°，∴△BPG∽△BCE，
∴PG PB BG CE BC BE
，
∴
5
3
1.55
PG x BG
x x，
∴PG，BG＝2.5x．∴GC＝0.5x．
∵AD BC
∥，
∴△HPG∽△DPF，
∴GH PG DF PF
，
∴2
25x
GH
x x
，
∴GH＝x，
∴HC＝1.5x，
∴2HC＝3x，
∴2HC＝BC，
∴H是BC的中点．故②正确；
∵AB＝2CE，
∴2HC＝2CE，
∴HC＝CE，
在△BCE和△DCH中，
BC DC
C C
CE CH
，
∴△BCE≌△DCH（SAS），
∴∠1＝∠4．
过点E作QR FG
∥交AD于Q，交BC的延长线于R．
∴∠BER＝∠BPG＝90°，∠5＝∠6．
∴∠7+∠8＝90°．
∵∠1+∠7＝90°，
∴∠1＝∠8．
∵∠8＝∠9，
∴∠1＝∠9，
∴∠4＝∠9．
JP JD 如图，∵∠FPE＝∠FDE＝90°，取EF的中点,J连接,,
JP JF JE JD
,
∴F、P、E、D四点共圆，
∴∠4＝∠5．
∴∠9＝∠5，
∴∠DEF＝2∠5，
即∠DEF＝2∠PFE．故③正确；
∵在△BHP和△DEP中，
14
BPH DPE
，
BH DE
∴△BHP ≌△DEP （AAS ），
∴S △BHP ＝S △DEP ．
作PS ⊥BC 于S ，
∴S △BHP ＝2BH PS ，S △PHG ＝2HG PS ． ∴S △BHP ＝1.52x PS ，S △PHG ＝2x PS ， ∴221.53
2PHG PHG
PDE PHB x PS
S S x PS
S S ，故④正确． ∴①②③④都是正确的．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质的运用，旋转的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，直角三角形斜边上的中线的性质，相似三角形的判定及性质的运用，圆的确定以及圆的基本性质．解答时作出恰当的辅助线是关键．
二、填空题
1、10
【解析】
【分析】
连接OC ，根据垂径定理求出CP ，根据勾股定理得出关于R 的方程，求出方程的解即可．
【详解】
解：连接OC ，
∵AB⊥CD，AB过圆心O，CD＝8，
∴CP＝DP＝4，
设⊙O的半径为R，
∵AP＝8，
∴OP＝8﹣R，
在Rt△COP中，由勾股定理得：CP2+OP2＝OC2，
即（8﹣R）2+42＝R2，
解得：R＝5，
∴⊙O的直径为2×5＝10，
故答案为：10．
【点睛】
此题考查了垂径定理及勾股定理，熟记两个定理的计算及正确应用解决问题是解题的关键．2、3
【解析】
【分析】
圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
【详解】
解：设底面半径为R，则底面周长=2πRcm，
侧面展开图的面积=1
2
×2πR×5=5πR=15πcm2，
∴R=3cm．
故答案为3．
【点睛】
本题考查了圆的周长公式和扇形面积公式，掌握相应的公式是解答此题的关键．3、108
【解析】
【分析】
圆锥的底面周长即为侧面扇形的弧长，利用弧长公式即可求得扇形的圆心角．【详解】
解：由题意可得：
5
3 180
nπ
π
⨯
=，
解得：n=108，
∴圆锥侧面展开扇形的圆心角是108°，
故答案为：108．
【点睛】
本题考查了扇形的弧长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．
4、3
【解析】
【分析】
设该圆锥底面圆的半径为r cm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长列方程求解
【详解】
解：设该圆锥底面圆的半径为r cm ，
根据题意得2πr =
1209180
π⨯⨯， 解得r =3，
即该圆锥底面圆的半径为3cm ．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
5、2443π 【解析】
【分析】 如图找规律，路程为24ππ3333
+⨯计算求解即可．
【详解】
解：如图118060120BCB ∠=︒-︒=︒，1120π12π1803BB ⨯⨯==
120B B =，232π3B B =，342π3
B B =，450B B = 滚动100次，B 点经过的路程为
112233445...BB B B B B B B B B +++++
22222
π0ππ0ππ0 (33333)
=++++++++
244
πππ...
333
=+++
24
ππ33
33
=+⨯
2
44π
3
=
故答案为：
2
44π
3
．
【点睛】
本题考查了弧长．解题的关键在于找出滚动过程中的规律．
三、解答题
1、见解析
【解析】
【分析】
连接OC，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质得出∠DAC=∠ACO，根据平行线的判定得出OC∥AD，根据平行线的性质得出OC⊥DC，再根据切线的判定得出即可．
【详解】
解：证明：连接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC，
∵OC=OA，
∴∠BAC=∠ACO，
∴∠DAC=∠ACO，
∴OC∥AD，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥DC，
∵OC过圆心O，
∴CD是⊙O的切线．
【点睛】
本题考查了切线的判定，平行线的性质和判定，等腰三角形的性质等知识点，能熟记经过半径的外端，且垂直于半径的直线是圆的切线是解此题的关键．
2、(1)30°
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质，可得∠A=30°，再根据圆周角定理，即可求解；
（2）连接CM，CE，根据直径所对的圆周角是直角可得CM∥BE，从而得到∠DBG=∠DCM，
∠BGD=∠CMD，再由∠ACB=75°，可得∠CBF=15°，从而得到∠BAM=∠DCM=15°，进而得到
∠CAM=∠BAM，再根据垂径定理可得BD=CD，进而证得△BDG≌△CDM，即可求证．
(1)
解：∵AB＝AC，∠ACB＝75°，
∴∠ABC=∠ACB=75°，
∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=30°，∵∠E=∠A，
∴∠E=30°；
(2)
证明：如图，连接CM，CE，
∵AM是圆O的直径，
∴∠ACM=90°，
∵BE⊥AC，
∴∠AFB=∠ACM=90°，
∴CM∥BE，
∴∠DBG=∠DCM，∠BGD=∠CMD，∵∠ACB=75°，
∴∠CBF=15°，
∴∠DCM=15°，
∴∠BAM=∠DCM=15°，
∵∠BAC=30°，
∴∠CAM=15°，
∴∠CAM=∠BAM，
∴BM CM
=，
∴BD=CD，
在△BDG和△CDM中，
∵∠DBG=∠DCM，∠BGD=∠CMD，BD=CD，
∴△BDG≌△CDM，
∴DG=DM，即D为GM中点．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
3、3
【解析】
【分析】
根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EF，再判断出EF到BC的距离等于EF 的一半，取EF的中点O，过点O作OQ⊥BC与Q，根据等腰直角三角形的性质，点Q即为所求的点，过点E作EG⊥BC于G，先求出EG，GQ，再解直角三角形求出BG，然后根据BQ=BG+GQ计算即可得解．
【详解】
解：∵E、F分别为边AB、AC的中点，
BC，
∴EF//BC，EF=1
2
∵BC=12，
∴EF=6，
取EF的中点O，过点O作OQ⊥BC与Q，过点E作EG⊥BC于G，
∵AD是BC边上的高，AD=6，
∴OQ=EG=1
2
×6=3，
∴点Q即为所求的使∠EQF=90°的点，
∵EF∥BC，EG∥OQ，OE=OQ=3，
∴四边形OEQG是正方形，
∴GQ=OQ=3，
∵点E是AB的中点，
∴EG是△ABD的中位线，
∴EG=1
2
AD=3，
∵∠ABC=60°，
∴3
BG===
∴BQ=BG+GQ=3
【点睛】
本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，解直角三角形，正方形的判定与性质，熟记定理并作辅助线构造出直角三角形和正方形是解题的关键．
4、 (1)证明见解析
(2)25 8
【解析】
【分析】
（1）连接OA，根据已知条件得到∠AOE＝∠BEF，根据平行线的性质得到OA⊥AC，于是得到结论；
（2）连接OF，设∠AFE＝α，则∠BEF＝2α，得到∠BAF＝∠BEF＝2α，得到∠OAF＝∠BAO＝α，求得∠AFO＝∠OAF＝α，根据全等三角形的性质得到AB＝AF＝5，由勾股定理得到AD＝
3，根据圆周角定理得到∠BAE＝90°，根据相似三角形的性质即可得到结论．
(1)
证明：连接OA，
∴∠AOE＝2∠F，
∵∠BEF＝2∠F，
∴∠AOE＝∠BEF，
∴AO DF
∥，
∵DF⊥AC，
∴OA⊥AC，
∴AC为⊙O切线；
(2)
解：连接OF，
∵∠BEF＝2AFE，
∴设∠AFE＝α，则∠BEF＝2α，∴∠BAF＝∠BEF＝2α，
∵∠B＝∠AFE＝α，
∴∠BAO＝∠B＝α，
∴∠OAF＝∠BAO＝α，
∵OA＝OF，
∴∠AFO＝∠OAF＝α，
∴△ABO≌△AFO（AAS），
∴AB＝AF＝5，
∵DF＝4，
∴AD3，
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠FDA，
∵∠B＝∠AFD，
∴△ABE∽△DFA，
∴AB BE DF AF
，
∴5
45
BE ，
∴BE＝25
4
，
∴⊙O半径＝25
8
．
【点睛】
本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解本题的关键．
5、 (1)①证明见解析；②
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）①由等腰三角形的性质可求∠ABC＝∠ACB＝30°＝∠BAD，可得∠DAC＝90°，由含30°的直角三角形的性质可求解；②如图2，以AB，AC为边作等边△ABH，等边△ACH，以AD，BD为边作等边
△ADE，等边△BDG，连接GH，过点E作EN⊥DG，交GD的延长线于N，由“SAS”可证
△ADB≌△HGB，△DAC≌△EAH，可得AD＝GH＝2，∠ADB＝∠BGH＝120°，DC＝EH，由直角三角形的
性质可得ND＝1
2
DE＝1，NE Rt△NEH中，由勾股定理可求EH，即可；
（2）如图3通过证明△ADE∽△ABC，可得∠ADE＝∠ABC，可证A、D、B、F四点共圆，可求∠BFA＝90°，由等腰三角形的性质可证点F是BC中点．
(1)
解：①证明：∵∠BAC＝120°，AB＝AC
∴∠ABC＝∠ACB＝30°
∵BD＝AD
∴∠ABD＝∠BAD＝30°
∴∠DAC＝90°
∴CD＝2AD
∴CD＝2BD
②如图2，以AB，AC为边作等边△ABH，等边△ACH，以AD，BD为边作等边△ADE，等边△BDG，连接GH，过点E作EN⊥DG，交GD的延长线于N，
∵△BDG和△ABH都是等边三角形
∴BD＝BG＝DG＝4，AB＝BH，∠DBG＝∠ABH＝60°＝∠BGD
∴∠ABD＝∠GBH
在△ADB和△HGB中
∵
BD BG
DBG ABH AB BH
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
∴△ADB≌△HGB（SAS）
∴AD＝GH＝2，∠ADB＝∠BGH＝120°
∴∠DGB+∠BGH＝180°
∴点G，H，D三点共线
∴DH＝4+2＝6
∵△ADE和△ACH都是等边三角形
∴AC＝AH，∠AE＝AD＝DE＝2，∠DAE＝∠CAH＝∠EDA＝60°
∴∠DAC＝∠EAH
同理△DAC≌△EAH（SAS）
∴DC＝EH
∵∠BDG＝∠EDN＝60°，EN⊥DG ∴∠DEN＝30°
∴ND＝1
2
DE＝1，NE
∴HN＝DH+DN＝7
∴EH
==
∴CD＝EH＝
(2)
连接AF，如图3所示：
∵∠DAE＝∠BAC，AD＝AE，AB＝AC
∴AD AE AB AC
=
∴△ADE∽△ABC
∴∠ADE＝∠AB
∴A、D、B、F四点共圆
∴∠BFA＝180°﹣∠ADB＝180°﹣90°＝90°
∴AF⊥BC
∵AB＝AC
∴BF＝CF
∴点F是BC中点．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形全等，勾股定理，三角形相似，四点共圆等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用．。