二面角练习题-----菁优网汇总

二面角练习题
一．选择题（共13小题)
1．（2015•哈尔滨校级三模）如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA=AB,则PB与AC所成的角是（）
A．90°B．60°C．45°D．30°
2．(2015•贵州二模）如图,在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点,沿AE、AF、EF把正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF内的射影为O．则下列说法正确的是（）
A．O是△AEF的垂心 B．O是△AEF的内心
C．O是△AEF的外心 D．O是△AEF的重心
3．（2015•太原二模）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，若棱AB上存在点P，使得D1P⊥PC，则AD的取值范围是（）
A．[1，2) B．C．(0，1]D．（0，2）
4．(2015•合肥一模)如图，已知四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD且PD=AD，则下列命题中错误的是（）
A．过BD且与PC平行的平面交PA于M点，则M为PA的中点
B．过AC且与PB垂直的平面交PB于N点，则N为PB的中点
C．过AD且与PC垂直的平面交PC于H点，则H为PC的
中点
D．过P、B、C的平面与平面PAD的交线为直线l，则l∥AD
5．（2015•哈尔滨校级三模）如图所示，在斜三棱柱ABC﹣
A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则C1在面ABC上的射
影H必在（）
A．直线AB上B．直线BC上C．直线CA上D．△ABC内部
6．（2015•赫章县校级模拟)已知正方形ABCD的边长是4，对角线AC与BD交于O，将正方形ABCD沿对角线BD折成60°的二面角，并给出下面结论：①AC⊥BD；
②AD⊥CO;③△AOC为正三角形；④，则其中的真命题是（）
A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③
7．(2014秋•德化县校级月考）在正n棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是(）
A．（π,π）B．（π，π） C．（0，）D．（π，π)
8．（2014•秦州区校级一模）已知等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，AC，BC的中点分别是D，E,将△CDE沿DE折起，使得C﹣DE﹣A为直二面角，此时斜边AC被折成折线ADC,则∠ADC等于（)
A．150°B．135°C．120°D．90°
9．(2014秋•常德校级期末）已知E，F分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是
（）
A．B．C．D．
10．（2013秋•青山区校级期末）ABCD是正方形，P是平面ABCD
外一点，PD⊥AD,PD=AD=2,二面角P﹣AD﹣C为60°,则P到AB的距离是（）
A．B．C．2 D．
11．(2014秋•雅安期末）A、B是直二面角α﹣l﹣β的棱l上的两点，分别在α，β内作垂直于棱l的线段AC,BD，已知AB=AC=BD=1，那么CD的长为（）
A．1 B．2 C．D．
12．（2014秋•平顶山期末)如图，在60°二面角的棱上有两点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，若AB=4,AC=6,BD=8，则线段CD的长为(）
A． B．10 C．2D．2
13．(2012•碑林区校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，2|AB|2+|BD｜2﹣4=0,∠ABD=90°，沿BD折成直二面角A﹣BD﹣C，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积是（）
A．16πB．8πC．4πD．2π
二．填空题(共1小题）
14．（2014春•南关区校级期末）如图，P是二面角α﹣AB﹣β棱
AB上的一点,分别在α，β上引射线PM，PN，如果
∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，那么二面角α﹣AB﹣β的大小
是．
三．解答题(共6小题）
15．（2011•浙江）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=AC，D为BC的中点,PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．
（Ⅰ)证明：AP⊥BC；
（Ⅱ）已知BC=8，PO=4,AO=3，OD=2．求二面角
B﹣AP﹣C的大小．
16．（2010•四川)在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中,点M是
棱AA′的中点，点O是对角线BD′的中点．
（Ⅰ)求证：OM为异面直线AA′和BD′的公垂线;
（Ⅱ)求二面角M﹣BC′﹣B′的大小．
17．（2009•陕西）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC=AA1=，∠ABC=60°．（1)证明：AB⊥A1C；
（2）求二面角A﹣A1C﹣B的余弦值．
18．（2009•北京）如图,在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC,PA=AB,∠ABC=60°，∠BCA=90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．
(1）求证:BC⊥平面PAC；
(2）当D为PB的中点时,求AD与平面PAC所成的角的正弦值；
(3)是否存在点E使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角？并说明理由．
19．（2008•天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形．已知AB=3,AD=2,PA=2，PD=2，∠PAB=60°．
（Ⅰ）证明AD⊥平面PAB；
（Ⅱ)求异面直线PC与AD所成的角的大小;
（Ⅲ）求二面角P﹣BD﹣A的大小．
20．（2008•北京）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC=BC=2,∠ACB=90°，AP=BP=AB,PC⊥AC．（Ⅰ）求证：PC⊥AB;
（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣C的大小；
（Ⅲ)求点C到平面APB的距离．
2015年10月15日nxyxy的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共13小题)
1．（2015•哈尔滨校级三模)如图所示,点P在正方形ABCD所在平面外,PA⊥平面ABCD，
PA=AB，则PB与AC所成的角是（）
A．90°B．60°C．45°D．30°
考点：直线与平面垂
直的判定;异面
直线及其所成
的角．
专题: 计算题；空间位
置关系与距离．
分析:将其还原成正
方体ABCD﹣
PQRS，连接
SC,AS，可得
∠ASC（或其补
角）即为所求
角．
解答：解：将其还原成
正方体ABCD
﹣PQRS，连接
SC，AS，则
PB∥SC，
∴∠ACS（或其
补角）是PB与
AC所成的角
∵△ACS为正
三角形,
∴∠ACS=60°
∴PB与AC所
成的角是60°
故选B．
点评：本题考查线线
角的计算，考查
学生分析解决
问题的能力,属
于中档题．
2．（2015•贵州二模)如图,在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，沿AE、AF、EF把正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF内的射影为O．则下列说法正确的是（）
A．O是△AEF的垂心 B．O是△AEF的内心
C．O是△AEF的外心 D．O是△AEF的重心
考点：直线与平面垂
直的性质;棱锥
的结构特征．
专题: 空间位置关系
与距离．
分析:先证明
PA⊥EF，
PO⊥EF，可证
EF⊥平面PAO，
从而可得
EF⊥AO,同理
可知：AE⊥FO，
AF⊥EO，从而
判定O为
△AEF的垂心．
解答：解:由题意可知
PA、PE、PF两
由PA⊥平面
PEF，从而
PA⊥EF,
而PO⊥平面
AEF,则PO⊥EF,
所以EF⊥平面
PAO，
∴EF⊥AO，同
理可知：
AE⊥FO，
AF⊥EO，
∴O为△AEF
的垂心．
故选：A．
点评:本题主要考查
了垂心的判定,
考查了直线和
平面垂直的判
定和性质以及
直线和直线垂
直的判定．在证
明线线垂直时,
其常用方法线
证明线面垂直，
再证明线线垂
直，属于中档
题．
3．(2015•太原二模）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，若棱AB上存在点P，使得D1P⊥PC，则AD的取值范围是（）
A．[1，2）B．C．（0,1] D．（0,2）
考点：直线与平面垂
直的性质．
专题：空间位置关系
分析：建立空间直角
坐标系,设
AD=a，求出
、，利用
•=0求
出a的范围．
解答：解：如图建立坐
标系,
设AD=a（a＞
0），AP=x（0＜x
＜2），
则P（a,x，2），
C（0，2，2),
∴=(a，x，
2）,=（a，x
﹣2，0），
∵D1P⊥PC,
∴•=0,
即a2+x（x﹣2）
=0，
a==
，
当0＜x＜2时，
a∈（0，1］．
故选：C．
点评:本题考查棱柱
的结构特征，是
基础题．
4．（2015•合肥一模）如图，已知四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD且PD=AD，则下列命题中错误的是（）
A．过BD且与PC平行的平面交PA于M点，则M为PA的中点
B．过AC且与PB垂直的平面交PB于N点，则N为PB的中点
C．过AD且与PC垂直的平面交PC于H点，则H为PC的中点
D．过P、B、C的平面与平面PAD的交线为直线l，则l∥AD
考点：直线与平面垂
直的性质．
专题: 空间位置关系
与距离．
分析：设AC∩BD=O，
由ABCD是正
方形，得O是
AC中点，从而
OM∥PC，由此
得到M是PA中
点；设N为PB
的中点，连结
AN，则AN与
PB不一定垂直,
从而得到N不
一定是PB中
点；由已知得
PA=AC，
PD=DC，从而H
为PC的中点;
由AD∥BC，得
到l∥AD∥BC．
解答：解：设
AC∩BD=O,∵A
BCD是正方形，
∴O是AC中点,
∵过BD且与
PC平行的平面
交PA于M
点,∴OM∥PC,
∴M是PA中
点，故A正确；
设N为PB的中
点,连结AN,
∵PA与AB不
一定相等，
∴AN与PB不
一定垂直，
∴过AC且与
PB垂直的平面
交PB于N点,
则N不一定是
PB中点,故B错
误；
∵四边形
ABCD为正方
形,PD⊥平面
ABCD且
PD=AD，
∴PA=AC，
PD=DC，
∴过AD且与
PC垂直的平面
宛PC于H点，
则H为PC的中
点，故C正确;
∵AD∥BC,平
面PAD与平面
PCB有公共点
P，
∴l∥AD∥BC,
故D正确．
故选：B．
点评：本题考查命题
真假的判断,是
中档题，解题时
要认真审题，注
意空间思维能
力的培养．
5．(2015•哈尔滨校级三模）如图所示，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则C1在面ABC上的射影H必在（）
A．直线AB上B．直线BC上C．直线CA上D．△ABC内部
考点：平面与平面垂
直的判定；棱柱
的结构特征．
分析：如图,C1在面
ABC上的射影
H必在两个相互
垂直平面的交
线上，所以证明
面ABC⊥面
ABC1就可以
了．
解答：解：
⇒
CA⊥面ABC1
⇒面ABC⊥面
ABC1，
∴过C1在面
ABC内作垂直
于平面ABC，
垂线在面ABC1
内，也在面ABC
内，
∴点H在两面
的交线上,即
H∈AB．
故选A
点评:本题通过射影
问题来考查线
面垂直和面面
6．(2015•赫章县校级模拟）已知正方形ABCD的边长是4，对角线AC与BD交于O，将正方形ABCD沿对角线BD折成60°的二面角，并给出下面结论:①AC⊥BD；②AD⊥CO；
③△AOC为正三角形；④，则其中的真命题是(）
A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③
考点：与二面角有关
的立体几何综
合题．
专题：综合题．
分析:由题意，作出如
图的图象，由正
方形的性质知，
CO⊥BD，
AO⊥BD，可得
BD⊥面AOC，
且
AC=AO=CO=2
，
AD=CD=4，可
由线面垂直判
断
AC⊥BD,AD⊥
CO可反证确定
它不成立，③可
由正三角形的
性质判断，④可
由余弦定理直
接求出
，
由此可选出正
确答案
解答：解：由题意，可
作出如图的图
象，在下图中，
由正方形的性
质知，
CO⊥BD,AO⊥
BD，故可得
BD⊥面AOC
由此可得出
BD⊥AC，
①正确，
又由题设条件O 是正方形对角线的交点，可得出AO=CO,于是有③△AOC为正三角形，可得③正确；
由上证知,CO与面ABD不垂直且CO⊥BD，故AD与CO不垂直，由此知②不正确；
由上证知，
△AOC是等边三角形,故
AC=AO=CO=2
，
AD=CD=4，所以
cos∠ADC=
=
故④正确
由上判断知
①③④
故选A
点评：本题考查与二
面角有关的综
合问题，考查了
线面垂直,面面
角的平面的确
定等问题，这是
一个翻折问题，
此类问题理解
翻折过程中的
变与不变是解
题的关键
7．（2014秋•德化县校级月考)在正n棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是() A．(π,π）B．（π，π） C．（0，）D．(π,π)
考点：与二面角有关
的立体几何综
合题．
专题：计算题．
分析：当正n棱锥的顶
点无限趋近于
底面正多边形
中心时，则底面
正多边形便为
极限状态；当棱
锥高无限大时，
则正n棱柱便又
是另一极限状
态．
解答：解：当正n棱锥
的顶点无限趋
近于底面正多
边形中心时，
则底面正多边
形便为极限状
态，此时棱锥相
邻两侧面所成
二面角α→π，
且小于π；当棱
锥高无限大时，
正n棱柱便又是
另一极限状态，
此时
α→π，且
大于π，
故选A．
点评：本题主要考查
了二面角的度
量方法、极限思
想及运算推理
能力．
8．（2014•秦州区校级一模)已知等腰直角三角形ABC中,∠B=90°，AC，BC的中点分别是D，E，将△CDE沿DE折起,使得C﹣DE﹣A为直二面角，此时斜边AC被折成折线ADC,则∠ADC等于（）
A．150°B．135°C．120°D．90°
考点: 与二面角有关
的立体几何综
合题．
专题：计算题；空间
角．
分析:设等腰△ABC
中，AB=BC=2，
由∠B=90°,AC，
BC的中点分别
是D，E,知
AD=DC=，
DE=CE=1，
∠DEC=90°，
AE=,由C﹣
DE﹣A为直二
面角,知
∠AEC=90°,AC
=，由此利用
余弦定理能求
出∠ADC的大
小．
解答：解：如图，设等
腰△ABC中，
AB=BC=2，
∵∠B=90°，
AC，BC的中点
分别是D，E,
∴AD=DC=
，DE=CE=1，
∠DEC=90°，
AE=，
∵将△CDE沿
DE折起，使得
C﹣DE﹣A为直
二面角，
∴∠AEC=90°,
AC==
，
∴cos∠ADC=
=
=﹣,
∴∠ADC=120°
，
故选C．
点评：本题以等腰直
角三角形的翻
折问题为载体，
考查空间角的
求法,解题时要
认真审题，注意
翻折前后常量
与变量的相互
关系的合理运
用．
9．（2014秋•常德校级期末)已知E，F分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是（）
A．B．C．D．
考点：与二面角有关
的立体几何综
合题．
专题：计算题;转化思
想．
分析:因为D1D⊥面
ABCD,故可由
三垂线定理法
作出二面角的
平面角，再求
解．
解答：解:因为D1D⊥
面ABCD，过D
做DH⊥AE与
H，连接D1H，
则∠D1HD即为
截面AEFD1与
底面ABCD所
成二面角的平
面角,
设正方体
ABCD﹣
A1B1C1D1的棱
长为1，在
△D1HD中，
D1D=1,因为
△DAH~△ABE
，所以
DH=
所以
D1H=
，
所以
sin∠D1HD=
故选C
点评：本题考查二面
角的做法和求
解、解三角形知
识，考查空间想
象能力和运算
能力．
10．（2013秋•青山区校级期末）ABCD是正方形，P是平面ABCD外一点，PD⊥AD，PD=AD=2,二面角P﹣AD﹣C为60°，则P到AB的距离是(）
A．B．C．2 D．
考点：与二面角有关
的立体几何综
合题;点、线、面
间的距离计算．
专题：计算题．
分析：要想求P到AB
的距离要先证
明AB⊥平面
PEF，即
PF⊥AB，根据
题中已知条件
求出PE的长度,
再根据勾股定
理便可求出PF
的长度．
解答:解:过P作
PE⊥CD，过E
作EF∥BC,连
接PF，
∵AD⊥CD,PD
⊥AD,
∴AD⊥平面
PDC，
又∵PE在平面
PDC
上,∴AD⊥PE，
又
∵PE⊥CD,∴P
E⊥平面
ABCD，
∴PE⊥AB
∵EF∥BC，
∴AB⊥EF,
∴AB⊥平面
PEF,∴PF⊥AB
，
∴PF即为P到
AB的距离，
∵∠PDC=60°，
PD=2，
∴PE=,
∵EF=AD=2，由
勾股定理可得
PF==．
点评:本小题主要考
查空间线面关
系、二面角的度
量、点线面距离
的技计算等知
识，考查数形结
合、化归与转化
的数学思想方
法,以及空间想
象能力，要求同
学们熟练掌握．
11．(2014秋•雅安期末)A、B是直二面角α﹣l﹣β的棱l上的两点，分别在α，β内作垂直于棱l的线段AC，BD，已知AB=AC=BD=1,那么CD的长为（)
A．1 B．2 C．D．
考点：与二面角有关
的立体几何综
合题．
专题：空间位置关系
与距离．
分析：由于本题中的
二面角是直角，
且两线段都与
棱垂直，可根据
题意作出相应
的正方体，CD
恰好是此正方
体的体对角线，
由正方体的性
质求出其长度
即可．
解答：解：如图，由于
此题的二面角
是直角，且线段
AC，BD分别在
α，β内垂直于棱
l，
AB=AC=BD=1,
AB,BD，AC为
棱的正方体，
CD即为正方体
的对角线，
由正方体的性
质知，
CD=
=
故选D．
点评：本题考查与二
面角有关的线
段长度计算问
题,根据本题的
条件选择作出
正方体,利用正
方体的性质求
线段的长度，大
大简化了计算，
具体解题中要
注意此类问题
的合理转化．
12．（2014秋•平顶山期末）如图,在60°二面角的棱上有两点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，若AB=4，AC=6，BD=8，则线段CD的长为（）
A． B．10 C．2D．2考点：与二面角有关
的立体几何综
合题．
专题: 空间位置关系
与距离．
分析：
，利用数量积运
算性质可得
++
+
．根据
，
，可得
=0，
=0，由
60°二面角可得；
=
，代入计算即可
得出．
解答：解：
，
∴
++
+
，
∵，
，
∴=0，
=0，
=
==
﹣24．
∴=62+42+
82﹣2×24=68,
∴=2
．
故选：D．
点评：本题考查了利
用向量的多边
形法则、数量积
的运算性质、向
量垂直与数量
积的关系，考查
了空间想象能
力，考查了推理
能力与计算能
力，属于中档题
13．(2012•碑林区校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，2|AB|2+｜BD|2﹣4=0，∠ABD=90°,沿BD折成直二面角A﹣BD﹣C,则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积是（）
A．16πB．8πC．4πD．2π
考点: 与二面角有关
的立体几何综
合题．
专题: 综合题．
分析：先确定三棱锥A
﹣BCD的外接
球的直径为AC,
再根据
2|AB|2+｜BD|2
﹣4=0，求得外
接球的半径为
1，从而可求表
面积．
解答：解:平行四边形
ABCD
中,∵∠ABD=9
0°，
∴AB⊥BD，
CD⊥BD
∵沿BD折成直
二面角A﹣BD
﹣C，
∴AB⊥平面
BCD,CD⊥平面
ABD
∴AB⊥BC,CD
⊥DA
∴三棱锥A﹣
BCD的外接球
的直径为AC，
且｜AC｜2=｜
AB｜2+|BD｜
2+|CD|2=2|AB｜
2+|BD|2=4
∴外接球的半
径为1，表面积
是4π．
故选C．
点评：本题考查几何
体的外接球，考
查球的表面积，
解题的关键是
确定外接球的
直径．
二．填空题(共1小题）
14．(2014春•南关区校级期末）如图，P是二面角α﹣AB﹣β棱AB上的一点，分别在α，β上引射线PM，PN，如果∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，那么二面角α﹣AB﹣β的大小是90°．
考点: 与二面角有关
的立体几何综
合题．
专题：计算题；压轴
题．
分析：本题考查的知
识点是二面角
及其度量，我们
要根据二面角
的定义,在两个
平面的交线上
取一点Q,然后
向两个平面引
垂线，构造出二
面角的平面角，
然后根据平面
几何的性质，求
出含二面角的
平面角的三角
形中相关的边
长，解三角形即
可得到答案．解答：解：过AB上一
点Q分别在α,β
内做AB的垂
线,交PM，PN
于M点和N点
则∠MQN即为
二面角α﹣AB
﹣β的平面角，
如下图所示：
设PQ=a,则
∵∠BPM=∠B
PN=45°
∴QM=QN=a
PM=PN= a
又由
∠MPN=60°，易
得△PMN为等
边三角形
则MN= a
解三角形QMN
易得
∠MQN=90°
故答案为：90°
点评：求二面角的大
小，一般先作出
二面角的平面
角．此题是利用
二面角的平面
角的定义作出
∠MQN为二面
角α﹣AB﹣β的
平面角,通过解
∠MQN所在的
三角形求得
∠MQN．其解题
过程为：作
∠MQN→证
∠MQN是二面
角的平面角→
计算∠MQN，简
记为“作、证、
算"．
三．解答题（共6小题）
15．（2011•浙江）如图，在三棱锥P﹣ABC中,AB=AC,D为BC的中点，PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上．
（Ⅰ）证明:AP⊥BC;
（Ⅱ）已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2．求二面角B﹣AP﹣C的大小．
考点：与二面角有关
的立体几何综
合题；空间中直
线与直线之间
的位置关系；二
面角的平面角
及求法．
专题：空间位置关系
与距离；空间角;
立体几何．
分析：（I)由题意．因
为PO⊥平面
ABC，垂足O落
在线段AD上所
以BC⊥PO．有
AB=AC，D为
BC的中点,得到
BC⊥AD，进而
得到线面垂直，
即可得到所证；
（II)有(I）利用
面面垂直的判
定得到PA⊥平
面BMC，再利
用二面角的定
义得到二面角
的平面角，然后
求出即可．
解答：解：（I）由题意
画出图如下：
由AB=AC,D为
BC的中点，得
AD⊥BC，
又PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，得到PO⊥BC，∵PO∩AD=O∴BC⊥平面PAD，故
BC⊥PA．（II）如图,在平面PAB中作BM⊥PA于M，连接CM，
∵BC⊥PA,∴P A⊥平面BMC，∴AP⊥CM,故∠BMC为二面角B﹣AP﹣C
的平面角，
在直角三角形ADB中，
;
在直角三角形POD中，
PD2=PO2+OD2，在直角三角形PDB
中,PB2=PD2+B D2,∴PB2=PO2+ OD2+BD2=36，得PB=6,
在直角三角形POA中，
PA2=AO2+OP2= 25，得PA=5,
又
cos∠BPA=
,从而
．
故
BM=
，
∵BM2+MC2=B
C2，∴二面角B
﹣AP﹣C的大
小为90°．
点评：(I)此问考查了
线面垂直的判
定定理，还考查
了线面垂直的
性质定理;
（II)此问考查
了面面垂直的
判定定理,二面
角的平面角的
定义,还考查了
在三角形中求
解．
16．（2010•四川）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中,点M是棱AA′的中点，点O是对角线BD′的中点．
（Ⅰ)求证：OM为异面直线AA′和BD′的公垂线；
（Ⅱ）求二面角M﹣BC′﹣B′的大小．
考点: 与二面角有关
的立体几何综
合题；空间中直
线与直线之间
的位置关系．分析：解法一：（1）由
题意及图形，利
用正方体的特
点及异面直线
间的公垂线的
定义可以求证；
（2）由题意及
图形，利用三垂
线定理，求出所
求的二面角的
平面角，然后再
在三角形中求
出角的大小．
解法二:(1）由题
意及正方体的
特点可以建立
如图示的空间
直角坐标系，利
用向量的知识
证明两条直线
垂直；
(2）由题意及空
间向量的知识，
抓好两平面的
法向量与二面
角之间的关系
进而可以求出
二面角的大小解答:解：法一(1）连
接AC，取AC
中点K，
则K为BD的中
点，连接OK
因为M是棱
AA′的中点，点
O是BD′的中点
所以
AM
所以MO
由AA′⊥AK,得MO⊥AA′
因为
AK⊥BD,AK⊥BB′，所以AK⊥平面BDD′B′
所以AK⊥BD′所以MO⊥BD′又因为OM是异面直线AA′和BD′都相交
故OM为异面直线AA'和BD’的公垂线；(2)取BB′中点N，连接MN，则MN⊥平面BCC′B′
过点N作
NH⊥BC′于H,连接MH
则由三垂线定理得BC’⊥MH 从而，∠MHN 为二面角M﹣BC′﹣B′的平面角
MN=1,NH=Bnsi n45°=
在Rt△MNH 中，
tan∠MHN=
故二面角M﹣BC′﹣B′的大小为arctan2．
法二：
以点D为坐标
原点，建立如图所示空间直角
坐标系D﹣xyz 则A（1,0，0），B（1，1，0），C （0，1，0）, A′（1,0，1)，C′（0,1，1）,D′（0,0，1）（1）因为点M 是棱AA′的中点，点O是BD′的中点
所以M（1，0,），O(，，)
，
=（0，0,1），
=（﹣1，﹣1，
1)=0，
+0=0
所以
OM⊥AA′，
OM⊥BD′
又因为OM与
异面直线AA′和BD′都相交
故OM为异面
直线AA′和BD′的公垂线；（2）设平面BMC'的一个法向量为=（x，
y，z)
=（0，﹣1，）,=（﹣1，0，1)
即
取z=2，则x=2，y=1，从而=
（2,1，2)
取平面BC′B′的一个法向量为
=（0，1，0）cos
由图可知，二面角M﹣BC′﹣B′的平面角为锐
角
故二面角M﹣BC′﹣B′的大小
为arccos．
点评:本小题主要考
查异面直线、直
线与平面垂直、
二面角、正方体
等基础知识，并
考查空间想象
能力和逻辑推
理能力，考查应
用向量知识解
决数学问题的
能力．
17．(2009•陕西）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC=AA1=,∠ABC=60°．（1）证明:AB⊥A1C；
（2）求二面角A﹣A1C﹣B的余弦值．
考点: 与二面角有关
的立体几何综
合题；直线与平
面垂直的判定．
专题：计算题;证明题．
分析：（1）欲证
AB⊥A1C，而
A1C⊂平面
ACC1A1，可先
证AB⊥平面
ACC1A1，根据
三棱柱ABC﹣
A1B1C1为直三
棱柱，可知
AB⊥AA1，由正
弦定理得
AB⊥AC,满足
线面垂直的判
定定理所需条
件；
（2)作
AD⊥A1C交
A1C于D点，连
接BD,由三垂线
定理知
BD⊥A1C，则
∠ADB为二面
角A﹣A1C﹣B
的平面角，在
Rt△BAD中,求
出二面角A﹣
A1C﹣B的余弦
值即可．
解答：解：(1）证明:∵
三棱柱ABC﹣
A1B1C1为直三
棱
柱,∴AB⊥AA1
，在△ABC中，
AB=1,AC=，
∠ABC=60°，由
正弦定理得
∠ACB=30°，
∴∠BAC=90°,
即AB⊥AC，
∴AB⊥平面
ACC1A1，
又A1C⊂平面
ACC1A1,
∴AB⊥A1C．
（2）如图，作
AD⊥A1C交
A1C于D点，连
接BD，
由三垂线定理
知BD⊥A1C,
∴∠ADB为二
面角A﹣A1C﹣
B的平面角．
在Rt△AA1C
中,AD=
=
=，
在Rt△BAD中，
tan∠ADB==
，
∴cos∠ADB=
，
即二面角A﹣
A1C﹣B的余弦
值为．
点评：本题考查直线
与平面垂直的
性质，二面角及
其度量，考查空
间想象能力，逻
辑思维能力，计
算能力，是中档
题．
18．（2009•北京)如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．
（1)求证：BC⊥平面PAC；
（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；
(3）是否存在点E使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角？并说明理由．
考点：与二面角有关
的立体几何综
合题;直线与平
面所成的角．
专题：计算题;证明题．
分析：(1）欲证BC⊥
平面PAC，根据
直线与平面垂
直的判定定理
可知只需证BC
与平面PAC内
两相交直线垂
直，根据线面垂
直的性质可知
PA⊥BC,而
AC⊥BC,满足
定理所需条件；
（2）根据DE⊥
平面PAC，垂足
为点E，则
∠DAE是AD
与平面PAC所
成的角．在
Rt△ADE中，求
出AD与平面
PAC所成角即
可；
（3）根据
DE⊥AE，
DE⊥PE，由二
面角的平面角
的定义可知
∠AEP为二面
角A﹣DE﹣P
的平面角，而
PA⊥AC，则在
棱PC上存在一
点E,使得
AE⊥PC，从而
存在点E使得
二面角A﹣DE
﹣P是直二面
角．
解答：解:(1)∵PA⊥底
面ABC，
∴PA⊥BC．
又
∠BCA=90°,∴
AC⊥BC，
∴BC⊥平面
PAC．
（2)∵D为PB
的中
点,DE∥BC，
∴DE=BC．
又由(1）
知,BC⊥平面
PAC，
∴DE⊥平面
PAC，垂足为点
E，
∴∠DAE是AD
与平面PAC所
成的角．
∵PA⊥底面
ABC，
∴PA⊥AB．
又PA=AB，
∴△ABP为等
腰直角三角形，
∴AD=AB．
在Rt△ABC
中,∠ABC=60°,
∴BC=AB，
∴在Rt△ADE
中,sin∠DAE=
==，
即AD与平面
PAC所成角的
正弦值为．
（3）
∵DE∥BC，又
由（1）知，BC⊥
平面PAC，
∴DE⊥平面
PAC．
又∵AE⊂平面
PAC，PE⊂平面
PBC，
∴DE⊥AE，
DE⊥PE,
∴∠AEP为二
面角A﹣DE﹣P
的平面角．
∵PA⊥底面
ABC，
∴PA⊥AC,
∴∠PAC=90°,
∴在棱PC上存
在一点E,使得
AE⊥PC．
这时，
∠AEP=90°，
故存在点E使
得二面角A﹣
DE﹣P是直二
面角．
点评：考查线面所成
角、线面垂直的
判定定理以及
二面角的求法，
涉及到的知识
点比较多，知识
性技巧性都很
强．
19．（2008•天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=2,PA=2，PD=2，∠PAB=60°．
（Ⅰ）证明AD⊥平面PAB；
（Ⅱ）求异面直线PC与AD所成的角的大小；
(Ⅲ）求二面角P﹣BD﹣A的大小．
考点：与二面角有关
的立体几何综
合题；异面直线
及其所成的角；
直线与平面垂
直的判定．
专题：计算题．
分析：（I）由题意在
△PAD中，利用
所给的线段长
度计算出
AD⊥PA,在利
用矩形ABCD
及线面垂直的
判定定理及、此
问得证；
（II)利用条件
借助图形，利用
异面直线所称
角的定义找到
共面得两相交
线，并在三角形
中解出即可；
(III）由题中的条
件及三垂线定
理找到二面角
的平面角，然后
再在三角形中
解出角的大小
即可．
解答：解：（Ⅰ）证明：
在△PAD中，由
题设
PA=2,PD=2，
可得
PA2+AD2=PD2
于是AD⊥PA．
在矩形ABCD
中,AD⊥AB．又
PA∩AB=A，
所以AD⊥平面
PAB．
(Ⅱ）解：由题
设,BC∥AD,
所以∠PCB（或
其补角）是异面
直线PC与AD
所成的角．
在△PAB中，由
余弦定理得
PB=
由(Ⅰ）知AD⊥
平面PAB，PB⊂
平面PAB，
所以AD⊥PB，
因而BC⊥PB,
于是△PBC是
直角三角形,故
tanPCB=
．
所以异面直线
PC与AD所成
的角的大小为
arctan．
（Ⅲ）解：过点P做PH⊥AB于H，过点H做HE⊥BD于E，连接PE
因为AD⊥平面PAB，PH⊂平面PAB，所以
AD⊥PH．又AD∩AB=A,
因而PH⊥平面ABCD,故HE为PE在平面ABCD内的射影．
由三垂线定理可知,BD⊥PE，从而∠PEH是二面角P﹣BD ﹣A的平面角．由题设可得，PH=PA•sin60°=
，
AH=PA•cos60°=1，
BH=AB﹣
AH=2，
BD=
，
HE=
于是在
RT△PHE中，
tanPEH=
所以二面角P﹣BD﹣A的大小
为arctan．
点评：本小题主要考
查直线和平面
垂直，异面直线
所成的角、二面
角等基础知识,
考查空间想象
能力,运算能力
和推理论证能
力，还考查了利
用反三角函数
的知识求出角
的大小．
20．（2008•北京）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°,AP=BP=AB，PC⊥AC．（Ⅰ)求证：PC⊥AB;
（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣C的大小；
（Ⅲ）求点C到平面APB的距离．
考点：与二面角有关
的立体几何综
合题;点、线、面
间的距离计算．
专题：计算题；证明
题．
分析：（Ⅰ）欲证
PC⊥AB，取AB
中点D，连接
PD，CD,可先证
AB⊥平面
PCD，欲证
PCD，根据直线
与平面垂直的
判定定理可知
只需证AB与平
面PCD内两相
交直线垂直，而
PD⊥AB，
CD⊥AB，又
PD∩CD=D，满
足定理条件；
（Ⅱ）取AP中
点E．连接
BE,CE，根据二
面角平面角的
定义可知
∠BEC是二面
角B﹣AP﹣C
的平面角,在
△BCE中求出
此角即可;
（Ⅲ）过C作
CH⊥PD，垂足
为H，易知CH
的长即为点C
到平面APB的
距离，在
Rt△PCD中利
用勾股定理等
知识求出CH即
可．
解答：解：(Ⅰ)取AB
中点D，连接
PD，CD．
∵AP=BP,∴PD
⊥AB．
∵AC=BC,∴C
D⊥AB．
∵PD∩CD=D，
∴AB⊥平面
PCD．
∵PC⊂平面
PCD，
∴PC⊥AB．
∵AC=BC，AP=BP，
∴△APC≌△B PC．
又PC⊥AC，∴PC⊥BC．
又∠ACB=90°，即AC⊥BC，且AC∩PC=C，∴BC⊥平面PAC．
取AP中点E．连接BE，CE．∵AB=BP，
∴BE⊥AP．∵EC是BE在平面PAC内的射影，
∴CE⊥AP．∴∠BEC是二面角B﹣AP﹣C 的平面角．
在△BCE中，BC=2,
, CE=
cos∠BEC=
．∴二面角B﹣AP﹣C的大小
arccos．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知AB⊥平面PCD,∴平面APB⊥平面PCD．
过C作
CH⊥PD，垂足为H．
∵平面APB∩平面PCD=PD，
∴CH⊥平面APB．
∴CH的长即为点C到平面APB的距离．
由(Ⅰ）知
PC⊥AB，又PC⊥AC，且
AB∩AC=A，
∴PC⊥平面ABC．
∵CD⊂平面ABC，
∴PC⊥CD．
在Rt△PCD中，
，
，
∴
．∴
．
∴点C到平面APB的距离为
．
点评:本题主要考查
了空间两直线
的位置关系，以
及二面角的度
量和点到面的
距离的求解，培
养学生空间想
象能力，属于基
础题．。