层次分析法课后作业

n ( )i 1 d. 计算 Aw n i 1 wi
，作为最大特征根的近似值。
0.6 0.615 0.545 按行求和 0 . 3 0 . 308 0 . 364 0.1 0.077 0.091 1.760 0 . 972 0.268
w ( w1
,
w2 ,..., wn )
叫权向量.
注意， X1，X2，… ，Xn中有的不是基数变量， 而有可能是序数变量如舒适程度或积极性 之类。
设想： 把一块单位重量的来自百度文库头砸成n块小石块
小石块W1 小石块W2 … 小石块Wn
~ w ~ ~ b. 对 wij 按行求和得：w i ij n
P2
0.429 0.429 0.142
P3
0.633 0.193 0.175 0.166 0.166 0.668
（2）构造判断矩阵
通过相互比较确定各准则对于目标的权重，即构造判断矩 阵。在层次分析法中，为使矩阵中的各要素的重要性能够进行 定量显示，引进了矩阵判断标度（1～9标度法） : 标度 含义 1 3 表示两个元素相比，具有同样的重要性 表示两个元素相比，前者比后者稍重要
构造所有相对于不同准则的方案层判断矩阵
相对于景色
P P 1 2 P 2 1 1 B1 P2 1 / 2 1 P3 1 / 5 1 / 2 P 3 5 2 ` 1
相对于费用
P P P 1 2 3 P 1 1 1/ 3 1/ 8 B2 P2 3 1 1 / 3 P3 ` 1 8 3
i 1
a. 将A的每一列向量归一化得： ij
n
利用判断矩阵计算各因素C对目标层Z的权重（权系数） n ~ w a /a
ij i 1 ij
j 1 T ~ ~ ~ w w / w , w ( w , w ,..., w ) c. 将 wi 归一化 i 1 2 i i n ，即为近似特征根（权向量）
第一步：自上而下，先求判断矩阵A的最大特征 根与特征向量。
AW W 自变量 W -W
1 5
1 2 1 / 4 1 / 3 1 / 3
1/ 2 4 1 7 1/ 7 1 1/ 5 2 1/ 5 3
3 5 5 1 / 2 1 / 3 1 1 1 1 3
用AHP分析问题大体要经过以下五个步骤：
（1） 建立层次结构模型；
（2）构造判断矩阵； （3）层次单排序； （4）一致性检验； （5）层次总排序。
其中后三个步骤在整个过程中需要逐层地进行。
实例：人们在日常生活中经常会碰到多目标决策问题，例如 假期某人想要出去旅游，现有三个目的地（方案）：风光绮 丽的杭州（P1）、迷人的北戴河（P2）和山水甲天下的桂林 （P3）。假如选择的标准和依据（行动方案准则）有 5 个： 景色，费用，饮食，居住和旅途。则常规思维的方式如下：
（4）一致性检验
1 2 A 1 / 4 1 / 3 1 / 3 1/ 2 4 1 7 1/ 7 1 1/ 5 2 1/ 5 3 3 5 5 1 / 2 1/ 3 1 1 1 1 3
a14 3, a43 2
a13 a14a43 3 2 6.
1 2 6 列向量 A 1 / 2 1 4 例： 归一化 1 / 6 1 / 4 1
1.769 0.587 归一化 Aw 0.974 0 . 324 w 0.268 0.089
1 ( 1.769 + 0.974 + 0.268 ) 3.009
1 Aw 1 / 2 1 / 6
2
1
1/ 4
6 4 1
0 . 587 0 . 324 0 . 089

1 . 769 0 . 974 0 . 268

判断矩阵的一致性检验 判断矩阵通常是不一致 的，但是为了能用它的对应 于特征根的特征向量作为被 比较因素的权向量，其不一 致程度应在容许的范围内 . 如 何确定这个范围？ max- n CI （1）一致性指标： n-1
基本概念
什么是权重（权系数）？ 在决策问题中，通常要把变量Z表示成变量 x1，x2，… ，xn 的线性组合： z w x + w x + L + w x
n
其中 w i 0 , w i . 1 则 标Z的权重， i 1
1 1
2
2
n
n
n
w 1 , w 2 ,..., w
T
叫各因素对于目
3 0.587 0.324 0.089
得到排序结果：w=(0.588,0.322,0.090)T, max=3.009
矩阵与向量的乘积计算：
a11 AW a 21 a31 a12 a 22 a32 a13 W1 a 23 W2 a33 W3
AW1 a11 W1 + a12 W2 + a13 W3 AW2 a 21 W1 + a 22 W2 + a 23 W3 AW3 a31 W1 + a32 W2 + a33 W3
P 1 1/ 4 1 1 B5 P2 1 1 1 / 4 P3 4 4 1
（3）层次单排序
所谓层次单排序是指，对于上一层某因素而言，本层次 各因素的重要性的排序。 具体计算是：对于判断矩阵B，计算满足 BW maxW 的 特征根与特征向量。
max 的正规化 W 为对应于 式中 max 为 B 的最大特征根， W 的分量i 即是相应元素单排序的权值。 的特征向量，
n
CI=0 时A一致； CI 越大，A的不一致性程度 越严重。
6 7 8 9 10 11
RI
0
0
0.58 0.90 1.12 1.24
1.32 1.41
1.45
1.49 1.51
（3）一致性比率（用于确定A的不一致性的容许范围） CI 当CR<0.1时，A的不一致性程度在容许范围 CR RI 内，此时可用A的特征向量作为权向量。
max 5.073 前述计算得到了最大特征跟：
CI
max - n
n -1

5.073 - 5 0.01825 5 -1
查表知平均随机一致性指标RI，从而可检验矩阵一致性：
CR CI 0.01825 0.016295 0.1 RI 1.12
同理，对于第二层次的景色、费用、居住、饮食、旅途五 个判断矩阵的一致性检验均通过。
常 规 思 维 过 程
确定这些准则在你心目中各占的比重多大；
就每一准则将三个地点进行对比；
将这两个层次的比较判断进行综合，作出选择。
利用层次结构图绘出从目标层到方案层的计算结果：
选择旅游地
0.263 景 色 0.475 费 用 0.055 居 住 0.099 饮 食 0.110 旅 途
P1
0.595 0.277 0.129 0.082 0.236 0.682
利用层次结构图绘出从目标层到方案层的计算结果：
选择旅游地
0.263 景 色 0.475 费 用 0.055 居 住 0.099 饮 食 0.110 旅 途
P1
0.595 0.277 0.129 0.082 0.236 0.682
相对于居住
P P 1 2 P 1 1 1 B3 P2 1 1 P3 1 / 3 1 / 3 P 3 3 3 ` 1
相对于饮食
P 1 P 2 P 3
相对于旅途
P 1 P 2 P 3
P 3 4 1 1 B4 P2 1 / 3 1 1 P3 1 1 / 4 1 `
层次分析法例题
层次分析法的基本思路：先分解后综合
整理和综合人们的主观判断，使定性分析与定量分析 有机结合，实现定量化决策。 首先将所要分析的问题层次化，根据问题的性质和要 达到的总目标，将问题分解成不同的组成因素，按照因素 间的相互关系及隶属关系，将因素按不同层次聚集组合， 形成一个多层分析结构模型，最终归结为最低层（方案、 措施、指标等）相对于最高层（总目标）相对重要程度的 权值或相对优劣次序的问题。
设准则层包含5个准则，景色：C1，费用：C2，居 住： C3 ，饮食： C4 ，旅途： C5 。相对于目标层：选择 旅游地，进行两两比较打分。 选择旅游目的地
景 色
费 用
居 住
饮 食
旅 途
C1 C2 C3 C4 C5
C1 1 C2 2 A C3 1 / 4 C4 1 / 3 C5 1 / 3 1/ 2 4 1 7 1/ 7 1 1/ 5 2 1/ 5 3 3 5 5 1 / 2 1 / 3 1 1 1 1 3
0.559 0.082 0.429 0.633 0.166 0.277 0.236 0.429 0.193 0.166 0.129 0.682 0.142 0.175 0.668
（5）层次总排序
各个方案优先程度的排序向量为：
各规则层的特 征向量
0.263 0.595 0.082 0.429 0.633 0.166 0.475 0.300 ( 3) ( 2 ) 0.277 0.236 0.429 0.193 0.166 0.055 0.246 W W W 0.129 0.682 0.142 0.175 0.668 0.099 0 . 456 0.110
（2）平均随机性一致指标RI：
n 1 2 3 4 5
根据矩阵理论可知：所有 aii=1的矩阵A n 有 ，当矩阵具有完全一致

i 1
i
n
max 性时，1 ,其余特征根为0；矩 阵A具有不完全一致性时，有 1 max n ，用最大特征根以外的 其余特征根的负平均值作为度量判断 矩阵偏离一致性的指标，即：CI
5
7 9
表示两个元素相比，前者比后者明显重要
表示两个元素相比，前者比后者极其重要 表示两个元素相比，前者比后者强烈重要
2，4，6，8 表示上述相邻判断的中间值
倒数：若元素i和元素j的重要性之比为aij,那么元素j与元 素i的重要性之比为aji=1/aij 对于要比较的因子而言，你认为一样重要就是 1:1 ，强烈重 要就是9:1，也可以取中间数值 6:1等，两两比较，把数值填入， 并排列成判断矩阵（判断矩阵是对角线积是 1的正反矩阵即可）。
W1 W2 W3 W4 W5
W1

W2 W3 W4 W5
表示准 则重要 性次序 权值 （和为1）
max 5.073 对应于 max 的正规化的特征向量为：
W (0.263 ,0.475 ,0.055 ,0.099,0.110)T
第三步，算出 B2 , B3 , B4 , B5 的最大特征值分别为：
P2
0.429 0.429 0.142
P3
0.633 0.193 0.175 0.166 0.166 0.668
以 Wk(3) 为列向量构成矩阵：
W (3) (W1(3) ,W2(3) ,W3(3) ,W4(3) ,W5(3) )
max(2) 3.002, max(3) 3,
所对应的特征向量分别为：
max(4) 3.009,
max(5) 3.
W2( 3)
0.082 0.429 0.633 0.166 ( 3) ( 3) ( 3) 0.236 W3 0.429, W4 0.193, W5 0.166. 0.682 0.142 0.175 0.668