线形函数的中误差传播定律5

第四节 误差传播定律
一 线形函数的中误差传播定律
设i x (i=1,2, …,n)是一组独立观测量，而Y 是i x 的的线性函
数，即：
n
n X a X a X a a Y ++++= 22110 （2-23）
式中 系数0a 和为i a 已知，且假定没有误差。

设ij
x 是第i 个观测量的第j （(j=1,2, …,n)）个观测值，按式
(2-23)求出其对应的待求量计算值j
y 为：
nj
n j j j x a x a x a a y +++=22110 （2-24）
将式(2-24)减去式(2-23)可得：
nj
n j j j a a a y ∆+∆+∆=∆ 2211
（2-25）
式中 Y y
y
X
x j
j
i
ij ij -=∆-=∆
当i
X 对各观测K 次时，式（2-25）将共有K 个。

分别将各式两边平方并对个式求其和，再除以观测次数K ，可得：
k
a a k
a a k
a a k
a
k a
k
a
k n n n
n n n n
y y ][2]
[2][2][][][][11313
1212
122222
1121
∆∆+∆∆+∆∆+∆∆+∆∆+∆∆=∆∆--
由于ij
∆是偶然误差，两个不相同的偶然误差的乘积仍为
偶然误差。

因此，根据偶然误差的抵偿性可知，偶然误差的算术平均值随着观测次数K 的增加而趋近于零，故有：
)
(0]
[j i k
j
i ≠≈∆
∆，
于是得：
k
a
k
a
k
a
k
n n n
y y ][][][][22222
1121
∆∆+∆∆+∆∆=∆∆
顾及中误差的定义公式，并设观测量i
X 的中误差为
i m ，则上式又可写为：
2
222222121n n y m
a m a m a m ++±= （2-26）
这就是观测值线性函数的中误差传播定律。

应该指出，倍数函数、和差函数都是线性函数的特
例，即是说：
（1） 当n=1且0
a =0时，则式表示的就是倍数函数，即： aX Y =
显然，倍数函数的中误差传播定律为：x
y
am m
±=（2-27）
上式表示：观测值倍数的中误差等于观测值中误差的a 倍。

（2）当121±=====n i a a a a 且0a =0时，则是为和差函数，即：n X X X Y ±±=21 显然，和差函数的中误差传播定律为：2
2
22
1n y m m m m ++=
（2-28）
上式表明：各观测值代数和的中误差等于各观测值中误差平方和的平方根。

特别地，当观测值是一组等精度观测值时，即, m m m m n ==== 21 则有：m n m y =。